Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben

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1 Expoetielles Wachstum Höhere Fiazmathematik Sehr ausführliches Themeheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit viele Traiigsaufgabe Es hadelt sich um eie Awedug vo Expoetialfuktioe (Wachstumsfuktioe) Datei Nr Stad: 6. Februar 2012 INTENETBIBLIOTHEK FÜ SCHULMATHEMATIK

2 18250 Fiazmathematik 1 2 Vorwort Dieses Mauskript bezieht a mehrere Stelle ausführlich die Möglichkeite des Grafikrechers vo CASIO (Modell CFX-9860GB) ei, mit dem ma sowohl mehrere Wertetafel vo Fuktioe zugleich erstelle lasse ka, wie auch ei graphische Darstellug ausgebe ka. I der 3. Auflage dieses Textes sid auch Aweduge für die CAS-echer TI Nspire ud CASIO ClassPad dazu gekomme I der Auflage 4 kam eie wesetliche Vereifachug hizu. A Stelle der Herleituge mit geometrische eihe ka ma stets mit eiem expoetielle Asatz die Kotostadsfuktioe bereche. Dies ist wesetlich eifacher. Die Lösuge der Aufgabe wurde oft dreifach agefertigt, mauell mit Beutzug der fertige Formel, die ma Formelsammluge etehme ka, da ohe diese Optio, aber mit Aufstellug eier expoetielle Kotostadsfuktio, was sehr rasch geht. Ud da mit eiem der beide CAS-echer. Da sehr oft geometrische eihe vorkomme, eige sich große Teile ur bedigt für die Klassestufe 10, es sei de ma schiebt eie eihe-stude ei. Im Ahag fidet ma Hiweise zu geometrische eihe Für Lehrer wurde extra eiige Seite didaktische Aleitug zu diesem Thema ud diesem Mauskript geschriebe. Diese empfehle ich zuvor zu lese: Es ist der Text Nummer Je läger ich mich mit diesem Thema beschäftigt habe, desto mehr Eisichte i de Umgag mit diesem Stoff habe ich bekomme! Lasse Sie sich icht erschlage vo der Fülle des Materials. Das sehr ausführliche Ihaltsverzeichis führt Sie schell zu Ihrem Ziel oder schmöker Sie mal eie Stude i diesem Buch. Oft sid Lösuge auf vierfache Weise vorhade: Mit eiheformel, mit expoetiellem Asatz ud da beides och mit 2 CAS-echer. Ma muss sich also Zeit ehme ud lese. Übriges lasse ich i alle Lösuge die Währugseiheit weg! Ud gerudet wird immer Guste der Bak., Afag Jauar 2010.

3 18250 Fiazmathematik 1 3 Hier die Übersicht über die Vielfalt der Texte zum Wachstum: Niveau Klassestufe 10: Lieares Wachstum Aufgabe dazu Expoetielles Wachstum Fiazmathematik Didaktische Hiweise dazu Aufgabe Expoetielles Wachstum 1a Begreztes Wachstum Aufgabe Begreztes Wachstum 1b Niveau Oberstufe (mit Hilfsmittel der Aalysis) Zetraltext mit Übersicht Mathematische Hitergrüde Quadratisches Wachstum Expoetielles Wachstum Aufgabe Expoetielles Wachstum 2a Begreztes Wachstum Aufgabe begreztes Wachstum 2b Logistisches Wachstum Aufgabe logistisches Wachstum Adere Wachstumsmodelle (Logistischer Zerfall, vergiftetes, chaotisches sowie verzögertes Wachstum) Im Momet sid och alle Texte verfügbar - Februar 2012

