Web-Indicators for Portfolio Management

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1 Web-Indicators for Portfolio Management Diplomarbeit Wirtschaftsinformatik angefertigt am Institut für Informatik der Universität Zürich von Manuel Dubler Zürich, Schweiz Matrikelnummer Wallisellen, November 2004 Supervisor: Dr. Reinhard Riedl Betreuer: Dr. Christof Luchsinger Abgabe: 3. November 2004

2 Abstract Deutsch Das Internet ist in den letzten Jahren zu einer enormen Informationsquelle gewachsen. Unter anderem liefert es explizite und implizite Informationen über das Intellektuelle Kapital einer Unternehmung. Wir gehen in dieser Arbeit der Frage nach, ob solche Informationen mit Werkzeugen aus dem Internet extrahiert und für ein erfolgreiches Aktienportfolio-Management genutzt werden können. Dabei können wir konkret zeigen, dass Portfolios, die anhand der beiden Informationen inserierende Firma und Zeitpunkt des Inserats von der Jobbörse math-jobs.com zusammengestellt wurden, klassische Benchmarks schlagen. Die Aussagen werden durch umfangreiche finanzmathematische und statistische Analysen validiert. English During the past few years the Internet has grown to be an enormous source of information. It provides us with, among other things, explicit and implicit information about the Intellectual Capital of a company. In this paper we pursue the question of whether such information can be extracted from the Internet and used for a successful portfolio management. At the same time we show precisely that portfolios based on the two pieces of information compiled from the job exchange math-jobs.com, namely, company advertising and time of advertising, beat classical benchmarks. The assertions are validated by extensive financial, mathematical and statistical analyses. I

3 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis XI Tabellenverzeichnis XII 1 Einleitung Ausgangslage Zielsetzung Motivation Perspektive: Intellektuelles Kapital Thesen und Methoden Aufbau der Arbeit Adressaten Danksagung Einführung in das Portfolio Management Überblick Traditionelles Portfolio Management Modernes Portfolio Management Grundlegende Begriffe Mathematische Modellierung Rendite Risiko II

4 2.2.4 Aktienindex Grundlagen der Portfoliotheorie Diversifikation Kovarianz Efficient Frontier Korrelationskoeffizient Der Betafaktor Diversifikationspotential schweizerischer Aktien Strategien - Modelle Portfolio Selection Modell Single Index Modell Multi Index Modell Capital Asset Pricing Modell Arbitrage Pricing Theory Asset Allocation Portfolio Performance Messung der Performance Eindimensionale Performance-Messung Zweidimensionale Performance-Messung Performance Kennzahlen Sharpe Ratio Treynor Ratio Jensens alpha Modigliani-Modigliani-Ratio Tracking Error Information-Ratio Performance Messung in der Praxis Literaturüberblick Portfolio Management III

5 3 Informationsgewinnung aus dem Internet Webdaten Überblick Probleme mit Webdaten Mangel an Glaubwürdigkeit Mangel an Produktivität Mangel an historischen Daten Web Mining Web Content Mining Web Structure Mining Web Usage Mining Web Farming Web Intelligence Datengewinnung Informationsgewinnung Wissensgenerierung Web Business Intelligence Systeme Technische Mining Verfahren Clusteranalyse Assoziations- und Sequenzanalyse Klassifikationsverfahren Kausale Netze Graphentheoretische Sicht Probabilistische Sicht Fragestellungen im Web Mining Einsatz zur Personalisierung Literaturüberblick Webmining IV

6 4 Webindikatoren für das Portfolio Management Identifikation Auftragsvergabe im Internet Suchmaschinen-Ranking Virtuelle Communities Beispiel: ciao.com Qualität des Webauftritts Werbung im Internet Online Jobbörsen Klassifikation Entwicklung eines Portfolio Management Modells Überblick über das Gesamtsystem Komponenten Informationsquellen Strategie Reports Funktion des Porfolio-Management-Systems Fazit Entwicklung eines praktischen Evaluationskonzeptes Ausgangslage und Hintergrund math-jobs.com Ziel Idee Evaluationsdesign Fragestellung Methodologischer Ansatz V

