1. Über stückweise lineare Zielfunktionen bei der Transportmethode

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1 Über stückweise lineare Zielfunktionen bei der Transportmethode Die Transportkosten entlang eines Transportweges sind stückweise linear, konkret, sie setzen sich aus drei linearen Teilstücken zusammen: Das erste Stück geht bis 100 Einheiten (x 1 ), das zweite Stück betrifft weitere 150 Einheiten (x 2 ), das dritte Stück ist unbeschränkt (x 3 ). Die Transporteinheitskosten für die Teilstücke sind wie folgt im Rahmen von drei Alternativen vorgegeben c 1 c 2 c 3 Alternative Alternative Alternative Formulieren Sie für jede der Alternativen Zielfunktion und Restriktionen, letztere redundanzfrei: Alternative 1: 2 Alternative 2: 3 Alternative 3: 4

2 Sensitivität der Transporteinheitskosten Das folgende klassische 3 4-Transportproblem ist gegeben Die Optimallösung lautet: Die Höhe der Transporteinheitskosten ist in Wirklichkeit natürlich nicht sicher. Deswegen soll hier die Frage untersucht werden, in welchen Bandbreiten jeder der c ij ceteris paribus variieren könnte, ohne daß sich die obige Optimallösung ändert. Tragen sie diese Bandbreiten für die c ij in die folgende Tabelle ein: c 11 c 12 c 13 c c 21 c 22 c 23 c 24 c 31 c 32 c 33 c 34

3 Zur Sanierung des Ungarischen Algorithmus Die worst case Komplexität des Ungarischen Algorithmus ist denkbar schlecht, wie sich aus folgendem Beispiel ergibt B M M = Sehr große positive Zahl M M B = Große positive Zahl 0 B M M M 0 M M M M Das soll im weiteren saniert werden! Wie wir von dem Beweisweg für die sog. MODI-Methode wissen, kann man zu einzelnen Zeilen und/oder Spalten Konstante addieren, ohne daß sich die Lage des Optimums ändert. Das obige Anfangstableau ist u.a. deshalb schlecht weil es nur zwei unabhängige Nullen hat. In diesem Fall ist es so, daß man durch geschicktes Hineinaddieren von Konstanten die Anzahl der unabhängigen Nullen so erhöhen kann, daß nach Abzug der Zeilenminima und nach Abzug der Spaltenminima vier unabhängige Nullen existieren und man nur noch eine Iteration bis zum Optimum benötigt. Rechnen Sie das unter Anwendung dieser Idee vor: B M M M 0 B M M M 0 M M M M 12

4 Minimale Kosten bei minimalem Bottleneck: K(BN) Ein Unternehmen hat 4 Betriebsstätten (B 1... B 4 ), in denen ein Produkt in folgenden Mengen hergestellt werden kann: B 1 B 2 B 3 B Es gibt 4 Nachfrager (N 1... N 4 ), die in der folgenden Periode voraussichtlich folgende Mengen nachfragen werden: N 1 N 2 N 3 N Die Transporteinheitskosten sind wie folgt gegeben: N 1 N 2 N 3 N 4 B B B B a) Geben Sie die kostenminimale Lösung und deren Kosten an: K min =... b) Die Nachfrager bestellen häufig sehr kurzfristig. Der Anbieter überlegt, ob es nicht günstiger ist, eine Lösung zu realisieren, die zwar mit höheren Transportkosten verbunden ist, dafür aber geringere Transport- = Lieferzeiten hat. Die Transporteinheitskosten sind in folgender Tabelle angegeben: 4 N 1 N 2 N 3 N 4 B B B B Tragen Sie die effizienten Lösungen in das folgende K/BN-Koordinatensystem ein und vermerken Sie neben den Lösungspunkten die zugehörigen Koordinaten. K/BN-Koordinatensystem siehe nächstes Blatt!

5 - 6 - K BN

6 Berechnung eines Minimum weight matching für einen Graphen mit gerader Knotenzahl Gegeben ist ein ungerichteter vollständiger Graph mit 8 Knoten. Die Kantengewichte sind in der folgenden Matrix gegeben: Zeichnen Sie in das folgende Knotengerüst das Minimum weight matching ein und geben Sie das Gewicht des Minimum weight matching an:...

7 Über untere und obere Schranken für das Optimum beim TS-Problem Das TS-Problem kann man bekanntlich nicht mit einem Differentialrechnungsalgorithmus lösen und folglich nicht die Optimalität mit den sog. Kuhn Tucker Bedingungen (=zulässige Lösung und erfüllte Vorzeichenbedingung für die Lagrange schen Variablen) überprüfen bzw. konstatieren. Dann stellt sich die Frage, ob man nicht irgendwie gute untere und obere Schranken für das Optimum berechnen kann, denn wenn beide Schranken (hinreichend) koinzidieren, hätte man ebenfalls das Optimum konstatiert. Eine untere Schranke erhält man z.b. durch die Lösung des TS-Problems als AS-Problem. Hinsichtlich einer oberen Schranke ist die Wissenschaft bisher nicht weiter vorgedrungen als zu folgender Aussage: Das Optimum ist kleiner/gleich dem arithmetischen Mittel über alle Elemente der Kostenmatrix, multipliziert mit n (=Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der Kostenmatrix). Dazu das folgende TS-Beispiel: Der durchschnittliche Kostenwert errechnet sich wie folgt: 78 / 12 = 6,5. Die obere Schranke hat also den Wert 4 6,5 = 26. Die optimale AS-Lösung hat einen Wert von 14. Es gelten also folgende Schranken: 14 TS opt 26. Obwohl die obere Schranke sehr schlecht ist, besteht hier die Aufgabe darin, diese Schranke (allgemein) zu beweisen: 8