4 18250 Fiazmathematik 1 4 Ihalt Mathematische Voraussetzuge: Logarithmegesetze 7 1. Ziseszisrechug Grudlage 8 (ekursive Berechug ud Herleitug der explizite Formel) Beispiel 1 9 Schaubild als Treppefuktio Arbeite mit variablem Zissatz 11 Beispiel 2 11 Beispiel Arbeite mit moatlicher Verzisug 14 Beispiele 4 ud Wachstumsvergleich bei verzögertem Begi 16 Beispiel Musterbeispiele zu verschiedee Aufgabestelluge 20 Beispiel 7 20 Beispiele 8 ud 9 22 Beispiel Traiigsaufgabe 1 bis atespare ekursive Berechug der Kotostäde bei eiem atesparvertrag, der achschüssig eibezahlt wird. 25 Beispiel 1 (zusätzliche CAS-Lösug) Aufstellug der Kotostadsfuktio (achschüssig) mit expoetiellem Asatz (zu Beispiel 1) mauell Durchführug Lösug 2.2 mit CAS-echer Theorie zum achschüssige atespare. Allgemeie Herleitug der atesparformel Möglichkeit: Mit expoetiellem Asatz Möglichkeit: Mit der geometrische eiheformel Berechug der Laufzeit eies atesparvertrags atesparvertrag mit moatliche ate ud moatlicher Verzisug 34 Beispiel 2 34 ekursive Berechug vo Kotostäde 34 Berechug der Kotostadsfuktio mit expoetiellem Asatz 35 Berechug der Kotostadsfuktio mit der atesparformel 35 Eisatz eies CAS-echers 35

5 18250 Fiazmathematik Aschauliche Erklärug der Formel K() = K(0) q + q Vorschüssige atezahluge 37 Beispiel 3: 37 a) ekursive Berechug vo Kotostäde (auch CAS) 37 b) Explizite Berechug der Kotostäde mit expoetiellem Asatz 38 c) Erstellug der atesparformel für vorschüssige Eizahlug mit expoetiellem Asatz 38 d) Erstellug der atesparformel für vorschüssige Eizahlug mit Hilfe geometrischer eihe 39 e) Aschauliche Erklärug dieser Formel Umgag mit der Kotostadsfuktio 42 Beispiel 4 Expoetieller Asatz ud atesparformel) 43 Berechug der Kotostäde mit eiem Grafikrecher 44 Schaubilder mit MatheGrafix 44 Bestimmug vo Laufzeite 45 Beispiel 5 46 Beispiel 6 48 Beispiel 7 49 Traiigsaufgabe 7 ud etezahluge Beispiel 1 mit expoetiellem Asatz Theorie: Herleitug eier eteformel mit expoetiellem Asatz Theorie: Herleitug eier eteformel mit geometrische eihe Zusatzaufgabe zu Beispiel Beispiel 2: Asparug ud aschließed Auszahlug als ete 57 Lösug mit expoetiellem Asatz oder mit atesparformel 57 Laufzeit der ete ud Höhe der letzte Auszahlug 59 etezahlug bei geg. Laufzeit (exp. Asatz / Formel) Zusatz 1: Arbeite mit TI Nspire CAS 61 Zusatz 2: Arbeite mit Grafikrecher CASIO FX Traiigsaufgabe 9 ud Auitätedarlehe Eiführedes Beispiel ud viel Theorie 64 a) ekursive Berechug des Darleheskotos (auch CAS) 64 b) Expoetieller Asatz für die Kotostadsfuktio 65 c) Berechug der Kotostadsformel mit geometrische eihe 66 d) Umsetzug der Kotostadsformel i der Praxis 67 e) Berechug vo Zis ud Tilgug 68

