Kapitel 3 Folgen von reellen Zahlen

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1 Wolter/Dah: Aalysis Idividuell 4 Kapitel 3 Folge vo reelle Zahle Wir befasse us i diesem Abschitt mit Zahlefolge, die u.a. zur Eiführug ud 3/0/0 Behadlug des für die Aalysis äußerst wichtige Grezwertbegriffes uerläßlich sid. Defiitio. (Folge) 3/0/ F ist eie Folge (vo reelle Zahle) F ist eie Abbildug vo IN i IR, d.h., jeder atürliche Zahl wird eie reelle Zahl a zugeordet, so daß F () = a. Bez.: F = (a ) =0,,,... oder eifach F = (a ). Die a heiße Folgeglieder. 3/0/ Für de praktische Gebrauch ka die Folge auch mit dem Glied a k, k > 0, begie. Hierzu müßte die Defiitio wie folgt verallgemeiert werde: Eie Folge F ist eie Abbildug aus IN i IR, wobei D(F ) uedlich ist. Beispiele. 3/0/3 (a ) = ( ) ( = +,, 3, 4,... ). Betrachtet ma (a ) = ( ), da wird selbstverstädlich ageomme, daß die Folge icht mit a 0 begit, soder erst mit a. ( ( ) ) (a ) = = ( 0,, 0, +, 0, 3,... ), ( ( ) ) ( (a ) = + + ( ) = +, ( + ), ( + ) ) 3,..., + 3 }{{}}{{}}{{} (a ) = ( ( ) ) = (,,,,,,...), (a ) = (0) = (0, 0, 0,...), (a ) = () = (0,,, 3,...). Nicht alle Folge, die ma bilde ka, sid für us iteressat. Wir soder mit Hilfe 3/0/4 eier Defiitio eie besoders wichtige Teilklasse aus. 3. Kovergez vo Folge Defiitio. (Kovergez) 3//0 Sei (a ) eie Folge ud a IR. (a ) ist koverget gege a Für jedes ε > 0 existiert ei 0, so daß für jedes 0 gilt: a a < ε. I diesem Falle heißt a Grezwert oder Limes vo (a ). Bez.: a = lim a oder a = lim a oder auch eifach a oder a a.

2 Um de Kovergezbegriff möglichst aschaulich zu formuliere, sage wir auch: 3// I jeder ε-umgebug vo a liege fast alle Folgeglieder a. Fast alle bedeutet alle, mit Ausahme höchstes edlich vieler. Defiitio. 3// () (a ) kovergiert (oder ist koverget ) i IR Es existiert ei a IR, so daß (a ) gege a kovergiert. () (a ) divergiert (oder ist diverget ) i IR (a ) ist icht koverget i IR. Bemerkug. Im folgede bedeutet Kovergez we ichts aderes vereibart 3//3 wird immer Kovergez i IR. Beispiele.. Sei (a ) = ( ). Behauptug: (a ) kovergiert gege 0. Beweis. z.z.: Für beliebiges ε > 0 gibt es ei 0, so daß für jedes 0 0 = < ε. Sei ε > 0. Nach Satz.() existiert ei 0, so daß 0 = < ε. 0 Also lim = 0. (. Sei (a ) = Behauptug: a. Beweis. Sei ε > 0. Es ist a = = = = 0 < ε. Für 0 gilt: ist da ). 3//4/ }{{} = 7. Ist 0 > 7 ε, da gilt für alle 0 : a < ε }{{}

