Schlau gewinnt und wir zeigen wie! Einführung in die Spieltheorie

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1 Computer-Supported Learning Research Group Prof. Dr. U. Schroeder RWTH Aachen Schlau gewinnt und wir zeigen wie! Einführung in die Spieltheorie Ein Modul für das Schülerlabor Informatik - InfoSphere- an der RWTH Aachen Verfasser: Kurz-Info: Informatischer Inhalt: Spieltheorie Christian Tetz Julian Schürkes Frank Weidler Jahrgangsstufe: Q1 bis Q2 Vorwissen: Java-Kenntnisse, Matrizen

2 Kurzinformation für die Lehrkraft Titel: Schlau gewinnt und wir zeigen wie! Einführung in die Spieltheorie Schulstufe: Oberstufe optimale Jahrgangsstufe: Q1-Q2 Themenbereich: Lösungskonzepte der Spieltheorie wie bspw. Nash-Gleichgewicht, Min-Max-Algorithmus; ein Teilbereich der theoretischen Informatik. EINORDNUNG IN GESETZLICHE RAHMENBEDINGUNGEN Lehrplan NRW: Konzepte des objektorientierten Modellierens als zielgerichtetes Vereinfachen und strukturiertes Darstellen der Wirklichkeit am Beispiel von einfachen Spielen. Die Darstellungen erfordern zum Teil Baumstrukturen, die den Bereich Datenstrukturen tangieren. Ebenso werden Methoden in vordefinierten Klassen implementiert. Bildungsstandards der GI: Die Schülerinnen und Schüler (SuS) können mit Hilfe von verschiedenen Darstellungsformen die spieltheoretischen Problemstellungen modellieren und analysieren, wie es im Prozessbereich Darstellen und Interpretieren gefordert wird. Darüber hinaus werden Algorithmen zur Lösung von Problemen erarbeitet und getestet. Einbindung in den Unterricht: Als Ausblick nach dem Erwerb von Java-Grundlagen in die Welt der theoretischen Informatik. Vorkenntnisse: Java Programmierkenntnisse (Variablen, Schleifen und Abfragen, Arrays), das mathematische Konstrukt der Matrizen kennen (keine weiteren Kenntnisse wie bspw. Gaußverfahren erforderlich) Dauer: 4 Stunden Inhaltsbeschreibung: In diesem Modul lernen die SuS anhand von vielen kleinen Problemen die grundlegenden Konzepte der Spieltheorie kennen und wenden diese direkt an. Dabei werden unter anderem die Themen wie das Nash-Gleichgewicht und die Dominanz an einfachen Alltagsproblemen oder Spielen erschlossen. Zum Ende werden die erlernten Strategien und Konzepte auf ein komplexeres Problem, wie Tic Tac Toe angewandt. So entwickeln die SuS nach und nach ein Gefühl, wie man an solche Probleme herangehen und einzelne erlernte Strategien miteinander verknüpfen kann, um somit auch ein Problem, das mit einer Strategie alleine nicht lösbar wäre, zu bewältigen. Seite 1

3 LERNZIELE Die SuS sollen einen allgemeinen Einblick in die Spieltheorie erhalten und zwischen den verschiedenen Arten unterscheiden können. Die SuS sollen verschiedene Lösungskonzepte verstehen und eine Auswahl dieser, wie beispielsweise das Nash-Gleichgewicht, Dominanz etc. anwenden können. Die SuS sollen die Darstellungsformen extensiv und Normalform von Spielen differenzieren können. Die SuS sollen einen Einblick in die verschiedenen Informationsarten, auf denen die Lösungskonzepte aufbauen, bekommen. Die SuS können verschiedene Lösungskonzepte verknüpfen, um komplexere Probleme zu lösen. FACHLICHE ANALYSE In diesem Modul werden die unterschiedlichen Lösungskonzepte der Spieltheorie (Nash-Gleichgewicht, Dominanz, Minimax-Algorithmus) behandelt und die unterschiedlichen Arten der Spieltheorie (2-Personen- Nullsummenspiel, nicht-kooperative Spieltheorie) behandelt. Mit Hilfe des Verständnisses für Strategien werden kleine Java-Programme geschrieben, die zum einen Vertiefungscharakter haben und zum anderen aufzeigen wie Probleme automatisiert abgehandelt werden können. 2-Personen-Nullsummenspiel: Nullsummenspiele beschreiben in der Spieltheorie Situationen, also Spiele im verallgemeinerten Sinne, bei denen die Summe der Gewinne und Verluste aller Spieler zusammengenommen gleich null ist. Alle Strategiespiele für zwei Spieler, bei denen es im Ergebnis nur auf Sieg, Unentschieden und Verlust ankommt, kann man als Nullsummenspiele auffassen, wenn man einen Sieg mit +1 Punkt, ein Unentschieden mit 0 Punkten und einen Verlust mit -1 Punkt wertet. Am Ende eines solchen Spiels ist die Summe immer null (A gewinnt und B verliert: 1+(-1) = 0; oder unentschieden: 0+0 = 0; oder A verliert und B gewinnt: -1+1 = 0). Nash-Gleichgewicht: Das Nash-Gleichgewicht ist ein zentraler Begriff der mathematischen Spieltheorie. Es beschreibt in nichtkooperativen Spielen eine Kombination von Strategien, eine für jeden Spieler, von der ausgehend kein einzelner Spieler für sich einen Vorteil erzielen kann, indem er einseitig von seiner Strategie abweicht. In einem Nash-Gleichgewicht bereut daher kein Spieler seine Strategiewahl. Die Strategien der Spieler sind wechselseitig beste Antworten. Dominanz: Eine Strategie dominiert eine Andere strikt, wenn ihre Auszahlung (z.b. 1 für gewinnen und -1 für verlieren) IMMER besser ist als die der Anderen. Dominiert eine Strategie die andere schwach, dann ist die Auszahlung IMMER besser oder gleich groß. Minimax-Algorithmus: Der Minimax-Algorithmus ist ein Algorithmus zur Ermittlung der optimalen Spielstrategie für endliche Zwei- Personen-Nullsummenspiele. Eine mit dem Minimax-Algorithmus berechnete Strategie wird Minimax- Strategie genannt. Sie sichert dem betreffenden Spieler den höchstmöglichen Gewinn, der unabhängig von der Spielweise des Gegners zu erzielen ist. Das aus den Minimax-Strategien beider Spieler gebildete Strategie-Paar bildet ein Nash-Gleichgewicht. Bei Nicht-Nullsummenspielen, bei denen die Niederlage des Gegners nicht Seite 2

