Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung!

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1 Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! 1

2 Wie gewinnt man ein Spiel? Was ist ein Spiel? 2

3 Verschiedene Spiele Schach, Tic-Tac-Toe, Go Memory Backgammon Poker Nim, Käsekästchen... 3

4 Einschränkungen Zwei Spieler! Kein Zufall! Vollständige Information! Terminiert! Gewonnen hat, wer als letzter zieht! Symmetrie! 4

5 Schach, Tic-Tac-Toe, Mühle verstoßen gegen Symmetrie Nim, Käsekästchen sind symmetrisch (oder objektive Spiele) Objektive Spiele besitzen nur eine Art von Objekten (Steine, Münzen, Spielfiguren) Nicht objektive Spiele besitzen Objekte in zwei verschiedenen Farben, die den Spielern zugeordnet sind (schwarze/weiße Schachfiguren). 5

6 Wie gewinnt man so ein Spiel? Modellierung! Graphentheorie! 6

7 Knoten: Alle möglichen Spielsituationen Kanten: Kante von A nach B bedeutet, wenn A kann Spieler B erreichen 7

8 Beispiel: Nim-Graph!

9 Wie lässt sich aus Graph Strategie herleiten? Markieren von Gewinn- und Verlustsituationen! 9

10 Ein Knoten mit Ausgangsgrad 0 ist Verlustposition! 10

11

12 Ein Knoten mit Ausgangsgrad 0 ist Verlustsituation! Ein Knoten, von dem aus Verlustsituation erreichbar ist, ist Gewinnsituation! 12

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14 Ein Knoten mit Ausgangsgrad 0 ist Verlustsituation! Ein Knoten, von dem aus Verlustsituation erreichbar ist, ist Gewinnsituation! Ein Knoten, von dem aus nur Gewinnsituationen erreicht werden können, ist Verlustsituation! 14

15

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17 Strategie Stelle Spielgraphen auf! Bestimme Gewinn- und Verlustsituationen! Wenn Gewinnsituation: Ziehe auf Verlustsituation! Wenn Verlustsituation: Mach irgendwas und hoffe, dass Gegner nicht auf Verlustposition zieht! 17

18 Problem Geht das auch einfacher? 18

19 Nim-Spiel, k Haufen mit n 1,... n k Münzen: Graph hat Π k i=1 (n i + 1) Knoten! 19

20 Vereinfachung: Man ignoriert die Reihenfolge der Münzhaufen Bis zu k! alte Knoten können durch einen neuen Knoten dargestellt werden. Abstrahieren beim Modellieren lohnt sich! 20

21 Geht es noch einfacher? 21

22 Idee: Suche Invariante für Verlustsituationen! Gefunden: Stelle Größe der Münzhaufen als Bitvektoren dar und XORe sie! Wenn Ergebnis 0-Vektor Verlust-, sonst Gewinnsituation. ( = 0110) Ergebnis bei Spielsituation A heiße e(a). 22

23 Wie kommt man darauf? Intuition, Ausprobieren, Glück... 23

24 Wie beweist man, dass diese Aussage stimmt? Letzte Spielsituation Z eines Spieles erfüllt e(z) = 0; A mit e(a) 0 B mit e(b) = 0; B mit e(b) = 0 A mit e(a) 0. 24

25 Spielsituation A mit e(a) 0: n 1... n k Es gibt i, so dass n i eine 1 an gleicher Stelle hat, an der e(a) erste 1 enthält. n i e(a) < n i Entferne vom i-ten Haufen so viele Münzen, dass n i e(a) Münzen übrigbleiben. e(b) = n 1... (n i e(a))... n k = e(a) e(a) = 0 25

26 Spielsituation B mit e(b) = 0: n 1... n k Entfernt man von Haufen i m Münzen, so gibt es ein e 0, so dass n i e = n i m gilt (e = n i (n i m)). e(a) = n 1... (n i e)... n k = e(b) e = e 0 26

27 Clevere Algorithmen helfen! 27

28 Wichtig ist Struktur eines Graphen, nicht die Beschriftung der Knoten! 28

29 Wichtig bei einem Spiel sind die in einem Zug erreichbaren Zustände, nicht die Beschreibung der Situationen! Beschrifte Knoten mit Menge der erreichbaren Zustände! 29