3 3. Sei (a ) = ( ( ) ). 3//4/3 Behauptug: (a ) ist diverget (i IR). Aahme: (a ) kovergiert gege a IR. Nach Defiitio der Kovergez erhält ma: Für jedes ε > 0 existiert ei 0, so daß für jedes 0 gilt: a a < ε. Dies gilt isbesodere für ε =. Für a sid zwei Fälle möglich: a 0 oder a < 0. Fall. a 0. Ist ugerade, da ist a =. Folglich ist Fall. a <. = ε > a a = a = + a,! Ist gerade, da ist a = ud damit gilt = ε > a a = + ( a) >,! }{{} > 0 Folglich ist (a ) icht koverget. Satz 3. Eie Folge (a ) hat höchstes eie Grezwert 3//5 (d.h., (a ) kovergiert gege höchstes eie Zahl). Beweis. Ageomme, a a ud a b ud a b. 3//6 Da ist a b > 0. Nach Defiitio der Kovergez gilt: Für jedes ε > 0 existiert ei 0, so daß für jedes 0 : a a < ε, ud es existiert ei m 0, so daß für jedes m 0 : a b < ε. a b Das gilt speziell für ε =. Ist k = max{ 0, m 0 }, da gilt für k a b = a a + a b a a + a b < ε. Also a b < ε = a b = a b! Defiitio. (Nullfolge) 3//7 Eie Folge (a ) heißt Nullfolge (a ) kovergiert gege 0. 43

4 Beispiele. ( ). ud (0) sid triviale Beispiele für Nullfolge. 3//8/. Es sei a < ud (a ) = (a ). 3//8/ Um achzuweise, daß (a ) eie Nullfolge ist, g.z.z.: We ε > 0, da existiert ei 0, so daß für jedes 0 : a 0 < ε. Sei ε > 0. Für a = 0 ist die Behauptug trivial. Es sei jetzt a 0. Wege a < ist a >. Nach dem Korollar zur Beroullische Ugleichug existiert für eie atürliche Zahl ( ) 0 ε 0, so daß > a ε. Folglich ist a 0 > 0 ε, also a 0 < ε. Für 0 gilt damit a 0 = a a 0 < ε. Satz 3. (a ) kovergiert gege a (a a) kovergiert gege 0. 3//9 Beweis. Trivial. 3//0 Defiitio. (Beschräktheit bei Folge) 3// Sei (a ) eie Folge vo reelle Zahle. () (a ) ist ach obe (bzw. ach ute) beschräkt Es existiert ei c IR, so daß a c (bzw. c a ) für jedes. () (a ) ist beschräkt (a ) ist ach obe ud ach ute beschräkt. Folgerug. (a ) ist beschräkt gdw ei c IR existiert, so daß a c. 3// ( ) Beispiel. (a ) = 00 ist beschräkt. 3//3! ( ) ( 00 = 00 0, 00, 00,..., 0000! 0!!! 00!, 00 0 ) 0!,... }{{}}{{}}{{} ist offebar eie utere Schrake vo (a ). Es bleibt och achzuweise, daß es auch eie obere Schrake gibt, obwohl es aufgrud der erste Glieder icht so zu sei scheit. Für 00 ud = 00 + k ist 44

5 a = 0000+k (00 + k)! = k ! 0 0 (00 + k) 00! }{{} < Für < 00 ist offesichtlich a a 00. Folglich ist a 00 (a ). Bemerkug. ( ) 00 ist sogar eie Nullfolge. De für = 00 + k ud k 0 ist! a = 0000+k (00 + k)! = k c 00 00! }{{} 0 0 (00 + k) 00 + k ; }{{} := c k ud für beliebiges ε > 0 ist da c 00 < ε c 00 < 00 + k =, 00 + k ε d.h., für fast alle gilt a 0 = a 00+k < ε. = a 00. eie obere Schrake vo Satz 3.3 Jede kovergete Folge ist beschräkt. 3//4 Beweis. Es sei (a ) koverget gege a. 3//5 Für ε = existiert da ei 0, so daß für jedes 0 gilt: a a < ε =. Es sei d := max{ a 0 a : < 0 }, = a a d für alle < 0. Für beliebige gilt da: a a < + d. Hieraus erhält ma a = a a + a a a + a < + d + a := c. }{{} < +d Folglich ist (a ) beschräkt. Defiitio. (Häufugspukt eier Folge) Es sei (a ) eie Folge ud a IR. a ist ei Häufugspukt (oder Verdichtugspukt) vo (a ) I jeder ε-umgebug vo a liege uedlich viele Folgeglieder a 3//6 (die utereiader auch gleich sei dürfe, d.h., für jedes ε > 0 ud für jedes 0 gibt es ei 0, so daß a a < ε). Satz 3.4 Jede beschräkte Folge besitzt weigstes eie Häufugspukt. 3//7 45