6 18250 Fiazmathematik 1 6 f) Berechug der Darlehesrate bei geg. Laufzeit (mauell) 69 g) Berechug der Darlehesrate bei geg. Laufzeit (mit CAS) 70 h) Berechug der Laufzeit bei geg. Darlehesrate (mauell) Musterbeispiel für ei Auitätedarlehe 73 Lösuge mauell 73 Zis ud Tilgug bereche 75 Lösug mit CASIO ClassPad 77 Lösug mit Grafikrecher 79 Schaubilder zu Zis ud Tilgug 81 Traiigsaufgabe 11 ud Bausparvertrag 84 Lösug mit expoetiellem Asatz (Asparphase Darlehesphase) 84 Lösug mit der atesparformel (Asparphase Darlehesphase) 84 Berechug der Laufzeit des Darlehes mauell 88 Mit CAS 89 Mit Grafikrecher 90 6 Zusammestellug der 12 Traiigsaufgabe Lösug der Traiigsaufgabe Ahag: Geometrische eihe ud ihre Berechug 127

7 18250 Fiazmathematik 1 7 Mathematische Voraussetzuge: Logarithmegesetze Es kommt i diesem Text immer wieder vor, dass Expoetialgleichuge gelöst werde solle. Bei eier Expoetialgleichug steht die Ubekate im Expoete. Beispiel: 1, 03 = 2 Um solche Gleichuge löse zu köe, beötigt ma etweder eie geeigete echer, der es da für eie erledigt, oder ma muss mit Logarithme reche köe. Ich erkläre hier icht, was Logarithme sid. Aber ich eriere dara, dass es für Logarithme echegesetze gibt, ohe die ma diese Gleichuge icht löse ka. Das 1. Logarithmegesetz heißt: log( a b) = log a + log b Das 2. Logarithmegesetz heißt: Das 3.Logarithmegesetz heißt: a log loga logb b = log a = log a Dieses dritte Gesetz ist zuächst das wichtigste im Hiblick auf Expoetialgleichuge. We ma die obige Beispielgleichug logarithmiert, etsteht: log 1,03 = log 2 Die like Seite ka ma durch das 3. Gesetzt veräder, de log 1,03 = log 1,03. Ma erhält jetzt: log 1,03 = log 2 Ud plötzlich steht die Ubekate icht mehr im Expoete! Geau das war der Grud, warum ma die Gleichug logarithmiert hat. Ma muss ur och durch log 1,03 dividiere ud erhält: Hiweis: log 2 = 23,45 log 1,03 I mache solche Gleichuge steht auf der rechte Seite ei Bruch, etwa so: log 1,03 5 = log 3 Da formt ma die rechte Seite mit dem 2. Logarithmegesetz um: log = log 5 log 3 ud erhält diese Gleichug: log 1,03 = log 5 log 3 Ergebis: 5 3 log 5 log 3 = 17,28 log 1,03

8 18250 Fiazmathematik atespare Bei eier atezahlug wird i der egel eie Azahlug K 0 oder K(0) getätigt, da folge gleichbleibede jährliche oder moatliche ate, bis die vereibarte Summe erreicht worde ist, oder bis die Laufzeit vorüber ist. Es gibt zwei Arte vo Sparalage: Wird die ate ach Ablauf der Zeitspae (Jahr oder Moat) bezahlt, heißt sie achschüssig, sost vorschüssig. Vorschüssig hat de Vorteil, dass ma ach Ablauf des Vertrags, also bei der Auszahlug, icht och eimal eie letzte ate bezahle muss. 2.1 ekursive Berechug der Kotostäde bei eiem atesparvertrag, der achschüssig eibezahlt wird. Beispiel 1 Aufgabe: Eie Bak gewährt für eie atesparvertrag folgede Bediguge: Zu Begi werde eigezahlt, der Jahreszis ist 4,2% ud die jährliche ate beträgt Wie hoch ist der Kotostad ach 10 Jahre? Vorbereituge: Es sei K( ) der Kotostad ach Jahre. Wir setze achschüssige Zahlug voraus, d.h. erst ach Ablauf eies Jahres wird die ate eibezahlt. Gegebe: Startkapital K ( 0) = 5.000, Zissatz p = 4,2% p. a., d.h. Zisfaktor: q = 1,042. Jährliche ate: = echug: K ( 0) = K1 = K0 q+ K2 = K1 q+ K( 3) = K( 2) q+ K( 4) = K( 3) q+ Ma erket also das Prizip der rekursive Berechug: K 1 = , = K 2 = , = ,82 K 3 = ,82 1, = ,24 K 4 = ,24 1, = ,24 K() = K( 1) q +. Der ächste Kotostad wird aus dem voragehede berechet, idem ma diese verzist (mal q) ud da erst die eue ate dazu addiert (das ist achschüssig!). Diese Berechuge sid atürlich lagwierig, weil ma keie Kotostad auslasse ka. Will ma de Kotostad ach 10 Jahre kee, muss ma zuvor alle 9 Jahre bereche. Fast alle hochwertiger echer besitze die Möglichkeit solche ekursive Berechuge selbstädig auszuführe ud da Liste auszugebe.

