Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung

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1 INSTITUT FÜR INFORMATIONSVERARBEITUNG UNIVERSITÄT HANNOVER Appelstraße 9A 3067 Hannover Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung Datum: Uhrzeit: 09:00 Uhr Zeitdauer: Stunden Hilfsmittel: Formelsammlung wird gestellt), Taschenrechner nicht programmiert) eine DIN A4-Seite mit beliebigem Text oder Formeln beidseitig) Anzahl der Blätter: 6 einschließlich Deckblatt) Name: Matrikelnummer: Aufgabe 3 4 Summe Punkte Bewertung: Es können nur Ergebnisse und Aufgabenteile berücksichtigt werden, die nachvollziehbar bzw. begründet sind. Jedes abzugebende Blatt ist mit Namen und Matrikelnummer zu kennzeichnen. Bitte nicht mit Bleistift oder Rotstift schreiben!

2 Aufgabe : Punkte) Das System Hz) wird durch folgende Differenzengleichung beschrieben: yn) = xn) 3 xn ) xn ) + yn ) a) Handelt es sich um ein FIR- oder IIR-System? Begründen Sie Ihre Antwort. Zeichnen Sie den Signalflussgraph des Systems in Direkte Form II. 3) b) Geben Sie die Systemfunktion Hz) an. 3) c) Zeichnen Sie das Pol-Nullstellen-Diagramm von Hz). ) d) Bestimmen Sie den Konvergenzbereich von Hz). ) e) Prüfen Sie die Kausalität, Stabilität und Minimalphasigkeit des Systems. 3) f) Berechnen Sie die Impulsantwort hn) des Systems. 4) g) Das System Hz) soll in zwei Systeme H min z) und H all z) zerlegt werden, wobei H min z) minimalphasig und H all z) ein Allpass ist. Bestimmen Sie die Systemfunktionen H min z) und H all z). 4)

3 Aufgabe : 7 Punkte) Gegeben ist die Impulsantwort eines nichtrekursiven Systems hn) und die Eingangsfolge xn): hn) = δn) + δn 3) xn) = sin π n), n = 0,,..., 5 Das System soll mit Hilfe der zirkularen Faltung realisiert werden. Dazu soll die Ausgangsfolge y z n) = xn) hn) unter Verwendung der Diskreten Fourier-Transformation DFT) berechnet werden. Es wird dabei eine Transformationslänge der DFT von N=6 gewählt. a) Welche Symmetrie-Eigenschaften besitzt die Diskrete Fourier-Transformierte Xk). 3) b) Berechnen Sie die Diskreten Fourier-Transformierten Xk), Hk) und Y z k). Geben Sie dabei Xk), Hk) und Y z k) in rein reeller Form an. 0) c) Berechnen Sie die Ausgangsfolge y z n) aus Y z k). 3) d) Sie wollen die DFT mit einem schnellen Algorithmus FFT) realisieren. Würden Sie dann die Länge N=6 wählen? Wenn ja, begründen Sie Ihre Antwort, wenn nein, geben Sie eine Länge an, die zu minimalem Rechenaufwand führt. Geben Sie den Rechenaufwand der DFT und der FFT für die FFT geeignete Länge an. 3) Das System soll nun mit Hilfe der linearen Faltung realisiert werden. e) Berechnen Sie y l n) = xn) hn). 4) f) Vergleichen Sie die Werte von y z n) mit den Werte von y l n). Begründen Sie die Unterschiede zwischen den Folgen. ) g) Wie groß muß die Transformationslänge N mindestens gewählt werden, damit das Ergebnis der zirkularen Faltung mit dem Ergebnis der linearen Faltung übereinstimmt? ) 3