6 Beweis. Sei (a ) beschräkt ud M = {a : IN}. 3//8. Fall: M ist edlich. Da müsse uedlich viele Folgeglieder utereiader gleich sei: a 0 = a = a = := a. Folglich ist a ei Häufugspukt vo (a ).. Fall: M ist uedlich. Nach dem Satz vo Bolzao-Weierstraß besitzt M als icht-leere ud beschräkte Mege eie Häufugspukt a. Dieses a ist da auch Häufugspukt der Folge (a ). Bemerkug. Es gibt Folge, die icht beschräkt sid ud 3//9 (a) keie Häufugspukt besitze, (b) geau eie Häufugspukt besitze, (c) für jedes k IN geau k Häufugspukte besitze bzw. (d) uedlich viele Häufugspukte besitze. Beispiele. (a) (a ) = (,, 3,...) (b) (a ) = (0,, 0,, 0, 3,...) (c) (a ) = (,..., k,,,..., k,,,..., k, 3,,..., k, 4,...) (d) Übugsaufgabe! (kei Häufugspukt) (geau ei Häufugspukt) (geau k Häufugspukte) Defiitio. (Teilfolge) 3//0 Es sei (a ) eie Folge ud 0 < < <... (d.h., i < j für i < j; i, j IN). Da heißt ( ) a i Teilfolge vo (a ). i=0,,,... Satz 3.5 (a ) kovergiert gege a jede Teilfolge vo (a ) kovergiert gege a. 3// Beweis. ( ) Sei a a ud (a i ) eie Teilfolge vo (a ). 3// Wege a a gilt: Für jedes ε > 0 existiert ei m 0, so daß für jedes m 0 : a a < ε. Das gilt isbesodere für alle i m 0. Offebar ist i i ud damit a i a < ε für alle i m 0. ( ) trivial, de (a ) ist eie spezielle Teilfolge vo sich selbst. Satz 3.6 Ist a ei Häufugspukt der Folge (a ), da existiert eie Teilfolge vo 3//3 (a ), die gege a kovergiert. 46

7 Beweis. Sei a ei Häufugspukt vo (a ). 3//4 Da gilt: Für jedes ε > 0 ud für jedes 0 existiert ei 0, so daß a a < ε. Für =,, 3,... wähle wir ε =. Damit erhält ma: für ε = ud 0 = gibt es ei 0, so daß a a < ε = ; für ε = ud 0 = + gibt es ei 0, so daß a a < ε = ; für ε 3 = 3 ud 0 = + gibt es ei 3 0, so daß a 3 a < ε 3 = 3 ;.. Wege 0 := 0 < < <... ist (a i ) eie Teilfolge vo (a ), ud (a i ) kovergiert offebar gege a... Korollar. Jede beschräkte Folge ethält eie kovergete Teilfolge. 3//5 Beweis. Sei (a ) beschräkt. Da besitzt (a ) eie Häufugspukt (ach Satz 3.4) 3//6 ud schließlich eie kovergete Teilfolge (ach Satz 3.6). Defiitio. (Limes superior, Limes iferior) 3//7 Es sei (a ) eie beschräkte Folge vo reelle Zahle ud H(a ) die Mege aller Häufugspukte (oder Limites vo kovergete Teilfolge) vo (a ). ( := lim a ) =Df sup H(a ). lim sup a sup H(a ) heißt Limes superior oder oberer Limes vo (a ) [:= größter Häufugspukt i H(a )]. lim if a ( := lim a ) =Df if H(a ),. if H(a ) heißt Limes iferior oder uterer Limes vo (a ) [:= kleister Häufugspukt i H(a )]. Bemerkug. Die Defiitio ist korrekt, de 3//8 () H(a ), da (a ) beschräkt ist. () H(a ) ist beschräkt, de (a ) ist beschräkt; folglich existiere sup H(a ) ud if H(a ). (3) Mit Satz.0 läßt sich zeige, daß sup H(a ) = max H(a ) ud if H(a ) = mi H(a ). (Übugsaufgabe!) Satz 3.7 Für beschräkte Folge (a ) sid die Bediguge () (3) äquivalet : 3//9 () (a ) ist koverget. () (a ) besitzt geau eie Häufugspukt. (3) lim a = lim a. 47