9 18250 Fiazmathematik 1 25 Der echer CASIO ClassPad lieferte die rechts gezeigte Ergebisse. Zuerst wurde die Formel eigebe, da wurde für 15 Jahre die Kotostäde berechet ud da auch als Puktfolge dargestellt. Wer ei weig Erfahrug hat, ud sich a die eifache Verzisug eriert, der aht, dass es sich dabei um eie Expoetialfuktio hadel wird. Hier die Darstellug durch TI Nspire: Zur Übertragug der Werte i ei Koordiatesystem muss ma die Spalte achträglich mit Name versehe (z.b. ly ud lx). Da öffet ma ei Grafikfester ud lässt ei Streuplot zeiche. Die Abbildug liks ute zeigt, wie ma ei Streuplot eirichtet. Allerdigs sieht ma evetuell zuerst och ichts, ma muss erste die Festerparameter apasse.

10 18250 Fiazmathematik Aufstellug der Kotostadsfuktio (achschüssig) mit expoetiellem Asatz zu Beispiel 1 aus 2.1 Eie Bak gewährt für eie atesparvertrag folgede Bediguge: Zu Begi werde eigezahlt, der Jahreszis ist 4,2% ud die jährliche ate beträgt Wie hoch ist der Kotostad ach 10 Jahre? Vorbereituge: Es sei K( ) der Kotostad ach Jahre. Wir setze achschüssige Zahlug voraus, d.h. erst ach Ablauf eies Jahres wird die ate = eibezahlt. Zissatz p = 4,2% p. a., d. h. Zisfaktor ist q = 1,042 Startkapital: K(0) K(0) = Nach 1 Jahr: K1 = K0 q+ Nach 2 Jahre: K2 = K1 q+ K 1 = , = K 2 = , = ,82 Ma erket im Vergleich mit dem reie Wachse durch Verzisug, dass dieses Zuzahle der ate zu eiem größere Awachse führt, als es beim Ziseszis durch die Expoetialfuktio K = K( 0) q geschieht. Der durch die ate jährlich zugeführte Geldbetrag wächst ja auch mit! Deoch muss es sich um expoetielles Wachstum hadel. Ma ka de zusätzlich zustade kommede Betrag durch eie Kostate c auffage. Dies führe wir jetzt durch ud beweise die ichtigkeit des Asatzes am Ede. Asatz: K = a b + c a, b ud c sid drei Ubekate, die ma durch Löse eies Gleichugssystems berechet. Wir kee durch obige Berechug drei Werte, die wir eisetze köe: K 0 = eigesetzt: 0 a b + c = (1) K 1 = a b + c = (2) K 2 = ,82 2 a b + c = ,82 (3) Elimiatio vo c: (3) (2): 2 ab ab = 2.823,82 (4) (2) (1): ab a = (5) Ausklammer: ab( b 1) = 2.823,82 (4 ) a( b 1) = (5 ) Elimiatio vo a durch: (4') (5') ( ) ( ) ab b ,82 = a b b eigesetzt i (5 ): a 0,042 = a = ,81. a ud b eigesetzt i (1): ,81+ c = c = = ,81 Ergebis: d. h. b = 1,042 = q! K = ,81 1, ,81

