Minimierung von DFAs. Minimierung 21 / 98
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- Claudia Stieber
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1 Minimierung von DFAs Minimierung 21 / 98
2 Ein Beispiel: Die reguläre Sprche L({, } ) Wie stellt mn fest, o ein Wort ds Suffix esitzt? Ein erster Anstz: Speichere im ktuellen Zustnd die eiden zuletzt gelesenen Buchsten. Wir enutzen deshl die Zustände Q = {ɛ,,,,,, } mit Strtzustnd q 0 = ɛ ( wir hen noch nichts gelesen ) und dem kzeptierenden Zustnd ( die eiden letzten Buchsten sind ). Welche Zustndsüergänge? Minimierung 22 / 98
3 L({, } ): 1. Versuch 3 Der Automt merkt sich ttsächlich die eiden letzten Buchsten, denn: δ(ɛ, w) = z ( w 1 und w = z) oder ( z = 2 und w = w z) Minimierung 23 / 98
4 L({, } ): 1. Versuch 3 Ist der Automt miniml? Sicherlich nicht: Wenn der letzte Buchste ist, dnn ist der vorletzte Buchste uninteressnt! Minimierung 24 / 98
5 L({, } ): 2. Versuch Vorher: 3 Verschmelze die Zustände und : Beide Zustände erreichen unter wie uch identische Nchfolgezustände. Verschmelze und us dem gleichen Grund. Nchher: 3 Minimierung 25 / 98
6 L({, } ): 3. Versuch 3 Der Automt ist immer noch nicht miniml, d die Zustände und identische Nchfolgezustände hen. (Wenn der letzte Buchste ist, dnn ist der vorletzte egl.) Nch der Verschmelzung von und : 3 Minimierung 26 / 98
7 L({, } ): 4. Versuch 3 Der Automt ist immer noch nicht miniml, weil ɛ und identische Nchfolgezustände esitzen. Verschmelze! 3 Frge: Ist der Automt jetzt miniml? Minimierung 27 / 98
8 Allgemeine Minimierung: Ein erster Versuch Ds Minimierungsprolem Gegeen sei ein vollständiger DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ). Ziel: Konstruiere einen äquivlenten vollständigen DFA mit minimler Zustndszhl. (1) Entferne lle üerflüssigen Zustände q. q heißt üerflüssig, wenn q von q0 us nicht erreichr ist. Wie erkennen wir üerflüssige Zustände? Strte eine Breiten- oder Tiefensuche im Zustnd q 0. Lufzeit: O( Q Σ ). (2) Wir hen Zustände p und q verschmolzen, wenn sie identische Nchfolgezustände esitzen. Genuer: Wir sgen, p und q verhlten sich gleich genu dnn, wenn gilt: p, q F oder p, q F, und δ(p, ) = δ(q, ) für lle Σ. Verschmelze Zustände, die sich gleich verhlten. Frge: Funktioniert ds? Minimierung 28 / 98
9 Leider, leider, , 2 2 ht keine Zustände, die sich gleich verhlten, er, ɛ, x kzeptiert diesele Sprche mit weniger Zuständen. Minimierung 29 / 98
10 Worn liegt s? 3 1 1, 2 2 Wir erhlten den kleineren Automten, wenn wir sowohl die Zustände 1, 2 ls uch die Zustände 1, 2 verschmelzen. Wrum dürfen wir ds? Für 1, zw. 2 ls Anfngszustnd wird die gleiche Sprche {, } {}{, } kzeptiert! 1, 2 wie uch 1, 2 unterscheiden sich nicht, wenn wenn es um s Akzeptieren/Verwerfen geht! Minimierung 30 / 98
11 Die Verschmelzungsreltion A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) sei ein DFA. Wir sgen, dss die Zustände p, q Q äquivlent sind (kurz: p A q) genu dnn, wenn für lle w Σ gilt: δ(p, w) F δ(q, w) F. p, q Q sind lso äquivlent, wenn p und q sich nicht unterscheiden, wenn es ums Akzeptieren geht. Minimierung Verschmelzungsreltion 31 / 98
12 Ein Beispiel Ht der folgende DFA A äquivlente Zustände?, ɛ, x - ɛ A x: Denn δ(x, ) F, er δ(ɛ, ) / F. - ɛ A : Denn δ(ɛ, ) / F, er δ(, ) F. - x A : Denn δ(x, ) / F, er δ(, ) F. - Der Zustnd ist der einzige kzeptierende Zustnd und ist deshl zu keinem nderen Zustnd äquivlent. Denn: δ(, ε) F, er δ(q, ε) F für lle q {ɛ, x, }. Der DFA A esitzt keine äquivlenten Zustände. Minimierung Verschmelzungsreltion 32 / 98
