3 Trigonometrische Formeln

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1 Mthemtische Proleme, SS 018 Donnerstg 1.6 $Id: trig.tex,v /06/1 14:08:44 hk Exp $ 3 Trigonometrische Formeln 3. Verdoppelungs- und Hlierungsformeln Als Verdoppelungsformeln ezeichnet mn die Formeln für die Werte der trigonometrischen Funktionen ei verdoppelten Winkel, lso für sin(), cos() und tn(), und die Hlierungsformeln sind dnn entsprechend die Formeln für die hlierten Winkel. Mn knn ll diese Formeln ntürlich durch Spezilisieren der Additionstheoreme uf erhlten, lso etw sin() sin( + ) sin cos, cos() cos( + ) cos sin cos 1 1 sin oder tn() tn( + ) tn 1 tn, sie lssen sich er uch geometrisch n einer geeigneten Figur gewinnen. Wir etrchten einen Hlkreis mit Rdius 1 und Mittelpunkt M und ezeichnen den unteren Durchmesser dieses Hlkreises ls A. Dnn ist M der Mittelpunkt von A und es ist A. Weiter sei ein Winkel 0 < < π/ gegeen und trge diesen im Hlkreis ei A. ezeichnet den entstehenden Schnittpunkt mit unserem Hlkreis, so ht ds Dreieck A nch dem Stz von Thles.Stz 19 ei einen rechten Winkel. Die Seitenlängen in diesem Dreieck sind dnn in den Stndrdezeichnungen gegeen ls sin, A cos und c A. A M P 18-1

2 Mthemtische Proleme, SS 018 Donnerstg 1.6 Ziehen wir jetzt die Verindungsstrecke M, so entsteht ein weiteres Dreieck M. Der Winkel von M ei M ist der Mittelpunktswinkel der Seknte unseres Hlkreises und unser gegeener Winkel ist der Perepheriewinkel dieser Seknte ei A, der Winkel von M ei M ist nch dem Perepheriewinkelstz.Stz 0.() lso gleich. Fällen wir lso ds Lot von uf A und ezeichnen den Fußpunkt mit P, so sind sin() P und cos() MP d die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks MP ein Rdius unseres Hlkreises ist und dmit die Länge M 1 ht. Dem rechtwinkligen Dreieck AP entnehmen wir sin P sin(), lso sin() sin cos cos und wir hen eine geometrische egründung der Verdoppelungsformel des Sinus. Eenflls im Dreieck MP sehen wir cos AP 1 + MP 1 + cos() cos, lso cos() cos 1 und dies ist eine der eiden Verdoppelungsformeln des osinus. Aus der Verdopplungsformel knn mn nun die Hlierungsformeln herleiten, für jeden Winkel R hen wir ( cos cos ) cos 1 1 sin lso sin 1 cos und cos 1 + cos. Ist sin(/) 0 so können wir us dieser Gleichung die Wurzel ziehen und erhlten die Hlierungsformel des Sinus. D für 0 x π stets sin x 0 ist, hen wir sin 1 cos und für den osinus erhlten wir nlog für 0 π cos 1 + cos für π. Weiter wollen wir nun die Hlierungsformel des Tngens estimmen. Zunächst sei 0 < < π gegeen. Dnn ist tn sin cos 1 cos 1 + cos und erweitern wir den Rdiknden mit 1 cos eziehungsweise mit 1 + cos so ergeen sich 1 cos 1 + cos (1 cos ) sin eziehungsweise 1 cos 1 + cos sin (1 + cos ) 18-

