Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: dreieck.tex,v /04/29 12:45:52 hk Exp $
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- Britta Meinhardt
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1 $Id: dreieck.tex,v /04/29 12:45:52 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.6 Einige spezielle Punkte im Dreieck Wir beschäftigen uns weiterhin mit den speziellen Punkten eines Dreiecks und haben in der letzten Sitzung die Existenz des Schnittpunkts S w der Winkelhalbierenden und des Schnittpunkts S u der Mittelsenkrechten eingesehen. Diese Punkte waren auch der Mittelpunkt des Inkreises beziehungsweises des Umkreises des betrachteten Dreiecks. ρ R Su R S u γ R c/2 ρ ψ ψ Der Umkreis von estimmung des Umkreisradius Wir wollen jetzt den Radius R des Umkreises berechnen, und dies geschieht durch etrachtung der oben rechts gezeigten Figur. Satz 1.18 (estimmung des Umkreisradius) Sei = ein Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ gemäß den Standardbezeichnungen. Weiter bezeichne F die Fläche von und R den Umkreisradius von. Dann gilt R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ = abc 4F. eweis: Ziehe von S u aus die Verbindungen mit den drei Ecken,, von. Dann ist das Dreick S u in S u gleichschenklig, also sind die Winkel dieses Dreiecks in den Ecken und nach ufgabe (9.a) gleich, und wir nennen diesen Winkel ψ. nalog sind auch die Winkel von S u in und gleich einem Winkel ϱ und die Winkel 6-1
2 von S u in und gleich einem Winkel. Da der Winkel α von in in und ψ zerlegt wird, haben wir Es folgt γ β = ψ und somit Weiter folgen α = + ψ und analog β = ψ + ϱ, γ = ϱ +. π 2β = α β + γ = 2, d.h. = π 2 β. ψ = α = α + β π 2 = π 2 γ und ϱ = β ψ = β + γ π 2 = π 2 α. ezeichne nun den Mittelpunkt der Strecke und betrachte das rechtwinklige Dreieck S u. Der Winkel in diesem Dreieck bei S u ist π 2 ψ = γ, und bezüglich dieses Winkels haben wir die Gegenkathete c/2 und die Hypothenuse R, also gilt 1 2 sin γ = c und somit R = c R 2 sin γ. nalog sind dann auch R = a/(2 sin α) = b/(2 sin β). Weiter ergibt sich F = 1 2 abc abc ab sin γ =, d.h. R = 4R 4F. Dieser eweis behandelt eigentlich nur den spitzwinkligen Fall in dem S u innerhalb des Dreiecks liegt, der eweis im stumpf- beziehungsweise rechtwinkligen Fall ist aber analog. Im nächsten bschnitt werden wir auch einen weiteren eweis des Satzes kennenlernen der im spitz- und im stumpfwinkligen Fall funktioniert. Schreiben wir die Gleichung für den Umkreisradius etwas um, so wird sin α a = sin β b = sin γ c = 1 2R, das gemeinsame Verhältnis vom Sinus jedes Winkels zu seiner gegenüberliegenden Seite aus dem Sinussatz ist also gleich dem Kehrwert des doppelten Umkreisradius. Schauen wir uns ein explizites eispiel an und betrachten das Dreieck mit den Seiten a = 2, b = 3, c = 4. Dann sind s = = 9 2, s a = 5 2, s b = 3 2 und s c =
3 also wird die Fläche von F nach der Heronschen Flächenformel Satz 15 zu F = 135 s(s a)(s b)(s c) = 16 = 3 15, 4 der Inkreisradius ist nach Korollar 16 r = F s = und der Umkreisradius ist schließlich nach Satz 18 R = abc 4F = 8 15 = Wir haben jetzt drei unserer speziellen Punkte behandelt, es steht nur noch der Schnittpunkt der Höhen aus. Tatsächlich folgt die Existenz dieses Schnittpunkts aus der Existenz des Schnittpunkts der Mittelsenkrechten angewandt in einem geeigneten Hilfsdreieck. Sei = ein Dreieck und betrachte das bei der ehandlung der Seitenhalbierenden eingeführte Mittendreieck, also das Dreieck = das von den drei Seitenmittelpunkten gebildet wird. Wir wollen uns überlegen was die Höhen in sind, schauen wir uns etwa die Höhe h c auf der Seite von an. Nach Lemma 11 ist parallel zur Seite von, und da h c senkrecht auf steht, ist h c auch senkrecht auf. Nun geht h c durch den Seitenmittelpunkt von, d.h. h c ist die Mittelsenkrechte von auf. nalog kann man für die beiden anderen Höhen schließen, d.h. die Höhen des Mittendreiecks sind genau die Mittelsenkrechten von. Damit schneiden sich die Höhen von nach Satz 17 im Umkreismittelpunkt von. * c hc * b a * Höhe im Mittendreieck Konstruktion von In einem Mittendreieck schneiden sich die Höhen somit immer in einem Punkt, um also zu zeigen das dies in einem allgemeinen Dreieck = ebenfalls gilt, reicht es einzusehen das das Mittendreieck eines geeigneten vergrößerten Dreiecks ist. Um dieses zu konstruieren, ziehen wir die Parallele a zu durch, die Parallele b zu durch und schließlich die Parallele c zu durch. Damit definieren wir dann als 6-3
