Analysis 1, Woche 2. Reelle Zahlen. 2.1 Ordnung. Definition 2.1 Man nennt eine Ordnung für K, wenn. 1. für alle a K gilt a a (Reflexivität),

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1 Aalysis 1, Woche 2 Reelle Zahle A1 2.1 Ordug Defiitio 2.1 Ma et eie Ordug für K, we 1. für alle a K gilt a a (Reflexivität), 2. für alle a, b K mit a b ud b a gilt a = b (Atisymmetrie), 3. für alle a, b, c K mit a b ud b c gilt a c (Trasitivität). Defiitio 2.2 (K, ) et ma total geordet, we eie Ordug für K ist ud zusätzlich 4. für alle a, b K gilt, a b oder b a. Defiitio 2.3 (K, +,, ) heißt ei total geordeter Körper, we 1. (K, +, ) ei Körper ist, 2. (K, ) total geordet ist, 3. für alle a, b, c K mit a b gilt a + c b + c, 4. für alle a, b, c K mit a b ud 0 c gilt a c b c. (K, +, ) heißt eie total geordete Gruppe, we (K, +) eie Gruppe ist ud die Bediguge 2 ud 3 aus Defiitio 2.3 erfüllt sid. Ma ka zeige, dass (Z, +, ) eie total geordete Gruppe ist ud (Q, +,, ) ei total geordeter Körper. We (K, ) total geordet ist, da heißt k K eie obere Schrake für die Teilmege A K, we für alle a A gilt, dass a k. Beispiel 2.4 Nehme wir (Q Q, ), wobei,,(q 1, q 2 ) (p 1, p 2 ) defiiert wird durch,,q 1 p 1 ud q 2 p 2, da ist eie Ordug aber icht eie totale Ordug, de für r = ( 1 3, 2 3) ud s = ( 1 2, 1 2) gilt weder r s och s r. 11

2 Oktober 2015 Woche 2, Reelle Zahle 2.2 Eie Eiführug der reelle Zahle Defiitio 2.5 Eie Relatio auf M heißt Äquivalezrelatio, we 1. für alle x M gilt: x x (Reflexivität), 2. für alle x, y M gilt: x y = y x (Symmetrie), 3. für alle x, y, z M gilt: (x y y z) = x z (Trasitivität). Mit Hilfe der Ordug ud eier Äquivalezrelatio lasse sich die reelle Zahle eiführe. Defiitio 2.6 (R als Grezwerte beschräkter mooto wachseder Folge) Eie erste Kostruktio: 1. Sei F die Mege aller Folge ratioaler Zahle, die mooto wachsed 1 ud ach obe beschräkt 2 sid. (beide Folge sid äquiva- 2. Für {a } =0, {b } =0 F sagt ma {a } =0 {b } =0 let), we für jedes q Q gilt a q für alle N b q für alle N. Aders gesagt: beide Folge habe die gleiche obere Schrake. 3. R := (F, ), das heißt, ma idetifiziert äquivalete Folge ud defiiert R als die Mege der Äquivalezklasse. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a Ma ka Q als Teilmege vo R betrachte, idem ma für q Q die Äquivalezklasse der Folge {q, q, q, q, q,... } immt. We ma jedoch jedes mal ei Elemet vo R als Äquivalezklasse eier bestimmte Folge beschreibe würde, wird ma schell müde. Stattdesse versucht ma solche Elemete kürzer zu beschreibe. Wir gebe ei paar Beispiele. Die Äquivalezklasse zu {a } =0, die ma i (1.5) defiiert hat, et ma 2. Die Äquivalezklasse zu {( 1 + ) 1 } et ma e. =0 Ma ka zeige, dass diese Folge tatsächlich wachsed ist. Als erste Schritt zeige wir Dies folgt aus: m + 1 m für m 1. (2.1) ( m + 1) ( + 1) = 2 m + 2 m m + 2 = ( m + 2). 1 Eie Folge {a } =0 heißt (mooto) wachsed we a 0 a 1 a 2... Geauer gesagt, we a a +1 für alle N. Ma et die Folge streg wachsed, we a < a +1 für alle N. 2 Eie Folge {a } =0 heißt ach obe beschräkt, we es eie Zahl M gibt mit a M für alle N.

