Bachelor-Prüfung Elektrotechnik Atom-/Quantenphysik

Transkript

1 Bachelor-Prüfung Elektrotechnik Atom-/Quantenphysik Prüfungstermin : , 9:00-11:00 Uhr Name Vorname Matrikel-Nummer Vom Korrektor auszufüllen: Aufgabe Punkte Note : Ich erkläre mich hiermit einverstanden, dass mein Klausurergebnis (Note und Punkte) unter der Veröffentlichungsnummer auf der Internetseite und am schwarzen Brett des Instituts für Halbleiterphysik bekanntgegeben wird. Unterschrift:

2 Hinweise zur Bearbeitung der Klausur Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam durch, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen! 1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug und Taschenrechner zugelassen. 2. Die Klausur umfasst: a) 3 Blätter mit 6 Aufgaben und einer Formelsammlung (Konstanten und Formeln), die Sie nach Beendigung der Klausur mitnehmen können. b) 1 Deckblatt, dieses Hinweisblatt, sowie 10 leere Blätter zur Bearbeitung der Aufgaben. Lassen Sie diese Blätter zusammengeheftet und geben Sie sie am Ende der Klausur ab! 3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mit Name, Vorname und Matrikelnummer aus! 4. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der Formelsammlung! 5. Beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt mit Angabe der Aufgabennummer! Schreiben Sie die zugehörigen Nebenrechnungen ebenfalls auf dieses Blatt! Streichen Sie ungültige Lösungen deutlich durch! Sollten Sie ausnahmsweise zur Bearbeitung einer Aufgabe mehrere nicht aufeinanderfolgende Blätter benötigen, so vermerken Sie, wo die Fortsetzung der Aufgabe zu finden ist! 6. Benutzen Sie kein eigenes Konzeptpapier! Sollten Sie weitere leere Blätter zur Bearbeitung der Klausur benötigen, so erhalten Sie diese von uns. Viel Erfolg!

3 Bachelor-Prüfung Elektrotechnik Atom-/Quantenphysik Prüfungstermin : , 9:00-11:00 Uhr Aufgabe 1 (Photoeffekt und Compton-Effekt) [7 Punkte] Monochromatisches Licht der Wellenlänge λ bzw. Frequenz ν wird, wie in der Abbildung gezeigt, in einer evakuierten Quarzglasröhre auf eine Metallanode mit der Austrittsarbeit W A gestrahlt. Die aus der Anode austretenden Elektronen fliegen gegen eine angelegte Bremsspannung U zur Kathode und werden als Photostrom I photo detektiert. Für U > U 0 verschwindet der Photostrom. a) [1P] Skizzieren Sie den Photostrom I photo als Funktion von U im Bereich U 0 U U 0 für zwei verschiedene Beleuchtungsstärken L 1 < L 2! b) [1P] Formulieren Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen U 0, ν und W A! c) [1P] Um welches Metall handelt es sich, wenn oberhalb einer Grenzwellenlänge von λ grenz = 277 nm überhaupt kein Photostrom mehr auftritt? Element Li Na K Rb Cs Cu Pt W A in ev 2,46 2,28 2,25 2,13 1,94 4,48 5,36 Ein Röntgen-Photon der Wellenlänge λ = 1,0 Å wird an einem zunächst ruhenden Elektron unter einem Winkel von ϑ = 60 zur Einfallsrichtung gestreut. d) [4P] Fertigen Sie eine sorgfältige Skizze des Streuprozesses an, bei der die Impulse von Photon und Elektron deutlich dargestellt sind! (Beschriftung!) Berechnen Sie den Betrag und die Richtung der Geschwindigkeit des gestreuten Elektrons! Prüfen Sie nach, ob relativistisch (falls v 0, 1c) gerechnet werden muss! 1

