Logik für Informatiker
|
|
|
- Wolfgang Fried
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau sofronie@uni-koblenz.de 1
2 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge aller Formeln Strukturelle Induktion (Induktion über Formelaufbau) Semantik der Aussagenlogik: Wahrheit einer Formel in einem Modell Wahrheitstafelmethode 2
3 Erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Jede Formel F enthält endlich viele Aussagenvariablen. A(F) ist nur von den Werten dieser Aussagenvariablen abhängig. F enthält n Aussagenvariablen: 2 n Wertebelegungen notwendig um zu überprüfen, ob F erfüllbar/unerfüllbar/allgemeingültig ist oder nicht. Wahrheitstafel F allgemeingültig (Tautologie): A(F) = 1 für alle Wertbelegungen F erfüllbar: A(F) = 1 für zumindest eine Wertebelegung F unerfüllbar: A(F) = 0 für alle Wertebelegungen 3
4 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge aller Formeln Strukturelle Induktion (Induktion über Formelaufbau) Semantik der Aussagenlogik: Wahrheit einer Formel in einem Modell Wahrheitstafelmethode Wichtige Äquivalenzen Äquivalenzumformung als Kalkül (Substitutionstheorem) 4
5 Wichtige Äquivalenzen (Zusammengefasst) (F F) F (F F) F (Idempotenz) (F G) (G F) (F G) (G F) (Kommutativität) (F (G H)) ((F G) H) (F (G H)) ((F G) H) (Assoziativität) (F (F G)) F (F (F G)) F (Absorption) (F (G H)) ((F G) (F H)) (F (G H)) ((F G) (F H)) (Distributivität) ( F) F (Doppelte Negation) (F G) ( F G) (F G) ( F G) (De Morgan s Regeln) (F G) ( G F) (Kontraposition) (F G) ( F G) (Elimination Implikation) F G (F G) (G F) (Elimination Äquivalenz) 5
6 Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung Definition: Äquivalenzumformung (Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch äquivalente Formel Anwendung des Substitutionstheorems Theorem Äquivalenzumformung bildet mit den aufgelisteten wichtigen Äquivalenzen einen vollständigen Kalkül: Wenn F und G logisch äquivalent sind, kann F in G umgeformt werden. 6
7 Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung Definition: Äquivalenzumformung (Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch äquivalente Formel Anwendung des Substitutionstheorems Theorem Äquivalenzumformung bildet mit den aufgelisteten wichtigen Äquivalenzen einen vollständigen Kalkül: Wenn F und G logisch äquivalent sind, kann F in G umgeformt werden. Anwendung: Test für Erfüllbarkeit/Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit 7
8 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) 8
9 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) 9
10 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) (Elimination Implikation) 10
11 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) (Elimination Implikation) (De Morgan s Regel, ) 11
12 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (De Morgan s Regel, ) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Doppelte Negation, De Morgan, ) 12
13 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (De Morgan s Regel, ) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Doppelte Negation, De Morgan, ) ( P Q) (( Q R) (P R)) (Doppelte Negation) 13
14 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (De Morgan s Regel, ) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Doppelte Negation, De Morgan, ) ( P Q) (( Q R) (P R)) (Doppelte Negation) ( P Q) (( Q P R) (R P R)) (Distributivität) 14
15 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (De Morgan s Regel, ) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Doppelte Negation, De Morgan, ) ( P Q) (( Q R) (P R)) (Doppelte Negation) ( P Q) (( Q P R) (R P R)) (Distributivität) ( P Q) (( Q P R) (R R P)) (Kommutativität) 15
16 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (De Morgan s Regel, ) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Doppelte Negation, De Morgan, ) ( P Q) (( Q R) (P R)) (Doppelte Negation) ( P Q) (( Q P R) (R P R)) (Distributivität) ( P Q) (( Q P R) (R R P)) (Kommutativität) ( P Q) (( Q P R) ) (Äquivalenzen mit ) ( P Q) ( Q P R) (Äquivalenzen mit ) 16