3 2.2 Eie Eiführug der reelle Zahle 29. Oktober Mit der Ugleichug i (2.1) für 1 m k fide wir, dass ( k) ( ) k 1 = 1 k!... k k! k = ( ) ( +1 1 k + 1 Aus (2.2) folgt wiederum, dass die Folge mooto wachsed ist: ( 1 + ) 1 ( ) ( k = k) 1 k 1 ( = 1 + k) ( ) k 1 k=1 ( ) ( ) k 1 k + 1 Die Folge ist auch beschräkt: ( ) = +1 k=1 ( +1 ) ( 1 k + 1 ( k) ( ) k 1 = 1 k! ) k = ( ) k. (2.2) ) k k! k (k 1) = k=2 k (k 1) ( 1 = 2 + = 2 + = 2 + k=2 ( k (k 1) ) + = ( k 1 1 ) = k k=2 ) ( ) = Die Äquivalezklasse zu { } 8 (4k+1)(4k+3) =0 et ma π. Das diese Zahl auch de Flächeihalt der Eiheitsscheibe ergibt, köe wir icht mit elemetare Mittel zeige. Ma soll sich bis die Vorlesug Fuktioetheorie gedulde. Es stellt sich heraus, dass R eie verüftige Struktur hat ud auf atürliche Weise die Löcher i Q auffüllt, we wir Additio, Multiplikatio ud Ordug für R passed defiiere. Passed heißt, dass die Defiitio für Elemete aus Q die übliche bleibt ud sich auf atürliche Art ergäzt für Elemete aus R. Ei Paar Sache werde wir zeige. Erstes die Additio. Die ist relativ eifach. Ma defiiert x + y, idem ma zwei Folge ratioaler Zahle zu x ud y immt, sage x : = {x } =0 F ud y : = {y } =0 F, ud schreibt x + y : = {x + y } =0. Mit x : = {x } =0 ist gemeit, dass {x } =0 ei Vertreter aus F ist für die Äquivalezklasse zu x (F, ). Ma ka zeige, dass {x + y } =0 F ud die dazu gehörede Äquivalezklasse icht abhägt vo de Vertreter {x } =0 ud {y } =0.

4 Oktober 2015 Woche 2, Reelle Zahle Auch ka ma scho zeige, dass drei Eigeschafte eies Körpers (Assoziativität, Existez vo eiem eutrale Elemet ud Kommutativität bezüglich der Additio) erfüllt sid. Für die Existez eies additiv iverse Elemetes zu x ka ma icht eifach { x } =0 ehme, weil diese Folge icht mooto wachsed ist. We x (F, ), gibt es aber ei x (F, ), ud das sieht ma zum Beispiel mit Hilfe des folgede Algorithmus. Dieser liefert eie Folge {b } =0, die x vertritt. Algorithmus Sei q Q eie obere Schrake für x = {x } =0 b 0 := q, := 0 ud s := We b s eie obere Schrake ist für {x } =0, setze b +1 := b + s We b s keie obere Schrake ist für {x } =0, setze 3. := + 1 ud gehe zurück zu 2. b +1 := b ud s := 1 2 s. ud setze Die Folge {b } =0 soll x : = {b } =0 liefer. Da muß ma aber och zeige, dass x + ( x) = 0 oder besser gesagt: dass 0 die kleiste obere Schrake für {x + b } =0 ist. 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 56 7 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b x 6 7 x x 76 5 x 4 3 x 2 x 1 0 Abbildug 2.1: We x = {x 1, x 2,... } wachsed ist, da ist { x 1, x 2,... } falled ud deshalb icht passed für x. Für eie passede Defiitio vo x soll ma eie wachsede Folge bestimme. So eie Folge ist i grü dargestellt. Die Multiplikatio i R ist scho lästiger zu defiiere. We x : = {x } =0 F ud y : = {y } =0 F so sid, dass x ud y positiv sid für geüged groß, da setzt ma x y : = {max (0, x ) max (0, y )} =0. Auch hier muß ma zeige, dass das Ergebis icht vom zufällige Vertreter abhägt. We für alle x gilt, dass x < 0, aber y > 0 für geüged groß, da beutzt ma zweimal de Algorithmus für das additiv Iverse ud defiiert ud so weiter. x y = (( x) y), Die Ordug wird wie folgt defiiert i R. Seie x, y vertrete durch mooto wachseder Folge {x } =0 ud {y } =0 F, da setzt ma x y, we: {x } =0 {y } =0 oder N N : N x y. (2.3) Auch hier muss ma kotrolliere, dass die Defiitio icht vo de spezifische Vertreter abhägt, dass ma so eie totale Ordug bekommt, ud sie die Ordug auf Q erweitert.

