GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

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1 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 9 Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P O M U K - G Y M N A S I U M

2 Die Menge der reellen Zahlen Quadratwurzel Die Quadratwurzel ist die nicht-negative Lösung der Gleichung x² = a, für a 0 a heißt Radikand Quadratwurzeln können rational ( ), oder irrational ( ), also nur als unendlich nicht-periodische Dezimalzahl darstellbar, sein. Die Menge der reellen Zahlen umfasst alle rationalen und irrationalen Zahlen. Rechnen mit Quadratwurzeln Teilweise radizieren: Unter die Wurzel ziehen: Seite von

3 Nenner rational machen: Potenzen mit rationalen Exponeneten ist die nicht-negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt (a 0), bzw. die Lösung der Gleichung: heißt n-te Wurzel von a. x 8 hat die eine Lösung x 8 (nicht 8 ) x 4 65 hat zwei L. 4 x, 65 5 Für positive Basis a definiert man: ( 8) Seite von

4 Binomische Formeln (a + b) = a + ab + b (c + 7) = c 4 + 4c + 49 (a b) = a ab + b ( a x) = a x + a 4 x (a + b) (a b) = a b (f g)(f + g) = 4f 9g Quadratische Gleichungen Eine Gleichung der Form ax bx c 0; a 0 nennt man quadratische Gleichung. Für die Lösungen der quadratischen Gleichung gilt: x, b b 4ac a z.b.: x x + = 0; a =, b =, c = L ={;,5} Der Ausdruck b 4ac wird als Diskriminante D bezeichnet. Die quadratische Gleichung hat für D > 0 genau zwei Lösungen für D = 0 genau eine Lösung für D < 0 keine Lösung Seite 4 von

5 Satz von Vieta: Sind x und x Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form x + px + q = 0, dann gilt: x + x = - p und x x = q x² - x 6 = 0 x = - und x = ; damit gilt faktorisiert: x² - x 6 = (x + ) (x - ) Biquadratische Gleichungen: Gleichungen der Form ax 4 bx ² c 0 heißen biquadratisch: x 4 + x = 0 Substitution ( x² = u) liefert: u + u = 0 u =, u = - Resubstitution x² = und x² = - liefern: x =, x = -, x, 4 ohne Wert Lineare Gleichungssysteme mit Unbekannten Ein LGS mit drei Gleichungen/Unbekannten kann man lösen, indem man es auf ein System mit zwei Gleichungen/Unbekannten zurückführt. I x + y + z = 6 II x - y + z = y = x + z - III -x + y - z = - in I: 5x + 5z = 8 in III: -x z = - damit entsteht ein LGS mit zwei Gleichungen/Unbekannten, welches mit den bekannten Verfahren gelöst werden kann, um anschließend die dritte Unbekannte zu finden (hier L = {}) Seite 5 von

6 Quadratische Funktionen Parabeln Der Graph der Funktion y ax bx c heißt Parabel. y = x y = (x-) Die Gleichung der Normalparabel lautet y x. y = x - Verschiebung/Streckung Verschiebung der Normalparabel um k in x-richtung: y = (x k)²; Scheitel S (k / 0); (x )² Verschiebung nach rechts! Verschiebung der Normalparabel um q in y-richtung: y = x² + q; Scheitel S (0 / q); x² - Verschiebung nach unten! Kombination: y = (x k)² + q; S (k / q) Streckung der Normalparabel: y = ax² für a > ist der Graph schmäler, für 0 < a < breiter; für a < 0 nach unten geöffnet. Quadratische Ergänzung: x² + 4x 6 = (x² + x ) = (x² + x + - ) = (x² + x + - ) = (x + )² - 8; S (- / -8) Seite 6 von

7 Zusammengesetzte Zufallsexperimente Zufallsexperimente Zufallsexperimente, bestehend aus mehreren (n) Teilexperimenten heißen zusammengesetzte Zufallsexperimente; Die Ergebnisse werden als n-tupel geschrieben, welche die Pfade in einem Baumdiagramm darstellen. Bsp.: Gegeben ist eine Urne mit schwarzen und weißen Kugeln; man zieht zweimal hintereinander ohne Zurücklegen. Seite 7 von

8 Pfadregeln. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Baumpfades. P ({S,W}) =. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich aus der Summe der zum Ereignis gehörenden Pfadwahrscheinlichkeiten. P ( genau eine Kugel ist schwarz ) = 4 Das rechtwinklige Dreieck Die Satzgruppe des Pythagoras C b h a A q c p B Seite 8 von

9 Hypotenusensatz (Satz des Pythagoras): In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate. (Die Umkehrung des Satzes gilt auch!) Höhensatz: Kathetensätze: a b c In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. h p q In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes Kathetenquadrat flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt. Merkenswerte Anwendungen: Diagonale im Quadrat: Höhe im gleichseitigen Dreieck: Raumdiagonale im Quader: a c p bzw. b cq Seite 9 von

10 Trigonometrie (0 < α < 90 ) Sinus: Kosinus: Tangens: Gegenkathete von sin Hypotenuse Ankathete von cos Hypotenuse Gegenkathete von tan Ankathete von sin(90 ) cos cos(90 ) sin sin tan cos sin cos Schreibweise: sin : sin sin 0 cos 0 tan 0 nicht definiert Seite 0 von

11 5 Raumgeometrie Cavalierisches Prinzip Stehen zwei Körper gleicher Höhe und gleichen Grundflächeninhalts auf einer Ebene E und werden sie von jeder Parallelebene in inhaltsgleichen Flächen geschnitten, haben sie das gleiche Volumen. Pyramide Spitze S Seitenkante Seitenfläche (Dreieck) Grundfläche G (Vieleck hier Sechseck) Höhe h: Lot von der Spitze auf die Grundebene. Mantelfläche: Summe aller Seitenflächen Volumen: Tetraeder: V G h dreiseitige Pyramide mit gleich langen Kanten. Seite von

12 Neigungswinkel β einer Geraden gegenüber einer Ebene (hier Seitenkante s und Grundflächen-ebene) Neigungswinkel α einer Ebene gegenüber einer Ebene (hier Seitenflächen- und Grundflächen-ebene) Prisma Volumen V G h Oberfläche: O M G Zylinder Volumen V G h r h Mantelfläche: M u Kreis h r h Oberfläche: O M G rh r Seite von

13 Kegel Volumen: V G h r h s Netze r Die Mantelfläche ist ein Kreissektor mit dem Radius s (Mantellinie) und der Bogenlänge r Mantelfläche M rs. Oberfläche: O M G rs r Pyramidennetz Prismanetz Seite von