Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe B

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1 Name: Klasse: Datum: Teil B Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl0-Gruppe B. Gegeben ist die Exponentialfunktion y=f x =0.8 2 x ; x R. (9P) a) Geben Sie die folgenden Eigenschaften dieser Funktion an! Wertebereich, Nullstellen, Schnittpunkte mit der y-achse, Monotonie, Asymptoten Wertebereich y 0 ; y R Nullstellen Schnittpunkte mit der y-achse Monotonie keine Sy(0 0,8) steigend Asymptoten y=0 (x-achse) b) Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte A(2;y) und B(x; ). Vervollständigen Sie die Koordinaten der Punkte! 5 A 2 y x=2; y=? y=0,8 2 2 y=0,8 2 2 =0,8 4=3,2 A 2 3,2 B x 5 y= 5 ; x=? 5 =0,8 2x : 3oder : 4 5 oder =2x 4 =2x x= 2 B 2 5 oder mit dem ClassPad c) Wie lautet die Funktionsgleichung einer Funktion g(x), die durch Verschiebung des Graphen von f(x) um 3 Einheiten in Richtung der y-achse nach oben entsteht? y=g x =0,8 2 x 3 d) Wie lautet die Funktionsgleichung einer Funktion h(x), die durch Spiegelung des Graphen von f(x) an der x-achse entsteht? y=h x = 0,8 2 x

2 2. Ein Kunde erhält von seiner Bank einen Kredit über 8000 zu einem Zinssatz von 5,25%. Wann ist der Kredit abgezahlt, wenn der Kunde jeweils am Jahresende eine Rate von 500 zurückzahlt? Wie hoch ist die Gesamtsumme, die er zur Tilgung des Kredits an die Bank zurückzahlt? (5P) Die Aufgabe kann per Hand, mit dem Folgenmenü oder der Tabellenkalkulation des ClassPad gelöst werden. Kredit : 8000 Zinssatz :5,25% Rate :500 jährlich nach dem. Jahr Restschuld, =6920 nach dem 2. Jahr Restschuld, =5783,30 nach dem3. Jahr Restschuld, , ,92 nach dem 4. Jahr Restschuld, , ,74 nach dem5. Jahr Restschuld, , ,44 nach dem6. Jahr Restschuld, , ,57 nach dem7. Jahr Restschuld, , ,53 Mit der siebten Rate wäre der Kredit völlständig abgezahlt. Die letzte Rate wäre also um860,53 zu hoch und muss deshalb nur 639,47 betragen. Insgesamt wurde also folgender Betrag an die Bank zurückgezahlt : ,47 =9639,47 Folgenmenü des ClassPad Startglied :a 0 =8000 rekursive Formel : a n =,0525 a n 500 Bei einer Rate von500 und einem Kredit von8000 kannder Kredit erst nach mindestens 6 Jahren zurückgezahlt sein, also lassen wir testweise 0 Glieder berechnen. Das siebte Glied der Zahlenfolge ist -860,53, der Kredit ist also nach sieben Jahren abgezahlt, die letzte Rate ist um 860,53 zu hoch, also wurden insgesamt ,53 =9639,47 an die Bank zurückgezahlt. Lösung mit der Tabellenkalkulation Die siebte Restschuld beträgt -629,87, die Argumentation zu den Ergebnissen ist die selbe wie bei der Verwendung des Folgenmenüs.

3 3. Von einer Bakterienkultur ist bekannt, dass sie bei günstigen Bedingungen exponentiell anwächst. Nach 2 Tagen bedeckt die Kultur eine Fläche von cm² und nach 6 Tagen 9cm². a) Wie viel cm² sind nach 8 Tagen bedeckt, wenn optimales Wachstum vorausgesetzt wird? b) Nach wie vielen Tagen waren 3cm² bedeckt? (4P) Wenn die Bakterienkultur bei exponentiellem Wachstum nach 2Tagen eine Fläche von cm² bedeckt und nach 6 Tagen 9cm², dann bedeutet dass, dass die Flache sich alle zwei tage verdreifacht, also Tage Fläche cm² 3cm² 9cm² 27cm² Nach 8 Tagen bedeckt die Bakterienkultur eine Fläche von 27cm². Nach 4Tagen betrug die Fläche der Bakterienkulur 3cm². 4. Es wird der radioaktive Zerfall von 5g eines Iod-28 Isotops für die Medizin beobachtet. Dabei entsteht die folgende Wertetabelle: Zeit t in min Masse des radioaktiven 5,00 2,02 9,63 8,62 4,95 2,84 Iods in g a) Untersuchen Sie mithilfe von drei Messwerten, ob es sich um einen exponentiellen Zerfall handelt! Ich benutze die Mengenwerte von 0min, 20min und 40min. In denersten20 Minuten sinkt die Menge von5,00 g auf 8,62 g ab,also um den Faktor 8,62 g =0,5746.In dennächsten 20 Minuten sinkt die Menge von8,62 g auf 4,95 g, also 5,00 g um den Faktor 4,95 g =0,5742.Die beiden Faktoren sind fast gleich, es könnte sich also 8,62 g um einen exponentiellenzerfall handeln. Die geringe Abweichung könnte von Messfehlern stammen. b) Ermitteln Sie eine Gleichung, die den Zerfall des radioaktiven Stoffes möglichst genau beschreibt. Eine mögliche Gleichung kann aus dem Abnahmefaktor für die Mengenabnahme aller 20Minuten sofort ableiten. Sie lautet 20min m= f t =5g 0, Als Basis der Potenz wurde hier der Mittelwert aus den beiden ermittelten Abnahmefaktoren 0,5746 und 0,5742 gewählt. Eine weitere Möglichkeit ist die Verwendung des Statistikmenüs im ClassPad. Man gibt die Wertepaare ein und führt eine exponentielle Regression durch. Man sollte sich die gefundene Gleichung auch gleich in das Funktionenmenü kopieren lassen. t

