Minimierung von DFAs. Minimierung 21 / 98

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1 Minimierung von DFAs Minimierung 21 / 98

2 Ein Beispiel: Die reguläre Sprche L({, } ) Wie stellt mn fest, o ein Wort ds Suffix esitzt? Ein erster Anstz: Speichere im ktuellen Zustnd die eiden zuletzt gelesenen Buchsten. Wir enutzen deshl die Zustände Q = {ɛ,,,,,, } mit Strtzustnd q 0 = ɛ ( wir hen noch nichts gelesen ) und dem kzeptierenden Zustnd ( die eiden letzten Buchsten sind ). Welche Zustndsüergänge? Minimierung 22 / 98

3 L({, } ): 1. Versuch 3 Der Automt merkt sich ttsächlich die eiden letzten Buchsten, denn: δ(ɛ, w) = z ( w 1 und w = z) oder ( z = 2 und w = w z) Minimierung 23 / 98

4 L({, } ): 1. Versuch 3 Ist der Automt miniml? Sicherlich nicht: Wenn der letzte Buchste ist, dnn ist der vorletzte Buchste uninteressnt! Minimierung 24 / 98

5 L({, } ): 2. Versuch Vorher: 3 Verschmelze die Zustände und : Beide Zustände erreichen unter wie uch identische Nchfolgezustände. Verschmelze und us dem gleichen Grund. Nchher: 3 Minimierung 25 / 98

6 L({, } ): 3. Versuch 3 Der Automt ist immer noch nicht miniml, d die Zustände und identische Nchfolgezustände hen. (Wenn der letzte Buchste ist, dnn ist der vorletzte egl.) Nch der Verschmelzung von und : 3 Minimierung 26 / 98

7 L({, } ): 4. Versuch 3 Der Automt ist immer noch nicht miniml, weil ɛ und identische Nchfolgezustände esitzen. Verschmelze! 3 Frge: Ist der Automt jetzt miniml? Minimierung 27 / 98

8 Allgemeine Minimierung: Ein erster Versuch Ds Minimierungsprolem Gegeen sei ein vollständiger DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ). Ziel: Konstruiere einen äquivlenten vollständigen DFA mit minimler Zustndszhl. (1) Entferne lle üerflüssigen Zustände q. q heißt üerflüssig, wenn q von q0 us nicht erreichr ist. Wie erkennen wir üerflüssige Zustände? Strte eine Breiten- oder Tiefensuche im Zustnd q 0. Lufzeit: O( Q Σ ). (2) Wir hen Zustände p und q verschmolzen, wenn sie identische Nchfolgezustände esitzen. Genuer: Wir sgen, p und q verhlten sich gleich genu dnn, wenn gilt: p, q F oder p, q F, und δ(p, ) = δ(q, ) für lle Σ. Verschmelze Zustände, die sich gleich verhlten. Frge: Funktioniert ds? Minimierung 28 / 98

9 Leider, leider, , 2 2 ht keine Zustände, die sich gleich verhlten, er, ɛ, x kzeptiert diesele Sprche mit weniger Zuständen. Minimierung 29 / 98

10 Worn liegt s? 3 1 1, 2 2 Wir erhlten den kleineren Automten, wenn wir sowohl die Zustände 1, 2 ls uch die Zustände 1, 2 verschmelzen. Wrum dürfen wir ds? Für 1, zw. 2 ls Anfngszustnd wird die gleiche Sprche {, } {}{, } kzeptiert! 1, 2 wie uch 1, 2 unterscheiden sich nicht, wenn wenn es um s Akzeptieren/Verwerfen geht! Minimierung 30 / 98

11 Die Verschmelzungsreltion A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) sei ein DFA. Wir sgen, dss die Zustände p, q Q äquivlent sind (kurz: p A q) genu dnn, wenn für lle w Σ gilt: δ(p, w) F δ(q, w) F. p, q Q sind lso äquivlent, wenn p und q sich nicht unterscheiden, wenn es ums Akzeptieren geht. Minimierung Verschmelzungsreltion 31 / 98

12 Ein Beispiel Ht der folgende DFA A äquivlente Zustände?, ɛ, x - ɛ A x: Denn δ(x, ) F, er δ(ɛ, ) / F. - ɛ A : Denn δ(ɛ, ) / F, er δ(, ) F. - x A : Denn δ(x, ) / F, er δ(, ) F. - Der Zustnd ist der einzige kzeptierende Zustnd und ist deshl zu keinem nderen Zustnd äquivlent. Denn: δ(, ε) F, er δ(q, ε) F für lle q {ɛ, x, }. Der DFA A esitzt keine äquivlenten Zustände. Minimierung Verschmelzungsreltion 32 / 98

