Rekursionen. Georg Anegg 25. November Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

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1 Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung und die Summe s n aller Folgenglieder bis a n. Lösung. {a n } ist eine gemischt-arithmetisch-geometrische Folge. Es gilt: a n a q n + d( + q q n ) a q n + d ( q n ) q und ( ) n n s n a k a q k + d( qk q ) n n a q k q k + d q a qn+ + d q(qn ) nq + n. q (q ) Bemerkung Gemischt-arithmetisch-geometrische Folgen können als mathematisches Modell für das Zurückzahlen von Krediten gesehen werden: Herr Meier nimmt einen Kredit K( a 0 ) mit einem jährlichen Zinssatz p (> 0) auf. Seine jährliche Rückzahlrate beträgt R( d). Wie groß ist der Restkredit K n nach n Jahren? Wann hat er den Kredit vollständig zurückgezahlt?

2 Lösung. Der Zinssatz ist p, also ist q + p 00. nach obiger Formel ist K n: K n K ( ( + p ) n + p R p 00 ) n Die Frage, wann er den Kredit zurückgezahlt hat ist (mathematisch) äquivalent mit der Frage: Für welches kleinstmögliche n gilt K n 0? K n 0, genau dann, wenn wobei A 00R pk n ln( A A ) ln( + p 00 ), Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert ({b n }, {c n } seien beliebige Folgen): a 0 a, a n+ b n a n + c n (n 0) Lösung. a 0 a a b a +c a b b a +b c + c... n n n a n a b i + c j b i i j ij+ Die Formel für die Summe ist ohne Informationen über {b n }, {c n } kaum sinnvoll: s n a + n i n b j + i0 j0 c k n i b j ik jk+ Georg Anegg

3 Hilfsfolgen Beispiel 3. Die Folge {x n } sei wie folgt definiert: x, x n+ nx n + n (n ) Lösung. x n+ nx n + n x n+ + n(x n + ) Die Hilfsfolge {y n } wird eingeführt. Sie sei folgendermaßen definiert: y n : x n +, y Mit der umgeformten Rekursion von oben gilt: y n+ ny n y n (n )y n (n )(n )y n... y n (n )! y (n )! Die explizite Darstellung lautet also: x n (n )! Beispiel 4. Die Folge {x n } sei wie folgt definiert: x, x n+ x n x n + 3 (n ) Lösung. x n+ x n x n + 3 x n+ + 3 x n + + x n x n+ x n ( + ) xn Georg Anegg 3

4 Wir führen die Hilfsfolge {y n } ein, die folgendermaßen definiert sei: Nun gilt: y n + x n, y Zurück zu x n : y n+ 3y n y n 3 n + x n 3 n x n 3 n Standardmethode Beispiel 5. Die Folge {x n } sei wie folgt definiert: x 0 x, x n+ 0x n+ x n (n 0) Man bestimme alle Quadratzahlen in dieser Folge. Lösung. Zuerst wird eine explizite Darstellung bestimmt. Dazu wählen wir als Ansatz x n q n. In die Rekursionsformel eingesetzt liefert das: q n+ 0q n+ q n q 0q + 0 : q n ( 0, wegen Startglieder) ( charakteristische Gleichung ) Man erhält die Lösungen q 7, q 3. Die Folge {x n } soll nun als Linearkombination geometrischer Folgen dargestellt werden. Dazu wird der Ansatz geändert: x n A q n + B q n x n A 7 n + B 3 n bzw. mit noch zu bestimmenden Werten A und B. Aus den Startwerten folgt: n 0, x 0 A + B n, x 7A + 3B Georg Anegg 4

