Mathematik für Ingenieure

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1 Mathematik für Ingenieure Von Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang Brauch, Ravensburg Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer, Hamburg Prof. Dr. rer. nat. Wolfhart Haacke, Paderborn unter Mitwirkung von Prof. Dr. rer. nal. Wolfgang Gentzsch, Regensburg 9., überarbeitete Auflage Mit 450 Bildern, 419 Beispielen, 312 Aufgaben B. G. Teubner Stuttgart 1995

2 Inhalt 1 Grundlagen 1.1 Aussagenlogik und Beweisverfahren Ausdruck. Aussage. Definition. Axiom Aussagen Verknüpfung Aussagenlogische Ausdrücke und Gesetze Mathematische Beweisverfahren Aufgaben zu Abschnitt Zahlen und Zahlensysteme Einteilung der Zahlen Zahlensysteme Aufgaben zu Abschnitt Abbildungen. Funktionen 2.1 Abbildungen Aufgaben zu Abschnitt Gleichungen. Ungleichungen Gleichungen Ordnungsrelationen. Ungleichungen Signum. Betrag Rechnen mit Ungleichungen Aufgaben zu Abschnitt Folgen. Stetigkeit Zahlenfolgen Rechnen mit Grenzwerten Stetigkeit Aufgaben zu Abschnitt Darstellung von Funktionen Funktionsgleichung Funktionstafel Funktionsdiagramm Aufgaben zu Abschnitt Weitere Grundbegriffe der Funktionslehre Aufgelöste Form. Umkehrfunktion 72

3 6 Inhalt Koordinatentransformation Charakteristische Eigenschaften von Funktionen Aufgaben zu Abschnitt Spezielle Funktionen 3.1 Ganze rationale Funktionen Lineare Funktion Quadratische Funktion Ganze rationale Funktionen dritten und höheren Grades Aufgaben zu Abschnitt Gebrochene rationale Funktionen Aufgaben zu Abschnitt Algebraische Funktionen Potenzfunktion Allgemeine Gleichung 2. Grades. Kegelschnitte Aufgaben zu Abschnitt Trigonometrische Funktionen Definitionen. Periodizität. Graph Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Darstellung periodischer Vorgänge Arcusfunktionen Nullstellen. Goniometrische Gleichungen Aufgaben zu Abschnitt Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Logarithmische Funktionspapiere Hyperbelfunktionen Areafunktionen Aufgaben zu Abschnitt Funktionen von zwei unabhängigen Variablen Funktionsgleichungen Funktionstafeln Geometrische Darstellungen Aufgaben zu Abschnitt Lineare Algebra 4.1 Determinanten Grundbegriffe. Entwicklungssatz Aufgaben zu Abschnitt

4 Inhalt Vektoren Grundbegriffe und Definitionen Komponenten. Koordinaten. Richtungswinkel Rechenregeln Lineare Abhängigkeit Aufgaben zu Abschnitt Matrizen Grundbegriffe. Definitionen Rechenregeln Anwendung in der Strukturmechanik Aufgaben zu Abschnitt Lineare Gleichungssysteme Eliminationsverfahren von Gauß Verketteter Gauß-Algorithmus Austauscbverfahren Homogene und abhängige inhomogene Systeme Iterationsverfahren Kondition Aufgaben zu Abschnitt Grundlagen der Computergraphik Punkte und Geraden in der Ebene Kollineare Abbildung im Raum Aufgaben zu Abschnitt Differentialrechnung 5.1 Einführung Grundbegriffe Ableitung. Differentialquotient Ableitungen höherer Ordnung Mittelwertsatz der Differentialrechnung Aufgaben zu Abschnitt Rechenregeln der Differentialrechnung Grundregeln Ableitung einiger Grundfunktionen Produkt- und Quotientenregel Kettenregel Funktionen in impliziter Form Differenzieren mit Hilfe der aufgelösten Form Unbestimmte Ausdrücke Aufgaben zu Abschnitt Anwendungen der Differentialrechnung Lösen von Bestimmungsgleichungen Schnittwinkel von Graphen. Tangente. Normale 281

5 8 Inhalt Kurvendiskussion. Extremwertaufgaben Interpolation mit kubischen Splinefunktionen Aufgaben zu Abschnitt Tafel der Ableitungen elementarer Funktionen Integralrechnung 6.1 Bestimmtes Integral Flächenberechnung durch Grenzwertbildung Grundregeln des Integrierens Integration der Potenzfunktion Mittelwertsatz der Integralrechnung Numerische Integration Aufgaben zu Abschnitt Unbestimmtes Integral Integralfunktion Stammfunktion Uneigentliche Integrale Aufgaben zu Abschnitt Rechenmethoden Produktintegration Substitution Partialbruchzerlegung Aufgaben zu Abschnitt Anwendungen Volumen. Momente Bogenlänge. Oberfläche Biegung Mittelwerte in der Elektrotechnik Aufgaben zu Abschnitt Integraltafei Reihen 7.1 Endliche und unendliche Reihen Einführung. Begriff Unendliche geometrische Reihe Konvergenz von Reihen Aufgaben zu Abschnitt Taylor-Reihen Satz von Taylor Winkel- und Hyperbelfunktionen 405