8 Beweis. Übugsaufgabe! 3//30 Defiitio. (mooto wachsed bzw. mooto falled ) 3//3 Sei (a ) eie Folge vo reelle Zahle. () (a ) ist mooto wachsed (bzw. mooto falled ) Für jedes gilt: a a + (bzw. a + a ). () (a ) ist streg mooto wachsed (bzw. streg mooto falled ) Für jedes gilt: a < a + (bzw. a + < a ). Für mooto wachsed bzw. mooto falled schreibe wir gelegetlich auch ei- 3//3 fach mooto. Satz 3.8 Eie mootoe Folge ist koverget gdw sie beschräkt ist. 3//33 Beweis. ( ) Kovergete Folge sid beschräkt (ach Satz 3.3; hierzu ist die Mootoie 3//34 icht otwedig). ( ) Sei (a ) mooto wachsed ud beschräkt (für falled verläuft der Beweis aalog). z.z.: (a ) ist koverget. Sei a = sup{a : IN}. Behauptug: a a. Sei ε > 0. Nach Voraussetzug ist a kleiste obere Schrake vo (a ), d.h., ist a < a, da ist a keie obere Schrake vo (a ). Sei a = a ε, da existiert ei Folgeglied a 0, so daß a ε < a 0. Da (a ) mooto wächst, gilt für alle 0 : a ε < a 0 a a, also a a < ε für 0. Beispiel. (Defiitio der Eulersche Zahl e) Sei a = ( 3//35 + ). Behauptug: (a ) ist streg mooto wachsed ud beschräkt. (Da ist (a ) ach Satz 3.8 koverget.) z.z.:. a < a + für jedes ud. (a ) ist beschräkt. Zu. g.z.z.: a + a > (de alle a sid positiv). Es ist ( ) + ( ) + a = ) = ) a ( + ( + 48

9 = + + = + + ( ) + + ( + ) = + + ( ) ( + ) ( + ) ( ( + ) ) ( + ) = + ( + ) ( + ) }{{} (+) + ( ) + ( + ) = >, (ach der Beroullische Ugleichug) de > ( + )( + + ) > ( + )( + + ) > Also a < a + (ud die letzte Ugleichug gilt offesichtlich). für jedes, ud damit ist (a ) streg mooto wachsed. Zu. (a ) ist beschräkt. Offebar ist a = ( + ) = a für jedes. Weiterhi ist a = ( + ) ( ) < + ( ) + = ( + + := b. ) }{{} > Es geügt zu zeige, daß die Folge (b ) streg mooto fällt. b g.z.z.: > (de alle b b sid positiv). + Der Beweis hierzu verläuft ählich wie für (a ), er wird als Übugsaufgabe gestellt. Damit habe wir Also b = ( + ) = 4 b für jedes. a < a + < b + < b 4. Da ist (a ) mooto wachsed ud beschräkt, also koverget ud (b ) mooto falled ud beschräkt, ud somit auch koverget. Folglich existiere Zahle e ud e, so daß 49

10 lim ( + ) ( ) = e ud lim + + = e. Behauptug: e = e. Aahme: e e. Da ist ε := e e > 0, ud folglich gilt für hireiched große e e = e a + a b + b e e a + a b + b e }{{}}{{} < ε < ε 3 3 < ε 3 + a b. Schließlich gilt a b = ( ) + ( + = ( + ) } {{ } 4 Folglich ist ε = e e < ε! Also e = e. ) + = ( + 4 < ε, falls 3 ε <. ) ( ) Bemerkug. 3//36 ( ) Wege a < e = e < b 4 ist + ( ) < e < + +; folglich läßt sich e beliebig geau durch ratioale Zahle aäher: e, , allerdigs ist e selbst icht ratioal. Satz 3.9 (Cauchysches Kovergezkriterium) 3//37 Eie Folge (a ) ist koverget (i IR) gdw für jedes ε > 0 ei 0 existiert, so daß für jedes m, 0 gilt : a a m < ε. Beweis. ( ) Sei (a ) koverget, a a. 3//38 Nach Defiitio existiert für ε > 0 ei 0, so daß für 0 stets gilt: a a < ε. Folglich ist ( ) a a m = a a + a a m a a + a a m < ε für m, 0. }{{}}{{} < ε < ε Wir zeige zuächst, daß (a ) beschräkt ist. Es sei ε =. Da existiert ei 0, so daß a a m < für jedes m, 0. Für m = 0 ist isbesodere a a 0 <. 50