17 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (De Morgan s Regel, ) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Doppelte Negation, De Morgan, ) ( P Q) (( Q R) (P R)) (Doppelte Negation) ( P Q) (( Q P R) (R P R)) (Distributivität) ( P Q) (( Q P R) (R R P)) (Kommutativität) ( P Q) (( Q P R) ) (Äquivalenzen mit ) ( P Q) ( Q P R) (Äquivalenzen mit ) ( P Q P R) (Q Q P R) (Distributivität) ( P P Q R) (Q Q P R) (Kommutativität) 17
18 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (De Morgan s Regel, ) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Doppelte Negation, De Morgan, ) ( P Q) (( Q R) (P R)) (Doppelte Negation) ( P Q) (( Q P R) (R P R)) (Distributivität) ( P Q) (( Q P R) (R R P)) (Kommutativität) ( P Q) (( Q P R) ) (Äquivalenzen mit ) ( P Q) ( Q P R) (Äquivalenzen mit ) ( P Q P R) (Q Q P R) (Distributivität) ( P P Q R) (Q Q P R) (Kommutativität) (( P P) Q R) ((Q Q) P R) (Assoziativität) 18
19 Beispiel (P Q) ((Q R) (P R)) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (Elimination Implikation) ( P Q) ( ( Q R) ( P R)) (De Morgan s Regel, ) ( P Q) (( Q R) ( P R)) (Doppelte Negation, De Morgan, ) ( P Q) (( Q R) (P R)) (Doppelte Negation) ( P Q) (( Q P R) (R P R)) (Distributivität) ( P Q) (( Q P R) (R R P)) (Kommutativität) ( P Q) (( Q P R) ) (Äquivalenzen mit ) ( P Q) ( Q P R) (Äquivalenzen mit ) ( P Q P R) (Q Q P R) (Distributivität) ( P P Q R) (Q Q P R) (Kommutativität) (( P P) Q R) ((Q Q) P R) (Assoziativität) (Äquivalenzen mit ) 19
20 Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln Theorem. F = G gdw. = F G. 20
21 Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln; N Formelmenge. Theorem. F = G gdw. = F G. Theorem. N {F } = G gdw. N = F G. 21
22 Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln; N Formelmenge. Theorem. F = G gdw. = F G. Theorem. N {F } = G gdw. N = F G. Theorem. F G gdw. = F G. 22
23 Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln Theorem. F ist allgemeingültig gdw. F ist unerfüllbar. 23
24 Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln Theorem. F ist allgemeingültig gdw. F ist unerfüllbar. Theorem. F = G gdw. F G ist unerfüllbar. 24
25 Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln; N Formelmenge. Theorem. F ist allgemeingültig gdw. F ist unerfüllbar. Theorem. F = G gdw. F G ist unerfüllbar. Theorem. N = G gdw. N G ist unerfüllbar. 25
26 Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln; N Formelmenge. Theorem. F ist allgemeingültig gdw. F ist unerfüllbar. Theorem. F = G gdw. F G ist unerfüllbar. Theorem. N = G gdw. N G ist unerfüllbar. Nota bene: falls N unerfüllbar, so N = G für jede Formel G 26
27 Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit/Folgerung F,G Formeln; N Formelmenge. Theorem. F ist allgemeingültig gdw. F ist unerfüllbar. Theorem. F = G gdw. F G ist unerfüllbar. Theorem. N = G gdw. N G ist unerfüllbar. Nota bene: falls N unerfüllbar, so N = G für jede Formel G... auch für. Notation: N = für N unerfüllbar. 27
28 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) 28
29 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) Dazu brauchen wir Normalformen 29
30 Normalformen Definition: Atom: aussagenlogische Variable Literal: Atom, oder negation eines Atoms 30
31 Normalformen Definition: Atom: aussagenlogische Variable Literal: Atom, oder negation eines Atoms Definition: Klausel: Eine Disjunktion von Literalen mehrstellige Disjunktionen (P Q R), (P P Q) einstellige Disjunktionen P die nullstellige Disjunktion (leere Klausel) 31
32 Normalformen Definition: Konjunktive Normalform (KNF): Eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln 32
33 Normalformen Definition: Konjunktive Normalform (KNF): Eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln mehrstellig, einstellig oder nullstellig 33
34 Normalformen Definition: Konjunktive Normalform (KNF): Eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln mehrstellig, einstellig oder nullstellig Beispiele: (P Q) (Q R S) P Q P (Q R) P Q P P 34
35 Normalformen Definition: Disjunktive Normalform (DNF): Eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen. mehrstellig, einstellig oder nullstellig Beispiele: (P Q) (Q R S) P Q P (Q R) P Q P P 35
