Analysis im IR 2. Fakultät Grundlagen. Juli Parameterdarstellung von Kurven Integrationsaufgaben Vektoranalysis

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1 Analsis im IR 2 Fakultät Grundlagen Juli 25 Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2

2 Übersicht Parameterdarstellung von Kurven Parameterdarstellung von Kurven Ebene Kurven Tangentenvektor 2 Kurvenlänge Sektorfläche 3 Wegunabhängigkeit, Potential Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 2

3 Kreis, Ellipse Parameterdarstellung von Kurven Ebene Kurven Tangentenvektor In der (, -Ebene wird der Vektor R in Abhängigkeit eines Parameters dargestellt. Man kann die Kurve auch als Bewegung eines Massepunktes in Abhängigkeit von der Zeit t interpretieren. Beispiel: Kreis mit Radius r um den Mittelpunkt ( : R = R = ( (t (t t ( + ( r cos t r sin t = R(t = ( (t (t ( + r cos t + r sin t Beispiel: Ellipse mit den Halbachsen a, b und Mittelpunkt ( Gedeutet als affine Verzerrung des Kreises ( + a cos t R(t = + b sin t Algebraische Gleichung: ( 2 a 2 + ( 2 b 2 = Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 3

4 Kreisevolvente Parameterdarstellung von Kurven 2 2 Ebene Kurven Tangentenvektor Modell: Abwickeln eines Fadens von einer Rolle Vektor zu Punkt auf ( Kreisperipherie: R cos t = r sin t Vektor von Kreisperipherie zum Fadenende : ( sin t R 2 = r t cos t R 2 R Parmeterdarstellung R(t = R ( + R 2 cos t + t sin t = r sin t t cos t Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 4

5 Ebene Kurven Tangentenvektor Zkloide, Bahnkurve eines Punktes auf einem rollenden Kreis ( Vektor zum Kreismittelpunkt: R t = r Vektor vom Mittelpunkt zu Punkt auf Kreisperipherie: ( ( cos π R 2 = r 2 t sin ( π 2 t cos ( π 2 t = cos ( π 2 + t = sin t ; sin ( π 2 t = sin ( π 2 + t = cos t ( Parameterdarstellung: R(t = R + R t sin t 2 = r cos t t t t 2π Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 5

6 Ebene Kurven Tangentenvektor Zkloide, Abstand des Punktes ungleich Radius R(t = ( rt d sin t r d cos t r = ; d =.7 t t t r = ; d =.35 t t t Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 6

7 Ebene Kurven Tangentenvektor Differenzenquotient, Tangentenvektor R(t + t R R(t t Differenzenquotient benachbarter Vektoren: R t = { } t R(t + t R(t Für die Komponenten erhält man: {( ( } R = t t (t + t (t (t + t (t (t + t (t = t (t + t (t t Sind die Komponentenfunktionen (t und (t differenzierbar, so {( erhält man als Grenzwert: ( } R(t = lim (t + t (t t t (t + t (t (t + t (t lim ( t t ẋ(t = = (t + t (t ẏ(t t lim t Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 7

8 Ebene Kurven Tangentenvektor Beispiel: Tangentenvektor der Zkloide ( t sin t R(t = r Tangentenvektor: cos t R(t = r ( cos t sin t Die Komponentenfunktionen sind beliebig oft differenzierbar. Trotzdem hat die Kurve bei t = 2kπ eine Spitze! Dort ist der Tangentenvektor gleich dem Nullvektor. Wir müssen deshalb noch die zusätzliche Bedingung R(t hinzunehmen, um das Erscheinungsbild einer glatten Kurve zu erzielen. Dann kann auch der Tangenteneinheitsvektor gebildet werden, der bei vielen theoretischen Betrachtungen eine wichtige Rolle spielt. Tangentenvektoren an eine Zkloide mit verschiedenen Parameterwerten: r = ; d =.6.2 Nur für d = besitzt die Zkloide eine Spitze! Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 8