4 Aufgabe 3: 8 Punkte) I. Gegeben ist ein bandbegrenztes Signal xt) = 5e jω 0t + 0e jω t + e jω t wobei Ω 0 = 000π Hz, Ω = 6000π Hz, Ω = 6000π Hz a) Das Signal wird abgetastet. Wie hoch muss die Abtastfrequenz gewählt werden, um Aliasing zu verhindern? ) b) Ein analoges Tiefpassfilter besitzt die Übertragungsfunktion HjΩ) = + jω α α > 0 Welchen Wert muss α annehmen, wenn die 3dB-Grenzfrequenz 4 khz ist. 5) HjΩ) 3 db 4 Ω π [khz] c) Das Signal xt) wird mit dem Tiefpass aus b) gefiltert. Berechnen Sie die Amplitude der drei Schwingungen am Ausgang des Tiefpassfilters. 6) II. Gegeben sei ein reelles digitales kausales nichtrekursives System Hz) mit folgenden Eigenschaften: Konstante Signale werden vollständig unterdrückt. Signale mit halben Abtastfrequenz werden ebenfalls vollständig unterdrückt. Das System hat Bandpasscharakteristik und zwei Nullstellen. Der Betrag der maximalen Verstärkung des Systems ist. a) Geben Sie die Systemfunktion Hz) und die Impulsantwort hn) an. ) b) Geben Sie die Differenzengleichung an. ) c) Ist das System linearphasig? Begründen Sie Ihre Antwort. ) 4

5 Aufgabe 4: 4 Punkte) Gegeben ist das Spektrum eines kontinuierlichen Signals x c t). X c jω) 4 4 Das Signal wird mit der Abtastfrequenz von f A = 8kHz abgetastet. Ω π [khz] a) Entsteht Aliasing durch die Abtastung? Skizzieren Sie das Spektrum Xe jω ) des abgetasteten Signals xn). 3) b) Um den Hochpassanteil des abgetasteten Signals xn) im Frequenzbereich von 3kHz f 4kHz zu gewinnen, wird ein Hochpassfilter eingesetzt. Skizzieren Sie den Betragsfrequenzgang des dazu geeigneten idealen Hochpassfilters H ideal e jω ). Skizzieren den Betragsfrequenzgang des Hochpaßsignalanteils von xn), wenn das ideale Hochpassfilter H ideal e jω ) verwendet wird. 4) In der Praxis ist das ideale Hochpassfilter nicht realisierbar, da die Impulsantwort unendlich lang ist. Näherungsweise soll das Hochpassfilter das unten skizzierte Toleranzschema für H HP e jω ) mit folgenden Zahlenwerten erfüllen: ω,hp = 0.7π ω,hp = 0.8π σ D,HP = 0.07 σ S,HP = 0. H HP e jω ) σ D,HP σ S,HP ω,hp ω,hp Das Hochpassfilter-Entwurfsproblem wird in ein Tiefpassfilter-Entwurfsproblem durch Verschiebung entlang der Frequenzachse transformiert: H HP e jω π) ) = H T P e jω ) π π ω c) Geben Sie die Eckfrequenzen des Durchlassbereichs ω,t P und des Sperrbereichs ω,t P des entsprechenden digitalen Tiefpassfilters H T P e jω ) an. Skizzieren Sie das Toleranzschema für H T P e jω ). 5) 5

6 d) Um das digitale Tiefpassfilter zu entwerfen wird zuerst ein analoges Tiefpassfilter entworfen. Danach wird das digitale Tiefpassfilter aus dem analogen Tiefpassfilter mit Hilfe der Bilinear-Transformation gewonnen. Die Abtastfrequenz ist wie zuvor 8kHz. Geben Sie die Eckfrequenzen des Durchlassbereichs Ω,T P und des Sperrbereichs Ω,T P des entsprechenden analogen Tiefpassfilters H T P jω) an. 4) e) Ein Butterworth-Filter ist mathematisch beschrieben: HjΩ) = + ) n Ω : Grenzfrequenz n: Filterordnung Geben Sie die Filterordnung für eine Realisierung des analogen Tiefpassfilters durch ein Butterworth-Filter an. 8) 6

7 Aufgabe : Lösung Herbst 006 a) Es handelt sich um ein IIR-System, da die Differenzengleichung eine Rekursionsgleichung ist. xn) yn) z z 3 b) Hz) = z ) + z ) z = z )z + ) zz ) Im{z} j / / Re{z} c) j d) Konvergenzbereich von Hz): z > e) Hz) ist kausal, da Nennergrad = Zählergrad. Hz) ist stabil, da Pole im Einheitkreis liegen. Die Nullstelle z o, = liegt außerhalb des Einheitkreises. Deshalb ist Hz) nicht stabil. Daraus folgt, dass Hz) nicht minimalphasig ist. f) g) Hz) = 3 z z = z ) n hn) = un) 3 3 z ) n un ) z z z H min z) = z + ) = + z z H all z) = z z z ) n un )