4 Es ist gut zu erkennen, dass die gefundene Gleichung den gesuchten Zusammenhang sehr gut darstellt. Die Gleichung lautet: y=5,0069 0, x Auf unseren physikalischen Sachverhalt umformuliert lautet die Gleichung t dann min m= f t =5,0069 g 0, c) Wie viel ist von der radioaktiven Substanz nach zwei Stunden noch vorhanden? Welche der beiden gefundenen Gleichungen man verwendet ist gleichgültig, beide beschreiben den selben Sachverhalt. Für die Zeit t ist in die Gleichung 20min einzusetzen. Am einfachsten ist. die Schlussfolgerung, dass in den nächsten 60 Minuten also zwei weitere Abnahmen um den Faktor 0,57446 (Abnahme aller 20min) stattfinden werden. Damit ergibt sich nach zwei Stunden eine Menge von: 2,84g 0, , ,57446=0,5384g oder 2. die Verwendung der gespeicherten Formel aus der Regression. Man läßt im Funktionsmenü den y-wert zu dem x-wert 20 bestimmen. Da die Funktion ja als y im Statistikmenü abgespeichert wurde, könnte man im Main-Menü auch einfach den Funktionswert y(20) bestimmen lassen. Das Ergebnis ist in beiden Fällen 0,5379. Die geringen Abweichungen der Ergebnisse zum zuerst ermittelten Wert 0,5384g ergeben sich durch die Messfehler in der Messreihe. d) Ermitteln Sie, wann nur noch % des radioaktiven Iods vorhanden ist! % der Ausgangsmenge sind 0,5g. Es wird also nach dem x-wert gesucht, dem der y-wert 0,5g zugeordnet wird. Hier kann man wieder das Funktionenmenü benutzen und den x-wert zum y-wert 0,5 bestimmen lassen oder man benutzt gleich den Solver im Mainmenü und löst die Gleichung 0,5=y(x) nach x auf. Nach ungefähr 66Minuten ist nur noch % der ursprünglichen Ausgangsmenge von 20g Iod vorhanden. e) Bestimmen Sie die Halbwertszeit von Iod-28! (7P) Die Halbwertszeit ist abgelaufen, wenn von den ursprünglich vorhandenen 5g nur noch 7,5g Iod vorhanden sind. Die Aufgabe kann also genauso wie d) gelöst werden, nur wird nach der Zeit für die Menge von 7,5g gefragt. Die Halbwertszeit des Iod-Isotops beträgt 25Minuten.

5 5. Eine lineare Funktion der Form y=mx n und eine Exponentialfunktion der Form y=a b x schneiden sich in den Punkten A(0;2) und B(-;0). Bestimmen Sie die beiden Funktionsgleichungen! (2P) Am einfachsten ist die Aufgabe lösbar, wenn man die Punktkoordinaten der beiden Punkte A und B als Messpunkte in das Statistikmenü eingibt und einmal eine lineare und eine exponentielle Regression durchführen lässt. Die beiden Gleichungen lauten: y=-8x+2 für die lineare Funktion und y=2 0,2 x für die exponentielle Funktion. 6. Die Punkte A(0;-3), B(;-2,5) und C(2;-,5) liegen auf dem Graphen einer Exponentialfunktion der Form y=a b x c. Welche Asymptote hat diese Funktion? (2P) Die Exponentialfunktionen der Form y=a b x besitzen alle die waagerechte Asymptote y=0 (die x- Achse). Da der Parameter c nur eine Verschiebung des gesamten Graphen der Funktion in Richtung der y-achse bewirkt, haben die Funktionen der Form y=a b x +c alle die Asymptote y=c. Es muss also der Parameter c ermittelt werden. Wenn man die Koordinaten der Punkte A, B unc C jeweils in die Funktionsgleichung einsetzt, ergibt sich damit ein Gleichungssystem das zu lösen ist. Koordinaten des Punktes A 0 3 einsetzen 3=a b 0 c Koordinaten des Punktes B 2,5 einsetzen 2,5=a b c Koordinaten des PunktesC 2,5 einsetzen,5=a b 2 c Da b 0 =und b =bist,kanndas Gleichungssystem etwas vereinfacht werden. I. 3=a c II. 2,5=a b c III.,5=a b 2 c Diese Gleichungssystem kann man nun von Hand lösen oder mit dem ClassPad. Die Gleichung lautet also y=0,5 2 x -3,5, die Asymptote ist also y=-3,5.

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