7 Datenerhebung Berücksichtigte Stellen Haltedauer einer Aktie Statistische Tests Sharpe Ratio nach Jobson und Korkie T-Test Möglichkeiten mit math-jobs.com Daten Verfügbare Daten Daten aus Logfiles Stellenangebote Werbebanner Fazit Bildung eines Konjunkturindikators Verschiedene Konjunkturindikatoren Messung der Prognosegüte Prognosegütemass Wendepunktanalyse Bewährte Indikatoren Manpower-Index Jobpilot-Index math-jobs-index Probleme bei der Konstruktion Konstruktion des math-jobs-index Vergleich mit Jobpilot-Index Vergleich mit der BIP-Entwicklung Messung der Prognosegüte des math-jobs-index Wendepunktanalyse des math-jobs-index Kontrolle anhand neuer Daten Fazit VI

8 7 Entwicklung einer Strategie Identifikation erfolgsversprechender Strategien Aktienkauf bei Inserat Unmittelbarer Kauf Kauf vor Inserierung Aktienkauf bei Inserat und Leerverkauf eines Index Short in Weltindex Short in Branchenindizes Variable Investition Überprüfung des Modells Auswertung der Testresultate Weiterentwicklung des Modells Laufende Umschichtung Index als Ausgangspunkt Selektion einer Strategie Fazit Evaluation der Strategie Hintergrund Inserate Kursdaten mit StockQuote Portfolio: Unmittelbarer Kauf Resultat Bewertung Benchmark MSCI Benchmark MSCI Timed Kritik an der Strategie Portfolio: Monatliche Umschichtung Schweiz VII

9 8.3.1 Daten Durchführung und Analyse Benchmarks Kennzahlen Kritik Portfolio: Quartalsweise Umschichtung Weltweit Anmerkung Resultat Benchmarks Kennzahlen Analyse Resultat der einzelnen Aktien Betrachtung von Serono Kritik Variationen bei der Umschichtung Statistische Tests Jobson Korkie Memmel: Sharpe Ratio Alpha und Beta im T-Test Allgemeine Probleme bei der Evaluation Fehlende Daten um 11. September Verspäteter Börsengang Fehlerhafte Daten Fazit Fazit Resultate Ausblick Begründung der Resultate der Evaluation Weiterführende Forschung Schlussbetrachtung VIII

10 Literaturverzeichnis 157 Glossar 160 Anhang 165 A Management Summary A.1 Deutsch A.2 English B Zusammenfassung B.1 Deutsch B.1.1 Einleitung B.1.2 Webindikatoren B.1.3 Strategie B.1.4 Ausgangslage B.1.5 Resultate B.1.6 Fazit B.2 English B.2.1 Introduction B.2.2 Web indicators B.2.3 Strategy B.2.4 Initial position B.2.5 Results B.2.6 Conclusion C Wertentwicklung der Portfolios C.1 Unmittelbarer Kauf C.2 Umschichtung Schweiz (monatlich) C.3 Umschichtung Weltweit (quartalsweise) D Quellcode StockQuote E Aufgabenstellung IX

11 Abbildungsverzeichnis 2.1 Diversifizierbares versus nichtdiversifizierbares Risiko [Volk03], S Efficient Frontier [Auck01], S Tangentialportfolio im CAPM-Modell [Volk03], S Security Market Line und die APT [Auck94], S Reward-to-Variability-Verhältnis [Auck94], S Performance Messung mittels Jensens alpha [Auck94], S Tabelle mit bedingten Wahrscheinlichkeiten Beispielhaftes Kausalmodell im Web Mining Bewertung eines Siemens Mobiltelefons [ciao.de], Gesamtbetrachtung des Portfolio-Management-Systems Informationsgewinnung aus einem Webindikator Strukturierung der Daten in einer Datenbank Modell des Portfolio-Management-Systems math-jobs.ch [math-jobs.ch], Manpower- und Jobpilot-Index im Vergleich Kategorien des Jobpilot-Index Entwicklung des math-jobs-index Korrelation zwischen Jobpilot- und math-jobs-index Vergleich reales BIP mit um zwei Quartale verschobenen, saisonbereinigten math-jobs-index X