4 zwangsläufig mit dem eigenen Gewinn zusammenfällt, liefert der Minimax-Algorithmus nicht unbedingt eine optimale Strategie. Nicht-kooperative Spieltheorie: Die Spieler können keine bindenden Verträge abschließen oder sich absprechen. EINORDNUNG IN GESETZLICHE RAHMENBEDINGUNGEN LEHRPLAN INFORMATIK Sind im Unterricht einmal Algorithmen und Datenstrukturen behandelt und ist Java als Programmiersprache erlernt worden, bietet sich dieses Modul gut an, dieses Wissen hier in einem Bereich der Spieltheorie anzuwenden und zu vertiefen. Spiele werden von ihrer Problematik her logisch zerlegt, analysiert und in verschiedenen Darstellungsformen beschrieben. Nach dem Erarbeiten eines Lösungsalgorithmus, wird dieser von den SuS in der Programmiersprache Java implementiert. VORGABEN ZUM ZENTRALABITUR In diesem Modul werden grundlegende Strategien wie beispielsweise Dominanz und das Nash-Gleichgewicht verwendet, um Spielsituationen zum bestmöglichen eigenen Nutzen zu verändern. Diese Strategien werden theoretisch erläutert und sollen an kleinen Beispielen programmiert werden. Damit das gelingt sind Kenntnisse aus dem Bereich I.1 "Konzepte des objektorientierten Modellierens" zwingend erforderlich. Gleichzeitig vertiefen die Programmierübungen auch die Fertigkeiten dort. Abstrakte Theorien werden immer leichter verständlich, wenn sie veranschaulicht werden. So werden auch hier die Lösungsstrategien auf Basis von Grundinformationen, die aus der Spielsituation heraus entnommen werden, in Form von Bäumen, Graphen oder Diagrammen dargestellt. Dabei steht das "Lesen" und die Interpretation der Bäume etc. im Vordergrund. Die SuS sind damit zusätzlich auch selbst in der Lage diese aufzustellen. Durch dieses erworbene Verständnis können dann Lösungswege erkannt und analysiert werden, um im Anschluss daran die wie oben bereits erwähnte beste Möglichkeit auszuwählen. Durch die Verwendung von Graphen und Bäumen kann hier eine weitere Einordnung in den Bereich I.2 "Datenstrukturen" vorgenommen werden. Die Möglichkeit, mit verschiedenen Strategien manchmal zum selben Ziel zu gelangen, kann unter anderem dem besseren Verständnis der verschiedenen Möglichkeiten von Suchalgorithmen dienlich sein. Zuletzt finden sich in diesem Model auch Inhalte aus dem Bereich III "Endliche Automaten und formale Sprachen" wieder. Die SuS arbeiten in manchen Fällen auch mit Entscheidungsbäumen, deren grundlegendes Prinzip dem eines nichtdeterministischen Automaten gleich kommt, in denen für jeden Zustand eine richtige Entscheidung gefällt werden muss. BENÖTIGTE UNTERRICHTLICHE VORAUSSETZUNGEN Java Programmierkenntnisse (Variablen, Schleifen und Abfragen, Arrays) das mathematische Konstrukt der Matrizen (keine weiteren Kenntnisse wie bspw. Gaußverfahren erforderlich) EINBETTUNG IN DEN SCHULUNTERRICHT Dieses Modul eignet sich vertiefend auf die bereits gelernte Programmiersprache Java aufzusetzen. Es werden dabei nur grundlegende programmiertechnische Elemente verwendet wie Variablen Deklarationen, Schleifen, Seite 3

