Logik und Beweisbarkeit

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1 Logik und Beweisbarkeit Folien zur Vorlesung im Sommersemester 2016 Teil 1 Martin Mundhenk Univ. Jena, Institut für Informatik 12. April 2016

2 Vorlesung Logik und Beweisbarkeit (Sommer 2016) 1. Aussagenlogik 2. Prädikatenlogik und Arithmetik 3. Berechenbarkeitstheorie 4. Unvollständigkeitssätze für die Arithmetik

3 Einleitung: U ber Sinn und Form Symbolisches Addieren Al-Chwarizmi (etwa ) Problem: Was ist MMMDCCCXCIX plus CMLIV?? 0.0.3

4 Einleitung: U ber Sinn und Form Symbolisches Addieren Al-Chwarizmi (etwa ) Problem: Was ist MMMDCCCXCIX plus CMLIV?? Abhilfe: Dezimaldarstellung = eine Sprache fu r Zahlen erlaubt symbolisches Addieren

5 Additionen kann man puzzeln Grundwahrheiten (Axiome)... sind wie Puzzlestücke Regeln... korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form... Beispiel: + 1 Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln! 0.0.4

6 Additionen kann man puzzeln Grundwahrheiten (Axiome)... sind wie Puzzlestücke Regeln... korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form... Beispiel: Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln! 0.0.4

13 Symbolische Logik und Mathematik Frege ( ) [Grundgesetze der Arithmetik (1893, 1902)] Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen. x y(x < y a, b(a b = y (a = 1 b = 1))) Beweis: Seien p 1,..., p n alle Primzahlen x. Dann besitzt q = p 1 p 2... p n + 1 kein p i als Primfaktor. Da jede nat. Zahl 2 Produkt von Primfaktoren ist, gibt es also eine Primzahl y, die nicht zu p 1,..., p n gehört. Folglich gibt es unendlich viele Primzahlen. Freges These: Es gibt Axiome und Regeln, mit denen man jeden Satz der Arithmetik formal beweisen kann. Mathematik kann man puzzeln! 0.0.5

14 Symbolische Logik und Mathematik Frege ( ) [Grundgesetze der Arithmetik (1893, 1902)] Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen. x y(x < y a, b(a b = y (a = 1 b = 1))) Beweis: Seien p 1,..., p n alle Primzahlen x. Dann besitzt q = p 1 p 2... p n + 1 kein p i als Primfaktor. Da jede nat. Zahl 2 Produkt von Primfaktoren ist, gibt es also eine Primzahl y, die nicht zu p 1,..., p n gehört. Folglich gibt es unendlich viele Primzahlen. Freges These: Es gibt Axiome und Regeln, mit denen man jeden Satz der Arithmetik formal beweisen kann. Mathematik kann man puzzeln! 0.0.5

15 0.0.5 Symbolische Logik und Mathematik Frege ( ), Russell ( ), Whitehead ( ) [Principia Mathematica ( )]

16 Symbolische Logik und Mathematik Frege ( ), Russell ( ), Whitehead ( ) [Principia Mathematica ( )]

17 Hilberts Programm (1920) Hilbert ( ) Aufgabe 1: finde einen streng formalisierten Kalkül mit einfachen unmittelbar einleuchtenden Axiomen, der die Mathematik und Logik auf eine gemeinsame, nachweisbar konsistente Basis stellt d.h. finde die Puzzlestücke für das Mathe-Puzzle und beweise, dass das stimmt.

18 Gödels Unvollständigkeitssatz (1931) Gödel ( ) Hilberts Aufgabe 1 hat keine Lösung! (Es gibt kein Mathe-Puzzle... )

19 Hilberts Programm (1920) Hilbert ( ) Aufgabe 1: finde einen streng formalisierten Kalkül (Axiome & Regeln) mit einfachen unmittelbar einleuchtenden Axiomen, mit dem man jede wahre mathematische Aussage beweisen kann.

20 Hilberts Programm (1920) Hilbert ( ) Aufgabe 1: finde ein Verfahren, mit dem man jede wahre mathematische Aussage beweisen kann.

21 Hilberts Entscheidungsproblem (1927) Hilbert ( ) Aufgabe 2: finde ein Verfahren, mit dem man logische Formel für jede wahre mathematische Aussage beweisen kann, ob sie wahr oder falsch ist.

22 0.0.8 Hilberts Entscheidungsproblem (1927) Hilbert ( ) Aufgabe 2: finde ein Verfahren, mit dem man logische Formel für jede wahre mathematische Aussage beweisen kann, ob sie wahr oder falsch ist. 1. Finde Puzzlestücke, aus denen man alle wahren logischen Formeln puzzeln kann. 2. Finde Puzzlestücke, aus denen man alle falschen logischen Formeln puzzeln kann.

23 0.0.8 Gödels Vollständigkeitssatz (1929) Gödel ( ) Aufgabe 2: finde ein Verfahren, mit dem man logische Formel für jede wahre mathematische Aussage beweisen kann, ob sie wahr oder falsch ist. 1. Finde Puzzlestücke, aus denen man alle wahren logischen Formeln puzzeln kann. (Vollständigkeitssatz, Gödel 1929) 2. Finde Puzzlestücke, aus denen man alle falschen logischen Formeln puzzeln kann.

