Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/ Definition: Sei M R, alsom eine Teilmenge von R 1) Die Zahl x R heißt obere Schranke von M, falls gilt: w M : w x Analog definiert man den Begriff untere Schranke von M 2) Die Menge M heißt nach oben (bzw nach unten) beschränkt, falls es eine obere (bzw untere) Schranke von M gibt 3) Die Zahl s R heißt Supremum von M, falls s die kleinste obere Schranke von M ist, dh s ist eine obere Schranke von M für jede beliebige obere Schranke x von M gilt: s x Bezeichnung: s := sup M Analog definiert man den Begriff Infimum von M 2

2 Beispiel: Dann ist Sei I := [1, 2) = {x R 1 x<2} jede Zahl x 2 eine obere Schranke von I, jede Zahl x 1 eine untere Schranke von I Also gilt Beispiel: M := Daher gilt sup [1, 2) = 2 inf [1, 2) = 1 Man betrachte die Menge { x R x = 1 n + 1 } n +1, n N = { 3 2, 5 6, 7 12, 9 20, 11 } 30, sup M = 3 2 inf M =0 3 Satz: Jede nichtleere, nach oben (bzw unten) beschränkte Menge M R besitzt ein Supremum (bzw Infimum) Beweis: Mit Hilfe des Vollständigkeitsaxioms Folgerungen: 1) Die Menge N der natürlichen Zahlen ist nicht nach oben beschränkt 2) Für alle x R gilt: x 0 n N : 0 < 1 n <x 3) Zwischen zwei reellen Zahlen x<ygibt es immer (unendlich viele) rationale Zahlen 4

3 Kapitel 3: Konvergenz von Folgen und Reihen 31 Folgen Es sei V ein normierter Vektorraum mit Norm Eine Folge (a n ) n N ist eine Abbildung N V, n a n V Beispiele: 1) Reelle Folgen (V = R): a n = 1 n 2) Komplexe Folgen (V = C): a n = i n 3) Folgen von (reellen) Vektoren (V = R d, d =3) a n = ( 1 n,n, 1 ) T n 2 5 Rechenoperationen mit Folgen: Die Menge aller Folgen in V ist wieder ein Vektorraum V N (a n ) n N +(b n ) n N := (a n + b n ) n N λ(a n ) n N := (λa n ) n N Rekursion, Iteration: Definiere eine Folge in V rekursiv a n+1 := Φ(n, a n ) wobei Φ:N V V eine Iterationsvorschrift ist 6

4 Beispiel: Intervallhalbierung, Bisektionsverfahren Berechnung einer Nullstelle einer stetigen Funktion f : R R Gegeben seien zwei reelle Zahlen a und b mit f(a) f(b) < 0 Definiere zwei Folgen (u n ) und (v n ) mittels (u 0,v 0 ):=(a, b) für n =1, 2, x := (u n 1 + v n 1 )/2 falls f(x) =0 fertig falls (f(x) f(v n 1 ) < 0) : u n := x v n := v n 1 sonst u n := u n 1 v n := x 7 Sei f(t) =t 2 2, a =1und b =2,soerhält man n u n v n Konvergenz ist relativ langsam! 8

5 Beispiel: Newton Verfahren Nullstelle einer stetig differenzierbaren Funktion f : R R t n+1 := t n f(t n) f (f (t n ) 0) (t n ) mit Startwert t 0 Verfahren konvergiert, falls t 0 hinreichend nahe bei einer Nullstelle t liegt Sei f(t) =t 2 2 und t 0 =1,soerhält man n t n Definition: Konvergenz von Folgen Sei (a n ) n N eine Folge in V (Vektorraum mit Norm ) 1) Für n j N mit 1 n 1 < n 2 < n 3 < heißt (a nj ) j N eine Teilfolge von (a n ) n N 2) Die Folge (a n ) heißt beschränkt, falls es ein C>0 gibt mit: n N : a n C 3) Eine Folge (a n ) heißt konvergent mit Grenzwert (Limes) a V, falls ε>0 : N = N(ε) N : n N : a n a <ε Eine nicht konvergente Folge heißt divergent 4) Eine Folge (a n ) heißt Cauchy Folge, falls ε>0 : N = N(ε) N : n, m N : a n a m <ε 10

6 Satz: Es gelten: a) (a n ) konvergent (a n ) beschränkt b) (a n ) konvergent (a n ) Cauchy Folge c) Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt Beweis: Teil a): Ist (a n ) konvergent, so gilt für ε>0und n N(ε) a n = a n a + a <ε+ a Damit ist die Folge (a n ) beschränkt mit der Konstanten C>0 gegeben durch Also C := max{ a 1, a 2,, a N 1, a + ε} n N : a n C 11 Teil b): Für gegebenes ε>0 gilt: a n a m = a n a + a a m a n a + a m a < ε 2 + ε 2 = ε für alle n, m N = N(ε/2) Teil c): Für ε>0 gelte: a n a <ε ( n N 1 (ε)) a n a <ε ( n N 2 (ε)) Dann folgt für n max{n 1,N 2 } die Ungleichung a a = a a n + a n a a n a + a n a < 2ε Dies gilt für jedes ε>0, also gilt a = a 12

7 Notation: Für eine konvergente Folge (a n ) schreiben wir lim n a n = a oder a n a (n ) Uneigentliche Konvergenz bzw Divergenz gegen den uneigentlichen Grenzwert ± : Für reelle Folgen definieren wir zusätzlich lim n a n = : C>0 : N N : n N : a n >C lim n a n = : C>0 : N N : n N : a n < C 13 Bemerkung: Die Umkehrung zu der Aussage in Teil b) (a n ) Cauchyfolge (a n ) konvergent gilt nur in gewissen normierten Räumen, nämlich den sogenannten vollständigen Räumen oder Banachräumen Vollständige Euklidische Vektorräume nennt man auch Hilberträume Beispiele vollständiger Räume: (R, ), (C, ), (R n, ), (C[a, b], ) Beispiel für einen nicht vollständigen Raum: (C[a, b], 2 ) 14

8 Satz: Sind (a n ) und (b n ) zwei konvergente Folgen, so konvergieren auch die beiden Folgen (a n + b n ) und (λa n ) und es gelten Beweis: Sei a) lim n (a n + b n ) = lim n a n + lim n b n b) lim n (λa n )=λ lim n a n a := lim a n n b := lim b n n Teil a): Für n max{n 1 (ε/2),n 2 (ε/2)} gilt (a n + b n ) (a b) a n a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε Teil b): Für n N 1 (ε/ λ ) und λ 0gilt λa n λa = λ a n a < λ ε λ = ε Der Fall λ =0ist trivial 15 Konvergenzgeschwindigkeit: Definition: Die Folge (a n ) sei konvergent mit Grenzwert a a) Die Folge (a n ) heißt (mindestens) linear konvergent, falls eine Konstante 0 <C<1 und ein Index N N existiert mit: n N : a n+1 a C a n a b) Die Folge (a n ) heißt (mindestens) superlinear konvergent, falls eine nicht negative Nullfolge C n 0 mit lim n C n =0existiert, so dass n : a n+1 a C n a n a c) Die Folge (a n ) heißt konvergent mit der Ordnung (mindestens) p>1, falls eine nicht negative Konstante C 0 existiert, so dass n : a n+1 a C a n a p 16