4 Aufgabe 2 (Elektronenbeugung) [6 Punkte] Elektronen werden nach Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung von U = 10 V an den Gitteratomen eines Kristalls gebeugt. Der Abstand benachbarter Kristallebenen parallel zur Oberfläche betrage 0,6 nm. a) [2P] Berechnen Sie die Wellenlänge der Elektronen! Prüfen Sie nach, ob relativistisch (falls v 0, 1c) gerechnet werden muss! b) [2P] Erläutern Sie anhand einer ausführlichen Skizze die Bedingung für das Auftreten eines Beugungsmaximums! b) [2P] Unter welchen Einfallswinkeln zur Kristalloberfläche treten Beugungsmaxima auf? Aufgabe 3 (Potentialbarriere) [3 Punkte] Ein Teilchen mit Masse m und Impuls p bewege sich von x = her kommend mit der Energie E < V 0 auf die unten dargestellte Potentialbarriere zu. Im Gegensatz zum klassischen Teilchen, das an der Potentialbarriere reflektiert würde, gibt es für ein quantenmechanisches Teilchen eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit für x a. a) [0,5P] Wie bezeichnet man den Vorgang, bei dem das quantenmechanisches Teilchen die Potentialbarriere durchdringt? b) [1,5P] Skizzieren Sie den Realteil der Wellenfunktion des Teilchens für a x 2a, d.h. in den Bereichen I, II und III! Achten Sie dabei auf eine qualitativ korrekte Darstellung der Amplituden und Wellenlängen! c) [1P] Die Wellenfunktion ψ(x) = A exp(ikx) + B exp( ikx) stellt eine allgemeine Lösung der zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in den Bereichen I und III dar. Welcher Zusammenhang besteht zwischen E und k sowie zwischen p und k? (Es wird keine Rechnung verlangt!) 2

5 Aufgabe 4 (Harmonischer Oszillator) [8 Punkte] Ein Elektron bewege sich in einem Potential der Form V (x) = 1 2 mω2 x 2. a) [3P] Formulieren Sie die zugehörige zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung! Zeigen Sie, dass die normierte Wellenfunktion ψ 0 (x) = A exp( Bx 2 /2), B = mω eine Lösung der Schrödinger-Gleichung ist und berechnen Sie den zugehörigen Energie- Eigenwert E 0! b) [1,5P] Bestimmen Sie mit Hilfe eines geeigneten Ansatzes den Parameter A! c) [1,5P] Berechnen Sie den Erwartungswert ˆp x des Impulsoperators ˆp x im Zustand ψ 0 (x)! Die normierten Wellenfunktionen ψ 1 (x) = A 2Bx exp( Bx 2 /2), ψ 2 (x) = 1 A(2Bx 2 1) exp( Bx 2 /2) 2 sind ebenfalls Lösungen der Schrödinger-Gleichung, und zwar mit den Energie-Eigenwerten E 1 = 3 ω/2 und E 2 = 5 ω/2. d) [2P] Der Zustand des Elektrons vor einer Messung der Energie werde beschrieben durch die Wellenfunktion ψ(x) = i 2 ψ 0 (x) 1 2 ψ 1 (x). (1) Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung der Energie des Elektrons den Wert ω/2, 3 ω/2 und 5 ω/2 liefert? Welchen mittleren Energiewert erhält man, wenn die Messung vom gleichen Anfangszustand ausgehend sehr oft wiederholt wird? 3