4 Schnittpunkt von b und c, als den Schnittpunkt von a und c und letztlich als den Schnittpunkt von a und b. Diese Konstruktion liefert uns das Dreieck = und wir behaupten das das Mittendreieck von ist. Überlegen wir uns einmal das der Seitenmittelpunkt von ist. Nach Konstruktion sind = c und, = b und sowie = = a und jeweils parallel zueinander, wir haben also zwei Parallelogramme und. Erinnern wir uns jetzt daran, dass in einem Parallelogram gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, so ergibt sich = = = und dies bedeutet tatsächlich das der Mittelpunkt von ist. nalog sind der Mittelpunkt von und der Mittelpunkt von, d.h. = ist tatsächlich das Mittendreieck von =. γ D β α β γ α Die hier verwendete Tatsache über Parallelogramme ist dabei anschaulich klar, formal kann man sie beispielsweise aus dem Kongruenzsatz SWW für Dreiecke gewinnen. Geben wir uns etwa ein Parallelogram D wie oben vor, so zerlegen wir dieses durch die Strecke D in zwei Dreiecke D und D. Sind dann β der Winkel bei in D und γ der Winkel bei D in D, so folgt mit dem Stufenwinkelsatz wegen D das der Winkel in D bei D auch β ist und ebenso folgt mit D das der Winkel in D bei gleich γ ist. Nach Satz 9 sind die beiden Dreiecke D und D damit kongruent, also sind auch D = und = D wie behauptet. Satz 1.19 (Der Schnittpunkt der Höhen) Sei ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Höhen von in einem Punkt S h. eweis: Wir haben gerade gezeigt das es ein Dreieck mit Mittendreieck gibt und damit sind die Höhen von die Mittelsenkrechten von, schneiden sich also nach 6-4
5 Satz 17 in einem Punkt. Damit haben wir die Konstruktion der vier speziellen Punkte S m, S w, S u und S h beendet. Die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden, der Mittelsenkrechten und der Höhen können jetzt nicht völlig beliebig zueinander liegen, es stellt sich heraus das sie immer auf einer gemeinsamen Geraden sind, der sogenannten Euler-Geraden des Dreiecks. Dies wurde 1763 von Leonard Euler entdeckt und scheint das erste Resultat über Dreiecke zu sein das in der ntike nicht bekannt war. evor wir den entsprechenden Satz beweisen, müssen wir erst einmal den Randfall eines gleichseitigen Dreiecks aus dem Weg schaffen. In einem gleichseitigen Dreieck stimmen nach ufgabe (9.a) die Seitenhalbierenden, Winkelhalbierenden, Mittelsenkrechten und Höhen überein, also ist stets S m = S w = S u = S h, die vier speziellen Punkte fallen also alle zusammen. In nicht gleichseitigen Dreiecken kann dies nicht auftreten, und wir formulieren den Satz über die Eulergerade daher für nicht gleichseitige Dreiecke. Satz 1.20 (Die Eulergerade eines Dreiecks) Sei = ein nicht gleichseitiges Dreieck. Dann sind der Schwerpunkt S m von, der Umkreismittelpunkt S u von und der Höhenschnittpunkt S h von paarweise verschieden und diese Punkte liegen auf einer Geraden e, der sogenannten Eulergeraden des Dreiecks. uf dieser Geraden liegt S m zwischen S u und S h und trennt diese Punkte im Verhältnis 1 : 2, d.h. es gilt S m S h = 2 S m S u. S h S m b h a S u c/2 c/2 eweis: ngenommen es wäre S u = S m. Dann stimmen die Mittelsenkrechten und die Seitenhalbierenden in überein, und nach ufgabe (9) wäre in allen Ecken gleichschenklig, also gleichseitig. Damit muss zumindest S u S m gelten. Sei e die Verbindunsgerade von S u und S m und bezeichne S den Punkt auf e so, dass S m zwischen S u und S liegt und diese Strecke im Verhältnis 1 : 2 teilt, d.h. S m S = 2 S m S u, wie oben links eingezeichnet. Dann ist zu zeigen das S der Höhenschnittpunkt von ist, also auf allen drei Höhen liegt. Sei der Mittelpunkt der Strecke und nehme an das S u nicht auf der Seitenhalbierenden liegt. Nach Satz 12 zerlegt S m die Strecke im Verhältnis 2 : 1, also S m = 2 S m. Folglich ist S m S m S = 2 S m 2 S m S u = S m S m S u, 6-5