11 Wir wähle d = max{ a i a 0 : i = 0,..., 0 }. Da gilt für beliebige a a a 0 + a 0 a a 0 + a 0 < + d + a 0 := c. Folglich ist (a ) beschräkt. Damit besitzt (a ) eie Häufugspukt a ud eie kovergierede Teilfolge (a i ) mit a i i a. (Korollar zu Satz 3.6; Satz 3.4) Nach Defiitio gilt da: Für jedes ε > 0 existiert ei m 0, so daß für jedes i m 0 gilt: a i a < ε. Nach Voraussetzug existiert ei m 0, so daß für jedes m, m 0 gilt: a m a < ε. Für, i m 0, m 0 gilt da a a a a i + a i a < ε. }{{}}{{} < ε < ε Also a a. Defiitio. (Cauchyfolge oder Fudametalfolge) 3//39 (a ) ist eie Cauchyfolge (oder Fudametalfolge) Für jedes ε > 0 existiert ei 0, so daß für jedes, m 0 gilt: a a m < ε. Korollar. Cauchyfolge kovergiere i IR. 3//40 Beweis. Der Beweis ist ach Satz 3.9 trivial. 3//4 Da Cauchyfolge i IR kovergiere, et ma IR auch vollstädig (bez. der Kovergez 3//4 vo Cauchyfolge). I diesem Sie ist lq icht vollstädig, de ( + ) ist z.b. eie Cauchyfolge i lq, aber sie ist i lq icht koverget. Wir betrachte jetzt wieder Folge i IR. Satz 3.0 (Eigeschafte kovergeter Folge) 3//43 Es seie (a ), (b ) kovergete Folge ud c, d seie reelle Zahle. Da gilt : () (c a ) ist koverget ud lim(c a ) = c lim a. () (a + b ) ist koverget ud lim(a + b ) = lim a + lim b. (3) (a b ) ist koverget ud lim(a b ) = lim a lim b. ( ) (4) Sid alle b 0 ud ist lim b 0, da ist koverget ud b lim b = lim b. 5

12 (4 ) Sid alle b 0 ud ist lim b 0, da ist ud lim a = lim a. b lim b (5) ( a ) ist koverget ud lim a = lim a. ( ) a b koverget (6) Ist a b für jedes, da ist lim a lim b. Ist isbesodere a d bzw. d b für jedes, da ist lim a d bzw. d lim b. Beweis. Es sei lim a = a, lim b = b ud sei ε > 0. 3//44/ (). Es ist c a c a = c a a := ( ).. Fall: c = 0. = ( ) < ε für jedes 0.. Fall: c 0. = a a < ε für fast alle. c Damit erhält ma I jedem Fall ist also c a c a = c a a < c lim(c a ) = c a = c lim a. (). Nach Voraussetzug gilt: a a, b b. ε c Folglich existiert ei 0, so daß für jedes 0 : Daraus erhält ma für 0. Also a a < ε ud b b < ε. = ε für fast alle. (a + b ) (a + b) = a a + b b a a + b b < ε lim(a + b ) = a + b = lim a + lim b. (3). Es soll a b a b durch ε abgeschätzt werde, ud zwar für fast alle. Es ist bekat, daß a a, b b klei werde für hireiched große. Wir begie zu reche ud versuche ei 0 so zu fide, daß die Abschätzug geligt. a b ab = a b a b + a b ab a b a b + a b ab = a b b + b a a := ( ) }{{}}{{}}{{}? klei klei Nach Voraussetzug ist (a ) koverget, also auch beschräkt durch ei c > 0, d.h., a c. 5

