Tutorium zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II Bearbeitungsvorschlag

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1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 4 Blatt Tutorium zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II Bearbeitungsvorschlag 37. Wir bestimmen zunächst die Schnittpunkte der gegebenen Kurve ) f : [, [ R t, ft) xt), yt)) 6, t mit den beiden Koordinatenachsen: Für den Schnittpunkt S y mit der y Achse gilt xt) t6 6 t6 t ; damit ergibt sich y) und folglich S y ; ). Für den Schnittpunkt S x mit der x Achse gilt yt) t4 4 t4 8 t 4 8; damit ergibt sich x 4 8) 4 ) und folglich Sx Des weiteren ist die Kurve f stetig differenzierbar mit f t) t 5, t 3) und damit f t) t 5 ) + t 3 ) t + t 6 t 6 t 4 + ) 6 9 ; ). t 6 t 4 + t 3 t4 + t t 3 t 4 + für alle t [, [; insbesondere ist die Kurve f auf dem Intervall [ ; 4 8 ] rektifizierbar, und unter Verwendung der Substitution u gt) t 4 du + mit dt 4 t3, also du 4 t 3 dt, ergibt sich für ihre Bogenlänge zwischen den Schnittpunkten mit den beiden Koordinatenachsen dann L f t) dt g 4 8) g) 4 8 u du 4 t 3 t 4 + dt 4 9 u du 4 [ u ] 9 t4 + 4 t 3 dt

2 38. a) Die Funktion F : R R, F x) x + x + ln x + + x ), ist als Summe und Verkettung differenzierbarer Funktionen) selbst differenzierbar; für die Ableitung des ersten Summanden F : R R, F x) x + x verwenden wir die Produktregel und für die Ableitung des zweiten Faktors) die Kettenregel und erhalten F x) + x + x ) + x x x + x + + x für alle x R; für die Ableitung des zweiten Summanden F : R R, F x) ln x + + x ) verwenden wir dann zweimal) die Kettenregel und erhalten F x) x + + x + x + + x + x + x + x + x für alle x R. Insgesamt erhalten wir also ) x) + x + x ) ) F x x) + x x + x + x + x + + x + x + x + + x + x + + x + x fx) für alle x R; damit ist F eine Stammfunktion der Funktion b) Die gegebene Kurve f : R R, fx) + x. γ : [; 6π] R, γt) t ) cos t sin t ) t cos t, t sin t besitzt die beiden stetig differenzierbaren Koordinatenfunktionen γ : [; 6π] R, γ t) t cos t,

3 mit für alle t [; 6π] und mit γ t) cos t + t sin t) cos t t sin t γ : [; 6π] R, γ t) t sin t, γ t) sin t + t cos t sin t + t cos t für alle t [; 6π]; folglich ist γ eine stetig differenzierbare Kurve, und für alle t [; 6π] gilt ) ) γ γ t) t) cos t t sin t γ t) sin t + t cos t mit γ t) γ t) + γ t) cos t t sin t) + sin t + t cos t) cos t cos t t sin t + t sin t ) + sin t + sin t t cos t + t cos t ) cos t + sin t ) +t sin t + cos t ) + t }{{}}{{} und damit γ t) + t ft). Die stetig differenzierbare Kurve γ ist insbesondere rektifizierbar, und für ihre Bogenlänge L gilt L 6π γ t) dt 6π 6π c) Für die Skizze der Bildmenge ft) dt [F t)] 6π F 6π) F ) + 6π) + ln 6π + ) ) + 6π) + + ln + ) ) + 3π + 36π + ln 6π + ) + 36π. γ [; 6π]) {γt) t 6π} kann man zunächst für einige Werte von t, etwa den Vielfachen von π, den Kurvenpunkt γt) und den Tangentialvektor γ t) berechnen und in das Koordinatensystem eintragen, um dann die entstehende Spirale zu zeichnen:

4 6π y 4π π 6π 4π π π 4π 6π x π 4π 6π 39. a) Die Kurve K : [; π] R, Kt) ϕt), ψt)), mit ist stetig differenzierbar mit ϕt) t sin t und ψt) cos t ϕ t) cos t und ψ t) sin t und damit K t) ϕ t)) + ψ t)) cos t) + sin t cos t + cos t + sin t cos t) cos t+sin t 4 sin t sin t sin t t π cos t sin t

5 für alle t [; π]; folglich ist γ rektifizierbar, und für ihre Länge L gilt L π K t) dt 4 [ cos t π ] π b) Die erste Koordinatenfunktion sin t dt [ cos t ] π 4 cos π cos )) 4 ) ) 8. ϕ : [; π] R, ϕt) t sin t, ist wegen ϕ t) cos t > für alle t ]; π[ streng monoton wachsend mit dem Wertebereich W x [ϕ); ϕπ)] [; π]; damit tritt aber jedes x [; π] für genau ein t R auf, nämlich für und das dazugehörige y R ist dann x ϕt) t ϕ x), y ψt) ψ ϕ x) ). Folglich beschreibt die Kurve K den Graphen der Funktion f : [; π] R, fx) ψ ϕ x) ), und es ist fϕt)) ψt) für alle t [; π]. y K π π 3π π x Für den Inhalt A der Fläche, die von der Kurve und der x Achse eingeschlossen wird, ergibt sich demnach mit Hilfe der Substitionsregel A π π fx) dx ϕπ) ϕ) π fx) dx π fϕt)) ϕ t) dt π ψt) ϕ t) dt cos t) dt cos t + cos t ) dt π ) [ ] π 3 cost) 3 sint) cos t + dt t sin t + 4 ) 3 sin4 π) π sin π) + }{{}}{{ 4 }{{} sin + sin ) 3 π; } 4 }{{} dabei geht die für alle t R gültige Beziehung cos t + cos t)) ein.

6 4. a) Das Dreieck mit den Ecken, ),, ) und, ) besteht genau aus denjenigen Punkten x, y) R mit x und y x und y x. Wir weisen diese drei Eigenschaften für jeden Kurvenpunkt kt) x, y) mit t [; ] nach; dabei ist x t t) und y t. Wegen t ist t und damit Wegen x }{{} t t). }{{} y x) t) t t)) ist y x. Wegen y x ) t) t t) ) ist y x. t + t t t t t + t + t t + ) t ) Damit liegt der Kurvenpunkt kt) mit t [; ] in. b) Wir verschaffen uns zunächst einen Überblick über die Gestalt der Kurve k. Die zweite Koordinatenfunktion k : R R, k t) t, ist streng monoton fallend mit W k ein t R auf, nämlich für R; damit tritt jedes y R für genau und das dazugehörige x ist dann x t t) y y t t y, y) y ) y) y) + y y. Damit beschreibt k den nach links geöffneten Parabelbogen mit dem Scheitelpunkt, ) durch die beiden Ecken, ) und, ) des Dreiecks.

7 x y y B x Wegen x y x y y x y ± x ist der von der Kurve und der y Achse eingeschlossene Bereich { B x, y) R x und x y } x. Für seine Fläche A B gilt demnach aus Symmetriegründen A B x dx 3 [ [ 3 x) x) dx 3 ) ) 3 ) 3 ] ] 3 ) 3.