Iterative Verfahren: Allgemeines, Fixpunkt-Iteration, Nullstellen. Prof. U. Rüde - Algorithmik kontinuierlicher Systeme
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- Judith Katarina Bayer
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1 Algorithmik kontinuierlicher Systeme Iterative Verfahren: Allgemeines, Fiunkt-Iteration, Nullstellen
2 Motivation Viele numerische Probleme lassen sich nicht mit endlich vielen Schritten lösen Nullstellen (von Polynomen, Eigenwerte von Matrizen Otimierung (min ma-suche Iterativer Lösungsansatz: Sezifiziere einen geschätzten Wert: Startwert 0 Versuche diesen sukzessive zu verbessern i+ Φ i ( i oder mehrstufig i+ Φ i ( i, i -, für i0,,,3, Ist die Iterationsvorschrift Φ i nicht von i abhängig sricht man von stationären Verfahren Der iterative Ansatz ist u.u. auch für eakt lösbare Probleme interessant (z.b. LGS, siehe säter!
3 Wir beschäftigen uns nur mit stationären Verfahren (meist einstufig: Fragen: Motivation Startwert 0, i+ Φ ( i (für i0,,, Konvergiert die Iterationsfolge gegen die gewünschte Lösung *? Für welche Anfangswerte konvergiert die Folge? Wie schnell konvergiert die Iterationsfolge? Kann man den Fehler i - * abschätzen? Wann soll man die Iteration abbrechen?!3
4 Fiunktiteration Ist Φ : M M eine Selbst -Abbildung, dann heißt ein m M Fiunkt von Φ falls Φ (mm. Anschaulich: Ist MI ein Intervall, dann verläuft der Grah von Φ im Quadrat I I und ein Fiunkt ist ein Schnittunkt mit der Diagonalen Satz: Wenn die Iterationsfolge i+ Φ( i konvergiert, * lim i i m m m 3 und Φ stetig ist, dann gilt Φ(**!!4
5 Fiunktiteraton (Beisiele e Φ(, Φ( e, Konvergenz Konvergenz!5
6 Fiunktiteraton (Beisiele Keine Konvergenz Konvergenz (aber nicht gegen 0.5!6
7 Banachscher Fiunktsatz I sei ein abgeschlossenes Intervall und Φ : I I sei eine Kontraktion, d.h. es gibt eine Konstante L < so dass Φ( - Φ(y L -y für alle, y I Dann gilt: Φ besitzt genau einen Fiunkt * I ; die Iterationsfolge i+ Φ( i konvergiert für jeden Startwert 0 I ; n L n * 0 L (a riori Abschätzung ; n * n+ n L (a osteriori Abschätzung. Der BFS gilt auch im R n (I R n abgeschlossene Teilmenge, Φ( - Φ(y L -y!7
8 Banachscher Fiunktsatz Beisiele: f [0,] [0,], f ( + : 4 ( e f :[0,] [0,], f( e( f ( f ( Sind dies Kontraktionen? Mittelwertsatz!!8
9 Banachscher Fiunktsatz f :[0,] [0,], f( 4 L 0.78 ( + e f(! L e(! n n a riori a osteriori n n f( n !9
10 Nullstellenbestimmung: Newton-Verfahren Iteratives Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle der Funktion f( Startwert 0 : Iterationsschritt: Linearisiere f( in i [d.h. bestimme die Tangente an ( i, f ( i ] und bestimme die Nullstelle der Linearisierung. Linearisierung (z.b. mit Taylor: f ( f( i + f ( i ( - i : Lin( f( Lin( Nullstelle der Linearisierung : i+ i f ( i f '( i!0
11 Nullstellenbestimmung: Newton-Verfahren Iteratives Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle der Funktion f( Startwert 0 : i+ i f ( i f '( Dies ist eine Fiunkt-Iteration für i f( Lin( Φ( f ( f '( Das Verfahren konvergiert falls 0 nahe bei der Nullstelle liegt!!