13 Daraus ergibt sich a b b c b b < ε b b < ε c. Dies gilt aber ach () für hireiched große. Aalog gilt auch b a a < ε für große. Damit erhält ma isgesamt ( ) < ε. (4). Um diese Behauptug beweise zu köe, beötige wir zuächst ei Lemma. We lim b = b 0, da existiert ei m 0, so daß für jedes m 0 gilt : 3//44/ b b. Beweis. Sei ε = b. Wege b b gibt es ei m 0, so daß für jedes m 0 gilt: 3//44/3 b b < ε = b. Weiterhi gilt: b b b b < b = b < b b < b = b < b < 3 b = b b. Beweis zu (4). Es ist 3//44/4 b b = b b b b = b b b b = b b b b b b b := ( ). }{{} b Wege b b existiert für ε > 0 ei 0, so daß für jedes 0 b b < ε b. = ( ) < ε für 0. Also lim b = b = lim b. 53 gilt:

14 (4 ). Wege b 0, b b ud b 0 gilt mit (3) a b = a b a b = a b = b b. Da auch a a erhält ma lim a b = a b = lim a lim b. (5). Es ist a a a a < ε für hireiched große. = a a. Also lim a = a = lim a. (6). Sei c := b a ( 0). g.z.z.: lim c 0. De da gilt ja 0 lim c = lim(b a ) = lim b lim a = lim a lim b. Aahme: lim c := c < 0. Sei ε = c = c. Da liege i U ε(c) fast alle c. = c ε < c < c + ε, also c ( c ) < c < c + ( c ) = 3 c < c < c < 0! Ist speziell a d, so ist lim a lim d = d Aaloges gilt für d b. (d als kostate Folge betrachtet). Defiitio. (bestimmte Divergez) Es sei (a ) eie Folge vo reelle Zahle. (a ) divergiert bestimmt gege + (bzw. gege ) Für jedes c IR existiert ei 0, so daß für jedes 0 gilt: c a (bzw. a c). Bez.: lim a = + bzw. lim a = oder auch a bzw. a 3//45 Beispiel. (a ) = ( ) ist bestimmt diverget gege +. 3//46 De ist c IR, da existiert ei 0 mit c 0 0. Folglich gilt für 0 : c 0 0 = a. Aber: (a ) = ( ( ) ) ist diverget, jedoch icht bestimmt diverget. 54

15 Satz 3. Ist (a ) bestimmt diverget ud (b ) beschräkt, da ist (a + b ) be- 3//47 stimmt diverget. Beweis. Übugsaufgabe! 3//48 3. Reelle Zahle als Grezwerte vo Folge ratioaler Zahle Satz 3. Zu jeder reelle Zahl a existiert eie Cauchyfolge (a ) vo ratioale 3// Zahle, so daß lim a = a. Beweis. (Idee) Sei a IR. Ma kostruiert eie Itervallschachtelug ([a, b ]) vo 3// ratioale Zahle mit a a b ud b a = (b 0 a 0 ). Dazu seie a 0, b 0 beliebige ratioale Zahle mit a 0 < a b 0. Weiterhi seie a, b (ach Iduktiosvoraussetzug) scho mit de geforderte Eigeschafte gegebe. Ist c + = a + b, da ist c + lq. Jetzt defiiere wir a +, b + wie folgt: a + := c + ud b + := b, falls c + < a ud a + := a ud b + := c +, falls c + a. Behauptug: a a (ud b b). Es ist a a b = a a b a < (b 0 a 0 ) 0 = a a. Defiitio. (grezwertgleich) 3//3 Es seie (a ), (b ) Cauchyfolge. (a ) ud (b ) sid grezwertgleich (a b ) ist eie Nullfolge. ( ) +, ( ) + + sid z.b. grezwertgleiche Cauchyfolge im Bereich der ratio- 3//4 ale Zahle. Bemerkug. Grezwertgleich ist eie Äquivalezrelatio i der Mege aller Cauchyfolge vo ratioale Zahle. (Beweis mit Satz 3.0 trivial). Dabei ist der Begriff Äquivalezrelatio wie folgt defiiert: Es sei M eie Mege ud eie zweistellige Relatio i M. 3//5 heißt Äquivalezrelatio i M 55