36 Normalformel Eigenschaften: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es: - eine äquivalente Formel in KNF - eine äquivalente Formel in DNF 36
37 Normalformel Eigenschaften: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es: - eine äquivalente Formel in KNF - eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig 37
38 Normalformel Eigenschaften: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es: - eine äquivalente Formel in KNF - eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig Solche Formeln können aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden 38
39 Beispiel F : (P Q) (( P Q) R) P Q R (P Q) P ( P Q) (( P Q) R) F
40 Beispiel F : (P Q) (( P Q) R) P Q R (P Q) P ( P Q) (( P Q) R) F
41 Beispiel F : (P Q) (( P Q) R) P Q R (P Q) P ( P Q) (( P Q) R) F DNF: ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) 41
42 Beispiel F : (P Q) (( P Q) R) P Q R (P Q) P ( P Q) (( P Q) R) F F DNF für F: ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) 42
43 Beispiel F : (P Q) (( P Q) R) P Q R (P Q) P ( P Q) (( P Q) R) F F DNF für F: ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) KNF für F: (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) 43
44 Normalformel DNF für F: _ A:{P 1,...,Pn } {0,1} A(F)=1 (P A(P 1) 1 P A(P n) n ) wobei: P 0 = P P 1 = P 44
45 Normalformel DNF für F: _ A:{P 1,...,Pn } {0,1} A(F)=1 (P A(P 1) 1 P A(P n) n ) wobei: P 0 = P P 1 = P Theorem Für alle Interpretationen A : {P 1,...,P n } {0,1}: _ A (F) = 1 gdw. A ( (P A(P 1) 1 P A(P n) n )) = 1. A:{P 1,...,Pn} {0,1} A(F)=1 45
46 Normalformel DNF für F: _ A:{P 1,...,Pn } {0,1} A(F)=1 (P A(P 1) 1 P A(P n) n ) wobei: P 0 = P P 1 = P KNF für F: F, wobei F die DNF von F ist. 46
47 Normalformel Eigenschaften: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es: - eine äquivalente Formel in KNF - eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig Solche Formeln können aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden Solche Formeln können durch Umformungen hergestellt werden 47
48 Umformung in KNF Vier Schritte: 48
49 Umformung in KNF Vier Schritte: 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 49
50 Umformung in KNF Vier Schritte: 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B ( A B) 50
51 Umformung in KNF Vier Schritte: 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B ( A B) 3. Nach innen schieben von Verwende de Morgans Regeln und A A 51
52 Umformung in KNF Vier Schritte: 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B ( A B) 3. Nach innen schieben von Verwende de Morgans Regeln und A A 4. Nach innen schieben von Verwende Distributivität von über 52
53 Umformung in KNF: Beispiel Gegeben: P (Q R) 53
54 Umformung in KNF: Beispiel Gegeben: P (Q R) 1. Elimination von (P (Q R)) ((Q R) P) 54
55 Umformung in KNF: Beispiel Gegeben: P (Q R) 1. Elimination von (P (Q R)) ((Q R) P) 2. Elimination von ( P Q R) ( (Q R) P) 55
56 Umformung in KNF: Beispiel Gegeben: P (Q R) 1. Elimination von (P (Q R)) ((Q R) P) 2. Elimination von ( P Q R) ( (Q R) P) 3. Nach innen schieben von ( P Q R) (( Q R)) P) 56
57 Umformung in KNF: Beispiel Gegeben: P (Q R) 1. Elimination von (P (Q R)) ((Q R) P) 2. Elimination von ( P Q R) ( (Q R) P) 3. Nach innen schieben von ( P Q R) (( Q R)) P) 4. Nach innen schieben von ( P Q R) ( Q P) ( R P)) 57
58 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) 58
59 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) Zu A n äquivalente KNF ^ (P 1,f (1) P n,f (n) ) f :{1,...,n} {1,2} 59
60 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) Zu A n äquivalente KNF ^ (P 1,f (1) P n,f (n) ) f :{1,...,n} {1,2} Größe der KNF: Klausel in KNF von A n : 2 n 60
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 06.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen/Valuationen/Modelle
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 2 28.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Termine Donnerstags: 30.04.2015 nicht
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2.