24 Turings Unvollständigkeitssatz (1936) Turing ( ) Hilberts Aufgabe 2.2 hat keine Lösung! (Es gibt kein Puzzle für die falschen logischen Formeln.)

25 On computable numbers... (1936) Turing ( ) computing machines (Turing-Maschinen) was geht: berechenbare Zahlen TMen sind programmierbar was geht nicht: das Halteproblem lösen wie man Unlösbarkeit zeigen kann: Reduktion vom Halteproblem zum Entscheidungsproblem wie s auch geht: äquivalente Maschinerie Sprache für Algorithmen Theorie der Berechenbarkeit

26 Inhalt der Vorlesung 1. Vollständigkeitssatz für einen Teil der Arithmetik Aussagenlogik (2-3 Wochen) Natürliches Schließen & dessen Vollständigkeit Prädikatenlogik und Σ1 -Arithmetik (4 Wochen) Natürliches Schließen & dessen Vollständigkeit 2. Unvollständigkeitssatz der Arithmetik Berechenbarkeit, (Semi-)Entscheidbarkeit (3 Wochen) Klassifizierung der Arithmetik (3 Wochen) Umfassende Frage: was kann man mit welcher Sprache ausdrücken? Literatur: van Dalen: Logic and Structure (Springer Verlag, 2008) Cutland: Computability (Cambridge University Press, 1992) Smith: An introduction to Gödel s theorems (Cambridge University Press, 2013)

29 Formalien zur Vorlesung/Übung Vorlesung/Übung dienstags Uhr, donnerstags Uhr Sprechstunde freitags Uhr und nach Vereinbarung Zulassungsvoraussetzung zur Prüfung: erfolgreiche Bearbeitung der wöchentlichen Übungsaufgabe mündliche Prüfung in der vorlesungsfreien Zeit (Termin wird noch bekanntgegeben)

30 Aussagenlogik 1. Aussagenlogik Grundbegriffe Natürliches Schließen (Literatur: Schöning: Logik für Informatiker van Dalen: Logic and Structure )

31 Grundbegriffe der Aussagenlogik 1. Aussagenlogik Grundbegriffe Sprache (Formeln) Semantik (Belegungen und die Erfüllungsrelation) Erfüllbarkeit und Gültigkeit Äquivalenz und adäquate Formelmengen Semantische Folgerung Natürliches Schließen

32 1.1.1 Syntax: Formeln Definition 1.1 (Aussagenlogische Formeln) Eine atomare Formel (kurz: Atom) hat die Form A i für i = 0, 1, 2,... (Aussagenlogische) Formeln sind induktiv definiert wie folgt. 1. Die Konstanten (falsum) und (verum) und alle Atome sind Formeln. 2. Für alle Formeln α ist α (Negation von α) ebenfalls eine Formel. Für alle Formeln α und sind (α ) (Konjunktion von α und, logisches Und ), (α ) (Disjunktion von α und, logisches Oder ) und (α ) (Implikation von α und, logische Folgerung ) ebenfalls Formeln. (3. Es gibt keine anderen Formeln.)

33 1.1.2 Semantik: Belegung und Erfüllungsrelation Definition 1.2 (Belegung) Eine Belegung B ist eine Menge B {A 0, A 1, A 2,...} von Atomen. Definition 1.3 (Semantik der Aussagenlogik) Sei B eine Belegung, α und seien Formeln. Die Relation zwischen Belegungen und Formeln ist wie folgt definiert. B und B B A i gdw. A i B, für atomare Formeln A i B α gdw. B α B (α ) gdw. B α und B B (α ) gdw. B α oder B B (α ) gdw. B α oder B

34 1.1.3 Erfüllbarkeit und Gültigkeit Die Relation heißt Erfüllungsrelation. Für B α sagt man B erfüllt α. Für Formelmengen Γ bedeutet B Γ ( B erfüllt Γ ), dass B ϕ für alle ϕ Γ gilt. Definition 1.4 (erfüllbare bzw. gültige Formeln) 1. Eine Formel heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung gibt, die sie erfüllt. Anderenfalls heißt die Formel unerfüllbar (oder Kontradiktion). 2. Eine Formel heißt gültig, wenn sie von jeder Belegung erfüllt wird. Gültige Formeln nennt man auch Tautologien. Schreibweise für Formel α ist gültig : α

35 Äquivalenz und Adäquatheit Abkürzende Schreibweise: wir schreiben auch A, B, C,... für A 0, A 1, A 2,.... Die Formeln (A B) und ( A B) werden von den gleichen Belegungen erfüllt. Die Belegung {A, B} erfüllt beide Formeln. Die Belegungen, {A} und {B} erfüllen beide Formeln nicht. Jede andere Belegung entspricht für die Atome A und B einer der obigen Belegungen. Definition 1.5 (Äquivalenz von Formeln) Formeln α und heißen äquivalent (α ), falls für jede Belegung B gilt: B α genau dann, wenn B.