16 = Df Für alle a, b, c M gilt: () a a, (Reflexivität) () we a b ud b c, so a c, (Trasitivität) (3) we a b, so b a. (Symmetrie) Ei Megesystem S = {M i : i I} mit eier Idexmege I heißt Klasseeiteilug oder Partitio 3//6 oder Zerlegug vo M = Df () M i M ud M i für alle i I. () i I M i = M, ud für jedes i, j I mit i j ist M i M j =. (vgl. z.b. Literaturagabe [4], Teil I, Seite ) Eie Äquivalezrelatio i M zieht eie Klasseeiteilug vo M ach sich; jeweils äquivalete Elemete gehöre der gleiche Klasse a (dies müßte atürlich bewiese werde). Die so etstehede Klasse heiße auch Äquivalezklasse. Ist M die Mege aller Cauchyfolge vo ratioale Zahle ud die Grezwertgleichheit i M, da wird M i Äquivalezklasse grezwertgleicher Cauchyfolge zerlegt. Damit sid eue mathematische Objekte etstade, die (wie Dedekidsche Schitte) ebefalls als reelle Zahle iterpretiert werde köe. Defiitio. (reelle Zahle) 3//7 a ist eie reelle Zahl Es gibt eie Cauchyfolge (a ) vo ratioale Zahle, so daß a die Äquivalezklasse aller Cauchyfolge vo ratioale Zahle ist, die mit (a ) grezwertgleich sid. Bez.: a = a = {(b ) : b lq ud (a b ) ist eie Nullfolge}. Jede Cauchyfolge (b ) mit (b ) a = a ist ei Repräsetat der Klasse a. Die 3//8 Mege der betrachtete Äquivalezklasse heißt Mege der reelle Zahle ud wird mit IR bezeichet. Beispielsweise ist e = {(b ) : b lq ud (b ) ist mit ( ( ) ) + grezwertgleich}. Damit IR ei geordeter Körper wird, beötige wir och Recheoperatioe + ud ud eie Ordugsrelatio < i IR. Die Defiitioe der Operatioe ud der Relatio erfolge mit Hilfe vo Repräsetate. Es seie a, b reelle Zahle. Folglich gibt es Cauchyfolge (a ), (b ) i lq, 3//9 so daß a = a, b = b. Da sei: a ± b = a ± b a ± b für alle, a b = a b a b für alle, ud a < b a < b a b ud a < b für fast alle. 56

17 ( a b bedeutet, daß (a ) ud (b ) icht grezwertgleich sid.) a a, a a ; Voraussetzug: a 0 ud (a ) ist keie Nullfolge. Die Defiitioe sid uabhägig vo der Wahl der Repräsetate; dies bedeutet z.b. für die Additio: Sid (a ) ud (b ) adere Repräsetate vo a bzw. b, da muß dies zum gleiche Ergebis führe, d.h., we (a ) (a ) ud (b ) (b ), so ist (a + b ) (a + b ). Dies bedeutet da ämlich, daß a + b = a + b, womit die gleiche reelle Zahl festgelegt ist. Aalog verfährt ma mit de adere Fälle. Mit de so eigeführte Fuktioe + ud ud der Relatio < bildet die Mege der reelle Zahle (= Mege der etsprechede Äquivalezklasse) eie archimedisch geordete Körper, i dem das Itervallschachtelugsaxiom gilt. Dieser Körper ist bis auf Isomorphie eideutig bestimmt! (Dies hätte atürlich alles bewiese werde müsse.) Abschließed betrachte wir och Fuktioefolge. Dazu sei M IR ud für jedes 3//0 IN sei f : IR IR eie i M defiierte Fuktio. Weiterhi sei auch f : IR IR i M defiiert. Defiitio. (Kovergez vo Fuktioefolge) () Die Fuktioefolge (f ) kovergiert a der Stelle a M gege b lim f (a) = b. () (f ) kovergiert i M gege die Fuktio f Für jedes a M gilt: lim f (a) = f(a), (d.h., für jedes fixierte a M kovergiert die Zahlefolge ( ) f (a) gege die Zahl f(a); diese Art Kovergez ee wir auch puktweise Kovergez). Bez.: lim f (x) = f(x). (3) (f ) kovergiert i M Es existiert eie Fuktio f : IR IR, so daß (f ) i M gege f kovergiert. Beispiel. Es sei M = [0, ] ud f (x) = x. 3// 57