5 Kontrollstrukturen und Datenstrukturen wie Arrays. Kenntnisse zur Objektorientierung werden nicht benötigt. Im Folgenden sind hier nun Anregungen zur Wiederholung der verwendeten Fertigkeiten sowie Aufgaben angegeben. DIDAKTISCH/METHODISCHE SCHWERPUNKTSETZUNG Beschreibung: Das Modul ist in drei Phasen (Einstieg, Mini-Spiele und Abschluss) aufgeteilt. Zu Beginn wird das Einstiegsspiel 3D-Tic-Tac-Toe in Zweiergruppen gespielt, damit die SuS spielerisch an das Thema herangeführt werden und einen kurzen Einblick bekommen. Anschließend folgt eine Phase, in der die SuS grundlegende Strategien in Mini-Spielen erlernen und anwenden. In kurzen Präsentationen wird Theoriewissen erläutert und mit Hilfe dessen anschließend Aufgaben zu dieser Strategie bearbeitet werden. Da die Präsentationen den SuS in einem Moodle-Kurs zur Verfügung stehen, ist es möglich, dass die SuS in einem unterschiedlichen Lerntempo arbeiten können. Durch die Unabhängigkeit der einzelnen Mini-Spiele können die Unterschiede des Lerntempos aufgefangen werden. Das Modul wird von der Programmierung einer KI des Spiels Tic-Tac-Toe abgeschlossen. Dort werden die Strategien der Mini-Spiele aufgegriffen. Somit können die SuS ihr erlerntes Wissen anwenden und kombinieren, um ein komplexeres Problem zu lösen. Einstieg: Die SuS spielen in Zweiergruppen das Online-Spiel 3D-Tic-Tac-Toe gegeneinander. Einer spielt mit einer Anleitung, in der die perfekte Strategie beschrieben wird, der Andere spielt hingegen ohne Anleitung. Dabei sollen die SuS an das Thema herangeführt werden und schon einmal den Sinn und Nutzen von Spielstrategien erkennen, da der Spieler mit Anleitung besser abschneidet. Mini-Spiele: Die SuS lernen in vier Minispielen einige Lösungsstrategien der Spieltheorie (Nash-Gleichgewicht, Dominanz, Minimax-Algorithmus). 1. Schnick-Schnack-Schnuck mit Brunnen: In diesem Spiel sollen die SuS das Prinzip der Dominanz erlernen. Zuerst sollen sie eine Spielmatrix aufstellen und anhand dieser erkennen, ob ein Element ein anderes Element dominiert. Dadurch sollen die SuS sich eigene Gedanken zum Thema Dominanz machen und werden gleichzeitig auf die Programmieraufgabe vorbereitet, da sie die einzelnen Elemente vergleichen, so wie es im Code später auch umgesetzt wird. Anschließend erstellen die SuS unter Anleitung ein Programm, mit dem man jede Spielmatrix auf Dominanz untersuchen kann. Die Anleitung ist in mehrere Teilaufgaben aufgeteilt, damit die SuS immer genau wissen, was sie wo machen müssen. Nun sollen die SuS überprüfen was passiert, wenn das dominante Element entfernt wird. Daran sollen sie sehen, dass aus einem Spiel mit Dominanz auch ein Spiel ohne dominantes Element entstehen kann. Anschließend folgt eine Star-Wars-Edition, die die SuS mit Hilfe des Programms auf Dominanz untersuchen. So können die SuS ihr geschriebenes Programm nochmals anwenden und sehen, dass dies universell einsetzbar ist. 2. Gefangenendilemma: Dieses Spiel beschäftigt sich mit dem Nash-Gleichgewicht. Anfangs spielen die SuS zu dritt das Spiel selbst durch, um die Regeln und die Problematik zu verinnerlichen. Nachdem ihnen erklärt wurde, was ein Nash-Gleichgewicht ist und wie man es bestimmt, bestimmen die SuS es für dieses Beispiel. So Seite 4

6 wird das gerade erlernte Theoriewissen gefestigt. Anschließend erstellen die SuS wieder unter Anleitung ein Programm, das für alle 2x2 Matrizen das Nash-Gleichgewicht bestimmt. Die Anleitung ist wie im ersten Spiel in mehrere Unterpunkte unterteilt. Abschließend wenden die SuS ihr Programm auf andere Strafen an. Dies hat wieder den Nutzen, dass die SuS erkennen, dass das Programm jede Strafenkombination lösen kann. 3. Marktkampf: Dieses Spiel ist thematisch eine Fortführung des Gefangenendilemmas. Die SuS beschäftigen sich also weiter mit dem Nash-Gleichgewicht. Bevor sie dieses allerdings berechnen können, müssen sie die gegebenen Daten aus der Baumdarstellung (Extensivform) in die Matrixdarstellung (Normalform) umwandeln. So erkennen die SuS, dass es nicht nur eine Darstellungsform gibt und dass man die Daten von einer Darstellungsform in eine andere überführen kann. Dann müssen die SuS erkennen, dass man dieses Problem auch mit dem Nash-Gleichgewicht lösen kann. So wird überprüft, ob die SuS gelernt haben, dass man solche Probleme mit dieser Strategie löst. Anschließend wird das im zweiten Spiel geschrieben Programm auf 3x3 Matrizen erweitert, damit das gegebene Problem mit dem Programm gelöst werden kann. So sehen die SuS, dass man vorhandene Programme leicht erweitern kann. Abschließend wird das Problem mit anderen Firmen und Gewinnen gestellt und von den SuS gelöst. 4. Nim-Spiel: In diesem Spiel werden die SuS an den Minimax-Algorithmus herangeführt. Zuerst stellen die SuS den Spielbaum für das Nim-Spiel mit gegebenem Anfangswert auf. Anschließend beantworten die SuS zum besseren Verständnis des Baumes ein Paar Fragen in einem Moodle-Quiz. Nun folgt eine Erklärung des Minimax-Algorithmus, der danach auf den Spielbaum angewendet wird. Es folgt zur Ergebnissicherung wieder ein Quiz. Abschluss: Die SuS programmieren am Ende des Moduls einen Teil einer KI zum Spiel Tic-Tac-Toe. Dabei werden auch die in den Mini-Spielen erlernten Strategien (wie der Minimax-Algorithmus) verwendet. Dies erfolgt wieder in einer kleinschrittigen Anleitung. Außerdem werden große Teile des Programms vorgegeben, damit SuS sich nur auf die KI konzentrieren können und sich nicht mit der Darstellung beschäftigen müssen. Seite 5

7 VERLAUFSPLAN DES MODULS Zeit Phase Inhalt Medium Sozialfor m 5 Min. Begrüßung Erster Einblick 20 Min. in die Spieltheorie durch ein Spiel mit Anleitung Ziel der Spieltheorie und Nutzen direkt am Spiel erkennen 40 Min. (wird für jedes der 4 Minispiele wiederholt, also insges. 160 Min.) 60 Min. Erarbeitung und Festigung des Theoriewissens anhand von Minispielen Anwendung der gelernten Lösungskonzep te auf TicTacToe Lösungsstrategien der Spieltheorie Vernetzen der gelernten Konzepte 3D-TicTacToe Arbeitsblätter: ABSSS,ABGD,ABMK, PowerPoint Präsentation und Nimspiel im Moodle Arbeitsblatt: TicTacToe Lehrervortrag, Partnerarbeit Partnerarbeit Partnerarbeit QUELLENVERZEICHNIS Min Max Algorithmus TicTacToe: Java Kenntnisse: Bild Marktkampf: Bild Gefangenendilemma: Abschlussspiel: Bild Schnick Schnack Schnuck: Seite 6