36 Lemma 1.6 (grundlegende Äquivalenzen) Für alle Formeln α, und γ gelten die folgenden Äquivalenzen. Idempotenz: (α α) α (α α) α Kommutativität: (α ) ( α) (α ) ( α) Absorption: (α (α )) α (α (α )) α Doppelnegation: α α demorgan s Regeln: (α ) ( α ) (α ) ( α ) Tautologieregeln: (α ) α (α ) Kontradiktionsregeln: (α ) (α ) α

37 Negation von Konstanten: Gesetz des ausgeschlossenen Dritten: (α α) (α α) Implikation: (α ) ( α ) Assoziativität von bzw. : ((α ) γ) (α ( γ)) ((α ) γ) (α ( γ)) Distributivität von und : (α ( γ)) ((α ) (α γ)) (α ( γ)) ((α ) (α γ)) Vereinfachende Schreibweisen: Klammern können weggelassen werden. überflüssige Wir schreiben auch ( n α i ) statt (... ((α 1 α 2 ) α 3 )... α n ) i=1 und ( n α i ) statt (... ((α 1 α 2 ) α 3 )... α n ). i=1

38 Satz 1.7 (Ersetzungstheorem) Wenn man in einer Formel ϕ eine Teilformel α durch eine zu α äquivalente Formel ersetzt, so erhält man eine zu ϕ äquivalente Formel. Formaler ausgedrückt: Sei ϕ eine Formel mit der Teilformel α, und sei äquivalent zu α. Sei ϕ eine Formel, die aus ϕ entsteht, wenn ein Vorkommen der Teilformel α durch ersetzt wird. Dann sind ϕ und ϕ äquivalent. Beispiel: ϕ = (B (A (A B))) α = (A (A B)) = A ϕ = (B A) 1.1.8

39 1.1.9 Äquivalentes Umformen Die semantische Äquivalenz von Formeln lässt sich jetzt syntaktisch durch äquivalentes Umformen verifizieren (da eine Äquivalenzrelation ist). Beispiel 1: (A B) ( B A) (A B) ( A B) (Implikation) ( A B) (Doppelnegation) ( B A) (Kommutativität) ( B A) (Implikation)

40 Äquivalentes Umformen Beispiel 2: ((A B) C) (A (B C)) ((A B) C) ( (A B) C) (Implikation) (( A B) C) (demorgan) ( A ( B C)) (Assoziativität) ( A (B C)) (Implikation) (A (B C)) (Implikation) Allgemeiner gilt: ( n ) A i B (A1 (A 2 ( (A n B) ))) i=1

41 Äquivalentes Umformen Beispiel 3: ( ) ( ) ( ) (Implikation) ( ) (Negation von Konstanten) (Kontradiktionsregel) Beispiel 4: α (α ) für jede Formel α α ( α ) (Kontradiktionsregel) (α ) (Implikation)

42 Definition 1.8 (adäquate Mengen von Verknüpfungszeichen) Eine Menge M {,,,,,,...} von Verknüpfungszeichen heißt adäquat, falls es für jede Formel eine äquivalente Formel gibt, die nur aus Atomen sowie Verknüpfungszeichen aus M besteht. Da (( α) ) (α ), kann man alle Formeln äquivalent durch Formeln ohne ausdrücken. Also ist {,,,, } adäquat.

43 Lemma 1.9 ({, } ist adäquat) Für jede aussagenlogische Formel ϕ gibt es eine äquivalente Formel ϕ, die nur aus Atomen, und besteht. Der Beweis soll mittels Induktion über den Formelaufbau von ϕ geführt werden. Was ist zu zeigen? Induktionsanfang: Für jede aussagenlogische Formel ϕ, die, oder ein Atom ist, gibt es eine äquivalente Formel ϕ, die nur aus Atomen, und besteht. Induktionsschritt: Für alle aussagenlogischen Formeln α und gilt: wenn α und äquivalente Formeln besitzen, die nur aus Atomen, und bestehen, dann gibt es auch für α, (α ), (α ) und (α ) äquivalente Formeln, die nur aus Atomen, und bestehen. Der Induktionsschritt wird in zwei Teile aufgeteilt: Induktionsvoraussetzung: α und seien beliebige Formeln mit äquivalenten Formeln α α bzw., die nur aus Atomen, und bestehen. Induktionsschluss für α und aus der Induktionsvoraussetzung ist zu zeigen: α, (α ), (α ) und (α ) besitzen äquivalente Formeln, die nur aus Atomen, und bestehen.

44 Beweis: mittels Induktion über den Formelaufbau der Formel ϕ. Induktionsanfang (IA): Zu zeigen ist: Für jede aussagenlogische Formel ϕ, die, oder ein Atom ist, gibt es eine äquivalente Formel ϕ, die nur aus Atomen, und besteht. Fall 1: ϕ =. Dann ist ϕ = äquivalent zu ϕ, und ϕ besteht nur aus Atomen, und. Fall 2: ϕ =. Dann ist ϕ = ( ) äquivalent zu ϕ, und ϕ besteht nur aus Atomen, und. Fall 3: ϕ = A i. Dann ist ϕ = A i äquivalent zu ϕ, und ϕ besteht nur aus Atomen, und.

