W. Grundmann. Finanz- und Versicherungsmathematik

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1 W. Grundmann Finanz- und Versicherungsmathematik

2 Finanz- und Versicherungsmathematik Von Prof. Dr. rer. nat. Dr. oec. habil. Wolfgang Grundmann Hochschule für Technik und Wirtschaft Zwickau (FH) Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1996

3 Prof. Dr. rer. nat. Dr. oec. habil. Wolfgang Grundmann Geboren 1940 in Chemnitz. Von 1959 bis 1964 Studium der Mathematik an der Universität Leipzig und 1964 Diplomprüfung in Mathematik. Von 1964 bis 1969 wissenschaftlicher Assistent, 1969 Promotion und 1969 bis 1970 wissenschaftlicher Oberassistent an der TH Kari-Marx-Stadt. Von 1970 bis 1971 Zusatzstudium an der Mathematisch-Mechanischen Fakultät der Universität Moskau. Von 1971 bis 1992 Hochschuldozent an der Ingenieurhochschule bzw. Technischen Hochschule Zwickau, 1989 Habilitation Gastprofessor an der FH Darmstadt Seit 1992 Professor für Mathematik an der Hochschule für Technik und Wirtschaft Zwickau (FH). Arbeitsgebiete: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Mathematische Methoden in der Wirtschaft, Operations Research. Internet: Wolfgang Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Grundmann, Wolfgang: Finanz- und Versicherungsmathematik I von Wolfgang Grundmann. - Stuttgart; Leipzig : Teubner, 1996 ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Springer Fachmedien Wiesbaden 1996 Ursprünglich erschienen bei B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1996 Umschlaggestaltung: E. Kretschmer, Leipzig

4 Vorwort Dieses Buch wendet sich an Studierende der Wirtschaftswissenschaften, der Mathematik, der Informatik und der Ingenieurwissenschaften mit wirtschaftswissenschaftlicher Orientierung an Fachhochschulen und Universitäten. Daneben ist es auch fiir das Fernstudium und fiir die berufsbegleitende Weiterbildung geeignet. Zur Finanzmathematik gibt es eine breite Palette von Lehrbüchern mit unterschiedlichem Anspruchsniveau, während das Lehrbuchangebot zur Versicherungsmathematik bisher eher nicht ausreicht. Das vorliegende Buch besteht aus zwei Teilen. Die ersten beiden Kapitel sind der Finanzmathematik gewidmet. Sie enthalten die Voraussetzungen und dienen als Brücke fiir den zweiten Teil, der sich mit der Versicherungsmathematik beschäftigt. Schwerpunkte sind vor allem die mathematischen Modelle und Verfahren in der Personenversicherung (in der Hauptsache Lebens- und Rentenversicherung) und in einigen Andeutungen in der Sachversicherung. Im Anhang wird aktuelles Datenund Bildmaterial bereitgestellt. Der Leser benötigt Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematischen Statistik sowie Erfahrungen in der mathematischen Modeliierung praktischer Aufgabenstellungen. Das Kapitel 3 enthält zur Wahrscheinlichkeitsrechnung auch einige Fakten, die über das elementare Wissen hinausgehen. Die wichtigsten Formeln und Definitionen werden durch Einrahrnungen optisch hervorgehoben. Zum besseren Verständnis sind Beispiele angefiigt worden. Im Normalfall reicht ein Taschenrechner zur Begleitung dieser Beispiele aus. Für umfangreiche numerische Berechnungen sowie fiir die Erstellung von Abbildungen wurde das Software-Paket MA.1HCAD 5.0 PLUS benutzt. Ein herzlicher Dank sei gerichtet an Herrn Professor Dr. Laux, der mir den Weg zu Herrn Dr. Bertsch und Herrn Bläser von der Wüstenrot LebensversicherungsAktiengesellschaft geebnet hat. Diesen Herren bin ich fiir die Überlassung von Datenmaterial zur Versicherungsmathematik dankbar. Mein besonderer Dank gilt derb. G. Teubner Verlagsgesellschaft in Leipzig fiir die Aufnahme des Buches in das Verlagsprogramm und Herrn Weiß fiir die Ermunterung zur Abfassung dieses Manuskriptes und fiir die gute Zusammenarbeit. Zwickau, im Juli 1996 Wolfgang Grundmann