8 ANHANG Modulvorbereitende Aufgaben: GESCHACHTELTE SCHLEIFEN Schleifen, und das gilt insbesondere für for-schleifen, können verschachtelt werden. Syntaktisch ist das auch logisch, da sich innerhalb des Schleifenrumpfs beliebige Anweisungen aufhalten dürfen. Um fünf Zeilen von Sternchen auszugeben, wobei in jeder Zeile immer ein Stern mehr erscheinen soll, schreiben wir: for ( int i = 1; i <= 5; i++ ) { for ( int j = 1; j <= i; j++ ) System.out.print( "*" ); System.out.println(); } Als besonderes Element ist die Abhängigkeit des Schleifenzählers j von i zu werten. Es folgt die Ausgabe: * ** *** **** ***** Die übergeordnete Schleife nennt sich äußere Schleife, die untergeordnete innere Schleife. In unserem Beispiel wird die äußere Schleife die Zeilen zählen und die innere die Sternchen in eine Zeile ausgeben, also für die Spalte verantwortlich sein. Da Schleifen beliebig tief geschachtelt werden können, muss besonderes Augenmerk auf die Laufzeit gelegt werden. Die inneren Schleifen werden immer so oft ausgeführt, wie die äußere Schleife durchlaufen wird. Aufgabe 1: Gestalte die obige Ausgabe so um, dass folgendes Bild entsteht: ***** **** *** ** * ARRAYS Ein Array (auch Feld oder Reihung genannt) ist ein spezieller Datentyp, der mehrere Werte zu einer Einheit zusammenfasst. Er ist mit einem Setzkasten vergleichbar, in dem die Plätze durchnummeriert sind. Angesprochen werden die Elemente über einen ganzzahligen Index. Jeder Platz (etwa für Schlümpfe) nimmt immer Werte des gleichen Typs auf (nur Schlümpfe und keine Pokémons). Normalerweise liegen die Plätze eines Arrays (seine Elemente) im Speicher hintereinander, doch ist dies ein für Programmierer nicht sichtbares Implementierungsdetail der virtuellen Maschine. Seite 7

9 Jedes Array beinhaltet Werte nur eines bestimmten Datentyps bzw. Grundtyps. Dies können sein: elementare Datentypen wie int, byte, long und so weiter Referenztypen Referenztypen anderer Arrays, um mehrdimensionale Arrays zu realisieren GRUNDBESTANDTEILE Für das Arbeiten mit Arrays müssen wir drei neue Dinge kennenlernen: 1. das Deklarieren von Array-Variablen 2. das Initialisieren von Array-Variablen, Platzbeschaffung 3. den Zugriff auf Arrays. Das umfasst den Lesenden Zugriff ebenso wie den schreibenden. Beispiel 1. Deklariere eine Variable randoms, die ein Array referenziert: double[] randoms; 2. Initialisiere die Variable mit einem Array-Objekt der Größe 10: randoms = new double[ 10 ]; 3. Belege das erste Element mit einer Zufallszahl und das zweite Element mit dem Doppelten des ersten Elements: randoms[ 0 ] = Math.random(); randoms[ 1 ] = randoms[ 0 ] * 2; Schauen wir uns den ersten und dritten Punkt nun noch einmal genauer an. DEKLARATION VON ARRAYS Eine Array-Variablendeklaration ähnelt einer gewöhnlichen Deklaration, nur dass nach dem Datentyp die Zeichen»[«und»]«gesetzt werden. Beispiel Deklariere zwei Feld-Variablen: int[] primes; Point[] points; Eine Variable wie primes hat jetzt den Typ»ist Feld«und»speichert int-elemente«, also eigentlich zwei Typen. Seite 8

10 Hinweis Die eckigen Klammern lassen sich bei der Deklaration einer Array-Variablen auch hinter den Namen setzen, doch ganz ohne Unterschied ist die Deklaration nicht. Das zeigt sich spätestens dann, wenn mehr als eine Variable deklariert wird: int []primes, matrix[], threedimmatrix[][]; Das entspricht dieser Deklaration : int primes[], matrix[][], threedimmatrix[][][]; Damit Irrtümer dieser Art ausgeschlossen werden, sollten Sie in jeder Zeile nur eine Deklaration eines Typs schreiben. Nach reiner Java-Lehre gehören die Klammern jedenfalls hinter den Typbezeichner, so hat es der Java-Schöpfer James Gosling gewollt. ARRAYS MIT INHALT FÜLLEN Die bisherigen Deklarationen von Array-Variablen erzeugen noch lange kein Array- Objekt, das die einzelnen Array-Elemente aufnehmen kann. Wenn allerdings die Einträge direkt mit Werten belegt werden sollen, gibt es in Java eine Abkürzung, die ein Array- Objekt anlegt und zugleich mit Werten belegt. Beispiel Wertebelegung eines Felds: int[] primes = { 2, 3, 5, 7, }; String[] strings = { "Haus", "Maus", "dog".touppercase(), // DOG new java.awt.point().tostring(), }; In diesem Fall wird ein Feld mit passender Größe angelegt, und die Elemente, die in der Aufzählung genannt sind, werden in das Feld kopiert. Innerhalb der Aufzählung kann abschließend ein Komma stehen, wie die Aufzählung bei strings demonstriert. MEHRDIMENSIONALE ARRAYS Java realisiert mehrdimensionale Arrays durch Arrays von Arrays. Sie können etwa für die Darstellung von mathematischen Matrizen oder Rasterbildern Verwendung finden. Dieser Abschnitt lehrt, wie Objekte für mehrdimensionale Felder initialisiert, aufgebaut und abgegrast werden. FELD-OBJEKTE MIT NEW AUFBAUEN Seite 9