9 Kurvenlänge Sektorfläche Approimation durch Polgonzug Approimation der Kurve durch einen Polgonzug P, P,..., P n ; bei bekannten Koordinaten der Teilpunkte ( i i lässt sich die Summe der Längen der Geradenstücke mittels Pthagoras berechnen. Näherung für die Kurvenlänge s: s n k= ( k k 2 + ( k k 2 s = b a [ẋ(t] 2 + [ẏ(t] 2 dt R(t R(t R(t n i ẏ(t i t i i ẋ(t i t i [ i ] 2 + [ i ] 2 [ẋ(t i ] 2 + [ẏ(t i ] 2 t i Bei zunehmender Verfeinerung der Unterteilung strebt die Näherungssumme gegen einen Grenzwert das Integral. Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 9

10 Kurvenlänge Sektorfläche Beispiele Zkloide: R(t = ( t sin t cos t ; R(t = ( cos t sin t R(t = ( cos t 2 + sin 2 t = 2 2 cos t = 2 sin t 2 für t 2π L = 2π 2 sin t 2 dt = 4 cos t 2 ( ( Parabelbogen: R(t t = t 2 ; R(t = ; 2t [ ( + 4t2 dt = t 4 + t2 + 4 ln t + Spezialfall = f ( : L = b a + ( f ( 2 d 2π = 8 ] 4 + t2 R(t = + 4t 2 = ( 4 ln Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie:

11 Kurvenlänge Sektorfläche Approimation durch Dreiecke Gesucht wird die Fläche, die vom Ortsvektor R(t einer Parameterdarstellung während der Bewegung auf einem Kurvenstück überstrichen wird. Wir wählen auf dem Kurvenstück Teilpunkte R(t, R(t 2,..., R(t n+ und betrachten die Flächen der Dreiecke OR(t k R(t k+ als Näherung für die Sektorfläche. Für deren Flächeninhalt gilt: F k = 2 R(t k R(t k+ = 2 R(t [ k R(tk+ R(t k ] 2 R(t k R(tk t k R(t k+ R(t k R(t k t k Liegt der Koordinatenursprung links der Kurve (in Bewegungsrichtung gesehen, so weist der Kreuzproduktvektor R(t R(t in Richtung der positiven z-achse. Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie:

12 Kurvenlänge Sektorfläche Grenzübergang Wird die Unterteilung der Kurve immer feiner gewählt, so strebt der zugehörige Flächeninhalt der Dreiecke gegen ein Integral und es gilt: n F k = n 2 R(t k R(tk t k F = b 2 R(t R(t dt }{{} k= k= a (tẏ(t (tẋ(t Dabei stellt das Integral den Flächeninhalt des Sektors dar, der vom Fahrstrahl zwischen den Parameterwerten a und b überstrichen wird. Zur praktischen Auswertung verzichtet man auf die Betragsstriche: F = 2 b a [ (tẏ(t (tẋ(t ] dt (t ẋ(t Nebenrechnung: R(t R(t = (t ẏ(t = (tẏ(t (tẋ(t Der Integrand kann als die z-komponente des Vektors R(t R(t gedeutet weren. Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 2

13 Kurvenlänge Sektorfläche Beispiel Epizkloide R(ϕ = 3( cos(ϕ sin(ϕ = cos [3ϕ] {}}{ cos [π + 3ϕ] + sin [π + 3ϕ] }{{} = sin [3ϕ] ϕ 2ϕ ; R(ϕ = ( 3 sin(ϕ + 3 sin(3ϕ 3 cos(ϕ 3 cos(3ϕ (ϕ ẏ(ϕ ẋ(ϕ (ϕ = 2 [ cos(2ϕ] Fläche, die von der Bahnkurve bei einer vollständigen Umdrehung eingeschlossen wird, ergibt sich als folgende Integrationsaufgabe: r = 2 ϕ r 2 = 2π F = 2 [ cos(2ϕ] dϕ [ ] 2π = 2 ϕ sin(2ϕ 2 = 24π N: R. ẏ ẋ = [3 cos(ϕ cos(3ϕ] [3 cos(ϕ 3 cos(3ϕ] [3 sin(ϕ sin(3ϕ] [ 3 sin(ϕ+3 sin(3ϕ] = 3[4 4 cos(ϕ cos(3ϕ 4 sin(ϕ sin(3ϕ] = 2[ cos(2ϕ] Additionstheorem! Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 3