8 Lösung eines unsymmetrischen TS-Problems Das folgende unsymmetrische 8x8-TS-Problem ist gegeben: A B C D E F G H B C D E F G H Markieren Sie die optimale Lösung und geben sie deren Zielwert an:...

9 Warum es sich i.a. nicht lohnt beim Absuchen von Orten nach einem Gegenstand unterschiedliche Existenzwahrscheinlichkeiten zu berücksichtigen Wenn man einen Gegenstand sucht, der sich an verschiedenen Orten befinden kann, so ist das prinzipiell ein TS-Problem. Wir unterstellen zunächst einmal, daß die Existenzwahrscheinlichkeit des Gegenstandes in jedem der Orte gleich hoch ist. Dann steigt die Wahrscheinlichkeit, den Gegenstand gefunden zu haben, im Prinzip linear mit der zurückgelegten Suchentfernung. Diese Suchfunktion ist im folgenden Koordinatensystem geometrisch dargestellt: 1 Wahrscheinlichkeit des Findens 4 0,5 TS opt Beim Suchen zurückgelegte Entfernung Nun ist es jedoch in aller Regel so, daß die Existenzwahrscheinlichkeit des Gegenstandes in jedem der Orte unterschiedlich hoch ist. Dann stellt sich die Frage, ob es sich lohnt, diese Existenzwahrscheinlichkeiten bei der Ermittlung der optimalen Such-Reihenfolge zu berücksichtigen. Zeichnen sie in das obige Koordinatensystem eine solche (kontinuierliche) Suchfunktion ein, die (teilweise) zu besseren Suchergebnissen führt. Begründen Sie, warum es kaum zu erwarten ist, daß die Berücksichtigung von Existenzwahrscheinlicheiten zum schnelleren Auffinden des Gegenstandes führt: 6

10 Zur Anzahl der Ganzzahligen Lösungen für ein Lineares Programm Ganzzahlige Lineare Programme werden der Kategorie - Restriktionen sind (von vornherein) nicht bekannt und - Menge der Alternativen ist (von vornherein) nicht bekannt zugeordnet. Daran könnte man Zweifel haben, wenn man ein zweidimensionales Beispiel betrachtet: Die Menge der ganzzahligen Lösungen läßt sich leicht enumerieren und diejenigen Restriktionen, die die konvexe Hülle bilden, sind auch relativ leicht anzugeben. Aber schon dreidimensional ist das alles anders. Dann ist bereits die Enumeration der Menge der zulässigen Lösungen (Alternativen) Knochenarbeit, worüber wir uns nunmehr für das folgende Lineare Programm eine Vorstellung verschaffen wollen Z max x 1 x 2 x 3 Rel RS = 0 Ermitteln Sie die Anzahl der ganzzahligen Lösungen mit dem ff. Enumerationsbaum: Enumerationsbaum siehe nächstes Blatt

11 x 1 = 0 x 1 = 1 x 1 = 2 x 1 = 3 x 1 = 4 10 x 2 = 0 x 2 = 1 x 2 = 2 x 2 = 3 x 2 = 4 x 2 = 5 x 3 = 0 x 3 = 1 x 3 = 2 x 3 = 3 x 3 = 4 Die Anzahl der ganzzahligen Lösungen beträgt:...

12 Über Isoquanten von (duovariablen) Zielfunktionen Betrachtet werden duovariable Zielfunktionen Z(x 1,x 2 ). a. Kann man aus der geometrischen Darstellung der Isoquanten (in der x1/x2-ebene) erkennen, ob die Zielfunktion konvex oder konkav ist? (Ja oder Nein, mit Begründung) 2 b. Erläutern Sie, warum jede Isoquante einer konvexen Zielfunktion ihrerseits ein konvexes Gebiet bildet (Empfehlung: Widerspruchsbeweis)! 4

13 Geometrische Veranschaulichung des Restriktionssystems bei binärer Optimierung Das fixed charge Problem ist ein Transportproblem, bei dem man es mit folgenden (extrem degressiven) Kostenfunktionen zu tun hat: K ij Kf ij Dieses Problem kann man mit einem binären Linearen Programm lösen. Die Zielfunktion lautet x ij Z min = i,j x ij Kf ij und die Restriktionen, pars pro toto für die Variablen x ij und x ij : x ij 0 x ij /M x ij (x ij 1) = 0 x ij Zeichnen Sie das Restriktionssystem für das Variablenpaar x ij und x ij in das folgende Koordinatensystem ein x ij x' ij Schraffieren Sie die unzulässigen Seiten und machen Sie die zulässigen Gebiete (Punkte, Strecken) kenntlich.