8 Aufgabe : Lösung Herbst 006 a) xn) = {0,, 0,, 0, } xn) = xn n) xn) gerade Xk) gerade b) c) Xk) = 5 n=0 xn)w kn 6 W 6 = e j π 6 = W k 6 W 3k 6 + W 5k 6 = W k 6 + W k 6 ) k = cos kπ 3 ) )k Xk) = {,,,,, } 5 Hk) = hn)w6 kn = + W6 3k = + ) k n=0 Hk) = {, 0,, 0,, 0} Y z k) = Xk)Hk) Y z k) = {, 0, 4, 0, 4, 0} y z n) = 6 5 k=0 Y z k)w kn 6 = n 4W6 4W6 4n ) = cosnπ 3 )) y z n) = {,,,,, } d) Nein, N = m N = 8. Rechenaufwand: DFT: N = 8 komplexe Multiplikationen und Additionen FFT: NldN = 48 komplexe Multiplikationen und Additionen e) y l n) = xn) hn) y l n) = {0,, 0,,,,, 0, } f) Die letzten L-P+) Werte von y z n), also n = 3, 4, 5, stimmen überein L: Länge von xn), P: Länge von hn)). Unterschiede wegen Aliasing g) N L + P ) N 9

9 Aufgabe 3: Lösung Herbst 006 I. a) f Abtast f Signal f Abtast > 6kHz. b) Beim 3dB-Grenzfrequenz Ω G : HjΩ G ) = HjΩ G ) = HjΩ G )H jω G ) = + Ω G α = α = Ω G = 8000πHz c) Hj000π) = Y j000π) = 5 Hj000π) = /8000) Hj6000π) = Y j6000π) = 0 Hj6000π) = /8000) Hj6000π) = Y j6000π) = Hj6000π) = /8000) II. a) Konstante Signale werden vollständig unterdrückt Hz = e j0 ) = 0. Signale mit halben Abtastfrequenz werden ebenfalls vollständig unterdrückt Hz = e jπ ) = 0. Das System hat zwei Nullstellen z o, = und z o, = Hz) = Az )z + ) = Az ). Das System ist ein reelles digitales kausales nichtrekursives System Hz) = A z ) Das System hat Bandpasscharakteristik und der Betrag der maximalen Verstärkung des Systems ist. Hω max ) = Hω = π/) = A j ) = A = ±. Hz) = ± z ) hn) = ±δn) δn )) b) yn) = ±xn) xn )) c) He jω ) = ± e jω ) = ± sin ω e jω das System ist linearphasig 3

10 Aufgabe 4: Lösung Herbst 006 a) Nein, kein Aliasing entsteht durch Abtastung. Xe jω ) π π π π 3π ω H ideal e jω ) π 3π 4 π π 3π ω X HP e jω ) π π π π 3π ω b) c) ω,t P = π ω,hp = 0.π ω,t P = π ω,hp = 0.3π σ D,T P = σ D,HP = 0.07 σ S,T P = σ S,HP = 0. H T P e jω ) σ D,HP σ S,HP ω,t P ω,t P π ω d) Ω,T P = T tan ω,t P ) = 6000 tan0.π) = 87.73Hz Ω,T P = T tan ω,t P ) = 6000 tan0.5π) = 3.59Hz e) Butterworth-Filter: HjΩ) = + ) n Ω : Grenzfrequenz, n : Ordnung) 4

11 Abweichung im Durchlassbereich: σ D ) HjΩ,T P ) = + Ω,T P ) n Ω,T P ) n ) σ D ) Abweichung im Sperrbereich HjΩ,T P ) = + Ω,T P ) n σ S Ω,T P ) n σ S ) ) n ) ) Ω,T P Ω,T P n log σ S σ D ) σs σ D) σ S σ D σd log ω =,T P ω,t P Ω,T P Ω,T P ) n log 5.75 log σ S σ D) σ S σ D σ D = n = 8 =