14 Kurvenlänge Sektorfläche Gültigkeit der Formel, wenn der Koordinatenursprung außerhalb der Kurve liegt. Wir denken uns die Kurve durch die Berührpunkte T, T 2 der Tangenten vom Koordinatenursprung in zwei ( Teile, 2 aufgeteilt. Der Integrand ist die z-komponente des Kreuzpordukts R(t R(t e 3. Das Integral wird in die zwei Teile zerlegt: ( R(t R(t e 3 dt = ( R(t R(t e 3 dt + ( R(t R(t e 3 dt Beim ersten Integral weist der Vektor R(t R(t in Richtung der positiven z-achse; Die Fläche wird deshalb positv gezählt. Der Vektor R(t T R(t des 2 zweiten Integrals zeigt in Richtung der negativen z-achse und erzeugt daher + einen negativen Wert. Die Summe dieser beiden Größen ergibt den Flächeninhalt. b F = [(tẏ(t ẋ(t(t]dt a 2 T T 2 2 Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 4 T

15 Wegunabhängigkeit, Potential Vektorfeld V und Weg mit Tangentenvektor t t V Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 5

16 Wegunabhängigkeit, Potential Arbeit längs einer Kurve R(t i+ R(t i t i Anteil der Arbeit zwischen R(t i+ und R(t i : [ A i = R(ti+ R(t i ] V ( R(t i [ ] R(ti t i V ( R(t i R(t i n A k = k= Eine Approimation der Arbeit bei Bewegung längs der gesamten Kurve ergibt sich durch Summation über die Anteile A i. Bei weiterer Ver- V ( R(t i feinerung der Unterteilung strebt die Summe gegen das entsprechende Integral. ( ( mit V v (, (, = ; (t R = v 2 (, (t n V ( R(t k b R(tk t k A = V ( R(t R(t dt }{{} a Kurzform: A = V dr k= v ((t,(t ẋ(t+v 2((t,(t ẏ(t Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 6

17 Wegunabhängigkeit, Potential 3 e; Beispiele A = A 2 = = π 2 ( ( tt ( t 2 t ( cos t sin t cos 2 t sin t [ sin3 t 3 + cos4 t 4 ( ( : R t (t = ; R t (t = ; t ( ( 2 2 : R cos t sin t 2 (t = ; R sin t 2 (t = ; t cos t π 2 ( A = V dr = Feld: V 4 (, = 2 ( dt = ( sin t cos t ] π 2 = 7 2 dt = [ t 3 + 3t 2 2t ] dt = π 2 A A 2!! [ t4 4 + t3 t 2 ] [ sin 2 t cos t cos 3 t sin t ] dt 3 V d R = da dort V = Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 7

18 Wegunabhängigkeit, Potential Fluss durch eine Kurve ( ( (ẋ(t ( v (, V = ; (t ẏ(t R = ; R = ; n = v 2 (, (t ẏ(t ẋ(t Fluss zwischen R(t R i+ und R(t i : V R(t i+ F i = n(t i n(t i V ( R(t i R(t i+ R(t i F i n(t i n(t i V ( R(t i R(ti t i R(t i n F k = k= n F i n(t i V ( R(t i t i n = R!! Eine Approimation des Flusses durch die Kurve ergibt sich durch Summation über die Anteile F i. Bei weiterer Verfeinerung der Unterteilung strebt die Summe gegen das entsprechende Integral. n V ( R(t k n(t k t k F = Kurzform: F = V d n k= b a V ( R(t n(t }{{} dt v ((t,(t ẏ(t v 2((t,(t ẋ(t Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 8

19 Wegunabhängigkeit, Potential Fluss durch eine geschlossene Kurve ; Beispiel F = = 2π V d n = 2π V n ( 2 cos(t sin 2 (t 2 sin(t cos 2 (t 4 cos 2 (t sin 2 (tdt = : Einheitskreis ( cos t R(t = sin t ( cos t n(t = sin t ; ( 2 2 V (, = 2 2 ( V R(t = 2π R(t = ( sin t cos t ( 2 cos(t sin 2 (t 2 sin(t cos 2 (t ( cos t sin t sin 2 (2tdt = dt [ t 2 sin(2t ] 2π 8 = π ; Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 9