5 Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind: A und B 3. Somit ist x n 7 n 3 n+. Aus der Betrachtung mod 4 folgt: x n ( ) n ( ) n+ ± mod 4 Da ein quadratischer Nicht-Rest mod 4 ist, ist x n für keine natürliche Zahl eine Quadratzahl. (Die explizite Darstellung ist nicht unbedingt nï tig, da bereits aus der Rekursion mit dem gleichen Argument (modulu 4 oder 0) der Beweis folgt.) 3 Störglieder Beispiel 6. Die Folge {x n } sei wie folgt definiert: x 0 x n+ 3 n+ 4x n (n 0) Lösung. Durch Indexverscheibung erhält man: I : x n+ 3 n+ 4x n II : x n 3 n 4x n (n ) I 3 II : x n+ x n + x n Damit ist das Störglied entfernt und man kann mit der Standardmethode weitermachen: q n+ q n + q n q + q 0 Die Lösungen sind: q 4, q 3. : q n ( 0, wegen Startglied) x n A ( 4) n + B 3 n Um ein Gleichungssystem für A und B aufstellen zu können, muss erst das. Folgenglied mit der ursprünglichen Rekursionsformel berechnet werden: x 3 4x Man erhält A 4 7, B 3 7. Als explizite Darstellung ergibt sich: A + B 4A + 3B x n 4 ( 4)n + 3 n+ 7 Georg Anegg 5

6 4 Mehrfache Nullstellen Beispiel 7. Die Folge {x n } sei wie folgt definiert: x 5, x 5, x 3 x n+3 5x n+ 8x n+ + 4x n (n ) Lösung. Wieder benutzt man den Ansatz x n q n q n+3 5q n+ 8q n+ + 4q n q 3 5q + 8q 4 0 : q n ( 0, wegen Startglied) Man sieht, dass q eine Lösung der charakteristischen Gleichung ist und erhält nach Polynomdivison die weiteren Lösungen q q 3. x n Aq n + Bq n + Cq n 3 führt hier wegen der Doppellösung nicht zum Ziel. Man muss einen anderen Ansatz wählen, nämlich : x n Aq n + Bq n + n Cq n 3 Mit den Startwerten kann wieder ein Gleichungssystem aufgestellt werden. Dieses führt zur Lösung A, B, C 4. Damit ist x n + n + n 4 n n (n + ) + Beispiel 8. Die Folge {x n } sei wie folgt definiert: x, x n+ x n + (n + ) (n ) Lösung. Man muss das Verfahren von Beispiel 9 dreimal anwenden. Also den Index erniedrigen und subtrahieren. Mit dem ersten Schritt wird das quadratische Glied entfernt, Georg Anegg 6

7 mit dem zweiten das lineare und mit dem dritten Schritt das konstante. Es bleibt eine Rekursion 4. Ordnung, nämlich: x n+4 4x n+3 6x n+ + 4x n+ x n Man erkennt, dass die charakteristische Gleichung dieser Rekursion (q ) 4 0 ist. Folglich ist eine vierfache Nullstelle und der Ansatz lautet: x n A + Bn + Cn + Dn 3, also ein Polynom 3. Grades, dessen Koeffizienten mit den ersten 4 Folgengliedern und einem entsprechendem Gleichungssystem ermittelt werden können. (Man könnte auch x 0 berechnen und daraus sofort A 0 schließen.) A + B + C + D A + B + 4C + 8D 5 A + 3B + 9C + 7D 4 A + 4B + 6C + 64D 30 Man erhält: A 0, B, C, D. Damit ist 6 3 x n n3 3 + n + n 6 n(n + )(n + ). 6 Aus der ursprünglichen Rekursion erkennt man außerdem, dass n x n k k n(n + )(n + ) 6 Weitere Formeln: ( n k 3 n ( ) n(n + ) k) k k n k 4 n(6n + 5n + 0n ) k 30 Georg Anegg 7

8 5 Beispiele (Aufgaben diverser mathematischer Wettbewerbe) Beispiel 9. Die Folge {x n } sei wie folgt definiert: x 0 0, x, x, x n+ + x n (x n+ + x n ) (n 0) Man zeige, dass alle Folgenglieder Quadratzahlen sind. Lösung. Umformen ergibt: mit der charakteristischen Gleichung: x n+3 x n+ + x n+ x n, q 3 q q + 0 Man errät die Nullstelle q und erhält die weiteren Lösungen: q 3+ 5, q ( ) n ( x n A( ) n + B + C Mit den Startwerten ergibt sich: A, B C. Nun ist: 5 5 x n [( ) n ( ) n ] ( )n Wegen ) n. 3 ± 5 ( ± 5 ) und gilt: x n [( ) n ( ) n ] ( )n ( ) n ( ) n ( ) n { [( ) n ( 5 ) n ]} F n Georg Anegg 8