13 Die Verschmelzungsreltion ist eine Äquivlenzreltion Für jeden DFA A ist die Reltion A - reflexiv, d.h. es ist q A q für lle Zustände q von A, - symmetrisch, d.h. für lle Zustände p und q von A gilt p A q genu dnn, wenn q A p gilt, und - trnsitiv, d.h. für lle Zustände p, q und r folgt us p A q und q A r stets p A r. Also ist A eine Äquivlenzreltion. Diese zerlegt die Zustndsmenge in disjunkte Äquivlenzklssen. Minimierung Verschmelzungsreltion 33 / 98
14 Der Äquivlenzklssenutomt Wie sieht der Automt nch dem Verschmelzen äquivlenter Zustände us? A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) sei ein vollständiger DFA. - Für Zustnd p Q ezeichnet die Äquivlenzklsse von p. [p] A = { q Q p A q } - Der Äquivlenzklssenutomt A für A esitzt die Zustndsmenge Q = { [p] A p Q }, den Anfngszustnd q 0 := [q 0 ] A, die Menge F := { [p] A p F } der kzeptierenden Zustände und ds Progrmm δ mit δ ([p] A, ) = [δ(p, )] A für lle q Q, Σ. Minimierung Äquivlenzklssenutomt 34 / 98
15 Die Wohldefiniertheit von δ Wir hen δ ([p] A, ) := [δ(p, )] A gesetzt. Flls p, q Q so dss p A q ist, so gilt: [p] A = [q] A. Unsere Definition von δ mcht lso nur dnn Sinn (fchegriff: δ ist wohldefiniert ), wenn gilt: [δ(p, )] A = [δ(q, )] A für lle p, q Q mit [p] A = [q] A. Seien lso p, q Q mit [p] A = [q] A. Dnn gilt: p A q = für lle w Σ gilt: δ(p, w ) F δ(q, w ) F = für lle w Σ gilt: δ(p, w) F δ(q, w) F = für lle w Σ gilt: δ ( δ(p, ), w ) F δ ( δ(q, ), w ) F = δ(p, ) A δ(q, ) = [δ(p, )] A = [δ(q, )] A. Somit ist δ ttsächlich wohldefiniert. Minimierung Äquivlenzklssenutomt 35 / 98
16 A ist äquivlent zu A, d.h. es gilt: L(A ) = L(A) (1/3) Wir zeigen nun, dss der Äquivlenzklssenutomt A diesele Sprche kzeptiert wie A. Dzu gehen wir in drei Schritten vor: Schritt 1: Für lle w Σ ist δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A. Schritt 2: L(A) L(A ). Schritt 3: L(A ) L(A). Beweis von Schritt 1: Per Induktion üer die Länge von w. Induktionsnfng: Betrchte w = ε. Gemäß Definition gilt: δ ([q 0 ] A, ε) = [q 0 ] A = [δ(q 0, ε)] A. Induktionsschritt: Betrchte w = u mit u Σ und Σ. Ind.nnhme: δ ([q 0 ] A, u) = [δ(q 0, u)] A. Beh.: δ ([q 0 ] A, u) = [δ(q 0, u)] A. Beweis: δ ([q 0 ] A, u) = δ ( δ ([q 0 ] A, u), ) Ind.nn. = δ ( [δ(q 0, u)] A, ) = δ ([p] A, ), für p := δ(q 0, u) Def. δ = [δ(p, )] A = [δ ( δ(q 0, u), ) ] A = [δ(q 0, u)] A. Schritt 1 Minimierung Äquivlenzklssenutomt 36 / 98
17 A ist äquivlent zu A, d.h. es gilt: L(A ) = L(A) (2/3) Wir zeigen nun, dss der Äquivlenzklssenutomt A diesele Sprche kzeptiert wie A. Dzu gehen wir in drei Schritten vor: Schritt 1: Für lle w Σ ist δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A. Schritt 2: L(A) L(A ). Schritt 3: L(A ) L(A). Beweis von Schritt 2: Behuptung: L(A) L(A ). Sei w L(A). Somit kzeptiert A die Einge w, d.h. es gilt: p := δ(q 0, w) F. Gemäß Schritt 1 gilt: δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A = [p] A. Gemäß Definition von F gilt: [p] A F (d p F). Somit wird w von A kzeptiert, d.h. es gilt w L(A ). Schritt 2 Minimierung Äquivlenzklssenutomt 37 / 98