11 Die folgende Zeile deklariert ein zweidimensionales Feld mit Platz für 32 Zellen, die in vier Zeilen und acht Spalten angeordnet sind: int[][] A = new int[ 4 ][ 8 ]; Obwohl mehrdimensionale Arrays im Prinzip Arrays mit Arrays als Elementen sind, lassen sie sich leicht deklarieren. Zwei alternative Deklarationen (die Position der eckigen Klammern ist verschoben) sind: int A[][] = new int[ 4 ][ 8 ]; int[] A[] = new int[ 4 ][ 8 ]; ANLEGEN UND INITIALISIEREN IN EINEM SCHRITT Ebenso wie bei eindimensionalen Feldern lassen sich mehrdimensionale Felder gleich beim Anlegen initialisieren: int[][] A3x2 = { {1, 2}, {2, 3}, {3, 4} }; int[][] B = { {1, 2}, {2, 3, 4}, {5} }; Der zweite Fall lässt erkennen, dass das Feld nicht unbedingt rechteckig sein muss. Dazu gleich mehr. ZUGRIFF AUF ELEMENTE Einzelne Elemente spricht der Ausdruck A[i][j] an.(die in Pascal übliche Notation A[i,j] wird in Java nicht unterstützt. Die Notation wäre im Prinzip möglich, da Java im Gegensatz zu C(++) den Komma-Operator nur in for-schleifen zulässt.) Der Zugriff erfolgt mit so vielen Klammerpaaren, wie die Dimension des Arrays angibt. Beispiel Der Aufbau von zweidimensionalen Feldern (und der Zugriff auf sie) ist mit einer Matrix beziehungsweise Tabelle vergleichbar. Dann lässt sich der Eintrag im Feld a[x][y] in folgender Tabelle ablesen: a[0][0] a[0][1] a[0][2] a[0][3] a[0][4] a[0][5]... a[1][0] a[1][1] a[1][2] a[1][3] a[1][4] a[1][5] a[2][0] a[2][1] a[2][2] a[2][3] a[2][4] a[2][5]... Aufgabe 2: Du hast nun gelernt wie ein- und zweidimensionale Arrays funktionieren. Lege jetzt eine 3x3 Matrix mit den Zahlen 1-9 an. Verwende das oben aufgefrischte Wissen zu Schleifen, um alle Elemente der Matrix aufzuaddieren. Gebe das Ergebnis aus. Es sollte dir bekannt sein ;-) Zusatzaufgabe(Partner): Ihr braucht für diese Aufgabe vier Namen, vier Verben und vier Adverbien und schreibt sie auf. Nun deklariert ihr drei 2-dimensionale Arrays vom Typ String mit dem Namen n, v, a und initialisiert sie mit den jeweiligen Worten. Damit habt ihr nun drei 2x2 Matrizen. Durchlauft sie genau wie in der Aufgabe davor und addiert die Elemente der Matrix in dieser Art: Seite 10

12 n[0][0] + v[0][0] + a[0][0] n[0][1] + v[0][1] + a[0][1] n[1][0] + Somit entstehen lustige Sätze wie Leopold popelt oft. Viel Spaß! :-) Seite 11

13 Arbeitsblätter 3D TicTacToe Beschreibung: Jeder von euch kennt wahrscheinlich das Spiel Tic-Tac-Toe. Wer drei Kreuze in einer Reihe hat, gewinnt. 3D-Tic-Tac-Toe ist eine Erweiterung ins Dreidimensionale. So hat man drei normale Tic-Tac-Toe Spielfelder übereinander, sodass drei Ebenen entstehen. Man gewinnt bei dieser Version ebenfalls, wenn man drei Kugeln in einer Reihe hat, dabei kann man allerdings die verschiedenen Ebenen benutzen. Seite 12

14 Aufgabe: Spielt das Spiel zu zweit gegeneinander. Ruft dazu den Link im Moodle auf. Einer von euch bekommt eine Spielanleitung mit einer Spielstrategie. Wiederholt das Spiel mehrmals und achtet darauf, ob derjenige mit der Spielstrategie öfters gewinnt. Siege Spieler 1 Siege Spieler 2 Seite 13

15 Schnick-Schnack-Schnuck mit Brunnen: Quelle: Regeln: Zwei Spieler wählen gleichzeitig eine der vier möglichen (Schere, Stein, Papier, Brunnen) Symbole. Dabei gelten folgende Regeln: Schere schlägt Papier und verliert gegen Brunnen und Stein. Stein schlägt Schere und verliert gegen Brunnen und Papier. Papier schlägt Stein und Brunnen und verliert gegen Schere. Brunnen schlägt Schere und Stein und verliert gegen Papier. Aufgabe 1: Veranschaulicht das Spiel grafisch in einer 4x4 Matrix und entwickelt mit Hilfe dieser Veranschaulichung eine Strategie, welches Element man am besten wählt und welches lieber nicht. Stellt euch dabei folgende Fragen: - Gibt es ein Element, das nie besser ist als ein Anderes? - Gibt es ein Element, das besser ist als alle Anderen? - Gibt es ein Element, das man nie wählen sollte? Ruft nun die Powerpoint-Präsentation zur Dominanz auf, in der euch erklärt wird, wie man herausfinden kann, ob ein Element besser ist als ein Anderes und wenn ja, welches. Aufgabe 2: Programmiert mit Hilfe der grafischen Darstellung aus Aufgabe 1 ein Programm, das überprüft, ob eine Strategie eine andere schwach dominiert und das Ergebnis ausgibt. Benutzt dazu die Programmvorlage im Moodle. 2.1 Übertragt die Matrix in das zweidimensionale Array Spielmatrix 2.2 Deklariert zwei Variablen DominatorA und DominatorB, die als Zähler dienen, wie oft z.b. die Strategie Schere besser ist als die Strategie Stein. Seite 14

