Optimierung. Optimierung. Vorlesung 4 Newton und Quasi Newton Verfahren (Teil II) 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn
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- Otto Schräder
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1 Optimierung Vorlesung 4 Newton und Quasi Newton Verfahren (Teil II) 1
2 Newton Verfahren Taylor Approximation 1. Ordnung von Newton Verfahren! 0 Setze 0und berechne Löse lineares Gleichungssystem für : 2
3 Newton Verfahren (alternative Sicht) Taylor Approximation 2. Ordnung von 1 2 Newton Verfahren Neuer Wert : minimiere 2. Ordnung Taylor Approximation 3
4 Fortschritt beim Newton Verfahren Abstiegsrichtung Eine Richtung ist eine Abstiegsrichtung für einen Wert, falls 0 Beispiel: Neg. Gradient Taylor Approximation: Newton Richtung Falls positiv definit ist, ist eine Abstiegsrichtung 4
5 Fortschritt beim Newton Verfahren Konvexe Funktionen : Newton Richtung ist eine Abstiegsrichtung Newton Verfahren konvergiert zu lokalem Minimum Konvexe, quadratische Funktionen : Newton Schritt geht zu Minimum der quadratischen Approx. von Verfahren erreicht lokales Minimum in einem Schritt! Allgemein: Konvergiert sobald man nahe genug bei einem lokalen Minimum ist Kannmitline search (wie beim Gradientenverfahren) kombiniert werden: Newton Richtung: Bestimme, so dass minimal ist 5
6 Konvergenz Wie schnell kommt man zum lokalen Minimum? Konvergenz von Folgen,,, lim Lineare Konvergenz: lim sup Superlineare Konvergenz: lim sup 0 Quadratische Konvergenz: lim sup 6
7 Konvergenz der wichtigstenverfahren Gradientenverfahren (steilster Abstieg) lineare Konvergenz Newtonverfahren quadratische Konvergenz minimiert quadratische Funktionen in 1 Schritt Konjugierte Gradienten minimiert dimensionale quadratische Funktionen in Schritten quadratische Konvergenz alle Schritte (superlinear) Quasi Newtonverfahren superlineare Konvergenz einfacher als Newton Verfahren 7
8 Quadratische Konvergenz des Newton Verfahren Ziel: Die Sequenz,, konvergiert quadratisch gegen Matrix Norm einer Matrix max :,,:, Annahmen: Für, nahe genug bei gilt, sowie für Konstanten, 0 Lemma: 8
9 Quadratische Konvergenz des Newton Verfahren Lemma: Beweis: Definiere Ableitung 9
10 Quadratische Konvergenz des Newton Verfahren Ziel: Die Sequenz,, konvergiert quadratisch gegen Lemma: 10
11 Quadratische Konvergenz des Newton Verfahren Matrix Norm einer Matrix,,:, Annahmen: Für, nahe genug bei gilt, sowie für Konstanten, 0 11
12 Quadratische Konvergenz des Newton Verfahren Matrix Norm einer Matrix,,:, Annahmen: Für, nahe genug bei gilt, sowie für Konstanten, 0 12
13 Gradientenverfahren vs. Newton Verfahren Gradientenverfahren Lineare Konvergenz Benötigt i.a. deutlich mehr Schritte (vor allem, wenn die Hesse sche Matrix schlecht konditioniert ist) 1. Ableitung nötig 1 Iterationsschritt: Evaluation Gradient + line search Billige Schritte, schlechte Konv. Bessere Konvergenz: Konjugierte Gradientenverfahren Newton Verfahren Quadratische Konvergenz konvergiert in wenigen Schritten (bei quadr. Problem in 1 Schritt) 1. & 2. Ableitung nötig 1 Iterationsschritt: Evaluation Gradient + Hesse sche Matrix dim. lineares Gl. system Teure Schritte, gute Konvergenz Einfachere Iterationen: Quasi Newton Verfahren 13
14 Quasi Newton Verfahren Newton Verfahren + Line Search:, wobei Idee: Ersetze durch eine Matrix, welche einfacher berechnet werden kann Taylor Approximation: Idee: sollte dies auch erfüllen... Quasi Newton Bedingung:, wobei, 14
15 Quasi Newton Verfahren Quasi Newton Verfahren:, wird typischerweise durch line search ermittelt Quasi Newton Bedingung:, wobei, Berechnung von : Alte Matrix + Korrekturterm: Zum Beispiel ( 0,1ist ein Parameter), wobei, 15
16 Quasi Newton Verfahren Quasi Newton Verfahren:, Parameter 0(Davidson Fletcher Powell, erstes Quasi Newton Verf.) 0 Parameter 1(Broyden Fletcher Goldfarb Shanno) 1 1 Quasi Newton Verfahren konvergieren oft superlinear Für quadratische Funktionen in Schritten entspricht dann dem konjugierten Gradientenverfahren 16
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