18 A ist äquivlent zu A, d.h. es gilt: L(A ) = L(A) (3/3) Wir zeigen nun, dss der Äquivlenzklssenutomt A diesele Sprche kzeptiert wie A. Dzu gehen wir in drei Schritten vor: Schritt 1: Für lle w Σ ist δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A. Schritt 2: L(A) L(A ). Schritt 3: L(A ) L(A). Beweis von Schritt 3: Behuptung: L(A ) L(A). Sei w L(A ). Somit kzeptiert A die Einge w, d.h. es gilt: δ ([q 0 ] A, w) F. Gemäß Schritt 1 gilt: δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A. Ziel: Zeige, dss w L(A), d.h., dss δ(q 0, w) F. Wegen δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A F muss es gemäß der Definition von F ein p F geen, so dss p A δ(q 0, w). Aus der Definition von A folgt: δ(p, ε) F δ ( δ(q 0, w), ε ) F. Wegen δ(p, ε) = p F und δ ( δ(q 0, w), ε ) = δ(q 0, w) folgt drus, dss δ(q 0, w) F ist, d.h. w L(A). Schritt 3 Minimierung Äquivlenzklssenutomt 38 / 98
19 Zwischenstnd + Der Äquivlenzklssenutomt A kzeptiert diesele Sprche wie der ursprüngliche Automt A.? Die verleienden Frgen: (1) Ist A ttsächlich miniml? (2) Wie knn A effizient erechent werden? Wie eginnen mit der effizienten Berechnung von A : Huptprolem: Wie üerprüft mn effizient, o zwei Zustände p, q äquivlent sind? p A q Def für lle w Σ gilt: δ(p, w) F δ(q, w) F. Minimierung Äquivlenzklssenutomt 39 / 98
20 Die Berechnung des Äquivlenzklssenutomten (1/4) Idee: Ansttt Äquivlenz nchzuweisen, finde Zeugen für die Nicht-Äquivlenz. Ein Wort w Σ heißt Zeuge für p A q, wenn gilt: (1) δ(p, w) F und δ(q, w) / F oder (2) δ(p, w) / F und δ(q, w) F. Eine zentrle Beochtung: Wenn ein Wort w die Nicht-Äquivlenz von p = δ(p, ) und q = δ(q, ) ezeugt, dnn sind uch p und q nicht-äquivlent, und ds Wort w ist ein Zeuge dfür. Beweis: w ezeugt die Nicht-Äquivlenz von p und q. D.h.: Wegen p = δ(p, ) und q = δ(q, ) gilt: δ(p, w) F δ(q, w) F. δ(p, w) = δ ( δ(p, ), w ) = δ(p, w) und δ(q, w) = δ ( δ(q, ), w ) = δ(q, w). Somit: δ(p, w) F δ(q, w) F. Also ezeugt w, dss p A q. Minimierung Der Algorithmus 40 / 98
21 Die Berechnung des Äquivlenzklssenutomten (2/4) Wie estimmt mn lle nicht-äquivlenten Pre? Die Grundidee: Betrchte lle Pre {p, q} von Zuständen mit p q. (1) Zuerst mrkiere {p, q} genu dnn ls nicht-äquivlent, wenn gilt: p F q F. (2) Wenn für p = δ(p, ) und q = δ(q, ) ds Pr {p, q} ls nicht-äquivlent mrkiert ist, dnn mrkiere uch {p, q } ls nicht-äquivlent. Iteriere so lnge, is sich nichts mehr ändert. Gemäß der vorherigen zentrlen Beochtung gilt: Ddurch werden nur solche Pre {p, q} mrkiert, die nicht-äquivlent sind. Frgen: Werden wirklich lle nicht-äquivlenten Pre gefunden? Wie führt mn die Grundidee effizient us? Minimierung Der Algorithmus 41 / 98
22 Die Berechnung des Äquivlenzklssenutomten (3/4) Wrum finden wir lle nicht-äquivlenten Pre? Angenommen, es git nicht-äquivlente Zustände p und q, so dss ds Pr {p, q} nicht mrkiert wurde. Wir wählen unter llen nicht-äquivlenten, nicht mrkierten Zuständspren ein Pr {p, q } mit kürzestem Zeugen w. Es gelte o.b.d.a. δ(p, w) F und δ(q, w) / F. Fll 1: w = ε. Dnn ist p = δ(p, w) F und q = δ(q, w) / F, und dher wurde {p, q } in Schritt (1) mrkiert. WIDERSPRUCH! Fll 2: w = w für ein Σ und ein w Σ. Dnn sind uch die Zustände p := δ(p, ) und q := δ(q, ) nicht-äquivlent, denn: δ(p, w ) = δ(δ(p, ), w ) F und δ(q, w ) = δ(δ(q, ), w ) / F. p und q esitzen lso den Zeugen w, der kürzer ist ls w. Dher wurde ds Pr {p, q} mrkiert. Schritt (2) unserer Mrkierungsstrtegie mrkiert dnn er uch {p, q }. WIDERSPRUCH! Somit findet unser Verfhren lle nicht-äquivlenten Pre von Zuständen! Minimierung Der Algorithmus 42 / 98