45 Induktionsvoraussetzung (IV): α und besitzen äquivalente Formeln α bzw., die nur aus Atomen, und bestehen. Induktionsschluss (IS) Zu zeigen ist: α, (α ), (α ) und (α ) besitzen äquivalente Formeln, die nur aus Atomen, und bestehen. Fall 1: ϕ = α. Es gilt: α α (IV und Satz 1.7) (α ) (Beispiel 4) Also ist ϕ = (α ) äquivalent zu ϕ, und in ϕ kommen laut IV nur Atome, und vor. Fall 2: ϕ = (α ). Es gilt: (α ) (α ) (IV und Satz 1.7) ( α ) (Doppelnegation und Satz 1.7) ( α ) (demorgan s Regel) (( α ) ) (Beispiel 4) ((α ) ) (Implikation und Satz 1.7) ((α ( )) ) (Beispiel 4 und Satz 1.7)

46 Also ist ϕ = ((α ( )) ) äquivalent zu ϕ, und in ϕ kommen gemäß IV nur Atome, und vor. Fall 3: ϕ = (α ). Es gilt: (α ) (α ) (IV und Satz 1.7) ( α ) (Doppelnegation und Satz 1.7) ( α ) (Implikation) ((α ) ) (Beispiel 4 und Satz 1.7) Dann ist ϕ = ((α ) ) äquivalent zu ϕ, und in ϕ kommen gemäß IV nur Atome, und vor. Fall 4: ϕ = (α ). Dann ist ϕ = (α ) äquivalent zu ϕ (IV und Satz 1.7), und in ϕ kommen gemäß IV nur Atome, und vor.

47 Satz 1.10 (Adäquate Mengen von Verknüpfungszeichen) Die folgenden Mengen von Verknüpfungszeichen sind adäquat. 1. {, } 2. {, } 3. {, } 4. {, }

48 Semantische Folgerung Definition 1.11 (Semantische Folgerung) Formel ϕ ist eine Folgerung aus der Formelmenge Γ (Γ ϕ), wenn jede Belegung, die Γ erfüllt, ebenfalls ϕ erfüllt. (D.h.:... wenn für jede Belegung B gilt: wenn B Γ, dann B ϕ.) Schreibweisen: Mengenklammern und Vereinigungszeichen lässt man gerne weg: z.b. schreibt man α 1,..., α n ϕ oder Γ, α ϕ. Statt ϕ schreibt man ϕ. Lemma 1.12 ( verallgemeinert ) Sei ϕ eine Formel. Dann gilt: ϕ genau dann, wenn ϕ.

49 Folgerung und Gültigkeit Lemma 1.13 (Zusammenhang zwischen und ) Die folgenden Aussagen sind äquivalent für alle n N und i = 1, 2,..., n α 1,..., α n ϕ 2. α 1,..., α i 1 (α i (α i+1... (α n ϕ)...)) 3. α 1,..., α i 1 ( n ( α j ) ϕ ) j=i Insbesondere gelten also folgende Äquivalenzen zu : (α 1 (α 2... (α n ϕ)...)) (( n α i ) ϕ) i=1

50 1.2 Natürliches Schließen in der Aussagenlogik 1. Aussagenlogik Grundbegriffe Natürliches Schließen Schlussregeln für (informell) Schlussregeln für (informell) Formale Definition des Natürlichen Schließens Korrektheit und Vollständigkeit des Natürlichen Schließens Anhang: Natürliches Schließen für weitere Verknüpfungszeichen

51 Das Natürliche Schließen dient dem Herleiten von Formeln mittels Axiomen und Schlussregeln. Wir werden zeigen, dass man genau die gültigen Formeln herleiten kann (Satz 1.29). Wir betrachten nur Formeln aus Atomen, und. Nach Satz 1.10 reicht das aus. Wir benutzen α jetzt als abkürzende Schreibweise für α. (Literatur: van Dalen: Logic and Structure)

52 1.2.1 Schlussregeln für Informelle Einführung Die Implikations-Elimination: α α ( E) Die Implikations-Introduktion ohne und mit Auflösung einer Hypothese: [α]. α α Eine Herleitung wird als Baum dargestellt, der mit Hypothesen beginnt (Blätter) und an dessen Wurzel die hergeleitete Formel steht. Statt Kanten werden waagerechte Striche für Anwendungen von Schlussregeln gezeichnet.

53 Herleitung von A (B A) [α]. Die Implikations-Regeln: α α

54 Herleitung von A (B A) A [α]. Die Implikations-Regeln: α α

55 Herleitung von A (B A) A B A [α]. Die Implikations-Regeln: α α

56 Herleitung von A (B A) [A] 1 B A 1 A (B A) [α]. Die Implikations-Regeln: α α

57 Herleitung von A (B A) [A] 1 B A 1 A (B A) α [α]. Die Implikations-Regeln: α α

58 Herleitung von A (B A) [A] 1 B A 1 A (B A) α α [α]. Die Implikations-Regeln: α α

59 Herleitung von A (B A) [A] 1 B A 1 A (B A) [α] 1 α 1 α ( α) Damit sind Herleitungen für alle Formeln der Form α ( α) angegeben. [α]. Die Implikations-Regeln: α α

60 Herleit. von (α ( γ)) ((α ) (α γ)) Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α ( E)

61 Herleit. von (α ( γ)) ((α ) (α γ)) α α Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α ( E)

62 Herleit. von (α ( γ)) ((α ) (α γ)) α α ( E) Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α ( E)

63 Herleit. von (α ( γ)) ((α ) (α γ)) α α ( E) α α ( γ) Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α ( E)

64 Herleit. von (α ( γ)) ((α ) (α γ)) α α ( E) α α ( γ) ( E) γ Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α ( E)