12 6.6 Aktualisierte Diagramme mit neuen Daten Entwicklung des Portfolios Unmittelbarer Kauf Entwicklung des MSCI (rechte Skala) verglichen mit der Anzahl Inserate auf math-jobs.com (linke Skala) Vergleich des math-jobs-portfolios und der Benchmark MSCI Timed Entwicklung der Gesamt-Rendite mit zunehmendem Investitionsbetrag bei unterschiedlichen Zinssätzen des Bankkontos Anzahl der berücksichtigten Inserate zur Umschichtung Schweiz Vergleich SPI und math-jobs-portfolio Vergleich des math-jobs Portfolio mit SPI, UBS Equity CH und Julius Bär Swiss Stock Fund B Vergleich des math-jobs World Portfolio mit MSCI, UBS Equity Global und Julius Bär Global Value Stock Entwicklung Portfolioanteil der Serono Aktie (linke Skala) verglichen mit dem Kursverlauf (rechte Skala) Regression math-jobs CH vs. SPI und math-jobs World vs. MSCI Fehlerhafte Daten bei finance.yahoo.com [yahoo.com], XI

13 Tabellenverzeichnis 2.1 Übersicht über die Finanzanalyse Wertentwicklung und Rendite eines Depots Reihenfolge der Treffer bei google.ch auf vier allgemeine Suchbegriffe am Absolute Ausschreibungen bei math-jobs verglichen mit jobpilot-daten Saisonkoeffizienten der math-jobs-zeitreihe Wendepunktanalyse des math-jobs- und des Jobpilot-Index Effekt eines Leerverkauf des Index Aufteilung auf Branchen Testresultate des Modells nach 50 Aktienkäufen Absolute und relative Anteile der Aktien Umschichtung durch Reduktion der Anteile A und B Länderanteil der relevanten Inserate Firmenanteil der relevanten Inserate Vergleich des math-jobs Portfolio mit dem MSCI Portfolio Vergleich des math-jobs Portfolio mit dem MSCI Timed Portfolio Verteilung auf die Aktien am Kennzahlen zur Messung der Portfolio-Performance Kennzahlen zur Messung der Portfolio-Performance Rangliste der berücksichtigten Aktien bezüglich Saldo Quartalsweise Umschichtung bei Serono Ergebnis der Variation des Zeitpunkts der Portfoliobildung und der Umschichtungshäufigkeit beim math-jobs World Portfolio Resultate des Jobson Korkie Memmel Tests XII

14 Kapitel 1 Einleitung 1.1 Ausgangslage Das Internet hat sich in den letzten Jahren zu einem Massenmedium entwickelt und ist dabei zu einer riesigen Quelle für Informationen aller Art gewachsen. Mittels Web Mining- oder Web-Intelligence-Methoden ist es möglich, diese unstrukturierte Datenflut in verwertbare Informationen umzuwandeln. Ein Beispiel sind online Informationsquellen, die es ermöglichen, Unternehmen bezüglich unterschiedlicher Kriterien zu untersuchen und aufgrund der daraus gewonnenen Erkenntnisse für das Tätigen von Kaufs- und Verkaufstransaktionen im Aktienportfolio-Management nutzbar sind. 1.2 Zielsetzung Die vorliegende Diplomarbeit untersucht, ob aufgrund der Berücksichtigung neuer Informationsquellen im Internet höhere Renditen im Aktien-Portfolio-Management erzielt werden können, als bei blosser Berücksichtigung von etablierten Informationsquellen. Ziel ist die Identifikation möglicher Webindikatoren für das Portfolio-Management und die Überprüfung ihrer Eignung in der Praxis. 1

15 1.3 Motivation Der massive Einbruch der Aktienmärkte seit dem Jahr 2000 hat immense Vermögenswerte zerstört und den Glauben an einige traditionelle Konzepte im Portfolio-Management erschüttert. Das Benchmark-Denken führte dazu, einen geringeren Wertverlust als denjenigen der Benchmark bereits als Erfolg zu bezeichnen. Die Idee, einen innovativen Ansatz im Portfolio-Management zu untersuchen, hat uns von Anfang an fasziniert. Es ist unbestritten, dass durch die Verwendung von Insiderwissen theoretisch hohe Gewinne an der Börse erzielt werden können. Einerseits stellt sich der Erwerb von Insiderwissen aber als relativ schwierig heraus und andererseits macht man sich durch die Verwendung von Insiderinformationen an der Börse strafbar. Diese Arbeit verfolgt einen anderen Ansatz. Unsere Motivation war, zu untersuchen, ob die Möglichkeit besteht, anhand der Analyse von öffentlich zugänglichen Informationsquellen, die jedoch nicht wahrgenommen oder ihr Nutzen unterschätzt wird, Vorteile an der Börse zu erzielen. Falls aufgrund der Berücksichtigung öffentlich zugänglicher Informationsquellen erhöhte Renditen erzielt werden könnten, würde dies der halbstarken Form der Efficient Market Hypothesis widersprechen, die besagt, dass alle öffentlich zugänglichen Informationen bereits in den aktuellen Aktienpreisen enthalten sind und somit kein Vorteil aus dem Studium von öffentlich zugänglichen Informationsquellen erzielt werden kann. Die Diplomarbeit lässt sich in das Forschungsgebiet der Applied Finance, genauer gesagt im Portfolio-Management einordnen. Daneben werden auch Gebiete der Informatik wie Data Mining, insbesondere Web Mining und Business Intelligence tangiert. 2