12 Historische Anmerkung Heron-Verfahren oder Babylonisches Wurzelziehen Iteratives Verfahren zur Bestimmung von a : a i+ i + i Geometrische Interretation (sh Tafel Falls 0 > a dann ist ( n monoton fallend, 0 n 0 i a i a a ( Newton-Verfahren für f( - a Heron von Aleandria. Jahrhundert n. Chr (quadratische Konvergenz!
13 Beisiel: Heron Verfahren Iterative Bestimmung von nach Heron mit Startwert 0.0 bzw. Newton-Verfahren für f( - a n n n n Beobachtung: Die Anzahl der korrekten Stellen verdoelt sich in jedem Iterationsschritt!3
14 Nullstellenbestimmung: Sekanten-Verfahren Zweistufiges iteratives Verfahren ohne Kenntnis der Ableitung; Zwei Startwerte 0 und nötig ; Iterationschritt: Bestimme den Schnittunkt der Sekante durch ( 0, f ( 0 und (, f ( mit der -Achse (Nullstelle der Sekante i+ i f ( i i f f ( f ( i i ( i 3 0 Modifikation: Regula falsi (s.u.!4
15 Nullstellenbestimmung: Bisektionsverfahren Zweistufiges Verfahren, führt sicher zum Ziel, aber konvergiert sehr langsam;. Zwei Startwerte 0 < so dass f( 0 f( < 0 Der Vorzeichenwechsel im Intervall [ 0, ], dies garantiert dass es mind. eine Nullstelle gibt sofern f( stetig ist.. Iterationsschritt: Bestimme den Mittelunkt ( 0 + /, betrachte das Intervall [ 0, ] falls f( 0 f( < 0 bzw. betrachte das Intervall [, ] falls f( f( < 0 (im Falle von f( f( 0 ist eine Nullstelle! 3. Das Bisektionsverfahren konvergiert stets, jedoch relativ langsam: nach i Schritten i+ - i -i 0!5
16 Nullstellenbestimmung: Bisektionsverfahren 0 nach i Schritten : i+ - i -i 0 ½ ( i+ + i - * -(i+ 0!6
17 Nullstellenbestimmung: Regula falsi Kombination von Sekanten- und Bisektionsverfahren Man startet wie beim Bisektionsverfahren mit zwei Punkten 0 und so dass f( 0 f( < 0 Man bestimmt den Schnittunkt der Sekante mit der - Achse Falls f( f( < 0 fährt man mit und fort andernfalls mit 0 und regula falsi konvergiert garantiert gegen eine Nullstelle, meist langsam.!7
18 Problem: Bestimme die Nullstelle einer Funktion F : R n R n Beisiel: Newton-Verfahren im R n F(, y + y 3y y Iteratives Vorgehen wie im eindimensionalen Fall: Linearisieren und Nullstelle der Linearisierung ermitteln. Linearisierung mit Taylor: F( F( i + J F ( i ( - i : Lin i ( dabei ist J F ( die Jacobi-Matri von F an der Stelle. Bestimmung der Nullstelle der Linearisierung : Lin i ( 0 oder i+ i - [J F ( i ] - F( i + y 3y y 0 0 (nicht lineares Gleichungssystem!8
19 Newton-Verfahren im R n Beisiel: F(, y + y 3y y Startwert: 0 -, y 0, + y 3y y 0 0 (nicht lineares Gleichungssystem!9
20 Newton-Verfahren im R n Iterationsschritt i+ i - [J F ( i ] - F( i zur raktischen Durchführung: Die Berechnung der Inversen macht nur Sinn für kleine n (n,3 Im Allgemeinen muss man in jedem Iterationsschritt ein lineares Gleichungssystem mit A J F ( i lösen: löse [J F ( i ]z - F( i setze i+ i + z!0
21 Konvergenzordnung Maß für die Geschwindigkeit der Konvergenz Die (Iterations-Folge ( i konvergiere gegen * : Konvergenzordnung (lineare Konvergenz: Es gibt eine Konstante C < so dass i+ * C i * für alle (großen i Konvergenzordnung > : es gibt eine Konstante so dass i+ * C i * für alle (großen i Im Fall sricht man von quadratischer Konvergenz; suerlineare Konvergenz : i+ * lim i * i 0!