Theorie der Informatik 24. Februar 2014 2. Aussagenlogik II Theorie der Informatik 2. Aussagenlogik II 2.1 Äquivalenzen Malte Helmert Gabriele Röger 2.2 Vereinfachte Schreibweise Universität Basel 24.
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive
TU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade
TU9 Aussagenlogik Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 18.12.2017 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2 /
Übung 4: Aussagenlogik II
Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 4 07.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Gestern Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive
Aufgabe. Gelten die folgenden Äquivalenzen?. 2/??
Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, gilt A(F ) = A(G). Hierfür schreiben wir F G.. 1/?? Aufgabe Gelten
Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Einführendes Beispiel Falls Lisa Peter trifft, dann trifft Lisa auch Gregor.
Syntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch
Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 10 4.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Hauptklausur: Montag, 23.07.2012, 16:00-18:00,
I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.
I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten
Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...
Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 1 25.04.2017 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Grundlegende Beweisstrategien Induktion über
Grundlagen der Logik
Grundlagen der Logik Denken Menschen logisch? Selektionsaufgabe nach Watson (1966): Gegeben sind vier Karten von denen jede auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen Seite mit einer Zahl
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Literatur zur Vorlesung Skriptum von U. Furbach Ulrich Furbach Logic for Computer Scientists http://userpages.uni-koblenz.de/
TU5 Aussagenlogik II
TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 21.11.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;)
Was bisher geschah. wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min Disjunktion 2 max Negation 1 x 1 x Implikation 2 Äquivalenz 2 =
Was bisher geschah (Klassische) Aussagenlogik: Aussage Wahrheitswerte 0 (falsch) und 1 (wahr) Junktoren Syntax Semantik Stelligkeit Symbol Wahrheitswertfunktion wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min
Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4
Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)
Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f (nullstellig), (einstellig),,,, (zweistellig) aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA atomare Formeln
Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser
Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische
Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015
Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Teil 3: Logik 1 Aussagenlogik Einleitung Eigenschaften Äquivalenz Folgerung Normalformen 2 Prädikatenlogik Wenn eine Karte
Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik
Grundzeichen Aussagenlogik Aussagenvariablen P, Q, R,... Junktoren nicht und oder Runde Klammern (, ) Formeln Aussagenlogik Formeln sind spezielle Zeichenreihen aus Grundzeichen, und zwar 1 Jede Aussagenvariable
3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik
3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,
3. Logik 3.1 Aussagenlogik
3. Logik 3.1 Aussagenlogik WS 06/07 mod 301 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder falsch angesehen erden können. z. B.: Es
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 6. Aussagenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche
Allgemeingültige Aussagen
Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt
1 Aussagenlogischer Kalkül
1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln
Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 3 12.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Semantik Semantik geben bedeutet für logische Systeme,
Logik. Logik. Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14
Logik Logik Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/14 30. September 2013 Logik > Logik > logische Aussagen Logik Logik > Logik > logische Aussagen Motivation Logik spielt in der Informatik eine
Algorithmen für OBDD s. 1. Reduziere 2. Boole sche Operationen
Algorithmen für OBDD s 1. Reduziere 2. Boole sche Operationen 1 1. Reduziere siehe auch M.Huth und M.Ryan: Logic in Computer Science - Modelling and Reasoning about Systems, Cambridge Univ.Press, 2000
Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Aussagenlogik: Syntax und Semantik KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Ersetzbarkeitstheorem
Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen
Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger Christina Kohl Alexander Maringele
Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution
Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 6 25.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letzte Vorlesungen Prädikatenlogik: Syntax Semantik
Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele Georg Moser Michael Schaper Manuel Schneckenreither Institut für Informatik
Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf
Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016.
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 Aussagenlogik: Syntax und Semantik KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum
Logic in a Nutshell. Christian Liguda
Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung
THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK
Rückblick: Logelei Wir kehren zurück auf das Inselreich mit Menschen von Typ W (Wahrheitssager) und Typ L (Lügner). THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK 14. Vorlesung: Modelltheorie und logisches Schließen
Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ
Σ={A 0,A 1,A 2,...} Ist α eine Formel, so auch ( α). Sind α und β Formeln, so sind es auch (α β) und (α β).
Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Definition 1 (Sprache der Aussagenlogik) Syntax der Aussagenlogik Formeltransformation Entscheidungsverfahren Σ={A 0,A 1,A 2,...} abzählbar unendliche Menge von Atomen.
Kapitel 1. Aussagenlogik
Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax
Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1
Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter
Einführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 4 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Modus Ponens A B B A MP Axiome für
THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK
THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK 14. Vorlesung: Modelltheorie und logisches Schließen Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 31. Mai 2017 Rückblick: Logelei Wir kehren zurück auf
2.3 Deduktiver Aufbau der Aussagenlogik
2.3 Deduktiver Aufbau der Aussagenlogik Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit einem axiomatischen Aufbau der Aussagenlogik mittels eines Deduktiven Systems oder eines Kalküls. Eine syntaktisch korrekte
Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen
Prädikatenlogik 1. Stufe (kurz: PL1) Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen notwendig: Existenz- und Allaussagen Beispiel: 54 Syntax der Prädikatenlogik erster Stufe (in der
Vorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Sommersemester 2018 Ronja Düffel 14. März 2018 Theoretische Informatik Wieso, weshalb, warum??!? 1 Modellieren und Formalisieren von Problemen und Lösungen 2 Verifikation (Beweis
Vorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung
Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s 1. und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben.
2 Aussagenlogik () 2.3 Semantik von [ Gamut 4-58, Partee 7-4 ] Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben. Beispiel: Es regnet.
Was ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Logik stellt Sprachen zur Darstellung von Wissen zur Verfügung
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen
Einführung in die Logik - 4 Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Widerlegungsverfahren zum Aufwärmen: Bestimmung von Tautologien mittels Quick Falsification
Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1 Boolesche Formeln, Literale und Klauseln Eine Boolesche Formel ist eine aussagenlogische
Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
Was ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/37
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/37 Modellierungsaufgabe Es gibt drei Tauben und zwei Löcher. Jede Taube soll in
Logik Vorlesung 8: Modelle und Äquivalenz
Logik Vorlesung 8: Modelle und Äquivalenz Andreas Maletti 12. Dezember 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere
Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9.
Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9. November 2016 Weitere Begriffe Eine Zuweisung von Wahrheitswerten W bzw. F
1.1 Motivation. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 1.1 Motivation. 1.2 Syntax. 1.3 Semantik. 1.4 Formeleigenschaften. 1.
Theorie der Informatik 19. Februar 2014 1. Aussagenlogik I Theorie der Informatik 1. Aussagenlogik I Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 19. Februar 2014 1.1 Motivation 1.2 Syntax 1.3 Semantik
Logik für Informatiker Logic for computer scientists
Logik für Informatiker Logic for computer scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 24 Die Booleschen Junktoren Till Mossakowski Logik 2/ 24 Die Negation Wahrheitstafel
Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3)
Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (true, = 1) oder falsch (false, = 0) ist. Beispiele a: 1 + 1 = 2 b: Darmstadt liegt in Bayern.
Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2011 Institut für Theoretische Informatik
Einführung in die Logik Jiří Adámek Sommersemester 2011 5. Juli 2011 Institut für Theoretische Informatik Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Logische Systeme 4 I Aussagenlogik 6 2 Aussagenlogik 7 2.i Syntax
Grundlagen der Theoretischen Informatik
FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Inormatik Sebastian Ianoski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.1: Aussagenlogik FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie
Kapitel L:II. II. Aussagenlogik
Kapitel L:II II. Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Äquivalenz Formeltransformation Normalformen Bedeutung der Folgerung Erfüllbarkeitsalgorithmen
Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme
Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Max Kramer 13. Februar 2009 Diese Zusammenfassung entstand als persönliche Vorbereitung auf die Klausur zur Vorlesung Formale Systeme von Prof.