5 Inhalt Zins und Zinseszins Grundlagen der Finanzmathematik Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen.... Einfache Zinsrechnung Zinseszinsrechnung Das ÄquivalenzP,rinz;ip der Finanzmathematik.... Da!st~llung de~. Aquivalenzi?ri~ips Betsptele zum Aqmvalenzpnnztp Weitere Aufgaben zu Zins und Zinseszins Gemischte Verzinsung.... Untetjährliche Verzinsung Stetige Verzinsung Vorschüssige und nachschüssige Zinsen Renten und Tilgungen Konstante regelmäßige Zahlungen Rentenrechnung Tilgungsrechnung Konstante Zahlungen Ewige Rente und zeitlich begrenzte Rente Fortschreitende Rentenzahlungen Arithmetische Zuwächse Geometrische Zuwächse Allgemeines Modell Untetjährliche Rentenzahlungen Tilgungsrechnung =~~~Fen~TI~~g :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Untetjährliche Annuitätentilgung Annuitätentilgung mit Auszahlungsgebühren.... Mathematisches Modell des Bausparens Beschreibung des Bausparens Das statische Modell Ein Modell mit unregelmäßigen Zahlungen Nichtstatische Modelle des Bausparens Effektivzinssatz in Bausparverträgen Ergänzungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Abhängige Zufallsgrößen und bedingte Wahrscheinlichkeiten

6 Inhalt Stochastische Unabhängigkeit Maßzahlen fur die Abhängigkeit Summen von Zufallsgrößen Stochastische Prozesse Einfuhrung Poissonsche Prozesse Mathematische Modelle von Personen- und Sachversicherungen Grundfragen der Versicherungsmathematik Bevölkerungsstatistische und biometrische Grundlagen Grundlegende Merkmale einer Population Der Lebensbaum Sterbetafeln Rechnen mit Sterbewahrscheinlichkeiten ~ur Entstehung der Sterbetafeln Uberlebens- und Sterblichkeitsfunktionen Das stetige Modell Lebensdauerverteilungen Sterblichkeitsintensität Die Überlebensfunktion Unterjährliche Sterbewahrscheinlichkeiten Ausscheideordnungen Einfache Ausscheideordnungen Zusammengesetzte Ausscheideordnungen Nettoprämiel_l: und Deckungskapital Verlust und Uberschuß Das Deckungskapital Risikotheorie Die Besonderheiten von Sachversicherungen Die individuelle Risikotheorie Die kollektive Risikotheorie Spezielle Modelle von Versicherungen Lebensversicherungen Todesfallversicherung- auflebenszeit, gegen Sofortbetrag Todesfallversicherung-Beitragszahlung auflebenszeit Todesfallversicherung- befristet, gegen Sofortbetrag Todesfallversicherung - auf Lebenszeit, Beitragszahlung befristet... Todesfallversicherung-Beitragszahlung und Versicherungsleistung befristet Erlebensfallversicherung - gegen Sofortbetrag Erlebensfallversicherung- Beitragszahlung bis zum Todesfall, spätestens zum Versicherungsende Gemischte Versicherung - gegen Sofortbetrag Gemischte Versicherung- Beitragszahlung bis zum Todesfall, spätestens zum Versicherungsende

7 8 Inhalt Gemischte Lebensversicherung - befristete Beitragszahlung Versicherung mit Bonus Rentenversicherungen (Leibrenten).... LeibrentenaufLebenszeit Befristete Leibrenten Aufgeschobene Leibrenten auf Lebenszeit Aufgeschobene befristete Leibrenten Ubergang zu Bruttowerten.... Zusätzlic~e _Kosten einer Versicherung Bruttopramte Andere Formen von Ausscheideursachen in Personenversicherungen Tabellen und Bilder A. Sterbetafeln DAV-Sterbetafel 1994 T Männer DAV-Sterbetafel1994 T Frauen B. Bilder zu den Kenngrößen der DAV-Sterbetafel1994 T C. Verkürzte Sterbetafel1994 T D. Basistafel2000 und Trendfaktor zur DAV-Sterbetafel1994 R E. Bilder der Verteilungsfunktion, Dichtefunktion und Sterblichkeitsintensität der Restlebensdauer von 0-, 20-, 40-, 60- und 80jährigen gemäß DAV-Sterbetafel1994 T Literatur 173 Sachwortverzeichnis 175