6 Aufgabe 5 (Wasserstoffatom) [7 Punkte] a) [2P] Die Lyman-Serie beschreibt alle Übergänge innerhalb des Wasserstoffatoms, die auf dem Grundzustand enden. Formulieren Sie eine Gleichung für die möglichen Übergangsenergien! Berechnen Sie die kleinste und die größte Wellenlänge, die in der Lyman-Serie auftreten können! In welchem Spektralbereich liegen diese Wellenlängen? b) [2P] Die normierte Wellenfunktion für den Grundzustand des Wasserstoffatoms lautet ψ 100 (r,ϑ,ϕ) = 1 ) exp ( ra0, (2) πa 3 0 mit dem Bohr-Radius a 0. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Elektron im Grundzustand innerhalb eines Abstandes a 0 vom Kern zu finden ist! Hinweis: In Kugelkoordinaten gilt dv = r 2 sin ϑdrdϑdϕ c) [3P] Die Wasserstoff-Wellenfunktion ψ 2lm (r,ϑ,ϕ) = A r exp ( r ) cos ϑ, A = const. (3) 2a 0 wird durch die Hauptquantenzahl n = 2, die Bahndrehimpulsquantenzahl l und die magnetische Quantenzahl m charakterisiert. Bestimmen Sie mit Hilfe der Operatoren [ ( 1 ˆl2 = 2 sin ϑ ) + 1 ] 2 sin ϑ ϑ ϑ sin 2, ϑ ϕ 2 ˆlz = i ϕ des Quadrates des Bahndrehimpulses und seiner z-komponente die zu ψ 2lm gehörigen Quantenzahlen l und m! ( d Hinweis: x d dx dx ) f(x) = d dx ( x df(x) ) =... dx (4) Aufgabe 6 (Elektronenspin-Resonanz) [5 Punkte] a) [2P] Wie lautet die Gesamtdrehimpuls-Quantenzahl j des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoffatoms? (Begründung!) Zeichnen Sie in einem Vektormodell die möglichen Einstellungen des Gesamtdrehimpulses j bezüglich eines äußeren Magnetfeldes B z! Geben Sie die auftretenden Längen in Einheiten von an! b) [3P] Durch den Einfluss eines magnetischen Wechselfeldes B 0 sin(2πν HF t) soll j umgeklappt werden. Wie muss dazu das Wechselfeld polarisiert sein? Bei welcher Frequenz ν HF erfolgt der Umklapp, wenn B z = 1 T gilt? 4

7 Mathematische Beziehungen: sin 2 (ax)dx = x 2 1 4a sin(2ax) + C cos 2 (ax)dx = x a sin(2ax) + C exp( ax 2 )dx = 1 π für a > 0 x 2 exp( ax 2 )dx = 1 π für a > a 0 4 a 3 x 2 exp( ax)dx = 1 a exp( ax)[ a 2 x 2 + 2ax + 2 ] 3 x 3 exp( ax)dx = 1 a exp( ax)[ a 3 x 3 + 3a 2 x 2 + 6ax + 6 ] 4 Konstanten: Lichtgeschwindigkeit : c = 3, ms 1 Rydberg-Konstante : R y = 13, 6 ev Planck-Konstante : h = 6, Js Boltzmann-Konstante : k B = 1, JK 1 g-faktor Elektronenspin : g = 2 Bohrsches Magneton : µ B = 0, evt 1 Elektronenmasse: m e = 9, kg Protonenmasse : m p = 1, kg Elementarladung : e = 1, C Atomare Masseneinheit : 1u = 1, kg Wien-Konstante : b = 2, Km Stefan-Boltzmann-Konstante : σ = 5, Wm 2 K 4 1 Joule (J) = 6, ev 1 ev = 1, J [T] = [Vsm 2 ] 0 C = 273,16 K 5

8 Formeln: Bragg-Bedingung : 2d sin θ = nλ Relativistische kinetische Energie : E kin = (m m 0 )c 2 Geschwindigkeitsabhängige Masse : m = m 0 1 v2 /c 2 Relativistische Energie-Impuls-Beziehung : E = m 2 0c 4 + p 2 c 2 de Broglie-Wellenlänge : λ db = h p Plancksches Strahlungsgesetz : Wiensches Verschiebungsgesetz : dp(λ) dλ = 2πhc2 A λ 5 exp(hc/λkt) 1 λ max = b/t Stefan-Boltzmannsches Gesetz : P = σεat 4 Wellenlängenänderung beim Compton-Effekt : Bohrsches Magneton : µ B = e 2m e Energieeigenwerte des H-Atoms : E n = R y n 2, Betrag von Drehimpuls l und z-komponente l z : (für die Quantenzahlen l und m) λ = h (1 cos ϑ) m e c R y = e4 m e 8ǫ 2 0h 2 l = l(l + 1), l z = m Magnetisches Moment für Elektronenspin s : µ = µ B g s Einstellenergie des Spins im Magnetfeld : Impulsoperator: ˆp x = i x ; Analog: ˆp y, ˆp z E pot = µ B Quadratische Unschärfe eines Operators A: ( A) 2 = ψ (x) (A A ) 2 ψ(x)dx 6