18 y 0.5 f (x) f (x) f 3 (x) f 4 (x) f 0 (x) Abb. 3. zeigt die Kovergez vo Fuktioefolge. Mit wachsedem äher sich die Fuktioe f (x) i dem Itervall [0, ) der x-achse. Für x = gilt stets f (x) = x Für jedes fixierte a [0, ] mit a < gilt offebar a 0; für a = ist a =, also a. Folglich ist lim f (x) = f(x) mit f(x) = { 0 für 0 x <, für x =. Defiitio. (gleichmäßige Kovergez) 3// Die Fuktioefolge (f ) kovergiert i M gleichmäßig gege f Für jedes ε > 0 existiert ei 0, so daß für jedes 0 ud für alle x M gilt: f (x) f(x) < ε. Die folgede Abbildug veraschaulicht, daß sich bei der gleichmäßige Kovergez für 3//3 vorgegebees ε > 0 die Fuktioe f (x) vo f(x) a jeder Stelle x M = [a, b] um weiger als ε uterscheide, falls hireiched groß ist; ma sagt dafür auch, daß die Fuktioe f (x) i dem ε-streife vo f(x) liege. y f(a)+ε f(a) f(a) ε f (x) f(x) x Abb. 3. veraschaulicht die gleichmäßige Kovergez vo Fuktioefolge. Der ε-streife vo f(x) ist durch die gestrichelte Kurve dargestellt. 58

19 Die im vorhergehede Beispiel betrachtete Fuktioefolge f (x) = x ist icht gleichmäßig koverget i [0, ]. Ageomme doch, da gibt es für ε = ei 0, so daß für jedes 0 ud für alle x [0, ] gilt: f (x) f(x) <. Dies gilt isbesodere für m = 0 ud für alle x [0, ); hier ist zusätzlich f(x) = 0. Also f (x) < für alle x mit 0 x <. Wir wähle jetzt x hireiched dicht bei ; x := δ mit δ > 0. Da gilt ach der Beroullische Ugleichug: x m = ( δ) m m δ (m fixiert). Sei δ so klei, daß m δ <, da ist < xm = f m (x) f(x) <! I de spätere Abschitte über Stetigkeit, Differezierbarkeit ud Itegrierbarkeit vo Fuktioe werde wir us ausführlicher mit de Eigeschafte der Grezfuktio befasse. 59

20 Schwerpukte für die Wiederholug vo Kapitel 3 Defiitioe: Folge, Kovergez, Grezwert oder Limes, Nullfolge, Beschräktheit 3/3/ vo Folge; Satz 3.: Eie Folge besitzt höchstes eie Grezwert; 3/3/ Satz 3.3: Kovergete Folge sid beschräkt; 3/3/3 Defiitioe: Häufugspukt eier Folge, Teilfolge; 3/3/4 Satz 3.4: Jede beschräkte Folge besitzt eie Häufugspukt; 3/3/5 Satz 3.6: Ist a Häufugspukt vo (a ), da existiert eie gege a kover- 3/3/6 gete Teilfolge vo (a ); Defiitioe: lim, lim, Mootoie bei Zahlefolge; 3/3/7 Satz 3.8: Mootoe Folge sid koverget gdw sie beschräkt sid; 3/3/8 Satz 3.9 (Cauchysches Kovergezkriterium); 3/3/9 Defiitio: Cauchyfolge; 3/3/0 Satz 3.0: (Eigeschafte kovergeter Folge := Grezwertsatz); 3/3/ Defiitioe: Bestimmte Divergez; Kovergez ud gleichmäßige Kovergez 3/3/ vo Fuktioefolge; Defiitio der reelle Zahle mit Hilfe vo Cauchyfolge ratioaler Zahle (Über- 3/3/3 blick). 60