13 Die Verschmelzungsreltion ist eine Äquivlenzreltion Für jeden DFA A ist die Reltion A - reflexiv, d.h. es ist q A q für lle Zustände q von A, - symmetrisch, d.h. für lle Zustände p und q von A gilt p A q genu dnn, wenn q A p gilt, und - trnsitiv, d.h. für lle Zustände p, q und r folgt us p A q und q A r stets p A r. Also ist A eine Äquivlenzreltion. Diese zerlegt die Zustndsmenge in disjunkte Äquivlenzklssen. Minimierung Verschmelzungsreltion 33 / 98

14 Der Äquivlenzklssenutomt Wie sieht der Automt nch dem Verschmelzen äquivlenter Zustände us? A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) sei ein vollständiger DFA. - Für Zustnd p Q ezeichnet die Äquivlenzklsse von p. [p] A = { q Q p A q } - Der Äquivlenzklssenutomt A für A esitzt die Zustndsmenge Q = { [p] A p Q }, den Anfngszustnd q 0 := [q 0 ] A, die Menge F := { [p] A p F } der kzeptierenden Zustände und ds Progrmm δ mit δ ([p] A, ) = [δ(p, )] A für lle q Q, Σ. Minimierung Äquivlenzklssenutomt 34 / 98

15 Die Wohldefiniertheit von δ Wir hen δ ([p] A, ) := [δ(p, )] A gesetzt. Flls p, q Q so dss p A q ist, so gilt: [p] A = [q] A. Unsere Definition von δ mcht lso nur dnn Sinn (fchegriff: δ ist wohldefiniert ), wenn gilt: [δ(p, )] A = [δ(q, )] A für lle p, q Q mit [p] A = [q] A. Seien lso p, q Q mit [p] A = [q] A. Dnn gilt: p A q = für lle w Σ gilt: δ(p, w ) F δ(q, w ) F = für lle w Σ gilt: δ(p, w) F δ(q, w) F = für lle w Σ gilt: δ ( δ(p, ), w ) F δ ( δ(q, ), w ) F = δ(p, ) A δ(q, ) = [δ(p, )] A = [δ(q, )] A. Somit ist δ ttsächlich wohldefiniert. Minimierung Äquivlenzklssenutomt 35 / 98

16 A ist äquivlent zu A, d.h. es gilt: L(A ) = L(A) (1/3) Wir zeigen nun, dss der Äquivlenzklssenutomt A diesele Sprche kzeptiert wie A. Dzu gehen wir in drei Schritten vor: Schritt 1: Für lle w Σ ist δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A. Schritt 2: L(A) L(A ). Schritt 3: L(A ) L(A). Beweis von Schritt 1: Per Induktion üer die Länge von w. Induktionsnfng: Betrchte w = ε. Gemäß Definition gilt: δ ([q 0 ] A, ε) = [q 0 ] A = [δ(q 0, ε)] A. Induktionsschritt: Betrchte w = u mit u Σ und Σ. Ind.nnhme: δ ([q 0 ] A, u) = [δ(q 0, u)] A. Beh.: δ ([q 0 ] A, u) = [δ(q 0, u)] A. Beweis: δ ([q 0 ] A, u) = δ ( δ ([q 0 ] A, u), ) Ind.nn. = δ ( [δ(q 0, u)] A, ) = δ ([p] A, ), für p := δ(q 0, u) Def. δ = [δ(p, )] A = [δ ( δ(q 0, u), ) ] A = [δ(q 0, u)] A. Schritt 1 Minimierung Äquivlenzklssenutomt 36 / 98

17 A ist äquivlent zu A, d.h. es gilt: L(A ) = L(A) (2/3) Wir zeigen nun, dss der Äquivlenzklssenutomt A diesele Sprche kzeptiert wie A. Dzu gehen wir in drei Schritten vor: Schritt 1: Für lle w Σ ist δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A. Schritt 2: L(A) L(A ). Schritt 3: L(A ) L(A). Beweis von Schritt 2: Behuptung: L(A) L(A ). Sei w L(A). Somit kzeptiert A die Einge w, d.h. es gilt: p := δ(q 0, w) F. Gemäß Schritt 1 gilt: δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A = [p] A. Gemäß Definition von F gilt: [p] A F (d p F). Somit wird w von A kzeptiert, d.h. es gilt w L(A ). Schritt 2 Minimierung Äquivlenzklssenutomt 37 / 98