16 1.4 Perspektive: Intellektuelles Kapital Wir versuchen in dieser Arbeit, Informationen über das Intellektuelle Kapital einer Unternehmung aus dem Internet zu extrahieren und für das Portfolio-Management zu nutzen, denn der Erfolg und das Wachstumspotential von Unternehmen beruhen zunehmend auf immateriellen Werten, den so genannten Intangible Assets. Dazu gehören Humankapital, Kundenkapital, Innovationskraft, Organisation und Prozesskapital. 1 Es ist unmöglich, das Intellektuelle Kapital, welches die Menge aller Intangible Assets einer Unternehmung darstellt, genau einzugrenzen oder exakt zu messen. Unter der Annahme, dass der Börsenwert eine Schätzung für den Marktwert einer Unternehmung darstellt, kann ohne signifikanten Verlust an Genauigkeit von der folgenden heuristischen Definition ausgegangen werden: Das Intellektuelle Kapital ist gleich der Differenz zwischen Börsen- und Buchwert einer Unternehmung. Daraus wird klar, dass jede Information über das Intellektuelle Kapital für das Portfolio Management von Nutzen ist und sich deshalb die Frage stellt, wie möglichst viele das Intellektuelle Kapital einer Unternehmung betreffende Informationen aus dem Internet gewonnen werden können. In diesem Sinne kann unsere Forschung auch als Beitrag zur Erforschung der Möglichkeiten zur Messung des Intellektuellen Kapitals betrachtet werden. 1.5 Thesen und Methoden Diese Arbeit basiert auf einfachen Extraktionsverfahren für Webdaten, finanzmathematischen Portfolio-Modellen wie dem Portfolio Selection Modell, dem Capital Asset Pricing Modell und der Asset Allocation sowie auf statistischen Methoden wie stochastischer Modellierung, dem Mean-Variance-Ansatz, einfacher Regression und Signifikanztests. Ziel ist die Validierung, respektive die Falsifizierung der beiden auf Extraktionsverfahren basierenden Kernthesen: 1 Quelle: [Sveiby00] 3

17 Die getätigten Stellenausschreibung auf math-jobs.com sind ein geeigneter Indikator für die zukünftige wirtschaftliche Entwicklung einer Unternehmung. Die Summe der über math-jobs.ch ausgeschriebenen Stellen lässt sich als vorauseilender Konjunkturindikator verwenden. 1.6 Aufbau der Arbeit Die vorliegende Arbeit gliedert sich in folgende Kapitel: Kapitel 2 führt in die theoretischen Grundlagen des Portfolio Managements ein. Verschiedene Modelle, Theorien und Strategien werden aufgezeigt. Zahlreiche Kennzahlen zur Messung der Portfolioperformance werden vorgestellt. Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit der Informationsgewinnung aus dem Internet. Dazu werden verschiedene Web Mining Verfahren diskutiert. In Kapitel 4 werden mögliche Webindikatoren für das Portfolio Management lokalisiert und bezüglich ihrer Eignung in der Praxis analysiert. Zudem wird gezeigt, wie die Informationen in einem automatisierten Portfolio-Management-System verarbeitet werden können. In Kapitel 5 entwickeln wir ein Evaluationskonzept. Die Jobbörse math-jobs.com wird vorgestellt und die Möglichkeiten, die sich anhand der Daten dieser Website bieten, werden aufgezeigt. In Kapitel 6 wird untersucht, ob sich aus den Daten von math-jobs.com ein vorauseilender Konjunkturindikator bilden lässt. Kapitel 7 beschäftigt sich mit der Identifikation erfolgsversprechender auf Webindikatoren basierenden Strategien. Die verschiedenen Möglichkeiten, die sich anhand der Inserate auf math-jobs.com bieten, werden aufgezeigt und analysiert. Kapitel 8 beschäftigt sich mit der Evaluation der erfolgsversprechenden Strategien 4

