Anleitung zu Blatt 4 Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Department Mathemati der Universität Hamburg WiSe 2009/200 Dr. Hanna Peywand Kiani Anleitung zu Blatt 4 Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Reelle Zahlenreihen Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korretur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 Analysis I, WiSe 2009/200, Anleitung 4, ( Kiani) 2 Definition: Gegeben sei eine Zahlenfolge a 0, a, a 2,. Addiert man die Glieder dieser Folge nacheinander auf, so entsteht eine neue Folge: s 0 := a 0 s := a 0 +a s 2 := a 0 +a +a 2. s n := a 0 +a +a 2 + +a n = a. Die Folge (s n ) n N dieser Partialsummen wird (unendliche) Reihe genannt. Die a n heißen Glieder der Reihe. a Man sagt die Reihe onvergiert, genau dann, wenn die Folge s n onvergiert. Im falle der Konvergenz, heißt s := lim n s n = lim n a Grenzwert der Reihe BEISPIEL: GEOMETRISCHE REIHE Zur Erinnerung: für eine feste reelle Zahl q : a := q s n := lim n : geometrische Reihe q = +q +q 2 + +q n = qn+ q q = q q < Die geometrische Reihe onvergiert genau dann, wenn q <. (Beweis : erweitere mit ( q)) Reihen : spezielle Folgen! Konvergenzriterien für Folgen gelten hier genauso!! Es gibt aber noch einige pratische, spezielle Kriterien!! Konvergenzriterien für Reihen Notwendige Bedingung: Reicht das? NEIN!! lim a = 0.

3 Analysis I, WiSe 2009/200, Anleitung 4, ( Kiani) 3 BEISPIEL: HARMONISCHE REIHE a = lim a = 0 Aber für n = 2 m : s n = + ( ) ( ) + 8 ( + 2 m ) 2 m + ( ) ( ) ( ) m 2 m = (m ) MERKE: ) a 0 reicht also nicht! Die a müssen schnell genug gegen Null gehen! 2)Was am Anfang der Reihe passiert ist egal! Hauptsache für große geht es schnell genug gegen Null! Reihen mit a = (4/5) 2 bzw. b = /

4 Analysis I, WiSe 2009/200, Anleitung 4, ( Kiani) 4 Majoranten/Minoranten-Kriterium a b 0 und b onvergent = a onvergent b =: Majorante für a 0 b a 0 und b divergent = a divergent b =: Minorante für a häufig Majoranten q q < benutzte Minoranten q q > = r r > =

5 Analysis I, WiSe 2009/200, Anleitung 4, ( Kiani) 5 BEISPIEL : 2 s n := 3 + Für große : = Vermutung : divergent! Minorante =? = + < 2 Fazit : ABER: und = ann nicht diret als Minorante verwendet werden. = = = =2 = = = + = + = =2 + divergent divergent Minorante für BEISPIEL 2: s n := (3+sin()) 2 Für große verhalten sich die Summanden fast wie (/3) 2 Vermutung : Konvergenz, Majorante: Vielfaches von 2? Rechnung : vor Ort.

6 Analysis I, WiSe 2009/200, Anleitung 4, ( Kiani) 6 Quotientenriterium Version A) a + a q < groß genug = a + a q > groß genug = a onvergent. a divergent. Quotientenriterium Version B) lim a + < = absolute Konvergenz a = q > = Divergenz = =????? eine Aussage Wurzelriterium Version A) a q < groß genug = a q > groß genug = a onvergent. a divergent. Wurzelriterium Version B) < = absolute Konvergenz lim a = q > = Divergenz = =????? eine Aussage Faustregel : Quotienten bzw. Wurzelriterium oft (nicht immer!) bei Faultäten und Exponentialfuntionenhilfreich! Nicht anwendbar, wenn die a nur polynomial fallen!