22 Konvergenzordnung Fiunktiterationen mit Voraussetzungen des BFS konvergieren (mindestens linear Newtonverfahren: einfache Nullstelle: quadratische Konvergenz mehrfache Nullstelle: lineare Konvergenz Newtonverfahren im R n konvergiert quadratisch sofern einfache Nullstelle vorliegt (d.h. die Jacobimatri in der Nullstelle invertierbar ist. Sekantenverfahren: Konvergenzordnung Bisektion und regula falsi in etwa linear!
23 Beisiel Bisektionsverfahren Konvergenzordnung: in etwa linear 3 3 f ( 3, * Anfangsintervall [.0,.5] i i - * i - * / i- - * !3
24 Beisiel Newtonverfahren Konvergenzordnung: quadratisch ( f ( 3 3, * Startunkt 0.5 i i - * i - * / i- - * undefined!4
25 Beisiel Newtonverfahren Erhöhte Genauigkeit (30 Dezimalstellen 3 3 f ( 3, * i i - * i - * / i- - * undefined!5
26 Beisiel Sekantenverfahren Konvergenzordnung: erhöhte Genauigkeit ( f ( 3, Anfangswerte 3 * 0 3.0, i i - * i - * / i- - * !6
27 Beisiel Regula Falsi Konvergenzordnung: linear 3 3 f ( 3, * Anfangsintervall [.0,.5] i i - * i - * / i- - * !7
28 Vergleich der Verfahren Vor- und Nachteile Newton + konvergiert sehr schnell ( - benötigt Werte der Ableitungen - konvergiert nur für Startwerte nahe bei der Nullstelle Sekanten + konvergiert ziemlich schnell (.6 + benötigt keine Werte der Ableitungen - konvergiert nur für Startwerte nahe bei der Nullstelle Bisektion und regula falsi - konvergiert langsam ( + benötigt keine Werte der Ableitungen + sicher konvergent!8
29 Abbruchkriterien Wann soll die Iteration abgebrochen werden?. Gibt es eine Fehlerabschätzung (z.b. BFS nutze diese.. Erreichen einer maimalen Iterationszahl MAX_ITER 3. i+ i < ε für eine kleine Schranke ε. 4. F( i < ε (bei Nullstellensuche bzw. Φ( i - i < ε (bei Fiunktiteration 5. i > M für eine (große Schranke M (! nicht konv. In der Prais: Eine Kombination mehrerer dieser Kriterien, z.b.. und 4. und 5.!9
30 Nullstellen von sez. Polynomen Für sezielle Polynome kann man sukzessive sämtliche Nullstellen mit dem Newton-Verfahren bestimmen: Annahme: Das Polynom ( a 0 +a + +a n n habe n reelle Nullstellen ξ ξ ξ n- ξ n (zb char. Polynom einer symmetrischen Matri die Theorie sagt dann ( a n ( - ξ ( - ξ ( - ξ n Startet man das Newton-Verfahren für ( mit einem n hinreichend großen 0 (zb, dann 0 a i 0 i an konvergiert die Iterations-Folge gegen ξ.!30
31 ξ ist größte Nullstelle von Diese kann iterativ mit Newton-Verfahren zum Startwert 0 ξ + ε bestimmt werden Beachte, dass deshalb müssen und nicht elizit bestimmt werden! ξ k+ ist größte Nullstelle von Beachte, dass!3 Nullstellen von sez. Polynomen ( ( ξ ( '( ( '( ( ( ( '( '( ξ ξ ξ ( ( ( ( ( k k ξ ξ ξ! k i k k i ( '( ( '( ( ξ
32 Zusammenfassung Fiunkt-Iteration: Banachscher Fiunktsatz Konvergenz und Eindeutigkeit Fehlerabschätzungen Verfahren zur Nullstellenbestimmung Newton-V. Bisektions-V. Sekanten-V. regula falsi Vergleich der Verfahren Konvergenzordnung Definition und Beisiele (Nullstellenverfahren Abbruchkriterien Nullstellen von (seziellen Polynomen!3
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