18 A ist äquivlent zu A, d.h. es gilt: L(A ) = L(A) (3/3) Wir zeigen nun, dss der Äquivlenzklssenutomt A diesele Sprche kzeptiert wie A. Dzu gehen wir in drei Schritten vor: Schritt 1: Für lle w Σ ist δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A. Schritt 2: L(A) L(A ). Schritt 3: L(A ) L(A). Beweis von Schritt 3: Behuptung: L(A ) L(A). Sei w L(A ). Somit kzeptiert A die Einge w, d.h. es gilt: δ ([q 0 ] A, w) F. Gemäß Schritt 1 gilt: δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A. Ziel: Zeige, dss w L(A), d.h., dss δ(q 0, w) F. Wegen δ ([q 0 ] A, w) = [δ(q 0, w)] A F muss es gemäß der Definition von F ein p F geen, so dss p A δ(q 0, w). Aus der Definition von A folgt: δ(p, ε) F δ ( δ(q 0, w), ε ) F. Wegen δ(p, ε) = p F und δ ( δ(q 0, w), ε ) = δ(q 0, w) folgt drus, dss δ(q 0, w) F ist, d.h. w L(A). Schritt 3 Minimierung Äquivlenzklssenutomt 38 / 98

19 Zwischenstnd + Der Äquivlenzklssenutomt A kzeptiert diesele Sprche wie der ursprüngliche Automt A.? Die verleienden Frgen: (1) Ist A ttsächlich miniml? (2) Wie knn A effizient erechent werden? Wie eginnen mit der effizienten Berechnung von A : Huptprolem: Wie üerprüft mn effizient, o zwei Zustände p, q äquivlent sind? p A q Def für lle w Σ gilt: δ(p, w) F δ(q, w) F. Minimierung Äquivlenzklssenutomt 39 / 98

20 Die Berechnung des Äquivlenzklssenutomten (1/4) Idee: Ansttt Äquivlenz nchzuweisen, finde Zeugen für die Nicht-Äquivlenz. Ein Wort w Σ heißt Zeuge für p A q, wenn gilt: (1) δ(p, w) F und δ(q, w) / F oder (2) δ(p, w) / F und δ(q, w) F. Eine zentrle Beochtung: Wenn ein Wort w die Nicht-Äquivlenz von p = δ(p, ) und q = δ(q, ) ezeugt, dnn sind uch p und q nicht-äquivlent, und ds Wort w ist ein Zeuge dfür. Beweis: w ezeugt die Nicht-Äquivlenz von p und q. D.h.: Wegen p = δ(p, ) und q = δ(q, ) gilt: δ(p, w) F δ(q, w) F. δ(p, w) = δ ( δ(p, ), w ) = δ(p, w) und δ(q, w) = δ ( δ(q, ), w ) = δ(q, w). Somit: δ(p, w) F δ(q, w) F. Also ezeugt w, dss p A q. Minimierung Der Algorithmus 40 / 98

21 Die Berechnung des Äquivlenzklssenutomten (2/4) Wie estimmt mn lle nicht-äquivlenten Pre? Die Grundidee: Betrchte lle Pre {p, q} von Zuständen mit p q. (1) Zuerst mrkiere {p, q} genu dnn ls nicht-äquivlent, wenn gilt: p F q F. (2) Wenn für p = δ(p, ) und q = δ(q, ) ds Pr {p, q} ls nicht-äquivlent mrkiert ist, dnn mrkiere uch {p, q } ls nicht-äquivlent. Iteriere so lnge, is sich nichts mehr ändert. Gemäß der vorherigen zentrlen Beochtung gilt: Ddurch werden nur solche Pre {p, q} mrkiert, die nicht-äquivlent sind. Frgen: Werden wirklich lle nicht-äquivlenten Pre gefunden? Wie führt mn die Grundidee effizient us? Minimierung Der Algorithmus 41 / 98

22 Die Berechnung des Äquivlenzklssenutomten (3/4) Wrum finden wir lle nicht-äquivlenten Pre? Angenommen, es git nicht-äquivlente Zustände p und q, so dss ds Pr {p, q} nicht mrkiert wurde. Wir wählen unter llen nicht-äquivlenten, nicht mrkierten Zuständspren ein Pr {p, q } mit kürzestem Zeugen w. Es gelte o.b.d.a. δ(p, w) F und δ(q, w) / F. Fll 1: w = ε. Dnn ist p = δ(p, w) F und q = δ(q, w) / F, und dher wurde {p, q } in Schritt (1) mrkiert. WIDERSPRUCH! Fll 2: w = w für ein Σ und ein w Σ. Dnn sind uch die Zustände p := δ(p, ) und q := δ(q, ) nicht-äquivlent, denn: δ(p, w ) = δ(δ(p, ), w ) F und δ(q, w ) = δ(δ(q, ), w ) / F. p und q esitzen lso den Zeugen w, der kürzer ist ls w. Dher wurde ds Pr {p, q} mrkiert. Schritt (2) unserer Mrkierungsstrtegie mrkiert dnn er uch {p, q }. WIDERSPRUCH! Somit findet unser Verfhren lle nicht-äquivlenten Pre von Zuständen! Minimierung Der Algorithmus 42 / 98