5 2.3 Adere Eiführuge der reelle Zahle 29. Oktober Bemerkug Bemerke, dass ur die zweite Hälfte i (2.3) als Defiitio der Ordug auf R icht wohldefiiert ist. De mit ur dieser zweite Hälfte als Defiitio für x y, würde ma für x = 1 ud y = fide, dass +1 { } {1} =0, + 1 =0 obwohl beide Folge zu der reelle Zahl 1 gehöre. Weil bei eier totale Ordug gilt: > (größer) ist (icht kleier gleich), würde diese zu 1 > 1 führe. Das gaze ist eie ziemliche lagwierige Sache ud die Ergebisse sid icht sehr überrasched. Ma fidet jedoch, dass für Elemete aus Q die übliche Additio, Multiplikatio ud Aordug erhalte bleibe. Auch gilt das folgede Ergebis. Theorem 2.7 (R, +,, ) ist ei total geordeter Körper. Notatio 2.8 Die folgede Teilmege vo R et ma Itervalle. Seie a, b R mit a < b. [a, b] := {x R; a x b}; (abgeschlossees Itervall) (a, b) := {x R; a < x < b}; (offees Itervall) (a, b] := {x R; a < x b}. Machmal sieht ma auch: (, b] := {x R; x b}. Die Bedeutug vo [a, b), [a, ), (a, ) ud so weiter ka ma errate. Wir habe hier die Symbole (egativ uedlich) ud (positiv uedlich) beutzt. ud sid keie Zahle ud liege icht i R. Ma schreibt ab ud zu trotzdem R := R {, }. Mit ( R, +, ) ka ma aber icht mehr wie mit eiem Körper arbeite: lässt sich icht verüftig defiiere. 2.3 Adere Eiführuge der reelle Zahle Statt mooto wachseder, ach obe beschräkter Folge i Q zu ehme, ka ma auf ähliche Art auch mooto ach ute beschräkte Folge i Q ehme. Das wäre eie zweite Kostruktio. b b b 87 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 Für eie ächste Möglichkeit brauche wir die Betragsfuktio. Sei K eie Gruppe oder ei Körper mit eier totale Ordug. Da setzt ma { a we a 0, a = a we a < 0. Ud a < 0 bedeutet 0 a ud a 0.