3 Mthemtische Proleme, SS 018 Donnerstg 1.6 und wir hen tn 1 cos sin sin 1 + cos. D ll diese Funktionen ungerde sind, gilt diese Formel uch für π < < 0 und die zweite gilt sogr für 0, lso sind tn 1 cos für 0 < < π sin und tn sin 1 + cos für < π. 3.3 Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen In diesem Aschnitt wollen wir uns einige der exkt erechenren Werte von Sinus, osinus und Tngens nschuen und uns für diese uch jeweils eine geometrische Herleitung üerlegen. D die Werte für π/ direkt vorgegeen sind, eginnen wir mit 60. D h A A Wir etrchten ein gleichseitiges Dreieck A mit Seitenlänge c > 0. Nch Aufge (34) sind dnn uch lle Winkel in A gleich, lso γ und somit hen wir 3 π eziehungsweise π/3. Eenflls nch Aufge (34) stimmen in A die Seitenhlierende und die Höhe h uf A üerein, und der Stz des Pythgors 1.Stz 3 im rechtwinkligen Dreieck A liefert ( ) 3 + h, lso h. Nun können wir Sinus, osinus und Tngens in A lesen und erhlten sin π 3 cos π 3 tn π 3 h 1 3, 1 1, h

4 Mthemtische Proleme, SS 018 Donnerstg 1.6 Nun kommen wir zu einem Winkel von 45. Genuso wie sich die Werte des Winkels π/3 durch etrchtung eines gleichseitigen Dreiecks ergen, müssen wir diesml ein gleichseitiges Viereck untersuchen. Gegeen sei ein Qudrt AD der Seitenlänge > 0. Dnn ziehen wir die Digonle A und etrchten ds rechtwinklige Dreieck A. D dieses Dreieck ei gleichschenklig ist, sind die eiden Winkel ei A und nch Aufge (34) gleich, etw. Es folgt π/, lso ist π/4. Mit dem Stz des Pythgors 1.Stz 3 folgt für die Länge der Digonle A im Qudrt uch A, lso A. Dmit können wir unsere gesuchten trigonometrischen Werte in A lesen und es ergeen sich sin π π, cos 4 1 π, tn 4 1. Winkel von 36, lso π/5, sind etws komplizierter, dher stellen wir diese erst einml zurück und schuen uns 30 n. Genuso wie π/3 mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun htte und π/4 entsprechend mit einem Qudrt, werden wir für π/6 ein gleichseitiges Sechseck etrchten und eginnen dher mit einer Voremerkung üer gleichseitige n-ecke. Wir etrchten ein konvexes n-eck für eine ntürliche Zhl n 3 ufgefsst ls ein Tupel A 1... A n ei dem die Punkte A 1,..., A n den Rnd des n-ecks ufeinnderfolgend im Gegenuhrzeigersinn umlufen. Dieser Rnd setzt sich dnn us den n Knten A 1 A, A A 3,..., A n A 1 zusmmen, und mn nennt gleichseitig wenn diese lle diesele Länge hen, wenn lso : A 1 A A n A 1 gilt. Die Zhl heißt dnn die Kntenlänge des gleichseitigen n-ecks. Ein gleichseitiges n-eck muss nicht symmetrisch sein, zum eispiel muss ein gleichseitiges Viereck noch kein Qudrt sein, es knn sich uch um ein Prllelogrm hndeln. D A 18-4