23 Die Berechnung des Äquivlenzklssenutomten (4/4) Effizientes Bestimmen ller nicht-äquivlenten Pre: Wir etrchten folgenden gerichteten Grphen G: Die Knotenmenge esteht us llen Pren {p, q} von Zuständen mit p q. Es git eine Knte von {p, q} zu {p, q }, flls gilt: es git ein Σ mit p = δ(p, ) und q = δ(q, ). Effiziente Implementierung unserer Grundidee : (1) Initilisierung: Bestimme die Adjzenzlisten-Drstellung von G. Mrkiere lle Pre {p, q} für die gilt: p F q F. M 0 := { {p, q} p, q Q mit p F und q F }. (2) Berechnung: Ausgehend von den in Schritt (1) mrkierten Knoten, führe eine Breiten- oder Tiefensuche durch: Mrkiere lle von einem Knoten in M 0 us durch einen Weg erreichren Knoten. Lufzeit: Der Grph G ht weniger ls Q 2 Knoten und Σ Q 2 Knten. Breiten-/Tiefensuche läuft in Zeit proportionl zur Anzhl der Knoten und Knten. Insgesmt erechnen wir den Äquivlenzklssenutomt A in Zeit O( Σ Q 2 ). Minimierung Der Algorithmus 43 / 98

24 Die Berechnung des Äquivlenzklssenutomten (4/4) Effizientes Bestimmen ller nicht-äquivlenten Pre: Wir etrchten folgenden gerichteten Grphen G: Die Knotenmenge esteht us llen Pren {p, q} von Zuständen mit p q. Es git eine Knte von {p, q} zu {p, q }, flls gilt: es git ein Σ mit p = δ(p, ) und q = δ(q, ). Effiziente Implementierung unserer Grundidee : (1) Initilisierung: Bestimme die Adjzenzlisten-Drstellung von G. Mrkiere lle Pre {p, q} für die gilt: p F q F. M 0 := { {p, q} p, q Q mit p F und q F }. (2) Berechnung: Ausgehend von den in Schritt (1) mrkierten Knoten, führe eine Breiten- oder Tiefensuche durch: Mrkiere lle von einem Knoten in M 0 us durch einen Weg erreichren Knoten. Zur Effizienzsteigerung: An Stelle der Schritte (1) und (2) tue folgendes: Beginne mit der Menge M 0 und erechne von G nur die von M 0 us erreichren Knoten. Minimierung Der Algorithmus 44 / 98

25 Ein Beispiel Ziel: Konstruiere einen DFA A, der die Binärdrstellungen ller durch 6 teilren Zhlen kzeptiert. D.h.: { w } L(A) = w {0, 1} : w i 2 w i 0 (mod 6). i=1 Lösung: Aufge: Bestimme den Äquivlenzklssenutomten A. siehe Tfel Minimierung Der Algorithmus 45 / 98

26 Zusmmenfssung der Berechung von A (1/2) Einge: ein DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F) Schritt 1: Flls A nicht vollständig ist: vervollständige A. Schritt 2: Entferne us A lle üerflüssigen Zustände (d.h. lle Zustände, die nicht von q 0 us erreichr sind). Schritt 3: Bestimme lle Pre {p, q} mit p, q Q und p A q: 1. M 0 := { {p, q} : p F, q Q \ F } ; i := 0 2. Wiederhole 3. Für lle {p, q} M i und für lle Σ tue folgendes: 4. Mrkiere {p, q } für lle p q mit δ(p, ) = p und δ(q, ) = q. 5. Sei M i+1 die Menge ller hierei neu mrkierten Knoten. 6. i := i is M i = 8. Ausge: M := M 0 M i 1. Minimierung Der Algorithmus 46 / 98

27 Zusmmenfssung der Berechung von A (2/2) Schritt 4: Konstruiere A := (Q, Σ, δ, q 0, F ): Q = { [q] A : q Q }, woei [q] A = { p Q : {p, q} M } q 0 = [q 0 ] A F = { [q] A : q F } δ : Q Σ Q mit δ ( [q] A, ) = [δ(q, )] A für lle q Q und Σ. Minimierung Der Algorithmus 47 / 98

28 Zwischenstnd + Der Äquivlenzklssenutomt A kzeptiert diesele Sprche wie A. + Wir können A effizient erechnen (in Zeit O( Σ Q 2 )).? Ist denn A uch wirklich miniml? Wir zeigen im Folgenden, dss A ttsächlich miniml ist. Minimierung Der Algorithmus 48 / 98

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