11 18250 Fiazmathematik 1 27 Wichtige Beobachtug: Diese Expoetialfuktio hat die Basis b = 1,042. Dies ist icht zufällig idetisch mit dem Zisfaktor q. Dies ist immer so. We ma dies weiß, ka ma diese Fuktio auf viel kürzerem Wege erhalte, de da muss ma ur och 2 Ubekate bereche. Kurzlösug: Asatz: K = a q + c 0 K ( 0) = eigesetzt: a q + c = (1) K ( 1) = eigesetzt: a q + c = (2) Elimiatio vo c: (2) (1): aq a = Ausklammer: a( q 1) = a 0,042 = a = ,81. a eigesetzt i (1): ,81+ c = Ergebis: c = = ,81 K = ,81 1, ,81 Doch woher wisse wir u, dass dieser Asatz bzw. die daraus resultierede Fuktio auch wirklich dieses Kapitalwachstum richtig beschreibt??? Will ma das überprüfe, macht ma eie Probe: Es wird gezeigt, dass diese Fuktio K die Gleichug K( + 1) = K() q + löst. Berechug der like Seite: + 1 K + 1 = ,81 1, ,811 = ,81 1,042 1, ,811 = ,81 1, , 811 Berechug der rechte Seite: ( 1,042 ) K() q + = , ,81 1, K1 = ,81 1, , 811 ZUSAMMENFASSUNG der Ergebisse: Eie prozetuale Zuahme mit regelmäßiger additiver Zugabe (z. B. Verzisug mit achschüssig bezahlter ate ) führt zu eier rekursive Formel: K( + 1) = K() q + ud zu eier explizite Fuktio: K = a q + c Die Kostate a ud c bestimmt ma über Puktprobe mit K( 0 ) ud K1.

12 18250 Fiazmathematik Durchführug dieser Berechuge mit CAS-echer: (1) TI Nspire Gegebe: Startkapital K ( 0) = ( ), Zissatz p = 4,2% p. a., d.h. q = 1,042 Jährliche ate: = ( ) ekursive Formel für die Kotostadsfuktio: K = K( 1) q+ Beötigt wird och: K ( 1) = , = Explizite Formel: K = a q + c Bediguge: K ( 0) = ud: K ( 1) = echts die Screeshots. Das Arbeite mit der System- Variable as ist sehr hilfreich. Sie wird ach durch die letzte Ausgabe ersetzt. Ergebis: K = , K 10 = Hier wurde keie Dezimalstelle ausgegebe, weil die Voreistellug dies verhider hat. (2) CASIO ClassPad:

13 18250 Fiazmathematik Theorie zum achschüssige atespare. 1. Möglichkeit: Mit expoetiellem Asatz Allgemeie Herleitug der atesparformel ekursiver Asatz: K = K( 1) q+ (0) Daraus etehme wir: K1 = K0 q+ Expliziter Asatz: Bediguge für a ud c: K( 0) K = a q + c 0 = a q c + (1) K1= aq + c (2) Elimiatio vo c: (2) (1): K ( 1) K ( 0) = aq a K(1) eigesetzt: K 0 q+ K 0 = aq a K(0) ausklammer: K( 0) ( q 1) + = a( q 1) Durch (a-1): K 0 q 1 + a = = K( 0) + q 1 q 1 q 1 Eigesetzt i (1): K( 0) + + c = K( 0) c = q 1 Damit folgt: K = K 0 + q q 1 q 1 Ma köte / sollte u beweise, dass diese Fuktio auch wirklich eie Lösug der implizite Gleichug (0) ist. Dies wurde eiige Seite zuvor mit dem Zahlebeispiel gemacht ud sollte hier geüge. (Wer hat scho so viel Zeit.) Hiweis: Üblicherweise wird diese atesparformel uter Verwedug geometrischer eihe erstellt. Doch we ma zu diesem Zeitpukt diese och icht ket, ist obige Herleitug eher agebracht. Die adere folgt auf der ächste Seite: (3)