18 und der ausgiebigen Analyse und Beurteilung der Resultate. Zudem wird auf allgemeine Probleme bei der Evaluation hingewiesen. Das Kapitel 9 fasst die wichtigsten Erkenntnisse und Resultate nochmals in einem Fazit zusammen und es wird gezeigt, in welchen Bereichen künftig weiter Forschung betrieben werden sollte. Personen mit solidem Grundwissen im Gebiet des Portfolio Managements, die sich nicht für die Möglichkeiten der Datengewinnung aus dem Internet interessieren, wird empfohlen, die theoretischen Grundlagen zu überspringen und bei der Lektüre direkt bei der Vorstellung der Jobbörse math-jobs.com (Kapitel 5, ab S. 76) einzusteigen. Für Personen, die nur wenig Zeit haben und an Abkürzungswegen interessiert sind, zeigt der zweiseitige Management Summary (Deutsch: S. 165, Englisch: S. 167) um was es in dieser Diplomarbeit geht und die Zusammenfassung (Deutsch: S. 169, Englisch: S. 177) fasst die wichtigsten Resultate der Untersuchung auf acht Seiten kompakt zusammen. 1.7 Adressaten Diese Arbeit richtet sich an Personen, die sich für einen innovativen Ansatz im Aktien Portfolio Management interessieren. Grundlegende Kenntnisse bezüglich Finance, Portfolio Management und Internet sind von Vorteil, jedoch nicht zwingend notwendig, da die im späteren Verlaufe der Arbeit verwendeten Begriffe und Methoden in Kapitel 2 und 3 einführend vorgestellt werden. Ein gewisses ökonomisches Verständnis wird dabei jedoch vorausgesetzt. 1.8 Danksagung Ich möchte an dieser Stelle die Gelegenheit nutzen, um mich bei meinen Kollegen, Freunden und meiner Familie für die geistige und moralische Unterstützung zu bedanken. 5

19 Ganz besonders möchte ich mich bei Dr. Christof Luchsinger für die hervorragende Betreuung bedanken. In zahlreichen Gesprächen und s hat er mich mit seinen Ideen und Anregungen tatkräftig bei der Ausarbeitung der vorliegenden Diplomarbeit unterstützt und mir mit dem Durchlesen meiner Entwürfe einen grossen Dienst erwiesen. Mein Dank geht im Speziellen noch an Sven Hartmetz, ohne dessen Unterstützung das Programm StockQuote zur automatisierten Auswertung der Aktienkurse nicht entstanden wäre, meinen Vater Erich Dubler, der sich die Zeit genommen hat, diese Arbeit kritisch durchzulesen und zu korrigieren und an meine Tennis-Kollegen für den körperlichen Ausgleich zur täglichen Kopfarbeit. Zudem möchte ich mich bei Herrn Dr. R. Riedl für das spannende Thema, die Betreuung bei der Entstehung dieser Arbeit und seine wertvollen Denkanstösse, kritischen Fragen und kreativen Inputs bedanken. 6

20 Kapitel 2 Einführung in das Portfolio Management Dieses Kapitel führt in die Grundlagen der Portfoliotheorie ein. Wichtige Begriffe wie Rendite und Risiko werden definiert und die populärsten Modelle und Anlagestrategien vorgestellt. Zum Schluss des Kapitels wird dann anhand der Vorstellung verschiedener Kennzahlen wie beispielsweise der Sharpe Ratio vertiefend auf die Zweidimensionale Performance Messung eingegangen. 2.1 Überblick Traditionelles Portfolio Management Beim traditionellen Portfolio Management werden mögliche Anlagen mittels verschiedener Analyse- und Prognosewerkzeuge beurteilt. Es geht von allen Anlagemöglichkeiten aus und versucht, die besten Anlagen zu eruieren. Mittels einer Fundamentalanalyse wird der innere Wert einer Anlage ermittelt und mit dem Börsenkurs verglichen. Langfristig passt sich laut diesem Modell der Börsenkurs dem inneren Wert einer Anlage an, und deshalb soll die Anlage bei einem über dem Börsenkurs liegenden inneren Wert gekauft werden. Eine andere Möglichkeit ist die technische Analyse. Sie befasst sich mit der Preisund Volumenentwicklung einer Anlage in der Vergangenheit. Der Grundgedanke dieser Analyse ist, dass sich die Investoren in ähnlichen Situationen nicht wesentlich 7