6 Inhalt Exponentialfunktion und Logarithmus Binomische Reihe Aufgaben zu Abschnitt Fourier-Reihen Approximation durch trigonometrische Reihen Spezialfälle und Beispiele Numerische Fourier-Analyse Fourierintegral Aufgaben zu Abschnitt Differentialgeometrie 8.1 Parameterform Differenzieren Integrieren Anwendung in der Technik Aufgaben zu Abschnitt Polarkoordinaten Differenzieren Integrieren Polarkoordinaten in Parameterform Aufgaben zu Abschnitt Krümmung. Evolvente Krümmung. Krümmungsradius Evolute. Evolvente Aufgaben zu Abschnitt Funktionen mehrerer Variablen 9.1 Grundbegriffe UT-Raum Funktion. Grenzwert. Stetigkeit Differenzieren Partielle Ableitungen Taylor-Formel. Totales Differential. Funktionen in impliziter Form Differenzieren eines Integrals nach einem Parameter Aufgaben zu Abschnitt Integrieren Bestimmtes Integral Unbestimmtes Integral Aufgaben zu Abschnitt Fehler- und Ausgleichungsrechnung Fehlerund Mittelwert 483

7 10 Inhalt Fehlerfortpflanzung Ausgleichungsrechnung Aufgaben zu Abschnitt Vektoranalysis 10.1 Vektorfunktionen Differenzieren und Integrieren in geradlinig-rechtwinkligen Koordinaten Ableitung in natürlichen Koordinaten Aufgaben zu Abschnitt Skalare und vektorielle Felder Skalares Feld. Gradient Vektorielles Feld. Divergenz. Rotation Linienintegral Aufgaben zu Abschnitt Komplexe Zahlen und Funktionen 11.1 Grundbegriffe Komplexe Arithmetik Rechenoperationen in der Komponentenform Rechenoperationen in der Exponentialform Aufgaben zu Abschnitt 11.1 und Komplexe Funktionen einer reellen Veränderlichen Symbolische Methode in der Wechselstromtechnik Einfache Spezialfälle. Gerade Inversion. Kreis Allgemeine Ortskurven Aufgaben zu Abschnitt Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen Grundbegriffe Winkel- und Hyperbelfunktionen mit komplexem Argument Konforme Abbildung Aufgaben zu Abschnitt Gewöhnliche Differentialgleichungen 12.1 Analytische Lösungsmethoden Begriffe. Einteilung Aufstellen von Differentialgleichungen Trennung der Veränderlichen Lineare Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. 577

8 Inhalt II Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Aufgaben zu Abschnitt Anwendungen in der Technik Euler-Knickgleichung Schwingungen Scheibe unter Zentrifugalkräften Aufgaben zu Abschnitt Numerische Verfahren Anfangs wertaufgaben Differenzenverfahren für Rand- und Eigenwertaufgaben Aufgaben zu Abschnitt Laplace-Tra Information 13.1 Grundbegriffe Aufgaben zu Abschnitt Rechenregeln Summe von Funktionen. Konstanten Transformationssätze Differenzieren und Integrieren im Zeitbereich Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung Aufgaben zu Abschnitt Impulsfunktionen Impulse endlicher Dauer Der Einsimpuls Lösen von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Einzelne Differentialgleichungen Systeme von linearen Differentialgleichungen Aufgaben zu Abschnitt Korrespondenzentafel Statistik 14.1 Auswertung einer Stichprobe Häufigkeitsverteilung. Häufigkeitssumme Kennwerte der Stichprobe Aufgaben zu Abschnitt Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe und Definitionen Aufgaben zu Abschnitt

9 12 Inhalt 14.3 Verteilungsfunktionen Grundbegriffe und Definitionen Wahrscheinlichkeitsverteilungen einer Variablen Wahrscheinlichkeitsverteilungen mehrerer Variablen Aufgaben zu Abschnitt Anhang 14.4 Statistische Prüfverfahren Schätzen von Parametern der Grundgesamtheit Prüfen von Hypothesen Aufgaben zu Abschnitt Lösungen zu den Aufgaben 697 Weiterführende Literatur 745 Sachverzeichnis 747 Hinweise auf DIN-Normen in diesem Werk entsprechen dem Stande der Normung bei Abschluß des Manuskriptes. Maßgebend sind die jeweils neuesten Ausgaben der Normblätter des DIN Deutsches Institut für Normung e.v. im Format A4, die durch den ßeuth-Verlag GmbH, Berlin und Köln, zu beziehen sind.