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1 Suche in Spielbäumen Suche in Spielbäumen KI SS2011: Suche in Spielbäumen 1/20

2 Spiele in der KI Suche in Spielbäumen Spielbäume Minimax Algorithmus Alpha-Beta Suche Einschränkung von Spielen auf: 2 Spieler: Max und Min deterministische Spiele Runden basiert Spiele und zero-sum Spiele Z.B.: Schach, Mühle, Dame, Tic-Tac-Toe KI SS2011: Suche in Spielbäumen 2/20

3 Spielbaum Suche in Spielbäumen Spielbäume Minimax Algorithmus Alpha-Beta Suche Ein Spielbaum ist gegeben durch: Startzustand Knoten repräsentieren Spielzustände Kanten repräsentieren Züge Spieler ziehen abwechselnd pro Ebene Spielbaum ist durch Nachfolgerfunktion (N F ) gegeben KI SS2011: Suche in Spielbäumen 3/20

4 Spielbaum: Bewertungsfunktion Ein Spielbaum wird bis Tiefe b expandiert, die Blätter werden dort direkt bewertet: Entweder: Die Blätter sind Endzustände (Spiele mit wenig Endzuständen wie Tic-Tac-Toe): Max gewinnt: (1) oder Min gewinnt: ( 1) oder das Spiel geht unentschieden aus: (0) Oder: Blätter in Tiefe b sind keine Endzustände (Spiele mit vielen Endzuständen wie Schach): Heuristische Bewertung der Spielzustände Tic-Tac-Toe: 9! = Endzustände Schach: Endzustände KI SS2011: Suche in Spielbäumen 4/20

5 Bewertung von Tic-Tac-Toe Die einfachste Bewertung der Endzustände ist: 1 Gewinn: XXX in Reihe, Spalte oder Diagonale 0 Remis: X und O in jeder Zeile, Spalte oder Diagonale -1 Verlust: OOO in Reihe, Spalte oder Diagonale Heuristische Bewertung beliebiger Knoten: (#einfach x-besetzte Zeilen/Spalten/Diag) * 1 + (# doppelt x-besetzte Zeilen/Spalten/Diag) * 5 + (20, falls Gewinnsituation) - (#einfach o-besetzte Zeilen/Spalten/Diag) * 1 - (# doppelt o-besetzte Zeilen/Spalten/Diag) * 5 - (20, falls Verlustsituation) XX- -O- O-X X-X -O- O-X X-- XO- O-X X-- -OX O-X X-- -O- OXX KI SS2011: Suche in Spielbäumen 5/20

6 Strategie: Optimale Zugfolge Ziel: Algorithmisch den besten Zug (bzw. die beste Zugfolge für) einen Spieler bestimmen Problem: Der Gegenspieler versucht auch zu gewinnen Beide Spieler spielen optimal KI SS2011: Suche in Spielbäumen 6/20

7 Optimale Strategie berechnen Sei p {Min,Max} der Spieler der in Zustand s zieht und p ist der Gegenspieler von p. Für alle Knoten s im Spielbaum berechne M inimax(s, p): Minimax(s, p) = Minimax-Entscheidung: wenn s Blatt:Bewertung von s wenn p = Min : min{minimax(s, p) s ist Nachfolger von s} wenn p = Max : max{minimax(s, p) s ist Nachfolger von s} Für Max: Zug zum Nachfolger mit maximalem Wert Für Min: Zug zum Nachfolger mit minimalem Wert KI SS2011: Suche in Spielbäumen 7/20

8 Minimax Algorithmus: Beispiel Minimax(s, p) = Beispiel wenn s Blatt:Bewertung von s wenn p = Min : min{minimax(s, p) s ist Nachfolger von s} wenn p = Max : max{minimax(s, p) s ist Nachfolger von s} Max A Min B C D KI SS2011: Suche in Spielbäumen 8/20

9 Minimax Algorithmus Minimax Minimax(s, p) = S := NF (s) if S = then return Bewertung von s else if p = Max then return max{minimax(s, p) s S} else return min{minimax(s, p) s S} KI SS2011: Suche in Spielbäumen 9/20