14 18250 Fiazmathematik Möglichkeit: Mittels der geometrischer eiheformel Startkapital : K(0) Nach 1 Moat: K1 K( 0) q Nach 2 Moate: K( 2) = K1 q+ K(1) ersetzt ( K( 0) q+ ) ergibt: Iterpretatio: Nach 3 Moate: K( 2) = + (achschüssig, wie ma sieht) K(2) = q + K 2 = K 0 q + q+ 2 K(0) ud wurde zweimal verzist, die 1. ate erst eimal, die 2. ate wurde soebe erst eibezahlt. K 3 = q+ K(2) ersetzt: ergibt: ( K 0 2 q + q +) K 3 = q+ 3 2 K 3 = K 0 q + q + q+ Iterpretatio: K(0) ud wurde dreimal verzist, die 1. ate zweimal, die 2. ate eimal ud die 3. ate wurde soebe erst eibezahlt. Nach 4 Moate: K( 3) K(3) ersetzt: K( 4) Nach Moate: eihefolge äder: K 4 = q+ ( K 0 q 3 q 2 + ) = + + q q K 4 = K 0 q + q + q + q+ 1 K() = K(0) q + (q q + ) 1 K() = K(0) q + ( + q q ) WISSEN: Für diese Klammer gibt es eie Summeformel aus der Theorie der geometrische eihe: s = +q +q +...+q 2-1 Damit lautet die Kotostadsfuktio für achschüssige atezahlug (N) q 1 K() = K( 0) q + (N) q 1 Im Ahag steht eiiges zu geometrische eihe. q -1 = q-1 Jetzt sollte ma die Formel och umstelle ud ach q sortiere: K = K( 0) q + ( q 1) = K( 0) q + q = K( 0) + q q 1 q 1 q 1 q 1 q 1

15 18250 Fiazmathematik 1 31 Welche Methode ist für de Uterricht güstiger? Ich plädiere eideutig für de expoetielle Asatz, de dort muss ma sich keie atesparformel merke, die ohehi keier im Kopf hat. Ma braucht also eie Formelsammlug, we ma sie awede will. Die Awedug eier atesparformel sieht da so aus: Für user Zahlebeispiel mit K ( 0) = 5000, = 2500 ud q = 1,042 folgt: Formelsammlug: Eigesetzt: q 1 K = K 0 q + q 1 K 1,042 1 = , ,042 K = , , ,042 Vereifache: = + ( ) K , ,81 1,042 1 K = , ,81 1, ,81 ausklammer K = ,81 1, ,81 K = ,81 1, ,81 Damit wird klar, dass der algebraische Aufwad trotz fertiger Formel och hoch ist. Das Schaubild dieser Expoetialfuktio wird jetzt mit MatheGrafix dargestellt: Das like Schaubild ist die Fuktio x K x = ,81 1, ,81, die weig mit dem atespar- vertrag zu tu hat, de sie ädert sich praktisch fortgesetzt ud ist stetig. Das rechts Schaubild ethält die Folge der zu Begi eies Jahres errechete Kotostäde, die da ei Jahr lag kostat bleibe, was die Treppefuktio zeigt.

16 18250 Fiazmathematik Berechug der Laufzeit eies atesparvertrags Beispiel (zu Aufgabe 1 gehöred) Lösug Eie Bak gewährt für eie atesparvertrag folgede Bediguge: Zu Begi werde eigezahlt, der Jahreszis ist 4,2% die jährliche ate beträgt Welche Laufzeit beötigt dieser Vertrag, damit ei Guthabe vo erreicht wird? Zuächst eimal erket ma am Schaubild, dass dies ach etwa 8 Jahre erreicht sei wird. Die echug dazu:

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