23 Die Berechnung des Äquivlenzklssenutomten (4/4) Effizientes Bestimmen ller nicht-äquivlenten Pre: Wir etrchten folgenden gerichteten Grphen G: Die Knotenmenge esteht us llen Pren {p, q} von Zuständen mit p q. Es git eine Knte von {p, q} zu {p, q }, flls gilt: es git ein Σ mit p = δ(p, ) und q = δ(q, ). Effiziente Implementierung unserer Grundidee : (1) Initilisierung: Bestimme die Adjzenzlisten-Drstellung von G. Mrkiere lle Pre {p, q} für die gilt: p F q F. M 0 := { {p, q} p, q Q mit p F und q F }. (2) Berechnung: Ausgehend von den in Schritt (1) mrkierten Knoten, führe eine Breiten- oder Tiefensuche durch: Mrkiere lle von einem Knoten in M 0 us durch einen Weg erreichren Knoten. Lufzeit: Der Grph G ht weniger ls Q 2 Knoten und Σ Q 2 Knten. Breiten-/Tiefensuche läuft in Zeit proportionl zur Anzhl der Knoten und Knten. Insgesmt erechnen wir den Äquivlenzklssenutomt A in Zeit O( Σ Q 2 ). Minimierung Der Algorithmus 43 / 98
24 Die Berechnung des Äquivlenzklssenutomten (4/4) Effizientes Bestimmen ller nicht-äquivlenten Pre: Wir etrchten folgenden gerichteten Grphen G: Die Knotenmenge esteht us llen Pren {p, q} von Zuständen mit p q. Es git eine Knte von {p, q} zu {p, q }, flls gilt: es git ein Σ mit p = δ(p, ) und q = δ(q, ). Effiziente Implementierung unserer Grundidee : (1) Initilisierung: Bestimme die Adjzenzlisten-Drstellung von G. Mrkiere lle Pre {p, q} für die gilt: p F q F. M 0 := { {p, q} p, q Q mit p F und q F }. (2) Berechnung: Ausgehend von den in Schritt (1) mrkierten Knoten, führe eine Breiten- oder Tiefensuche durch: Mrkiere lle von einem Knoten in M 0 us durch einen Weg erreichren Knoten. Zur Effizienzsteigerung: An Stelle der Schritte (1) und (2) tue folgendes: Beginne mit der Menge M 0 und erechne von G nur die von M 0 us erreichren Knoten. Minimierung Der Algorithmus 44 / 98
25 Ein Beispiel Ziel: Konstruiere einen DFA A, der die Binärdrstellungen ller durch 6 teilren Zhlen kzeptiert. D.h.: { w } L(A) = w {0, 1} : w i 2 w i 0 (mod 6). i=1 Lösung: Aufge: Bestimme den Äquivlenzklssenutomten A. siehe Tfel Minimierung Der Algorithmus 45 / 98
26 Zusmmenfssung der Berechung von A (1/2) Einge: ein DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F) Schritt 1: Flls A nicht vollständig ist: vervollständige A. Schritt 2: Entferne us A lle üerflüssigen Zustände (d.h. lle Zustände, die nicht von q 0 us erreichr sind). Schritt 3: Bestimme lle Pre {p, q} mit p, q Q und p A q: 1. M 0 := { {p, q} : p F, q Q \ F } ; i := 0 2. Wiederhole 3. Für lle {p, q} M i und für lle Σ tue folgendes: 4. Mrkiere {p, q } für lle p q mit δ(p, ) = p und δ(q, ) = q. 5. Sei M i+1 die Menge ller hierei neu mrkierten Knoten. 6. i := i is M i = 8. Ausge: M := M 0 M i 1. Minimierung Der Algorithmus 46 / 98
27 Zusmmenfssung der Berechung von A (2/2) Schritt 4: Konstruiere A := (Q, Σ, δ, q 0, F ): Q = { [q] A : q Q }, woei [q] A = { p Q : {p, q} M } q 0 = [q 0 ] A F = { [q] A : q F } δ : Q Σ Q mit δ ( [q] A, ) = [δ(q, )] A für lle q Q und Σ. Minimierung Der Algorithmus 47 / 98
28 Zwischenstnd + Der Äquivlenzklssenutomt A kzeptiert diesele Sprche wie A. + Wir können A effizient erechnen (in Zeit O( Σ Q 2 )).? Ist denn A uch wirklich miniml? Wir zeigen im Folgenden, dss A ttsächlich miniml ist. Minimierung Der Algorithmus 48 / 98
Minimalautomat. Wir stellen uns die Frage nach dem. kleinsten DFA für eine reguläre Sprache L, d.h. nach einem DFA mit möglichst wenigen Zuständen.
Rechtslinere Sprchen Minimlutomt Es git lso sehr verschiedene endliche Beschreiungen einer regulären Sprche (DFA, NFA, rechtslinere Grmmtiken, reguläre Ausdrücke). Diese können ineinnder üersetzt werden.
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