5 Mthemtische Proleme, SS 018 Donnerstg 1.6 Dies ist llerdings uch die einzige Möglichkeit, d.h. ein gleichseitiges Viereck AD ist ein Prllelogrm. Um dies einzusehen ezeichne die Kntenlänge des Vierecks und sei der Winkel des Vierecks ei A. Die Dreiecke AD und D sind kongruent, lso ht unser Viereck uch ei den Winkel. Weiter ist AD ei A gleichschenklig, lso stimmen die Winkel dieses Dreiecks ei und D üerein und somit hen AD und D ei und D stets denselen Winkel. Insesondere ist + π und dmit schneidet die Gerde die eiden Seiten A und D eide im Winkel π, lso sind A und D prllel. Anlog sind uch AD und prllel, wir hen lso ein ttsächlich ein Prllelogrm. Durch die Kntenlänge und den Winkel ist ds gleichseitige Viereck is uf Kongruenz festgelegt. Ein gleichseitiges Viereck, und erst recht ein gleichseitiges n-eck, muss lso nicht symmetrisch sein, dies ist nur im Dreiecksfll n 3 so. Die symmetrischen gleichseitigen n-ecke nennen wir regulär. Definition 3.1 (Reguläre n-ecke) Sei n N mit n 3. Ein konvexes n-eck heißt dnn regulär wenn es gleichseitig ist und lle seine Innenwinkel gleich sind. Hen wir ein reguläres n-eck mit Innenwinkel, so ist n die Summe ller Innenwinkel lso liefert Aufge (30) uch n (n )π, d.h. n n In Üungsufge (39) werden sie zeigen ds ein gleichseitiges n-eck genu dnn regulär ist wenn es einen Umkreis esitzt, wenn es lso einen Kreis git der lle Eckpunkte des n-ecks enthält. Nch dieser Voremerkung kommen wir nun zu den Werten der trigonometrischen Funktionen für den Winkel π/6. Ntürlich könnten wir uch einfch die Hlierungsformeln des vorigen Aschnitts uf den schon erledigten Winkel π/3 nwenden, wir wollen uns hier er eine direkte geometrische Herleitung nschuen. π. Wir strten mit einem regulären Seckseck der Kntenlänge > 0. Zeichne den Umkreis des Sechsecks mit Mittelpunkt M und Rdius R > 0. Die 360 ei M werden in sechs gleiche Teile zerlegt und somit ht unser eingezeichnetes Dreieck M A ei M den Winkel π/6 π/3. Der Innenwinkel des Sechsecks ist nch unserer oigen Formel gleich 4π/6 π/3. Weiter ist ds Dreieck MA kongruent zu MA, und insesondere sind die Winkel dieser Dreiecke ei A gleich, d.h. MA ist die Winkelhlierende des Innenwinkels unseres Sechsecks ei A. Insesondere ht ds Dreieck MA ei A den Winkel / π/3, d.h. lle Winkel in diesem Dreieck sind gleich. Dmit ist M A ein gleichseitiges Dreieck und insesondere ist R, d.h. Umkreisrdius und Kntenlänge sind gleich. In diesem 18-5 M R γ h P A

6 Mthemtische Proleme, SS 018 Donnerstg 1.6 gleichseitigen Dreieck ilden wir nun die Höhe durch und wie schon früher gesehen ist diese gleich h ( 3/). D weiter die Höhe uch gleich der Winkelhlierenden von MA ei ist, erhlten wir ein ei P rechtwinkliges Dreieck MP mit Winkel γ / π/6 ei. Lesen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen in diesem Dreieck, so ergeen sich sin π 6 cos π 6 tn π 6 / 1, h 1 3, / h 1 3. Wie schon erwähnt knn mn diese Werte uch rechnerisch uf die schon ehndelten Werte zurückführen, entweder üer die Hlierungsformel sin π 1 cos π und nlog für osinus und Tngens, oder etws rffinierter sin π ( π 6 sin π ) sin π 3 cos π 3 cos π sin π 3 cos π 3 1. Den Winkel π/5 36 werden wir im nächsten Aschnitt ehndeln, erwrtungsgemäß hängt dieser eng mit dem regulären Fünfeck zusmmen. 3.4 Ds Fünfeck und der goldene Schnitt Wir werden im folgenden den Wert cos(π/5) mit einer direkten geometrischen Methode estimmen. Wir htten ereits emerkt ds dieser Wert mit dem regulären Fünfeck zusmmenhängt und will mn diesen Zusmmenhng direkt formulieren, so tucht der sogennnte goldene Schnitt uf. Wir sgen ds eine Strecke im goldenen Schnitt geteilt wird wenn ds Verhältnis der gesmten Strecke + zum größeren Teilstück gleich dem Verhältnis des großen Teilstücks zum Kleineren ist. Sind die Längen der eiden Teilstrecken lso > > 0, so soll + gelten. Dieses Verhältnis wird dnn mit dem Symol φ : / > 0 ezeichnet, und knn leicht usgerechnet werden. Die definierende Gleichung ist φ φ, 18-6

