TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1

Transkript

1 TU Dresden Fakultät Matematik Institut für Numerisce Matematik Lösung zur Aufgabe 4 (a) des 9. Übungsblattes größtmöglicer Definitionsbereic: Die Funktion ist überall definiert, außer an der Stelle = 3 (denn dort würde der Nenner Null werden). Der größtmöglice Definitionsbereic der Funktion ist also D f = R\{ 3}. Nullstellen, Polstellen: Die Stelle P = 3 ist Polstelle der Funktion f, denn an dieser Stelle ist der Nenner gleic Null und der Zäler ungleic Null. Es andelt sic um eine Polstelle mit Vorzeicenwecsel, da es nur einface Nullstelle des Nenners ist. Wir wollen sämtlice Nullstellen der Funktion bestimmen und berecnen dazu die Nullstellen des Zälers: = 0 0,/2 = 2± 4+5 = 2±3 0, = 5, 0,2 =. Da die Funktion an beiden Stellen definiert ist (der Nenner also verscieden von Null ist), sind es auc wirklic Nullstellen der Funktion f. Veralten im Unendlicen, Asymptote: Zur Grenzwertbestimmung für bzw. klammern wir im Zäler und im Nenner jeweils die öcste Potenz des Nenners aus: ( 4 5 ) lim 4 0 lim = lim ± +3 ± ( ± + 3 ) = = ±. +0 Das Polynom, das Asymptote von f ist, at den Grad und lässt sic bestimmen, indem der unect gebrocene Ausdruck zunäcst als Summe eines Polynoms und eines ect gebrocenen Ausdrucks dargestellt wird (mittels Polynomdivision; da der Divisor ein lineares Polynom ist, könnte man auc das Horner-Scema nutzen). ( 2 4 5) : (+3) = ( 2 + 3) 7 5 ( 7 2) 6 Die Asymptote ist gerade das Polynom aus der eraltenen Zerlegung, at also die Vorscrift y = 7. Ableitungen: Für die Bestimmung von Etremalstellen und Wendepunkten werden wir die ersten beiden Ableitungen von f nutzen und bestimmen diese an dieser Stelle sconmal. Dazu bietet es sic an, die Darstellung von f() als Summe des Polynoms 7 und des ect gebrocen rationalen Ausdrucks 6 +3 von vorin zu nutzen. f () = 6 (+3) 2, f () = 32 (+3) 3. lokale und globale Etremalstellen: Wir ermitteln alle, für die die erste Ableitung von f Null ist, also Kandidaten für lokale Etremalstellen: f () = 0 6 (+3) 2 = (+3)2 = 6 = 3±4. Als Kandidaten für lokale Etremalstellen ergeben sic also = und = 7. Beide Stellen liegen auc im Definitionsbereic von f. Mit Hilfe der zweiten Ableitung untersucen wir die Art dieser kritiscen Stellen:

2 TU Dresden Fakultät Matematik Institut für Numerisce Matematik 2 = : f () = 32 = (+3) 3 2 > 0, daer lokale Minimalstelle, = 7: f ( 7) = 32 = ( 7+3) 3 2 < 0, daer lokale Maimalstelle. Die zugeörigen Funktionswerte an diesen Stellen sind f() = 2, f( 7) = 8. Zusammenfassung: Die Funktion besitzt ein lokales Minimum und ein lokales Maimum: E min (, 2), E ma ( 7, 8). Wegen lim f() = und lim f() = sind beides nur lokale Etrema, keine globalen Etrema. Wendepunkte: Die Funktion besitzt keine Wendepunkte, denn die zweite Ableitung f () = 32 (+3) 3 besitzt offensictlic keine Nullstellen, sodass es keine -Werte gibt, die der notwendigen Bedingung f () = 0 für einen Wendepunkt genügen. (Aus diesem Grund war es nict notwendig, die dritte Ableitung zu bilden.) Skizze: y

3 TU Dresden Fakultät Matematik Institut für Numerisce Matematik 3 Lösung zur Aufgabe 5 des 9. Übungsblattes Wir bezeicnen mit a [0,30] diejenige Stelle auf der -Acse, an der das Farzeug abbiegen sollte. Die folgende Skizze veranscaulict den Sacveralt. (30, 0) (0,0) a 30 Wir überlegen uns nun, wie viel Zeit das Farzeug (in Abängigkeit von a) benötigt, um vom Punkt (0,0) zum Punkt (30,0) zu gelangen (Werte jeweils in Kilometern). Für das Stück von (0,0) bis (a,0), welces das Farzeug auf der Straße färt, werden a 50 Stunden benötigt, denn das Farzeug legt auf dieser Strecke a Kilometer mit einer Gescwindigkeit von 50 Kilometern pro Stunde zurück. Für das Stück von (a,0) bis (30,0) werden (30 a) Stunden benötigt, denn auf dieser Strecke legt das Farzeug (30 a) Kilometer (Abstand der Punkte (a,0) und (30,0)) mit einer Gescwindigkeit von Kilometern pro Stunde zurück. Die Gesamtzeit, die das Farzeug benötigt, ist also t(a) = 50 a+ (30 a) Wir sucen nun a [0,30] so, dass t(a) minimal wird; wir sucen also das Minimum der Funktion t im Intervall [0,30]. Die Ableitung von t lautet t (a) = (30 a) ( 2(30 a)) = a (30 a) Wir bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung und eralten somit Kandidaten für Etremalstellen von t: a (30 a) = 0 (30 a) = 50 (30 a) (30 a) = 25 4 (30 a)2 (30 a) 2 = a = 30± 2 a = , a 2 = Der Punkt a = entfällt, da er außeralb des Intervalls [0,30] liegt. Der Wert a = ist der einzige verbleibende Kandidat für die Minimalstelle der Funktion t im Bereic [0, 30]. Der zugeörige Funktionswert lautet t ( 30 ) = 2 50 ( 30 ) = Um zu zeigen, dass das tatsäclic der kleinste Wert ist, den t(a) für a [0,30] annemen kann, betracten wir die Randwerte, berecnen also t(0) und t(30): t(0) = =.58, t(30) = =..