6 Oktober 2015 Woche 2, Reelle Zahle Defiitio 2.9 (R durch Cauchy-Folge vo ratioale Zahle) Eie dritte Kostruktio: 1. {a } =0 mit a Q heißt eie Cauchy-Folge (auch Fudametalfolge geat), we: ε > 0 N ε N:, m N ε a a m < ε. Sei CF die Mege aller Cauchy-Folge i Q. 2. Für {a } =0, {b } =0 CF sagt ma {a } =0 {b } =0 (beide Folge sid äquivalet) we ε > 0 M ε N: M ε a b < ε. 3. R := (CF, ). c 1 c 3 c 5 c 7 c c 8 c 6 c 4 c 2 Defiitio 2.10 (R durch Dedekidsche Schitte) Eie vierte Kostruktio: 1. (A, B) heißt Schitt vo Q, we A, B Q mit (a) A, B ud A B = Q ud A B =. (b) für jedes a A ud b B gilt a b. 2. we es q Q gibt mit a q für alle a A ud q b für alle b B, da sage wir die folgede Schitte sid äquivalet: (A\ {q}, B {q}) (A {q}, B\ {q}). 3. Sei S die Mege aller Schitte i Q ud R := (S, ). Beispiel 2.11 Ei Schitt für 2 ist A = {a Q; a 0 oder a 2 2}, B = {a Q; a 0 ud a 2 2}. Weil es keie Zahl a Q gibt derart, dass a 2 = 2 folgt A B =. Defiitio 2.12 (R durch Itervallschachteluge) Eie füfte Kostruktio: 1. {I } =0 mit I = [a, b ] ud a < b heißt eie Itervallschachtelug, we (a) für jedes N gilt I +1 I ; (b) es für jedes ε > 0 ei Itervall I gibt mit Läge b a < ε.

7 2.3 Adere Eiführuge der reelle Zahle 29. Oktober Sei I die Mege der Itervallschachteluge i Q. 2. Zwei Itervallschachteluge {I } =0 ud {J } =0 heiße äquivalet, we für jedes N gilt I J. 3. R := (I, ). a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 7 ab b b 8 b 7 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 Beispiel 2.13 Eie Itervallschachtelug für 2 ist {[a, b ]} N mit a 0 = 1 ud a +1 = 3a2 +2 4a für N, b 0 = 2 ud b +1 = 3b2 +2 4b für N Nur eie vollstädige Erweiterug? Zu diese verschiedee Eiführuge vo R sollte ma aber eiige Frage kläre. Zum Beispiel: Liefer diese Verfahre alle das gleiche Ergebis? Ma fidet, mit Q agefage, eie größere Mege, die ma R et. We ma ei ähliches Verfahre loslässt auf R, bekommt ma da eie och größere Mege? Selbstverstädlich sid mooto wachsede Folge keie mooto fallede Folge ud ma hat streg geomme zwei verschiedee Ergebisse, we ma bei de erste beide Kostruktioe ur die Form der Kostruktio betrachtet. Trotzdem soll ma das Gefühl habe, dass diese zwei Methode keie wesetliche Uterschied herbeiführe. I der Mathematik verwedet ma de Begriff isomorph. Ma meit mit,,a ist isomorph zu B, dass es icht ur eie bijektive Abbildug vo A ach B gibt, soder dass diese Abbildug auch die Struktur erhält 3. Bevor wir die zweite Frage beatworte köe, brauche wir: Defiitio 2.15 Sei (K, ) total geordet. Da heißt K vollstädig bezüglich der Ordug, we jede icht-leere ach obe beschräkte Mege M K eie kleiste obere Schrake hat. Diese kleiste obere Schrake vo M heißt das,,supremum vo M ud ma schreibt sup M. 3 Der Begriff Isomorphie hägt ab vo der betreffede Struktur. Defiitio 2.14 Zwei total geordete Körper (K, +,, ) ud (L,,, ) heiße isomorph, we es eie bijektive Abbildug ϕ : K L gibt, so dass: 1. ϕ(a + b) = ϕ(a) ϕ(b); 2. ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b); 3. a b ϕ(a) ϕ(b).

