Kreditrisikomodellierung und Risikogewichte im Neuen Baseler Accord

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1 1 Kredtrskomodellerung und Rskogewchte m Neuen Baseler Accord erschenen n: Zetschrft für das gesamte Kredtwesen (ZfgK), 54. Jahrgang, 2001, S Prvatdozent Dr. Hans Rau-Bredow, Lehrstuhl für Betrebswrtschaftslehre, Bank- und Kredtwrtschaft, Unverstät Würzburg Kontakt: hans.rau-bredow@mal.un-wuerzburg.de Der Baseler Ausschuss für Bankenaufscht hat n senem m Januar 2001 veröffentlchten zweten Konsultatonspaper zur Neuregelung der Egenkaptalverenbarung von 1988 auch enen auf nternen Ratngs baserenden Ansatz (IRB-Ansatz) vorgestellt 1. Das aufschtsrechtlche Mndestegenkaptal, mt dem de Kredte zu unterlegen snd, ergbt sch dabe als Funkton der von der Bank ntern geschätzten Ausfallwahrschenlchket. De Herletung der be der Berechnung der Rskogewchte zur Anwendung kommenden Formel wrd n dem Konsultatonspaper allerdngs ncht angegeben. De theoretschen Grundlagen des IRB-Ansatzes snd aber ncht nur für de mt den Aufschtsbehörden geführte Dskusson von Bedeutung, ob de Mndestegenkaptalanforderungen angemessen snd oder ob de Banken möglcherwese zu stark belastet werden. Darüber hnaus resultert erheblche praktsche Relevanz aus der Tatsache, dass der IRB-Ansatz offenschtlch als Vorstufe für de langfrstg entsprechend den derzet berets für Marktrsken geltenden Regelungen - auch für Kredtrsken zu erwartende aufschtsrechtlche Anerkennung von nternen Modellverfahren anzusehen st. Enschten n de dem IRB-Ansatz zugrunde legenden modelltheoretschen Überlegungen können sch daher be der Entwcklung von bankegenen Kredtrskomodellen als nützlch erwesen. We m Folgenden gezegt wrd, kann der Zusammenhang zwschen Ausfallwahrschenlchket und aufschtsrechtlcher Egenkaptalanforderung nachvollzogen werden, ndem auf bestmmte, telwese auch n dem Konsultatonspaper zterte neuere Forschungsarbeten zurückgegrffen wrd. Dazu st das approxmatve Verhalten enes Kredtrskomodells be zunehmender Granulartät zu betrachten.

2 2 Asset Value Modell Ausgangspunkt st de Vorstellung, dass en Default entrtt, wenn de (möglcherwese negatve) Rendte bestmmter Assets des Kredtnehmers ene krtsche Schwelle D unterschretet. Be standardnormalvertelten 2 Asset Value Rendten r ergbt sch aus der Normalvertelung N unmttelbar ene Bezehung zwschen Default-Schwelle D und Ausfallwahrschenlchket p, wobe her n enem homogenen Portfolo von ener für alle Kredtnehmer enhetlchen Ausfallwahrschenlchket ausgegangen wrd: p = P(r < D) = N(D) (1) In enem enfachen Modell können de Asset Value Rendten durch enen gemensamen systematschen Faktor X und das unsystematsche bzw. spezfsche Rsko der verschedenen Kredtnehmer abbldende Faktoren ε ( = 1... N) erklärt werden. De unsystematschen Rskofaktoren ε snd dabe sowohl unterenander als auch vom syste- matschen Faktor X jewels stochastsch unabhängg. r = ρ X + 1- ρ ε (2) De Koeffzenten snd so gewählt, dass sch be jewels standardnormalvertelten systematschen und unsystematschen Faktor auch ene standardnormalvertelte Asset Value Rendte ergbt. Außerdem st für zwe verschedene Kredtnehmer de Korrelaton der jewelgen Asset Value Rendten enhetlch durch ρ gegeben. Bedngte Ausfallwahrschenlchket Geht man n enem weteren Schrtt davon aus, dass sch das systematsche Rsko jewels zetlch vor dem unsystematschen Rsko realsert, dann lässt sch ene bedngte, von der Realsaton des systematschen Faktors abhängge Ausfallwahrschenlchket angeben 3. Der systematsche Faktor übernmmt damt de Funkton ener de Höhe der