20 Wegunabhängigkeit, Potential Wegunabhängigkeit des s; äquvalente Bedingungen B Bedingung v 2 = v2 A V R V dr hängt nur vom i Startpunkt A und Endpunkt B ab. V dr = Integrale über geschlossene Kurven ergeben Null. Es eistiert ein Potential U(,, so dass: B A V d R = U( B, B U( A, A wobei: v U = v (,, U = v 2(, = v2, da 2 U = 2 U ist auch hinreichend bei einfachem Zusammenhang des Gebiets Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 2

21 Wegunabhängigkeit, Potential Wegunabhängigkeit des s; äquvalente Bedingungen V n V d n hängt nur vom B 2 A Fluß von links nach rechts i Startpunkt A und Endpunkt B ab. V d n = Integrale über geschlossene Kurven ergeben Null. In einem einem einfach zusammenhangenden Gebiet gilt: v = v2 Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 2

22 Wegunabhängigkeit, Potential Integralsätze divv = V v = 2 v 2 3 rotv = V v = 2 v 2 3 G t n V IR : a b b a f (d = f (b f (a Grenzen: Punkte a, b Kurve Bereich: Intervall Gebiet G Integralsätze im IR 2 : [ v V d n = + v ] 2 dd 2 G }{{} divv [ V dr v2 = v ] dd 2 G }{{} rotv Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 22

23 Wegunabhängigkeit, Potential Mawellsche Gleichungen (James lark Mawell ɛ Ed n = Q Elektrischer Fluss durch Rand ist 2 G ṅ R e (, 2, t E = e 2 (, 2, t e 3 (, 2, t h (, 2, t H = h 2 (, 2, t h 3 (, 2, t proportional zur elektrischen Ladung im Innern Hd n = Magnetfeld ist quellfrei Ed R = µ t h 3 (, 2, td d 2 G Elektr. Zirkulation über Rand ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnet. Flusses im Innern Hd R = I + ɛ t e 3 (, 2, td d 2 G Magnet. Zirkulation über Rand ist gleich Summe des elektr. Stroms und der zeitlichen Veränderung des elektr. Flusses im Innern Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 23

24 Wegunabhängigkeit, Potential Beispiel ( V = ; div V = v + v2 = ; rot V = v2 v = Potential U = 2 U = 2 U + f (; = 2 + f ( =! 2 2 f ( = 2 f ( = U(, = wirbel- und quellfrei: U(, erfüllt Potentialgleichung 2 U + 2 U 2 = ( ( 2 ( oberer Einheitshalbkreis cos t sin t cos t R(t = ; R(t = ; n = : t π sin t cos t sin t π ( V dr sin 2 ( t cos = 2 t π sin t dt = ( sin t + 4 sin t cos 2 sin t cos t cos t 2 tdt = 2 3 alternativ: V dr = U(, U(, = 2 3 V d n = π ( sin 2 t cos 2 t 2 sin t cos t ( cos t dt = sin t π ( cos t + 4 cos t sin 2 tdt = Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 24

25 Wegunabhängigkeit, Potential Beispiel 2 V = ( ; div V = v + v2 = ; rot V = v2 v = U Potential: = U(, = arctan ( 2 + Der Definitionsbereich hat im Ursprung ein Loch!! Deshalb müssen die Integrale über geschlossene Kurven nicht Null ergeben!! Diese Eigenschaft folgt nur bei einfach zusammenhängenden Gebieten : jede geschlossene Kurve im Definitionsbereich muss sich auf einen Punkt zusammenziehen lassen ohne den Bereich zu verlassen. 2 Einheitskreis: 2π V dr = V d n = 2π ( sin t cos t ( sin t cos t ( sin t cos t dt = ( cos t dt = sin t 2π 2π dt = 2π dt = Jedes Integral um den Nullpunkt ergibt denselben Wert! Fakultät Grundlagen Analsis im IR 2 Folie: 25