4 TU Dresden Fakultät Matematik Institut für Numerisce Matematik 4 Die Funktionswerte an den Randpunkten sind größer als der Funktionswert an der Stelle a = Daraus lässt sic bereits sclussfolgern, dass die Funktion t für 0 a < streng monoton fallend und für < a 30 streng monoton wacsend ist (die strenge Monotonie an sic folgt daraus, dass die Ableitung inneralb dieser Bereice jeweils das gleice Vorzeicen besitzt). Somit liegt bei a = tatsäclic das Minimum von t im Intervall [0,30]. Das Farzeug sollte also nac Kilometern abbiegen und benötigt dann eine Gesamtzeit von.0583 Stunden.

5 TU Dresden Fakultät Matematik Institut für Numerisce Matematik 5 Lösung zur Aufgabe 6 des 9. Übungsblattes Der Grenzwert lim 0 sin ( ) eistiert nict. Demzufolge ist f0 nict stetig an der Stelle = 0 (das ist auc bereits aus der Vorlesung bekannt). Somit ist f 0 auc nict differenzierbar in = 0, gescweige denn stetig differenzierbar. Die Funktion f ist stetig an der Stelle = 0. Das atten wir bereits in Aufgabe 2 des 8. Übungsblattes nacgewiesen. Wir untersucen, ob f auc differenzierbar in = 0 ist. Für jedes 0 gilt Der Grenzwert f (0+) f (0) = sin( ) 0 = sin ( ) f (0+) f (0) lim = lim sin 0 0. eistiert nict, das eißt, f ist nict differenzierbar, gescweige denn stetig differenzierbar an der Stelle = 0. Wir untersucen direkt die Differenzierbarkeit von f 2 an der Stelle = 0 (die Stetigkeit könnte man genauso zeigen wie für die Funktion f oder man folgert sie später aus der Differenzierbarkeit). Für jedes 0 gilt f 2 (0+) f 2 (0) = 2 sin ( ( ) ) 0 = sin. Mit dem Resultat aus Aufgabe des 8. Übungsblattes eralten wir ( ) f 2 (0+) f 2 (0) lim = lim sin = Insbesondere eistiert dieser Grenzwert also, sodass f 2 an der Stelle = 0 differenzierbar ist. Die Ableitung an dieser Stelle ist gerade obiger Grenzwert, also f 2 (0) = 0. Wir müssen noc untersucen, ob f 2 an der Stelle = 0 stetig ist. Die Ableitung an den Stellen 0 lautet f 2() = 2sin + 2 cos ( ) 2 = 2sin Für die Ableitung von f 2 ergibt sic also { ( 2sin ( f 2() = ) cos ) für 0, 0 für = 0. cos. Der Grenzwert von f 2 für 0 eistiert nict. Zwar ist lim 02sin ( ) = 0, wie wir inzwiscen wissen, aber lim 0 cos ( ) eistiert nict. Somit ist f 2 nict stetig an der Stelle = 0, das eißt, f 2 nict stetig differenzierbar an dieser Stelle. Wir zeigen zunäcst wieder, dass f 3 differenzierbar an der Stelle = 0 ist, woraus insbesondere die Stetigkeit folgt. Für jedes 0 gilt f 3 (0+) f 3 (0) = 3 sin ( ( ) ) 0 = 2 sin. Unter Beactung von sin ( ) 0 für 0 ergibt sic f 3 (0+) f 3 (0) lim = lim sin 0 0 ( ) = 0 0 = 0.

6 TU Dresden Fakultät Matematik Institut für Numerisce Matematik 6 Insbesondere eistiert dieser Grenzwert also, sodass f 3 an der Stelle = 0 differenzierbar ist. Die Ableitung an dieser Stelle ist gerade obiger Grenzwert, also f 3 (0) = 0. Wir müssen noc untersucen, ob f 3 an der Stelle = 0 stetig ist. Die Ableitung an den Stellen 0 lautet f 3() = 3 2 sin + 3 cos ( ) 2 = 3 2 sin Für die Ableitung von f 3 ergibt sic also { 3 f 3() 2 sin ( ( = ) cos ) für 0, 0 für = 0. cos Der Grenzwert von f 3 für 0 eistiert, denn es ist sowol ( ) ( ) lim 0 32 sin = lim 3 sin = 0 0 = 0 0 als auc lim cos = 0, 0. wobei Letzteres mit dem Einscließungskriterium nacgewiesen werden kann (so, wie wir es für sin( ) auc gemact aben). Also gilt lim 0 f 3() = 0 = f 3(0). Der Grenzwert für 0 eistiert also und stimmt mit dem Funktionswert an der Stelle = 0 überein. Daraus folgt, dass f 3 stetig an der Stelle = 0 und f 3 somit stetig differenzierbar an dieser Stelle ist. Bemerkung: Man kann zeigen, dass f 3 jedoc nict zweimal differenzierbar in = 0 ist. Analog zu den gegebenen Funktionen kann man weitere Funktionen f n betracten, die für 0 gemäß f n () = n sin( ) definiert sind. Dann stellt sic eraus, dass f 4 zweimal differenzierbar, aber nict zweimal stetig differenzierbar in = 0 ist, f 5 zweimal stetig differenzierbar, aber nict dreimal stetig differenzierbar in = 0 ist, usw.