65 Herleit. von (α ( γ)) ((α ) (α γ)) α α ( E) α α ( γ) ( E) γ ( E) γ Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α ( E)

66 Herleit. von (α ( γ)) ((α ) (α γ)) [α] 1 α [α] 1 α ( γ) ( E) ( E) γ ( E) γ 1 α γ Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α ( E)

67 Herleit. von (α ( γ)) ((α ) (α γ)) [α] 1 [α ] 2 [α] 1 α ( γ) ( E) ( E) γ ( E) γ 1 α γ 2 (α ) (α γ) Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α ( E)

68 Herleit. von (α ( γ)) ((α ) (α γ)) [α] 1 [α ] 2 [α] 1 [α ( γ)] 3 ( E) ( E) γ ( E) γ 1 α γ 2 (α ) (α γ) 3 (α ( γ)) ((α ) (α γ)) Die Implikations-Regeln: α [α]. α α α ( E)

69 1.2.6 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (erste Hälfte) Herleitung von α α d.h. α ((α ) ) Die Regeln: α [α]. α α α ( E)

70 1.2.6 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (erste Hälfte) Herleitung von α α d.h. α ((α ) ) α α α α Die Regeln: α [α]. α α α ( E)

71 1.2.6 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (erste Hälfte) Herleitung von α α d.h. α ((α ) ) α α ( E) α α ( E) Die Regeln: α [α]. α α α ( E)

72 1.2.6 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (erste Hälfte) Herleitung von α α d.h. α ((α ) ) α [ α] 1 ( E) 1 α α [α ] 1 ( E) 1 (α ) Die Regeln: α [α]. α α α ( E)

73 1.2.6 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (erste Hälfte) Herleitung von α α d.h. α ((α ) ) [α] 2 [ α] 1 ( E) 1 α 2 α α [α] 2 [α ] 1 ( E) 1 (α ) 2 α ((α ) ) Die Regeln: α [α]. α α α ( E)

74 Schlussregeln für Informelle Einführung Ex falso quod libet α ( ) Reductio ad absurdum [ α]. α (RAA)

75 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (zweite Hälfte) Herleitung von α α: Die Regeln: α [α]. α α α ( E) [ α].. α (RAA)

76 1.2.8 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (zweite Hälfte) Herleitung von α α: α α (α ) α Die Regeln: α [α]. α α α ( E) [ α]. α (RAA)

77 1.2.8 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (zweite Hälfte) Herleitung von α α: α α ( E) (α ) α ( E) Die Regeln: α [α]. α α α ( E) [ α]. α (RAA)

78 1.2.8 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (zweite Hälfte) Herleitung von α α: α [ α] 1 ( E) (RAA)1 α (α ) [α ] 1 ( E) (RAA) 1 α Die Regeln: α [α]. α α α ( E) [ α]. α (RAA)

79 1.2.8 Herleitung des Doppelnegationsgesetzes (zweite Hälfte) Herleitung von α α: [ α] 2 [ α] 1 ( E) (RAA)1 α 2 α α [(α ) ] 2 [α ] 1 ( E) (RAA) 1 α 2 ((α ) ) α Die Regeln: α [α]. α α α ( E) [ α]. α (RAA)

80 Herleitung von α (α ) Die Regeln: [α]. α α α ( E) α ( )

81 1.2.9 Herleitung von α (α ) α α Die Regeln: [α]. α α α ( E) α ( )

82 1.2.9 Herleitung von α (α ) α α ( E) Die Regeln: [α]. α α α ( E) α ( )

83 1.2.9 Herleitung von α (α ) α α ( E) ( ) Die Regeln: [α]. α α α ( E) α ( )

84 1.2.9 Herleitung von α (α ) α [α] 1 ( E) ( ) α 1 Die Regeln: [α]. α α α ( E) α ( )

85 1.2.9 Herleitung von α (α ) [ α] 2 [α] 1 ( E) ( ) 1 α 2 α (α ) Die Regeln: [α]. α α α ( E) α ( )

86 Natürliches Schließen formal Formaler gesehen geht es beim Natürlichen Schließen nicht um das Herleiten von Formeln, sondern um das Herleiten von Sequenten. Definition 1.14 (Sequent) Ein Sequent ist ein Paar Γ ϕ, wobei Γ eine endliche Formelmenge und ϕ eine Formel ist. Statt Γ {α} ϕ schreiben wir vereinfachend Γ, α ϕ etc. Wir können nun die Regeln des Natürlichen Schließens als Regeln für Sequenten aufschreiben dadurch wird das bisher etwas schwammige Auflösen von Hypothesen klar definiert.

87 Definition 1.15 (Herleitung mittels Natürlichem Schließen) 1. Die Elemente des Natürlichen Schließens sind Sequenten aus Formeln aus Atomen, und. 2. Die Axiome des Natürlichen Schließens sind Sequenten α α für alle Formeln α. 3. Die Schlussregeln des Natürlichen Schließens sind für Formelmengen Γ, und Formeln α, : ( Γ, steht für Γ ) Γ, α Γ α Γ α α ( E) Γ, Γ, Γ (RAA) Γ α Γ, α (Hyp) (Bem.: Alte Regeln ohne Hypothesenauflösung werden unter Verwendung von (Hyp) dargestellt.)