9 Damit ist gezeigt, dass jedes Folgenglied das Quadrat der entsprechenden Fibonacci-Zahl ist. (Dieses Problem kann - nach dem Betrachten der ersten Folgenglieder und mit der passenden Vermutung - auch mittels starker Induktion gelöst werden - ein wesentlich einfacheres Unterfangen) Beispiel 0. Die Folge {x n } mit a 0 4, a erfüllt für n die Rekursion: und definiert die Folge x n+ x n + 6x n (n ) y n n ( ) n x k. k Man bestimme die Koeffizienten α und β so, dass {y n } die Rekursion y n+ αy n + βy n erfüllt. Man bestimme außerdem den expliziten Term für y n. Lösung. Die charakteristische Gleichung für {x n } ist und hat die Lösungen q 3, q. Also gilt für y n : q q x n A 3 n + B( ) n ( ) n n (A y n 3 k + B ( ) k) k ( ) ( ) n n n n A 3 k + B ( ) k k k A ( + 3) n + B ( ) n A 4 n + B ( ) n Die Lösungen der charakteristischen Gleichung von {y n } sind demnach p 4, p und die charakterstische Gleichung lautet (p 4)(p + ) 0 p 3p 4 0 p 3p + 4 α 3, β 4 Georg Anegg 9

10 Für den explizite Term müssen noch A und B ermittelt werden. A + B 4 3B B Die Lösungen sind A 9, B, woraus sich 5 5 x n ( 3 n+ + ( ) n) 5 bzw. y n 5 (9 4n + ( ) n ) ergibt. Beispiel. Die Folgen {x n }, {y n } seien wie folgt definiert: x 0 5, x 0, x n+ 0x n+ 6x n (n 0) y 0 3, y 4, y n+ 0y n+ 6y n (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung der Folgenglieder und entscheide, ob die Zahlen a, b rational sind. a 009, b x k y k x k y k Lösung. Die charakteristische Gleichung ist für beide Folgen: q 0q + 6 0, mit den Lösungen q, q 8. Es ist also Ermitteln von A, B, C, D: x n A n + B 8 n y n C n + D 8 n A + B 5 A + 8B 0 C + D 3 C + 8D 4 Georg Anegg 0

11 Die Lösungen sind: A 5, B C 0, D 3. Folglich gilt: Nun ist ersichtlich, dass a / Q. Daraus folgt, dass b 4 5 Q a b x n 5 n y n 3 3n x k y k 5 k 3 3k k ( 4 5 x k y k 6 ) n 3 3n ( 4 5) 6 Georg Anegg

12 6 Weitere Beispiele ohne Lösung Beispiel. Die Folgen {x n }, {y n } seien wie folgt definiert: x 0, x 5, x n+ 5 x n+ x n (n 0) y 0 0, y 3, y n+ 5 y n+ y n (n 0) Man zeige, dass die Folge {z n }, für die gilt, konstant ist. z n x n 9y n Beispiel 3. Die Folgen {x n }, {y n } seien wie folgt definiert: x 0 0, x, x n+ 4x n+ x n (n 0) y 0, y, y n+ 4y n+ y n (n 0) Man zeige, dass die Beziehung yn 3x n + für alle natürlichen Zahlen n gilt. Beispiel 4. Die Folge {x n } sei wie folgt definiert: x, x n+ x n + 3 x n (n ) Man zeige, dass alle Folgenglieder natürliche Zahlen sind. Beispiel 5. Für die Folge {x n } gilt: Der Mittelwert der ersten n Glieder ist für jede natürliche Zahl n gleich n + n. Beispiel 6. Die Folge {x n } sei wie folgt definiert: x, (n + )x n (n )x n (n ) Georg Anegg

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