Logik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik
Logik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik Andreas Maletti 24. Oktober 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
f(1, 1) = 1, f(x, y) = 0 sonst üblicherweise Konjunktion, manchmal auch
Belegungen, Wahrheitsfunktionen 1. Wie viele binäre Funktionen gibt es auf der Menge {0, 1} (d.h., Funktionen von {0, 1} 2 nach {0, 1})? Geben Sie alle diese Funktionen an, und finden Sie sinnvolle Namen
Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012
Mathematische Logik Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz Felix Hensel February 21, 2012 Dies ist im Wesentlichen eine Zusammenfassung der Abschnitte 1.1-1.3 aus Wolfgang Rautenberg s Buch
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker Wintersemester 2007/08 Thomas Schwentick Teil A: Aussagenlogik 2. Grundlagen Version von: 2. November 2007(16:19) Inhalt 2.1 Beispiele 2.2 Syntax 2.3 Semantik 2.4 Modellierung mit
Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen
Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume & Dr. Sander Bruggink Barbara König Logik 1 (Motivation) Wir benötigen Algorithmen für Erfüllbarkeitstests,
Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen für Wirtschaftsinformatiker Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Wintersemester 2016/17 Peter Becker (H-BRS) Mathematische Grundlagen Wintersemester
Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik
Einführung in die Logik Jiří Adámek Sommersemester 2010 14. Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Logische Systeme 4 I Aussagenlogik 6 2 Aussagenlogik 7 2.i Syntax
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 3. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.16 Syntax der Aussagenlogik:
Vorlesung Logik, SS 2003
Vorlesung Logik, SS 2003 Gerhard Brewka Gebraucht die Zeit, sie geht so schnell von hinnen, Doch Ordnung lehrt Euch Zeit gewinnen. Mein teurer Freund, ich rat' Euch drum Zuerst Collegium logicum. Da wird
Logik Teil 1: Aussagenlogik. Vorlesung im Wintersemester 2010
Logik Teil 1: Aussagenlogik Vorlesung im Wintersemester 21 Aussagenlogik Aussagenlogik behandelt die logische Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren wie und, oder, nicht, gdw. Jeder Aussage ist ein
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 09.03.2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Aussagen und Logik Motivation
Hilbert-Kalkül (Einführung)
Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle
Aussagenlogik. Syntax und Semantik Boolesche Algebra Erfüllbarkeit SAT-Solver Kompaktheit Beweiskalküle
Aussagenlogik Syntax und Semantik Boolesche Algebra Erfüllbarkeit SAT-Solver Kompaktheit Beweiskalküle Logik für Informatiker, M. Lange, IFI/LMU: Aussagenlogik Syntax und Semantik 26 Einführendes Beispiel
Vorlesung Logiksysteme
Vorlesung Logiksysteme Teil 1 - Aussagenlogik Martin Mundhenk Univ. Jena, Institut für Informatik 15. Mai 2014 Formalien zur Vorlesung/Übung Termine: dienstags 16:15 17:45 Uhr freitags 10:15 11:45 Uhr
Normalformen boolescher Funktionen
Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion
Fakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen
Vorbemerkungen if (x > y) z = x; else z = y; Wenn es blaue Tiger regnet, dann fressen alle Kirschbäume schwarze Tomaten. q(1) = 1, q(i) = q(i 1) + 2i 1 für i 2 Welchen Wert hat q(6)? 24 ist durch 2 teilbar.
5. Logik in der KI. Wissensbasis: Menge von Aussagen, die Fakten über die Welt repräsentieren, formuliert in einer Wissensrepräsentationssprache.
5. Logik in der KI Wissensbasis: Menge von Aussagen, die Fakten über die Welt repräsentieren, formuliert in einer Wissensrepräsentationssprache. Neue Aussagen können in die Wissensbasis eingefügt werden:
7. Prädikatenlogik. Aussagenlogik hat wünschenswerte Eigenschaften wie Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit.
7. Prädikatenlogik Aussagenlogik hat wünschenswerte Eigenschaften wie Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit. Aber: Aussagenlogik ist sehr beschränkt in der Ausdrucksmächtigkeit. Wissen kann nur
Formale Systeme. Das Erfu llbarkeitsproblem. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Das Erfu llbarkeitsproblem KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 7. Aussagenlogik Analytische Tableaus Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Tableaukalkül
Einführung in die Semantik, 5. Sitzung Aussagenlogik
Einführung in die, 5. Sitzung Aussagenlogik Göttingen 9. November 2006 Aussagenlogik Warum die formalen Sprachen der Logik? formale Sprachen haben wie jede Sprache ein Vokabular, eine und eine. Die Relation