10 Minimax Algorithmus: Beispiele KI SS2011: Suche in Spielbäumen 10/20

11 Minimax Algorithmus: Eigenschaften Für Spielbaum der Tiefe m mit Verzweigungsgrad b Fazit: Durchsucht den Spielbaum vollständig per Tiefensuche Ressourcenbedarf: Zeit: O(b m ) (exponentiell in der Tiefe) Platz: O(bm) (linear in der Tiefe, falls b konstant) Für echte Spiele (wie Schach) ist Minimax nicht geeignet. Abhilfe mit Tiefenschranke d und heuristischer Bewertung der Zustände in dieser Tiefe. Variante von Minimax für Mehrpersonen-Spiele KI SS2011: Suche in Spielbäumen 11/20

12 Suche in Spielbäumen Alpha-Beta Suche KI SS2011: Suche in Spielbäumen 12/20

13 Alpha-Beta Suche: Motivation Beispiel Minimax: Besucht exponentiell viele Konten in Tiefe des Spielbaums Aber nicht alle Knoten müssen besucht werden Max A Min B C D Minimax(s, Max) = max{min{3, 12, 8}, min{2, x, y}, min{14, 5, 2}} = max{3, z, min{14, 5, 2}} mit z = min{2, x, y} 2 = max{3, z, 2} = 3 KI SS2011: Suche in Spielbäumen 13/20

14 Alpha-Beta Suche: Idee Prinzip der Alpha-Beta Suche: Wie Minimax mit Modifikation Sei n Knoten im Spielbaum in Tiefe d und Zugmöglichkeit für p Wenn p einen besseren Knoten m in Tiefe d < d wählen kann, dann wird n von p nicht besucht Somit kann der ganze Teilbaum mit Wurzel n abgeschnitten werden Um den Abschnitt an Knoten n entschieden zu können, müssen einige Nachfolger von n betrachtet werden. KI SS2011: Suche in Spielbäumen 14/20

15 Alpha-Beta Suche: Parameter Zwei Parameter kontrollieren die Entscheidung über Abschnitt: α: Der beste (maximale) bisher gefundene Wert an jedem Auswahlpunkt entlang des Pfades für Max β: Der beste (minimale) bisher gefundene Wert an jedem Auswahlpunkt entlang des Pfades für Min Alpha-Beta Suche aktualisiert die α, β Werte. KI SS2011: Suche in Spielbäumen 15/20

16 Alpha-Beta Suche Start start(s, p) = if p = Max then max-s(s,, ) else min-s(s,, ) Maximieren max-s(s, α, β) = S := NF (s) if S = then return B(s) α l := for each s in S do α l := max{α l, min-s(s, α, β)} if α l β then return α l else α := max{α l, α} return α l Minimieren min-s(s, α, β) = S := NF (s) if S = then return B(s) β l := for each s in S do β l := min{β l, max-s(s, α, β)} if β l α then return β l else β := min{β l, β} return β l KI SS2011: Suche in Spielbäumen 16/20

17 Alpha-Beta Suche: Eigenschaften Effektivität ist Abhängig von der Reihenfolge in der Knoten besucht werden Beispiel Max A Min B C D X X Max A Min B C D X X X X KI SS2011: Suche in Spielbäumen 17/20

18 Alpha-Beta Suche: Eigenschaften Für Spielbaum der Tiefe m mit Verzweigungsgrad b Fazit: Spielbaum muss nicht vollständig durchsucht werden Komplexität (Zeit): optimale Reihenfolge in der Knoten besucht werden: O(b m/2 ) zufällige Reihenfolge: O(b 3m/4 ) Laufzeit exponentiell in der Tiefe in des Spielbaums Im best-case kann Alpha-Beta Suche doppelt so tief im Spielbaum suchen wie Minimax KI SS2011: Suche in Spielbäumen 18/20

19 Reihenfolge der Knotenerzeugung: Schach Gute Reihenfolge der Knotenerzeugung für Schach: 1 Schlagen 2 Bedrohen 3 Vorwärts ziehen 4 Rückwärts ziehen Erzielt Laufzeit von O(2b m/2 ) KI SS2011: Suche in Spielbäumen 19/20

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