88 Eine Herleitung eines Sequenten Γ α mittels Natürlichem Schließen ist eine Folge Γ 1 α 1, Γ 2 α 2,..., Γ l α l von Sequenten, so dass Γ = Γ l und α = α l und deren Elemente folgende Eigenschaften haben (für i = 1, 2,..., l): Γi α i ist ein Axiom, oder es gibt Γa α a und ggf. Γ b α b mit a, b < i, aus denen Γ i α i in einem Schritt mit einer Schlussregel hergeleitet werden kann. (Statt Herleitung verwendet man gerne auch Beweis.) 5. Γ Nat α bedeutet, dass es eine Herleitung eines Sequenten Γ α für ein Γ Γ mittels Natürlichem Schließen gibt. Eine Formel α ist ein Theorem des Natürlichen Schließens (Schreibweise: α), wenn es eine Herleitung von α mittels Nat Natürlichem Schließen gibt.

89 Nat α ( α) (1) α α (2) α, α (Hyp)(1) (3) α α (2) (4) α ( α) (3)

90 Nat α α (1) α α (2) α α (3) α, α ( E)(1), (2) (4) α α (3) (5) α α (4)

91 Nat α α (1) α α (2) α α (3) α, α ( E)(1), (2) (4) α α (RAA)(3) (5) α α (4)

92 Nat (α ( γ)) ((α ) (α γ)) (1) α α (2) α α (3) α, α ( E)(1), (2) (4) α ( γ) α ( γ) (5) α, α ( γ) γ ( E)(1), (4) (6) α, α ( γ), α γ ( E)(3), (5) (7) α ( γ), α α γ (6) (8) α ( γ) (α ) (α γ) (7) (9) (α ( γ)) ((α ) (α γ)) (8)

93 Nat α (α ) (1) α α (2) α α (3) α, α ( E)(1), (2) (4) α, α, (Hyp)(3) (5) α, α (RAA)(4) (6) α α (5) (7) α (α ) (6)

94 Nat α ( (α )) (1) α α (2) (3) α α (4) α, α ( E)(1), (3) (5) α,, α ( E)(2), (4) (6) α, (α ) (5) (7) α (α ) (6) (8) α ( (α )) (7)

95 Was wir später nochmal benutzen werden Satz 1.16 Für alle Formeln α und gilt 1. Nat 2. Nat α (α ) α ( (α )) 3. (α ) Nat α 4. (α ) Nat

96 (α ) Nat α [ α] 2 [α] 1 ( E) ( ) 1 α (α ) α (RAA)2 ( E)

97 (α ) Nat (α ) [] 1 α ( E) 1

98 1.2.4 Korrektheit und Vollständigkeit von Nat Das Natürliche Schließen unterteilt die Menge aller Formeln in herleitbare Formeln und nicht-herleitbare Formeln. Sind alle herleitbaren Formeln gültig? (Korrektheit von Nat ) Sind alle gültigen Formeln herleitbar? (Vollständigkeit von Nat ) Ziel ist der Beweis eines Vollständigkeitssatzes (Satz 1.29): Die herleitbaren Formeln sind genau die gültigen Formeln. Wenn man einen Beweis-Kalkül als Maschine betrachtet, die unendlich laufend alle herleitbaren Formeln ausgibt, dann bedeutet Korrektheit: es werden nur gültige Formeln ausgegeben, und Vollständigkeit: jede gültige Formel wird irgendwann ausgegeben.

99 Korrektheit von Nat Da man beim Natürlichen Schließen mit Sequenten arbeitet, ist es einfacher, etwas Allgemeineres zu beweisen. Lemma 1.17 (Verallgemeinerte Korrektheit von Nat ) Sei Γ eine Formelmenge und α eine Formel. Dann gilt: wenn Γ Nat α, dann Γ α.

100 Verallgemeinerte Korrektheit von Nat : Beweis Wir zeigen die Behauptung mittels Induktion über die Länge der Herleitung von α aus Γ. Induktionsanfang: Γ Nat α mit einer Herleitung der Länge 1. Dann besteht die Herleitung nur aus dem Sequenten α α (also Γ {α}), und offensichtlich gilt Γ α für Γ {α}. Induktionsvoraussetzung: wenn Γ Nat α mit einer Herleitung der Länge n, dann gilt Γ α. Induktionsschluss: zu zeigen: wenn Γ Nat α mit einer Herleitung der Länge n + 1, dann gilt Γ α.