7 Mthemtische Proleme, SS 018 Donnerstg 1.6 lso hen wir φ φ + 1. Dies ist eine qudrtische Gleichung für φ mit den eiden Lösungen 1/ ± 1/4 + 1 (1 ± 5)/, lso ist wegen φ > 0 φ , Soll lso eine Strecke der Länge l > 0 im goldenen Schnitt ls l + mit > > 0 zerlegt werden, so ist φ und somit l + (1 + φ), lso sind l 1 + φ l l 0, l und 5 1 φ l 0, l. Dmit können wir jetzt zur etrchtung des regulären Fünfecks kommen. Gegeen sei ein reguläres Fünfeck der Kntenlänge > 0 und Ecken A 0,..., A 4. Wir htten und ereits im vorigen Aschnitt üerlegt ds der Innenwinkel unseres Fünfecks gleich d 3π/5 ist. Der Mittelpunkt M des Fünfecks ht von llen Ecken denselen Astnd R > 0 und der Kreis mit Mittelpunkt M und Rdius R ist γ der Umkreis des Fünfecks. Als Digonlen im A 1 Fünfeck ezeichnet mn die fünf Verindungsstrecken nicht enchtrter Ecken, diese hen γ A lle diesele Länge d > 0. Um d und R in Termen γ d von zu erechnen, estimmen wir zunächst einml einige weitere Winkel in unserem Fünfeck. A 0 M Ds Dreieck A A 0 A 1 ist ei A 1 gleichschenklig, lso sind seine Winkel ei A 0 und A gleich, etw γ. Dnn ist A 3 A 4 π + 3π 5 +, lso hen wir π/5. Weiter ht ds Dreick A 3 A 0 A dnn ei A den Winkel γ gegeen ls γ π/5 und dies ist eenso der Winkel dieses Dreiecks ei A 3. Nun verlängern wir die Seiten A 0 A 1 und A 3 A nch oen zu einem Schnittpunkt. Ds enstehende Dreieck A A 1 ht ei A 1 den Winkel π π/5 γ und ei A ist eenflls der Winkel π ( + γ) π/5 γ. Dmit stimmen die Dreiecke A 3 A 0 A und A 1 A in zwei Winkeln und einer Seite üerein sind lso nch.stz 6 kongruent, und insesondere ist A 1 A 3 A 0 d. 18-7

8 Mthemtische Proleme, SS 018 Donnerstg 1.6 Nun etrchten wir ds Dreieck A A 0, und in diesem ist der Winkel ei A gleich +γ 3π/5 und der ei A 0 wr. Im Dreieck A 1 A 0 A htten wir ei A 1 eenflls den Winkel und ei A 0 den Winkel, lso sind die Dreiecke A A 0 und A 1 A 0 A ähnlich. Nch.Stz 7 sind uch die Verhältnisse entsprechender Seiten dieser eiden Dreiecke gleich, lso insesondere + d d A 0A 1 + A 1 A 0 A A 0 A 0 A A 0A A 0 A 1 d, und dies edeutet ds d und im Verhältnis des goldenen Schnitts stehen. Dmit sind die Digonlen im Fünfeck ls d φ gegeen. Dmit sind im Dreieck A 0 A 1 A lle Seitenlängen eknnt und der osinusstz.stz 30 liefert + d d cos π ( φ φ cos π ) 5 und dies edeutet cos π 5 1 φ Die Werte von Sinus und osinus estimmen wir dnn rechnerisch, wegen ist zunächst und somit Schließlich ist cos π sin π 5 1 cos π sin π tn π 5 1 cos π (3 5) (3 + 5) (3 5) 6 5, d.h. tn π