16 2.3 Erstellt ein String-Array der Länge vier in dem die vier Auswahlmöglichkeiten stehen. 2.4 Überprüft die Matrix mit Hilfe von verschachtelten Schleifen auf Dominanz. Überlegt euch vorher per Hand, wie ihr am besten alle Elemente der Matrix miteinander vergleichen könnt und übertragt dieses Prinzip in 3 For-Schleifen (siehe Code). 2.5 Gebt aus, ob eine Strategie die Andere dominiert. Falls ja, gebt aus welche Strategien dies sind. Aufgabe 3: Da kein Spieler ein dominiertes Element wählt, kann man es auch aus dem Spiel streichen, da es niemand mehr wählen wird, wenn er intelligent spielt. Stellt eine Matrix ohne das Element, das dominiert wird auf. Gibt es noch ein dominantes Element? Vergleicht abschließend diese neue Version mit Schnick- Schnack-Schnuck ohne Brunnen. Was fällt euch auf? Aufgabe 4: Schnick-Schnack-Schnuck Starwars-Edition. Wir betrachten nun eine Version des Spiels, in der man anstatt die vier üblichen Elemente vier Charaktere von Starwars wählt. Dabei gelten folgende Regeln: Luke siegt gegen Darth Vader und verliert gegen Yoda und den Imperator... Luke Darth Vader Yoda Imperator Luke Darth Vader Yoda Imperator Seite 15

17 Ändert euer Programm so, dass es nun überprüft, ob bei dieser Variante auch ein Element dominiert. Gebt die Antwort wieder in der Konsole aus. Speichert die Änderungen in einem anderen neuen Dokument, damit euer Programm für die erste Version nicht verloren geht. Seite 16

18 Marktkampf Quelle: Beschreibung: Zwei Unternehmen (z.b. Adidas und Puma) überlegen, wie stark sie sich in Zukunft auf dem Markt engagieren (z.b. Werbung schalten) wollen. Dabei hängt ihr Gewinn auch vom Engagement des anderen Unternehmens ab. Der folgende Baum beschreibt, welche Gewinne sich aus den unterschiedlichen Entscheidungen ergeben. Seite 17

19 Aufgabe 1: Übertragt den Baum in eine 3x3 Matrix. Aufgabe 2: Mit welcher euch bereits bekannten Spielstrategie lässt sich dieses Problem (welche Werbeausrichtung beide Unternehmen am besten wählen, um für sich selbst den maximalen Gewinn zu erhalten) lösen? Löst das Problem, indem ihr die bereits bekannte Spielstrategie zu diesem Lösungskonzept anwendet. Aufgabe 3: Erweitert das Programm zum Gefangenendilemma so, dass auch dieses Problem damit zu lösen ist. Wenn ihr den veränderten Code speichert, dann wählt einen neuen Dateinamen aus, damit eure alte Lösung nicht verloren geht. Aufgabe 4: Wir betrachten nun die beiden Unternehmen Apple und Samsung. Welche Werbeausrichtung sollten die Unternehmen wählen, wenn folgende Matrix die Gewinne beschreibt? Gebt hierfür die neuen Werte und Namen in euer Programm ein. Engagement dem Markt: Apple auf Samsung gering mittel stark Gering (120,140) (100,160) (80,170) Mittel (130,120) (130,155) (120,140) Stark (160,100) (140,150) (110,120) (x,y) mit x = Gewinn von Apple in Mio. und y = Gewinn von Samsung in Mio. Seite 18

20 Quelle: Gefangenendilemma: Spielregeln: Zwei Gefangene werden verdächtigt, gemeinsam eine Straftat begangen zu haben. Beide Gefangene werden in getrennten Räumen verhört und haben keine Möglichkeit, sich zu beraten bzw. ihr Verhalten abzustimmen. Die Höchststrafe für das Verbrechen beträgt sechs Jahre. Wenn die Gefangenen sich entscheiden zu schweigen, werden beide wegen kleinerer Delikte zu je zwei Jahren Haft verurteilt. Gestehen jedoch beide die Tat, erwartet beide eine Gefängnisstrafe, wegen der Zusammenarbeit mit den Ermittlungsbehörden jedoch nicht die Höchststrafe, sondern lediglich von vier Jahren. Gesteht nur einer und der andere schweigt, bekommt der erste als Kronzeuge eine symbolische einjährige Bewährungsstrafe und der andere bekommt die Höchststrafe von sechs Jahren. Aufgabe 1: Fertigt zuerst eine Matrix an, in der die Strafen für beide Gefangenen für alle Spielausgänge stehen. Spielt nun zu viert das Spiel nach. Setzt euch zu zweit zusammen, wobei einer jeweils den Verdächtigen spielt und der andere den Kommissar. Anschließend treffen sich beide Kommissare und stellen aufgrund der gewählten Strategien die Strafe ihres Verdächtigen fest und teilen ihm diese mit. Aufgabe 2: Wir wollen nun wissen, wie sich beide Gefangenen entscheiden, wenn sie das beste Ergebnis für sich selbst erreichen wollen. Dies finden wir heraus, indem wir das Nash-Gleichgewicht bestimmen. Das Vorgehen dazu wird euch in der Powerpoint-Präsentation "Nash-Gleichgewicht" erklärt. Ruft diese nun im Moodle auf. Ermittelt anschließend mit Hilfe der Matrix die optimale Seite 19