101 Sei Γ Nat α mit einer Herleitung von Γ α der Länge n + 1 für ein Γ Γ. Wir unterscheiden, welche Regel im letzten Herleitungsschritt angewendet wird. Fall 1: im letzten Herleitungsschritt wird das Axiom α α benutzt. Offensichtlich gilt α α und damit Γ α. Fall 2: im letzten Herleitungsschritt wird verwendet. Dann ergibt der letzte Herleitungsschritt Γ ϕ (d.h. α = ϕ), und die Herleitung enthält einen Sequenten Γ, ϕ, der mit n Schritten hergeleitet wird. Wir zeigen nun Γ ϕ, d.h. für jede Belegung B gilt: wenn B Γ, dann B ϕ. Sei B eine Belegung mit B Γ. Fall 2.1: B : dann folgt B ϕ (Semantik von ). Fall 2.2: B : gemäß IV gilt Γ, ϕ und damit B ϕ. Gemäß Semantik von folgt ebenfalls B ϕ. Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ ϕ

102 Fall 3: im letzten Herleitungsschritt wird ( E) verwendet. Der letzte Herleitungsschritt ergibt Γ α und die Herleitung enthält Sequenten und α mit Γ =, die beide mit n Schritten hergeleitet werden. Wir zeigen nun Γ α, d.h. für jede Belegung B gilt: wenn B Γ, dann B α. Sei B eine Belegung mit B Γ. Da, Γ, folgt B und B. Mit der IV folgt B und B α. Folglich gilt B α. Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ α

103 Fall 4: im letzten Herleitungsschritt wird (Hyp) verwendet. Der letzte Herleitungsschritt ergibt Γ α, und die Herleitung enthält einen Sequenten Γ {} α, der mit n Schritten hergeleitet wird. Sei B eine Belegung mit B Γ. Dann folgt B Γ {}, und mit der IV folgt B α. Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ α. Fall 5: im letzten Herleitungsschritt wird (RAA) verwendet. Der letzte Herleitungsschritt ergibt Γ α, und die Herleitung enthält einen Sequenten Γ, α, der mit n Schritten hergeleitet wird. Sei B eine Belegung mit B Γ. Da B, folgt B α aus der IV und damit B α. Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ α. Also folgt in allen Fällen Γ α. Da Γ Γ, folgt schließlich Γ α.

104 Das Korrektheitslemma für Nat Für Γ = folgt mit Lemma 1.12 Folgerung 1.18 (Korrektheit von Nat ) Sei α eine Formel. Wenn Nat α, dann α. D.h. jede mittels Natürlichem Schließen herleitbare Formel ist gültig. Da alle herleitbaren Formeln gültig sind, benutzt man statt herleitbar auch gerne den Begriff beweisbar.

105 Vollständigkeit von Nat Wir wollen zeigen: wenn α ( α ist gültig ), dann Nat α ( α ist beweisbar ). Wir zeigen wieder allgemeiner: wenn Γ α, dann Γ Nat α. Das teilen wir in mehrere Schritte auf: Γ α Γ { α} ist unerfüllbar (1.26) Γ { α} Nat Γ Nat α

106 Definition 1.19 (konsistente Menge) Eine Formelmenge Γ heißt konsistent, falls Γ Nat. Lemma ist konsistent. 2. Wenn Γ nicht konsistent ist, dann gilt Γ Nat α für alle Formeln α. 3. Wenn Γ nicht konsistent ist, dann ist Γ unerfüllbar. Beweis: 1. Da, folgt Nat (Korrektheitslemma 1.17). 2. Aus Γ Nat folgt Γ Nat α mit ( ) für jedes α. 3. Aus Γ Nat folgt Γ (Korrektheitslemma 1.17). Da B, gilt also: B Γ (für alle B).

107 Definition 1.21 (maximal konsistente Menge) Eine konsistente Formelmenge Γ heißt maximal konsistent, wenn keine echte Obermenge von Γ konsistent ist. Lemma 1.22 (konsistente Mengen können maximiert werden) Jede konsistente Menge besitzt eine maximal konsistente Obermenge. Beweis: Sei Γ eine konsistente Formelmenge, und φ 1, φ 2, φ 3,... sei eine Aufzählung aller Formeln. Definiere Γ 0, Γ 1,... und Γ wie folgt. { Γi {φ i+1 }, falls Γ {φ i+1 } Nat Γ 0 := Γ und Γ i+1 := Γ i, sonst Γ := i 0 Γ i

108 Offensichtlich gilt Γ Γ. Wir zeigen in zwei Schritten, dass Γ maximal konsistent ist. 1.) Γ ist konsistent. Wir zeigen: für alle α mit Γ Nat α gilt α. Sei α eine Formel mit Γ α. Nat Dann gibt es eine endliche Teilmenge H Γ, so dass H α, und damit H Nat α. Falls H =, folgt α aus dem Korrektheitslemma (1.18). Falls H, dann ist H = {φ i1, φ i2,..., φ im }. Sei b der größte Index aller Elemente von H, also H Γ b und Γ b = Γ b 1 {φ b }. Aus H Nat α folgt Γ b 1 {φ b } Nat α. Da φ b Γ b, folgt Γ b 1 {φ b } und damit α. Nat Also folgt Γ Nat, d.h. Γ ist konsistent

109 2.) Γ ist maximal konsistent. Wir zeigen: für alle Γ gilt: ist nicht konsistent. Sei Γ. Dann gibt es ein φ r Γ. Es gilt Γ r 1 {φ r } Nat. Da Γ r 1 {φ r } folgt Nat. Also ist nicht konsistent. Also besitzt Γ keine echte Obermenge, die konsistent ist. Da Γ konsistent ist, ist es auch maximal konsistent. Also ist Γ eine maximal konsistente Obermenge von Γ.