21 Fundamentalanalyse Technische Analyse Zweck Auswahl der Wert- Festlegung des Kaufs- und papiere (Stockpicking) Verkaufszeitpunktes Datenbasis Wirtschafts- und Marktdaten (Kurswerte, Unternehmensdaten v.a. Einzelwerte, Indizes) (Konjunktur, Gewinne etc.) Hypothese Kurs schwankt um den Kurse bilden sich nach inneren Wert der Aktie Angebot und Nachfrage und entwickeln sich in Trends Analyse-Ziel Bestimmung des Erkennen typischer inneren Wertes Kursverlaufsmuster Tabelle 2.1: Übersicht über die Finanzanalyse anders verhalten, als sie dies in der Vergangenheit getan haben. Mittels Analyse und den geeigneten Werkzeugen wird versucht, aus der vergangenen Kursentwicklung Erkenntnisse bezüglich der künftigen Entwicklung zu gewinnen. Die wichtigsten Unterschiede der beiden Möglichkeiten der Aktienanalyse sind in Tabelle 2.1 dargestellt. Daneben gibt es die Random Walk Hypothese. Sie sagt aus, dass die Kurse zufällig um den inneren Wert der Aktie schwanken und deshalb eine erfolgreiche Analyse nicht möglich ist. Sowohl bei der Fundamentalanalyse, als auch bei der technischen Analyse werden die Anlagen isoliert betrachtet. Der Investor stellt sich folglich ein Portfolio aus Titeln zusammen, die zwar für sich alleine betrachtet eine gute Performance erwarten lassen können, die Zusammenhänge zwischen den Anlagen werden aber dabei nicht berücksichtigt. Er neigt dazu, Anlagen durch Stockpicking 1 unsystematisch in sein Portfolio aufzunehmen. Als einzige quantitative Komponente werden im traditionellen Portfolio Management die Renditen einzelner Aktien betrachtet. Diese sind von drei Faktoren abhängig: vom Markt, von den Marktsektoren und vom Titelcharakter. 2 1 Versuch, die im Augenblick beste Aktie zu ermitteln und zu kaufen 2 Quelle: [Auck01], S. 5 8

22 2.1.2 Modernes Portfolio Management Im Gegensatz zum traditionellen Portfolio Management werden beim modernen Portfolio Management neben den Analyseverfahren der traditionellen Methode die mit den Anlagen zusammenhängenden Risiken explizit in die Betrachtung miteinbezogen. Das Marktrisiko, das Sektorrisiko und das titelspezifische Risiko werden für den Portfolioverbund betrachtet. Je höher die geforderte Rendite, desto mehr Risiko muss in Kauf genommen werden. Umgekehrt kann bei einem risikoaversen Investor das Risiko auf Kosten der zu erwartenden Rendite minimiert werden. 2.2 Grundlegende Begriffe Mathematische Modellierung Wo wir nicht auf historische und damit bekannte Daten zurückgreifen können, modellieren wir die Renditen R i (1 i d) der d Anlagemöglichkeiten mit stochastischen Zufallsgrössen. Aus mathematischen Gründen fordern wir, dass E[Ri 2 ] <. Die gemeinsame Verteilung der Zufallsgrössen sei uns bekannt. Insbesondere kennen wir damit die Kovarianzen aller Zufallsgrössen miteinander. Wir definieren weiter die erwarteten Renditen µ := (µ i,..., µ d ) und Varianzen der Renditen σ 2 := (σ1, 2..., σd) 2 folgendermassen: µ i := E[R i ] und σi 2 := V [R i ]. Die Kovarianz definieren wir σ ij := Cov(R i, R j ). Daten der Vergangenheit werden als Realisationen dieser Zufallsgrössen betrachtet. Wir vereinbaren noch, dass Zufallsgrössen für Modellbildung und die Zukunft mit grossen Buchstaben bezeichnet werden und historische Daten mit kleinen Buchstaben (z.b. R und r) Rendite Das Ziel eines jeden Investors ist es, eine angemessene Entschädigung für seine Investition zu erhalten. Dieses Renditeziel kann in Kapitalzuwachs und laufende Erträge unterteilt werden. Aktienrenditen können sowohl aufgrund von sicheren historischen Daten berechnet 3 Quelle: [Luchs04], S. 6 9

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