3 3 Ausfallwahrschenlchket steuernden Hntergrundvarable. De Wahrschenlchket dafür, dass be gegebener Realsaton des systematschen Faktors X de unsystematsche Varable ε enen so nedrgen Wert annmmt, dass de resulterende Asset Value Rendte r unter der Default-Schwelle D legt, berechnet sch aus (1) und (2) we folgt: -1 N (p) ρ X p(x) = N( ) (3) 1- ρ Es wrd also ene Unterschedung getroffen zwschen deser bedngten, sch für ene bestmmte Realsaton des systematschen Faktors ergebenden Ausfallwahrschenlchket p( X ) und der unbedngten Ausfallwahrschenlchket p. De unbedngte Ausfallwahrschenlchket kann dabe als langfrstger, sch über mehrere Konjunkturzyklen hnweg ergebender Durchschnttswert nterpretert werden. Unendlche Granulartät Für gegebene Realsaton des systematschen Faktors snd de Ausfalleregnsse stochastsch unabhängg. Mt zunehmender Anzahl der Kredte wrd deshalb der Quotent aus ausgefallenen Kredten und Gesamtzahl der Kredte gegen de jewelge bedngte Ausfallwahrschenlchket konvergeren. Deser Zusammenhang wrd als Gesetz der großen Zahlen bezechnet, wonach be sehr velen Versuchen de emprsche Trefferrate (her von Ausfalleregnssen) mmer wenger von der theoretschen Trefferwahrschenlchket abwechen wrd. Ausfallrate und n Prozent des Kredtvolumens gemessene Ausfallverluste stmmen genau überen, falls alle Kredtnehmer dasselbe Kredtvolumen und enen enhetlchen loss gven default von jewels LGD = 100% aufwesen. Aus dem Gesetz der großen Zahlen folgt somt für en unendlch granulares Portfolo aus unendlch velen, jewels glechen Kredten de Identtät von n Prozent gemessenen Ausfallverlusten und bedngter Ausfallwahrschenlchket 4. Unsystematsche Rsken werden dabe durch Dversfkaton vollständg besetgt. Bestehen blebt ledglch der Enfluss des systematschen

4 4 Faktors, also das Rsko, dass sch je nach Konjunkturlage ene höhere oder nedrge bedngte Ausfallwahrschenlchket enstellt. Abdeckung des erwarteten und unerwarteten Verlustes Im Hnblck auf Kredtausfallverluste st de Unterschedung von erwarteten und unerwarteten Verlusten üblch. Während der als statstscher Mttelwert gegebene erwartete Verlust EL durch ene geegnet kalkulerte Znsmarge auszuglechen st, muss zur Abdeckung enes möglcherwese darüber hnaus entstehenden unerwarteten Verlustes UL en ausrechendes Egenkaptalpuffer beretgehalten werden. De Höhe deses Egenkaptalpuffers bemsst sch danach, dass de Wahrschenlchket für ene Insolvenz der Bank enen gerade noch akzepterten, her mt q bezechneten Wert ncht überschretet. In enem unendlch granularen Portfolo snd we gezegt Ausfallverluste und bedngte Ausfallwahrschenlchket dentsch. Es ergbt sch damt folgende Bedngung: P(p( X) > EL + UL) = q (4) Nach der Substtuton der durch Glechung (3) gegebenen Formel für de bedngte Ausfallwahrschenlchket und engen elementaren Umformungen erhält man: -1-1 N (p) ρ N (q) EL + UL = N( ) (5) 1 ρ Für den Grenzfall enes unendlch granularen Portfolos gelngt es also, ene explzte Formel für de Summe aus erwarteten und unerwarteten Verlust anzugeben. De Modellannahmen lassen sch we folgt rekaptuleren: Ausgegangen wrd von Kredtnehmern mt normalvertelten Asset Value Rendten, de sch um enen Mttelwert oberhalb der Default-Schwelle konzentreren. Je nach Ausprägung des systematschen Faktors bewegt sch de Default-Schwelle n Rchtung Mttelwert oder von desem weg. Da ene Bewegung n Rchtung Mttelwert zu enem überproportonalen Ansteg der Ausfalleregnsse führt, wrd m übrgen auch de für Kredtrsken typsche Schefe der Verlustvertelung mplzert.