8 Oktober 2015 Woche 2, Reelle Zahle Theorem 2.16 Es gibt, bis auf Isomorphie 4, eie eideutige Erweiterug R vo Q, die vollstädig ist bezüglich der Ordug. Es gibt Erweiteruge vo Q, die echt kleier sid als R, aber icht vollstädig bezüglich der Ordug sid. Zum Beispiel ist auch Q [ 2 ] := { p + q 2; p, q Q } eie Erweiterug vo Q. 2.4 Eigeschafte Abzählbarkeit Wir habe gesehe, dass Q abzählbar uedlich ist. Wie ist das mit R? Theorem 2.17 R ist icht abzählbar. Beweis. Wir ehme a, {x 0, x 1, x 2,... } sei eie Abzählug vo R, ud werde eie Widerspruch erzeuge. Das fuktioiert wie folgt. Zu jedem x ka ma die Dezimaletwicklug als Folge ehme. So wie 2 die Äquivalezklasse vo der mooto wachsede ud beschräkte Folge {1, 1.4, 1.41, 1.412,... } darstellt. Wir defiiere y durch eie Folge {y } =0, die wir als Dezimaletwicklug defiiere, wo die -te Dezimale vo y (eie Ziffer vo 0 bis 9) ugleich der -te Dezimale vo x gewählt wird (ud auch ugleich 9). Also zum Beispiel für die reelle Zahle x 0 = {50, 51, 51.3, 51.34, , } x 1 = {400, 440, 444, 444.6, , } x 2 = {0,.1,.19,.191,.1912,.19121, } x 3 = {3, 3.1, 3.12, 3.123, , ,... }... wäre die Dezimale, die zu meide sid, Wir ersetze da die Ziffer k durch k + 1 oder k 1. Die Ziffer 9 ud 0 solle dabei vermiede werde. Nehme zum Beispiel y = {2, 2.7, 2.78, 2.784,... }. Die Zahl y liegt i R (die Folge ist mooto wachsed ud beschräkt) aber icht i der Abzählug, weil y sich vo jedem x i midestes eier Dezimalstelle uterscheidet ud daher keiem x gleicht. Die Ziffer 9 ud 0 solle vermiede werde, weil = Die Dezimaletwicklug vo reelle Zahle ist leider icht eideutig (surjektiv aber icht ijektiv!). Obwohl Q abzählbar ist ud also deutlich weiger Elemete hat als das überabzählbare R, gelte die folgede Ergebisse: Lemma 2.18 Für alle x, y R mit x < y gibt es ei q Q, so dass x < q < y. Für alle p, q Q mit p < q gibt es x R\Q so dass p < x < q. Q liegt dicht i R, das heißt, für jedes x R ud ε > 0, gibt es q Q mit x q < ε. Die Beweise dieser Aussage sollte ma selber zeige köe. 4 A ud B heiße isomorph, we es eie bijektive Abbildug f : A B gibt, die die Struktur vo A ud B behält.

9 2.4 Eigeschafte 29. Oktober Vollstädigkeit Eie gaz wichtige Bestadteil vo Theorem 2.16 möchte wir och mal betoe. Korollar 2.19 (R, ) ist vollstädig, das heißt, jede icht leere, beschräkte Mege aus R hat ei Supremum. Für eie adere Möglichkeit, diese Vollstädigkeit zu formuliere, braucht ma de Begriff,,Grezwert. Defiitio 2.20 Sei {a } =0 eie Folge vo Zahle i R. Die Folge heißt koverget ach a R, we Folgedes gilt: ε > 0, N ε N, N ε a a < ε. Ma schreibt lim a = a ud et a de Limes oder Grezwert. Die meistbeutzte Formulieruge der Vollstädigkeit vo R fasst ma wie folgt zusamme: Theorem 2.21 Sei R wie i Defiitio 2.6. Da gilt: Jede beschräkte icht leere Mege i R hat ei Supremum i R. Jede mooto wachsede, ach obe beschräkte Folge i R hat eie Limes i R. Jede mooto fallede, ach ute beschräkte Folge i R hat eie Limes i R. Jede Cauchy-Folge i R ist koverget i R.

10 Oktober 2015 Woche 2, Reelle Zahle