21 Spielstrategie, indem ihr den Algorithmus zur Bestimmung eines Nash-Gleichgewichts, der euch in der Powerpoint-Präsentation erklärt wurde, ausführt. Sammlung der Ergebnisse an der Tafel/Smartboard Aufgabe 3: Programmiert einen Algorithmus, mit dem zu einer gegebenen Matrix das Nash- Gleichgewicht ermittelt werden kann. Öffnet dafür den Programmcode im Moodle und erarbeitet folgende Unterpunkte: 3.1 Legt zwei Arrays an, in denen die Strafen vom Gefangenen A und Gefangenen B stehen. 3.2 Für den Algorithmus müsst ihr die jeweiligen Maxima bestimmen. Beim Durchlaufen der Matrizen müsst ihr euch die Maxima merken und auch an welcher Stelle sie gefunden wurden. Legt euch hierfür 4 Variablen an, die diese Informationen für euch speichern. 3.3 Überlegt euch zunächst wie ihr in Aufgabe 2 vorgegangen seid, um die optimale Strategie zu ermitteln. Übertragt dieses Vorgehen dann in die Schleifen und beachtet dabei die Hinweise aus Aufgabe Überprüft ob euer Programm funktioniert, indem ihr das Ergebnis aus der Konsole mit dem aus Aufgabe 2 vergleicht. Aufgabe 4: Die Staatsanwaltschaft entscheidet sich dazu, die Strafen zu verändern. Wie sollten sich die Gefangenen verhalten, wenn nun folgende Strafen gelten? Benutzt hierfür euer Programm aus Aufgabe 3 und passt die Werte an. (-x,-y) mit x = Jahre im Gefängnis für Gefangenen 1 und y = Jahre im Gefängnis für Gefangenen 2 Seite 20

22 Nim-Spiel Beschreibung: Zwei Spieler sollen einen Stapel mit Münzen solange in unterschiedlich große Teile aufteilen, bis es nicht mehr möglich ist. Ein Spielzug besteht somit aus dem Aufteilen des Stapels. Man gewinnt das Spiel, wenn der Gegner am Zug ist, aber der Stapel nicht mehr aufteilbar ist. Hier seht ihr die Darstellung für den Startwert 5. Spieler A hat den Stapel in Stapel der Höhe 4 und 1 aufgeteilt und Spieler B anschließend den Stapel der Höhe 4 in zwei Stapel mit der Höhe 3 und 1. Es gibt also nun 3 Stapel. Einen Stapel mit der Höhe 3 und zwei Stapel mit der Höhe 1. Dies ist nur ein Teil des Baumes für den Startwert 5. Seite 21

23 Da Spieler B den Stapel nur noch in 2 gleiche Teile aufteilen kann, endet der Baum hier, weil es keine weitere Möglichkeit gibt. Aufgabe 1: Erstellt einen Spielbaum, in dem alle Spielmöglichkeiten dargestellt werden. Das Spiel wird mit sieben Münzen gespielt. Öffnet nun das Quiz zum Nim-Spiel, in dem euch ein paar Fragen zu dem Baum gestellt werden und spielt es durch. - Wie viele verschiedene Spielverläufe gibt es? - Wie viele Spielzüge kann es maximal/minimal geben? - Was bedeuten die einzelnen Ebenen des Baumes? - Wann gewinnt A und wann gewinnt B? Gibt es eine Beziehung zu den Ebenen? Seite 22

24 Aufgabe 2: Man kann mit Hilfe eines Algorithmus bestimmen, welcher Spielzug für Spieler A der Beste ist. Je nach Spiel kann man sogar direkt den Spielausgang erkennen. Dies geschieht mit Hilfe des Minimax- Algorithmus. Ruft nun die Powerpoint-Präsentation zum Minimax-Algorithmus auf. Wendet anschließend den Minimax-Algorithmus, der euch in der Powerpoint-Präsentation erklärt wurde, auf den Spielbaum an. Beschriftet die Blätter, bei denen A gewinnt, mit +1 und die Blätter, bei denen A verliert, mit -1. Untersucht das Ergebnis im Hinblick auf folgende Fragen: - Wie geht das Spiel aus, wenn beide optimal spielen? - Wie geht das Spiel aus, wenn der Stapel in (6,1) und dann in (5,1,1) aufgeteilt wurde und ab dann beide optimal spielen? - Kann man mit Hilfe des Baumes direkt für jede Spielsituation sagen, wie das Spiel ausgeht? Seite 23

25 Tic Tac Toe als künstliche Intelligenz Tic Tac Toe ist ein Spiel, das jeder von euch kennt und auch sehr einfach zu verstehen ist. Bestimmt hat der eine oder andere auch seine persönliche Strategie oder Vorgehensweise, wie man am schnellsten gewinnt oder seinem Mitspieler eine Falle stellt, dass wenn er einen dummen Zug macht und danach keine Chance mehr hat zu gewinnen. Wäre es nicht toll, wenn der Computer einem diese Arbeit abnimmt? ;-) 1996 gelang es Deep Blue als erstem Computer der Welt den damals amtierenden Weltmeister im Schach in einem Match zu besiegen. Doch heute wollen wir keine Weltmeister zu Fall bringen, sondern eine K.I. (künstliche Intelligenz) schreiben, die ein cleveres TicTacToe Match spielt. Dazu benötigen wir den in diesem Modul bereits erwähnten Min-Max-Algorithmus. Ihr werdet auf diesem Blatt Stück für Stück lernen wie der Algorithmus am Beispiel TicTacToe funktioniert und seid dann in der Lage dies im Java Editor Eclipse in einem eigenen Programm zu verwirklichen. In den vorgefertigten Code-Dateien findet ihr noch weitere Hinweise wie ihr vorgehen könnt um eure K.I. zu programmieren. Also keine Angst das wird schon ;-) 1. Schritt: Stellt euch vor ihr seid jetzt der Computer und bekommt vom Spieler eine Spielsituation als Eingabe. Diese könnte dann in etwa so aussehen: Du als Computer hast dein X in die Mitte gesetzt und der Spieler, hier als Kreis, hat mit einem Zug auf das Feld oben in der Mitte geantwortet. Seite 24