110 Lemma 1.23 (maxkons Mengen sind abgeschlossen unter Nat ) Sei Γ eine maximal konsistente Formelmenge und α eine Formel. Dann gilt: wenn Γ Nat α, dann α Γ. Beweis: Sei Γ maximal konsistent und Γ Nat α. Sei ϕ eine Formel mit Γ {α} Nat ϕ. Mit folgt Γ Nat α ϕ, und mit ( E) erhalten wir Γ Nat ϕ. Da Γ konsistent ist, ist ϕ. Folglich gilt Γ {α} Nat. Da Γ maximal konsistent ist, folgt α Γ.

111 Lemma 1.24 (maxkons Mengen simulieren ) Sei Γ eine maximal konsistente Formelmenge, α und seien Formeln. Dann gilt: α Γ genau dann, wenn α Γ oder Γ. Beweis: ( ): Aus Γ folgt Γ Nat. Mit folgt Γ Nat α und mit (1.23) folgt α Γ. Aus α Γ folgt Γ {α} Nat und damit Γ Nat α. Mit Nat α (α ) (1.16) und ( E) folgt Γ Nat α, und mit (1.23) folgt daraus α Γ. ( ): Aus α Γ und α Γ folgt Γ Nat α und Γ Nat α. Mit ( E) folgt Γ Nat und daraus mit (1.23) schließlich Γ. Folgerung 1.25 Sei Γ eine maximal konsistente Formelmenge, und α sei eine Formel. Dann gilt entweder α Γ oder α Γ.

112 Lemma 1.26 (konsistente Mengen sind erfüllbar) Wenn eine Formelmenge konsistent ist, dann ist sie auch erfüllbar. Beweis: Sei eine konsistente Formelmenge. Dann gibt es eine maximal konsistente Menge Γ (Lemma 1.22). Sei B Γ die Belegung mit A i B Γ genau dann, wenn A i Γ (f.a. i). Behauptung: B Γ α genau dann, wenn α Γ (für jedes α). Beweis der Behauptung mittels Induktion über den Formelaufbau von α: IA: α = A i oder α = : Beh. folgt aus der Definition von B Γ. IV: B Γ gdw. Γ, und B Γ γ gdw. γ Γ. IS: Sei α = γ. B Γ α gdw. B Γ oder B Γ γ (Semantik von ) gdw. Γ oder γ Γ (Induktionsvoraussetzung) gdw. γ Γ, also α Γ (Lemma 1.24) Mit der Behauptung folgt B Γ Γ und B Γ d.h. ist erfüllbar.

113 Lemma 1.27 (verallgemeinerte Vollständigkeit von Nat ) Sei Γ eine Formelmenge und α eine Formel. Aus Γ α folgt Γ Nat α. Beweis: Gelte Γ α. Dann ist Γ { α} unerfüllbar und folglich nicht konsistent (1.26). D.h. Γ { α} Nat. Mit einer Anwendung von (RAA) erhält man daraus Γ Nat α. Für Γ = folgt daraus mit Lemma 1.12 Folgerung 1.28 (Vollständigkeit von Nat ) Sei Γ eine Formelmenge und α eine Formel. Aus α folgt Nat α.

114 Der Vollständigkeitssatz für Nat Aussagenlogik in der Die Korrektheit (Lemma 1.18) und die Vollständigkeit (Lemma 1.28) des Natürlichen Schließens für die Aussagenlogik ergeben zusammen den Vollständigkeitssatz. Satz 1.29 Für jede aussagenlogische Formel α gilt: α ist gültig genau dann, wenn α mit Natürlichem Schließen beweisbar ist (d.h. α gdw. Nat α). Man kann den Satz auch (viel) einfacher beweisen. Aber wir haben den Begriff konsistent kennengelernt...

115 1.2.5 Schlussregeln für weitere Verknüpfungszeichen Wir werden später auch mal Formeln mit und herleiten. Die folgenden Regeln sind alle korrekt.

116 Schlussregeln für und Die Schlussregeln für sind recht intuitiv. α ( I ) α α α ( E) α ( E) Die für nicht sofort... α α ( I ) α ( I ) [α]. []. α ϕ ϕ ( E) ϕ

117 Nat α α α

118 Nat α α α α α ( I )

119 Nat α α α ( I ) α α (α α) ( E)

120 Nat α α [α] 1 ( I ) α α (α α) ( E) α 1

121 Nat α α [α] 1 ( I ) α α (α α) ( E) α α α 1 ( I )

122 Nat α α [α] 1 ( I ) α α (α α) ( E) 1 α ( I ) α α (α α) ( E)

123 Nat α α [α] 1 ( I ) α α [ (α α)] 2 ( E) 1 α ( I ) α α [ (α α)] 2 ( E) (RAA) 2 α α

124 Nat ((α ) γ) (α γ) ( γ) [γ] 1 [γ] 2 [α ] 1 ( E) [α ] 2 ( E) α ( I ) ( I ) ( I ) ( I ) [(α ) γ] 3 α γ α γ ( E)1 [(α ) γ] 3 γ γ ( E)2 α γ γ ( I ) (α γ) ( γ) 3 ((α ) γ) ((α γ) ( γ))

125 Die -Elimination lässt sich auch mit und aufschreiben [α]. []. α ϕ ϕ ( E) ϕ und als Abkürzung für folgendes ansehen. [α] 1 [] 2.. ϕ [ ϕ] 3 ϕ [ ϕ] 3 ( E) ( E) 1 2 α α ( E) ( E) (RAA)3 ϕ