5 5 Kalbrerung Der Baseler Ausschuss st für en Nchtbanken-Kredtportfolo von ener Asset- Korrelaton n Höhe von ρ = 0,2 und von enem Scherhetsnveau n Höhe von 99,5%, also von q = 0,5%, ausgegangen. Glechung (5) lautet dann we folgt: EL + UL = N(1,118 N -1 (p) + 1,288) (6) Des st de zentrale Formel m IRB-Ansatz, be dem de Ausfallwahrschenlchket p bankntern geschätzt wrd. Der Ausdruck st noch mt verschedenen Faktoren zu multplzeren, de so kalbrert snd, dass sch be enem pauschal vorgegebenen 5 loss gven default von LGD = 50% und ener Kredtrestlaufzet von 3 Jahren dann en Rskogewcht von 100% und somt en aufschtsrechtlches Kaptal von 8% ergbt, wenn de Ausfallwahrschenlchket auf 0,7% geschätzt wrd. Da außerdem en reales Kredtportfolo ne unendlch granular sen kann, wrd vom Baseler Ausschuss noch ene ndvduelle Granulartätsanpassung vorgeschlagen, de je nachdem, ob das Portfolo ene über- oder unterduchschnttlche Granulartät aufwest, postv oder negatv ausfallen kann. Fazt Für den Grenzfall enes unendlch granularen Kredtportfolos kann ene explzte Formel für de Summe aus erwarteten und unerwarteten Verlust angegeben werden, auf de der Baseler Ausschuss für de Berechnung der Rskogewchte bem IRB-Ansatz zurückgegrffen hat. Wegen der Anwendung bestmmter Multplkatonsfaktoren (Kalbrerung) wrd allerdngs ncht de absolute Höhe, sondern nur das relatve Verhältns der Rskogewchte modelltheoretsch bestmmt 6. Her besteht ene Analoge zum Modellverfahren m Berech der Marktrsken, be dem der Value at Rsk ebenfalls noch mt bestmmten von der Bankenaufscht vorgegebenen Zusatzfaktoren zu multplzeren st 7. Der IRB-Ansatz stellt sch damt als en wchtger Zwschenschrtt auf dem Weg zu ener langfrstg auch für Kredtrsken zu erwartenden aufschtsrechtlchen Anerkennung banknterner Modelle dar.

6 6 Anmerkungen 1 Das Konsultatonspaper kann unter heruntergeladen werden. 2 D.h. de Rendten snd so standardsert, dass der Erwartungswert Null und de Varanz 1 beträgt. Ene solche Standardserung schränkt de Allgemenhet der folgenden Überlegungen ncht en, da Korrelatonen nvarant gegenüber ener gegebenenfalls erforderlchen Lneartransformaton snd. 3 Vgl. dazu C.C. Fnger (1999): Condtonal approaches for CredtMetrcs portfolo dstrbutons, n: CredtMetrcs Montor, S Download: 4 Vgl. allgemener dazu M. B. Gordy (2001): A rsk-factor model for ratng-based captal rules, S.6f. Download: mgordy.trpod.com 5 Bem so genannten advanced approach werden dagegen auch für den loss gven default, das exposure at default und de Laufzet bankegene Werte verwendet. 6 So auch Deutsche Bundesbank (2001): Monatsbercht Aprl 2001, S.38 FN Vgl. H. Rau-Bredow (2001): Überwachung von Marktpresrsken durch Value at Rsk, n Wrtschaftswssenschaftlches Studum 6/2001, S