26 Wir schauen uns nun alle möglichen Felder an auf die wir noch ein X setzen können. Das wären in diesem Fall sieben Möglichkeiten Unter all diesen Möglichkeiten müssen wir uns nun entscheiden, welche die Beste ist und um das bewerten zu können machen wir nun weiter mit dem 2. Schritt: Wir errechnen für jede mögliche Position eine sogenannte Gewichtung aus, die angibt wie gut oder schlecht der Zug für den Spieler ist. Dafür betrachten wir aber nicht allein unseren eigenen Zug, sondern zusätzlich noch den des Gegners, damit wir mehr Informationen für unsere Analyse haben. Ein Beispiel: Angenommen wir setzen unser X nach oben links. Dann kann der Spieler zwischen 6 Positionen entscheiden, was ihr nun hier unten sehen könnt. Hier beginnt es nun spannend zu werden. Für jeden der sechs möglichen Züge, die der Spieler unternehmen kann, wird eine Gewichtung berechnet. Nehmen wir den Fall ganz links. Der Computer hat bei dieser Spielsituation 4 Möglichkeiten zu gewinnen nämlich zwei Mal diagonal, sowie einmal waagerecht (unten) und senkrecht (rechts). Der Gegner hat nur die beiden Möglichkeiten waagerecht (unten) und senkrecht (rechts). Daher bekommt dieser den Wert 2. Das Gewicht ist somit die Differenz zwischen der möglichen Anzahl der Spalten, Zeilen und Diagonalen, die der Computer noch einnehmen kann(4) und der Anzahl der Spalten, Zeilen und Diagonalen, die der Spieler noch vollständig einnehmen kann(2). Deswegen bekommt dieser Zug des Computers das Gewicht 2. Wie ihr oben seht werden die Gewichte für alle Antworten des Spielers Seite 25

27 ausgerechnet. Eine kleine Zahl bedeutet nach unserer Rechnung also, dass der Spieler die meisten Siegchancen hat, wohingegen eine große Zahl für eine bessere Chance des Computers steht. Da der Spieler natürlich nicht dumm ist, wird er sich für die Antwort entscheiden, die ein möglichst kleines Gewicht hat (Minimum). Somit bekommt die Möglichkeit des Computers oben links sein X zu setzen den Wert 1 zugewiesen, da dies der kleinste Wert unter den Gewichten darstellt. 3. Schritt: Nach dem die Berechnungen aus Schritt 2 alle gemacht wurden sieht das Ergebnis schematisch veranschaulicht so aus: Seite 26

28 Nun wählt der Computer aus seiner Sicht die Möglichkeit mit dem größtmöglichen Gewicht aus (Maximum). Diese wurde oben rot markiert und stellt den Zug des Computers dar.dann antwortet der Spieler seinerseits wiederum auf diesen Zug, welche die neue Spielsituation als Eingabe des Computers für den Min-Max-Algorithmus ist. Aufgabe 1) Ihr werdet nun die elementaren Teile, die für diesen Algorithmus nötig sind selber programmieren und am Ende ein lauffähiges Spiel starten können. Also öffnet zunächst Eclipse. Unter dem Projektnamen Spieltheorie findet ihr bei den Sources das Paket endspielschuelerversion und die drei Klassen: Gameloop, Spielbrett, TicTacToeKI. Für diese Aufgabe öffnet ihr die Klasse Spielbrett und klickt euch durch bis zur Funktion gueltigerzug(int zug). Es ist im Code aber auch noch mal deutlich gemacht wo sich Aufgabe 1 befindet, genau wie die anderen Aufgaben. Diese Funktion ist wichtig für den Schritt 1 der oben erläutert wurde. Sie prüft, ob ich überhaupt in das Kästchen mit der Nummer zug setzen darf. Anders ausgedrückt: prüft ob das Kästchen frei ist. Erst dann ist dies nämlich ein gültiger Zug. Implementiert also diese Funktion und gebt ein true oder false zurück, je nachdem, ob der Zug gemacht werden darf oder nicht. Das Feld mit der gleichnamigen Klassenvariablen ist so durchnummeriert: Aufgabe 2) Ebenfalls in der Klasse Spielbrett findet ihr die Funktion berechnegewicht(). Diese errechnet die oben im Schritt 2 erwähnten Gewichte für eine Spielsituation wie beispielsweise hier. Falls ihr nicht mehr wisst wie die Zahlen zustande kommen, lest es oben noch mal nach. Die X und O sind in der Klassenvariablen feld gespeichert. Programmiert das Prinzip aus Schritt 2 hier nach und gebt als Ergebnis eine Integer Zahl als das Gewicht (in diesem Fall 1) zurück. Aufgabe 3) Hier soll noch der letzte Schritt programmiert werden, in dem der Computer den für sich besten Zug wählt. In der Klasse TicTacToeKI seht ihr die Funktion besterzug(spielbrett aktuellesbrett) bei der ihr euch nur auf die else-bedingung der for-schleife konzentrieren müsst. Die Schleife geht alle Seite 27

29 möglichen Züge des Computers durch, prüft erst das schon zum Sieg reicht, falls nicht bekommt dieser Zug mit der Funktion gegnergewichte() eine Zahl. Wie im Schritt 3 könnt ihr in der Abbildung die eingekreisten Zahlen für jeden Zu sehen (1,0,1,0 von links gelesen), die die Minima darstellen. Das sind die Gegnergewichte. Ziel in dieser Aufgabe ist es unter den Zügen zuege, den Zug mit dem maximalsten Wert zu finden und in bestercompizug zu speichern. Wenn die Aufgaben von euch korrekt gelöst wurden, könnt ihr die Gameloop.java öffnen, auf den grünen Play-Button drücken und das Spiel startet ;-) Quelle: Weiterführende Links: Min-Max Algorithmus Alpha-Beta-Suche als Optimierung des Min-Max-Algorithmus Dazu noch eine gute Präsentation von der Uni Münster Expliziter Java Code für Min-Max mit Alpha-Beta Suche Seite 28

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