30 21 {20,11,01} 20 {10,00} 11 {10,01} 01 {00} 10 {00} 00 30

31 21 {20,11,01} 20 {10, } 11 {10,01} 01 { } 10 { } 00 31

32 21 {20,11, { }} 20 {{ }, } 11 {{ }} 01 { } 10 { } 00 32

33 21 {{{ }, }, {{ }}, { }} 20 {{ }, } 11 {{ }} 01 { } 10 { } 00 33

34 Bestmögliche Abstraktion auf das Wesentliche! Ein objektives Spiel ist eine Menge objektiver Spiele. 34

35 Sind A = {B} und B = {A} objektive Spiele (nach obiger Definition)? 35

36 Eine Menge A ist genau dann ein objektives Spiel, wenn sich beweisen lässt, dass A ein objektives Spiel ist. 36

37 Wie entscheidet man, ob ein Graph bipartit ist? 37

38 Idee: Markiere Knoten in V 1 und in V 2 mit verschiedenen Farben. Wähle Knoten und färbe ihn schwarz (zu V 1 gehörend). Färbe alle Nachbarn weiß (zu V 2 gehörend). Färbe alle Nachbarn dieser Knoten schwarz

39 Klar: Alle Nachbarn von weißen Knoten müssen schwarz sein und umgekehrt! Klar: Geht das nicht, kann der Graph nicht bipartit sein! Klar: Bei mehreren Zusammenhangskomponenten für jede Komponente wiederholen! 39

40 Beweis? Geht entsprechendes auch für 3-Färbbarkeit? 40

41 Wie findet man den kürzesten Weg von Knoten u zu Knoten v? Wenn kürzester Weg über u geht, ist Abschnitt bis u kürzester Weg von u nach u und Abschnitt von u ab kürzester Weg von u nach v. 41

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43

44

45 Breitensuche Finde alle kürzesten Wege von u den Knoten, die 1 von u entfernt sind, und markiere diese Knoten mit 1. Finde alle kürzesten Wege von u zu den Knoten, die 2 von u entfernt sind, und markiere diese Knoten mit

46 Die Knoten, die i + 1 von u entfernt sind, sind direkt zu Knoten benachbart, die i von u entfernt sind Suche unter den zu Knoten, die i von u entfernt sind, nach benachbarten Knoten, die noch nicht markiert sind und markiere diese mit i

47 Wenn v erreicht wurde: Entlang fallender Markierungen zu u zurück gehen (kürzester Pfad rückwärts) Bipartit und Kürzeste Pfade: Gleiche Grundidee! 47

48 Setze V 1 = {v V : Kürzester Pfad von u zu v ungerade} und V 2 = {v V : Kürzester Pfad von u zu v gerade}. Falls Zusammenhangskomponente nicht bipartit: Es gibt benachbarte Knoten in der gleichen Menge! Falls Zusammenhangskomponente bipartit: Alle Knoten, die i von u entfernt sind, haben eine andere Farbe als die Knoten, die i ± 1 von u entfernt sind (Induktion) Farben wechseln sich ab 48

49 Angenommen, u 1 und u 2 in gleicher Menge durch Kante verbunden. u 1 und u 2 verschieden weit von u entfernt, u 1 näher an u. u 2 mindestens zwei mehr von u entfernt Widerspruch, da kürzerer Weg möglich! 49

50 u 1 und u 2 gleich weit von u entfernt Per Induktion lässt sich Widerspruch nachweisen. V 1 und V 2 lassen sich direkt angeben! 50

51 Schnelles Berechnen der Wegematrix Ungerichteter Graph: Liste alle Knoten erster Zusammenhangskomponenten auf, dann alle Knoten zweiter,... Wegematrix bestaht aus Einserblöcken auf Diagonale:

52 Gerichteter Graph: Sg(A G + A 2 G An G ) n(n+1) 2 Matrixmultiplikationen (die n 3 Schritte brauchen) 52

53 Besser: Merken der bisher berechneten Produkte: n Matrixmultiplikationen 53

54 Binomische Formel (A G + I) k = k i=0 ( k i ) A i G Binomialkoeffizienten alle positiv, Einträge alle positiv: Sg((A G + I) n I) = Sg( k i=1 ( k i) A i G ) = Sg( k i=1 A i G ) 54

55 Berechne M = A G + I. Berechne M 2, M 4, M 8,... M 2 ld(n) = W Berechne Sg(W I) = W G Nur noch ld(n) Matrixmultiplikationen! 55

56 Matrixmultiplikation geht auch schneller als n 3 (Geschickte Zerlegung in Teilmatrizen), aber: Zahlen können sehr groß werden! Nach jeder Quadrierung I abziehen, Sg berechnen, I addieren! 56

57 Warshall-Algorithmus Läuft mit kubischem Zeitbedarf. Leicht zu implementieren. 57

58 W G := A G ; for k=1 to n do for i=1 to n do for j=1 to n do if W G [i, k] = 1 and W G [k, j] = 1 then W G [i, j] := 1; Idee: Wenn es Weg von i nach k über Knoten < k und Weg von k nach j über Knoten < k, dann gibt es Weg von i nach j über Knoten < k + 1 (Rest ist Induktion) 58

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