7 Analysis I, WiSe 2009/200, Anleitung 4, ( Kiani) 7 BEISPIEL 3: = 2 5 Alternative i) geometrische Reihe = 2 5 = = [ = 5 + ] 2 = = 0 3 Alternative ii) Quotientenriterium a + a = 2 =: q < = abs. onvergent. 5 Alternative iii) Wurzelriterium lim a = 2 5 lim 2 5 = = abs. onvergent. 5 BEISPIEL 4: 5 = onvergiert nach dem Majorantenriterium. Majorante. 4 = Keine Chance mit Quotienten bzw. Wurzelriterium : Ausdrüce wachsen/fallen polynomial! ( + ) a + a = ( +) 5 lim a + a = 5 =. ( ) 5 ( = )( ) 5 + +

8 Analysis I, WiSe 2009/200, Anleitung 4, ( Kiani) 8 Leibniz-Regel: Eine alternierende Reihe s n = ( ) a a 0 mit a monoton fallend, lim a = 0 onvergiert. Es gilt die Einschließung: 2n s 2n = ( ) a s := ( ) a s 2n = sowie die folgende Schrane für den Abbruchfehler Veanschaulichung : vor Ort! s s n a n+ BEISPIEL 5: Alternierende harmonische Reihe ( ) + Es gelten: = a = > 0, lim a = 0, a + = + < = a Die Reihe onvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. 2 ( ) a Alternierende Harmonische Reihe 0.8 s n ( ) n+ a n n

9 Analysis I, WiSe 2009/200, Anleitung 4, ( Kiani) 9 Auswahl eines geeigneten Kriteriums: Finde die bestimmenden Terme : i.d.r. die betragsmäßig am schnellsten wachsenden Terme aus Zähler und Nenner. Unterscheide A) a geht polynomial gegen Null, wie r, r > 3 ( ) Beispiel: 4 + O 6 B) a geht exponentiell gegen Null, wie q, q <!, 2 C) a geht höchstens wie gegen Null, wie ln(), ln()+2, ( ) Wähle geeignetes Konvergenzriterium. a geht exponentiell polynomial höchstens gegen Null wie wie q, q < r > r Beispiele a = 2 5 a = ( ) 4 + a = a = e 2 a = ( ) e! a = ln()+ a = 4 4 a = (3 +sin()) 2 passende Wurzel- und Evtl. Majorante evtl. Leibniz Kriterien Quotientenriterium m,m > für Konvergenz evtl. oder bzw. Majorante Leibniz Minorante q, q <

10 Analysis I, WiSe 2009/200, Anleitung 4, ( Kiani) 0 Beispiele : ( ) a) ( +)(+2)(+3) (Klausur 2003) b) c) e) e 2 (Klausur 2000) ( ) 2 +3 (Klausur 2003) 3 +2 ( 2 ) 2 (Klausur 2000) f) Es gilt sin(x) = ( ) x 2+ (2 +)! (Beweis: später) Berechnen Sie (ohne Taschenrechner) eine Näherung T() von sin() mit einem gesicherten absoluten Fehler von höchstens 0 3. D.h.: T() sin() 0 3

11 Analysis I, WiSe 2009/200, Anleitung 4, ( Kiani) Zur Erzeugung des Bildes auf der Seite 3 Matlab aufrufen und in der Kopfzeile unter current directory ein Verzeichnis wählen. Falls es ein bisher nicht genutztes Verzeichnis seien soll: rechts neben dem Eingabefeld das Feld mit... anlicen und Verzeichnis wählen. Im Command window ganz oben lins licen: file new Blan m- file (oder function m-file) Es erscheint ein neues (Editor-) Fenster. Hier Befehle tippen (z.b.) function reihea (nmax) axis ([0 nmax ]) % x bzw. y Bereich im Bild s=zeros (,nmax); % Vetoren s, s2 und a der Länge s2=zeros (,nmax); % nmax werden angelegt. Komponenten a=zeros (,nmax); % werden = 0 gesetzt a()=; % erstes Folgeglied s()=; s2()=; % erste Partialsumme hold on % Zeichenpapier wird festgehalten for =2::nmax; a()=a(-)*4/5; % Berechnung des nächsten Folgeglieds s()=s(-)+/; % Summation harm. Reihe s2()=s2(-)+a(); % Summation des neuen Folgeglieds end plot (s, r* ) % druct für jedes Folgeglied einen roten Stern % mit Koordinaten (n,a_n) plot (s2, b- ) % druct für jede Partialsumme einen blauen Punt % mit Koordinaten (n,a_n) das Ganze abspeichern unter (z.b.) reiha.m zum Matlab command window wechseln Hier eingeben (z.b.:) >> reihea(50)