6 d.h. die Seitenpaare S m, S m S und S m, S m S u in den beiden Dreiecken S m S und S m S u haben dasselbe Verhältnis. Die von diesen beiden eingeschlossenen Winkel in S m S und S m S u sind ebenfalls gleich, also sind die beiden Dreiecke nach dem Ähnlichkeitssatz Satz 10 ähnlich. Damit sind die Winkel dieser Dreiecke bei beziehungsweise gleich und nach dem Stufenwinkelsatz sind S und S u parallel. Nun ist S u senkrecht auf, also ist auch S senkrecht auf, d.h. S ist die Höhe von auf. nalog schließt man für die anderen beiden Höhen. Wegen S u S m liegt S u auf höchstens einer Seitenhalbierenden von, also gehen mindestens zwei der Höhen von durch S, d.h. S = S h ist der Schnittpunkt der Höhen von. Insbesondere ist damit S h S m, S u. Der eweis dieses Satzes liefert uns übrigens einen zweiten eweis für die Existenz des Höhenschnittpunkts, zumindest in nicht gleichseitigen Dreiecken. Im allgemeinen liegt der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, also der Mittelpunkt des Inkreises, nicht auf der Eulergeraden. Man kann einsehen das die Eulergerade genau dann durch den Inkreismittelpunkt läuft wenn gleichschenklig ist, dies wollen wir hier aber nicht behandeln. 1.7 Einige Sätze über Kreise Im vorigen bschnitt haben wir den Inkreis und den Umkreis eines Dreiecks behandelt, und jetzt wollen wir noch etwa weiter auf das Zusammespiel zwischen Kreisen und Dreiecken eingehen. Wir beginnen dabei mit dem grundlegenden Satz über Kreise, den sogenannten Satz von Thales der besagt das alle Winkel im Halbkreis Rechte sind. Satz 1.21 (Satz von Thales) Sei ein Durchmesser eines Kreises k und ein Punkt auf k aber nicht auf. Dann hat das Dreieck in einen rechten Winkel. ψ α M β eweis: ezeichne M den Mittelpunkt des Kreises k. Dann sind die beiden Dreiecke M und M bei M gleichschenklig, also sind nach ufgabe (9.a) die Winkel α und bei und in M sowie die Winkel β und ψ bei und in M jeweils gleich, also = α und ψ = β. Der Winkel von bei ist γ = + ψ = α + β und 6-6
7 da die Winkelsumme in einem Dreieck immer π ist ergibt sich γ = π (α + β) = π γ, also γ = π 2. Damit ist der Satz vollständig bewiesen. etrachten wir anstelle eines Durchmessers des Kreises k eine Sekante dieses Kreises, so liegen zwar keine rechten Winkel mehr vor, aber zumindest sind alle von der Sekante und einem weiteren Punkt auf k gebildeten Winkel gleich sofern sie auf derselben Seite der Sekante liegen. Die Winkel auf den beiden verschiedenen Seiten addieren sich dabei zu π. Satz 1.22 (Perepheriewinkelsatz) Seien k ein Kreis mit Mittelpunkt M und ein Sekante in k die nicht durch M geht. Weiter sei ψ der Mittelpunktswinkel der Sekante, d.h. der Winkel des Dreiecks M bei M. k k M ψ Perepheriewinkel über θ Perepheriewinkel unter (a) Ist ein Punkt auf k über, also auf derselben Seite von wie M, und bezeichnet den Perepheriewinkel von bei, also den Winkel des Dreiecks bei, so gilt ψ = 2 und insbesondere < π/2. (b) Ist ein Punkt auf k unter und θ der Perepheriewinkel von bei, so ist + θ = π und insbesondere θ > π/2. eweis: Wir verwenden die folgenden Figuren zum eweis: 6-7
8 k k γ M δ β α α β Vorbemerkung θ Teil (a) Zunächst sei ein Punkt auf k unter und betrachte den Perepheriewinkel θ von bei. Da,, auf k liegen sind die beiden Dreiecke M und M beide bei M gleichschenklig, nach ufgabe (9.a) hat also M bei und denselben Winkel α und M hat bei und denselben Winkel β. Weiter bezeichne γ den Winkel von M bei M und δ den Winkel von M bei M. Dann setzen sich γ und δ zum Mittelpunktswinkel ψ zusammen und α und β sind zusammen der Perepheriewinkel θ, es gelten also ψ = γ + δ und θ = α + β. ußerdem gelten 2α + γ = 2β + δ = π, also ist insgesamt θ = α + β = π γ + π δ = π γ + δ = π ψ (a) Nach der Vorbemerkung sind alle Perepheriewinkel von unter gleich θ = π ψ/2, wir können also durch eventuelles bändern von annehmen das ein Durchmesser von k ist. Nach dem Satz von Thales Satz 21 haben die Dreiecke bei und bei rechte Winkel. Mit ufgabe (2) angewandt auf das Viereck folgt 2π = 2 π 2 + θ + = π + θ + = 2π + ψ 2 also ψ = 2 und insbesondere ist = ψ/2 < π/2. (b) Die Vorbemerkung und Teil (a) liefern und insbesondere ist θ = π > π/2. + θ = ψ 2 + π ψ 2 = π, 6-8
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