Abitur 2011 G8 Abitur Mathematik Geometrie VI

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1 Seite Seite Abitur 0 G8 Abitur Mathematik Geometrie VI In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 7 ), B(6 7 ) und C( ) gegeben. Teilaufgabe a (4 BE) Weisen Sie nach, dass die Punkte A, B und C ein rechtwinkliges Dreieck festlegen, dessen Hypotenuse die Strecke [A B] ist und dessen kürzere Kathete die Länge 9 hat. Teilaufgabe f (7 BE) Der Umkreis des Dreiecks A B C und der Punkt S legen einen Kegel fest. Zeigen Sie, dass es sich um einen geraden Kegel handelt, der Mittelpunkt des Grundkreises also zugleich der Höhenfußpunkt des Kegels ist. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Kegels größer ist als das Volumen der Pyramide A B C S. Teilaufgabe b (6 BE) Alle Punkte C im Raum, die zusammen mit A und B ein zum Dreieck A B C kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise. Beschreiben Sie (z. B. durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise bezüglich der Strecke [A B] und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise. Das Dreieck A B C aus Aufgabe a ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide A B C S mit der Spitze S(, 5 4 6). Teilaufgabe c ( BE) Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Ebene E. Ermitteln Sie eine Gleichung von E in Normalenform. (mögliches Ergebnis: E : x + x x = 0 ) Teilaufgabe d (7 BE) Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante [B S] gegen die Ebene E sowie das Volumen V der Pyramide. (Teilergebnis: V = 6 ) Teilaufgabe e ( BE) Welche Lagebeziehung muss eine Gerade zur Ebene E haben, wenn für jeden Punkt P dieser Geraden die Pyramide A B C P das gleiche Volumen wie die Pyramide A B C S besitzen soll? Begründen Sie Ihre Antwort. Abitur Bayern 0 Geometrie VI

2 Seite Seite 4 Lösung Teilaufgabe a (4 BE) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 7 ), B(6 7 ) und C( ) gegeben. Weisen Sie nach, dass die Punkte A, B und C ein rechtwinkliges Dreieck festlegen, dessen Hypotenuse die Strecke [A B] ist und dessen kürzere Kathete die Länge 9 hat. Lösung zu Teilaufgabe a Länge eines Vektors Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = A B = B C = A C = a a = a a = a + a + = = 5 = 5 = = 44 = = = 8 = 9 Die kürzere Kathete hat die Länge 9. Nachweis - rechtwinkliges Dreieck Nachweis über den Satz des Pythagoras: Vektoren bestimmen: A B = B 6 5 A = 7 7 = 4 A C = C A = 7 = B C = C 6 8 B = 7 = 8 4 Länge der Seiten des Dreiecks A B C bestimmen: Erläuterung: Satz des Pythagoras In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt: a + b = c Die Umkehrung des Satzes ist auch gültig: Erfüllen die Längen der Seiten eines Dreiecks die obige Gleichung, so ist das Dreieck rechtwinklig. 5! = = Abitur Bayern 0 Geometrie VI

3 Seite 5 Seite 6 5 = 5 (wahre Aussage) Erläuterung: Kongruente Dreiecke C. Die Punkte A, B und C bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei Alternative Lösung Nachweis über das Skalarprodukt: A C B C = A C B C 8 8 = = 0 4 Kongruente Dreiecke sind deckungsgleiche Dreiecke, d.h. sie passen genau aufeinander. Aus einem gegebenen Dreieck gehen kongruente Dreiecke hervor, wenn man dieses dreht, verschiebt und/oder auch spiegelt. In dieser Aufgabe stellt man sich vor, dass sich das Dreieck A B C um die Seite [A B] dreht. Der Punkt C bewegt sich somit entlang eines Kreises mit Mittelpunkt auf der Seite [A B]. All die Dreiecke, die durch diese Rotation entstehen, sind kongruent zum Dreieck A B C. Ein weiteres kongruentes Dreieck entsteht wenn man das Dreieck A B C an der Mittelsenkrechten der Seite [A B] spiegelt. Dieses Dreieck kann dann wiederum auch gedreht werden. Teilaufgabe b (6 BE) Alle Punkte C im Raum, die zusammen mit A und B ein zum Dreieck A B C kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise. Beschreiben Sie (z. B. durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise bezüglich der Strecke [A B] und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise. Radius eines Kreises bestimmen Lösung zu Teilaufgabe b Lage eines Punktes Aus Teilaufgabe a: A B = 5, A C = 9, B C = Flächeninhalt des Dreiecks: A A B C = A C B C = 9 = 54 Flächeninhalt des Dreiecks mit der Höhe h über die Hypotenuse: A A B C = [A B] h 54 = 5 h h = 54 5 = 7, Der Radius des Kreises ist gleich der Höhe des Dreiecks über die Hypotenuse. Abitur Bayern 0 Geometrie VI

4 Seite 7 Seite 8 r = 7, Erläuterung: Vektorprodukt Teilaufgabe c ( BE) Das Dreieck A B C aus Aufgabe a ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide A B C S mit der Spitze S(, 5 4 6). Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Ebene E. Ermitteln Sie eine Gleichung von E in Normalenform. (mögliches Ergebnis: E : x + x x = 0 ) Lösung zu Teilaufgabe c Ebene aus drei Punkte A( 7 ), B(6 7 ), C( ) Richtungsvektoren der Ebene E (siehe Teilaufgabe a): 5 A B = 4, A C = A sei der Aufpunkt der Ebene. Ebenengleichung in Normalenform Normalenvektor n E A B A C = 5 4 der Ebene E aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen: Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a b zweier Vektoren a und b ist ein Vektor n, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Für die komponentenweise Berechnung gilt: a a b = a = 7 = 6 7 Normalenvektor vereinfachen: Erläuterung: Vereinfachen b b b a b b b a b a b a b Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen. Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt. Hier wird der Normalenvektor durch 6 geteilt. Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich. n E = = 7 Normalenform der Ebene E : Abitur Bayern 0 Geometrie VI

5 Seite 9 Seite 0 Erläuterung: Normalenform einer Ebene Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt P aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt. E : X n E = P n E Hier ( A ist Aufpunkt): B(6 7 ), S(, 5 4 6) n E = (Normalenvektor der Ebene E) A C = 9, B C = E : x + x x = 0 E : X = 7 E : x + x x = 0 Gesucht: Neigungswinkel α. Ansatz: Neigungswinkel ist gleich dem Schnittwinkel einer Geraden durch B und S mit der Ebene E. Teilaufgabe d (7 BE) Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante [B S] gegen die Ebene E sowie das Volumen V der Pyramide. (Teilergebnis: V = 6 ) Lösung zu Teilaufgabe d Winkel zwischen Gerade und Ebene Vektor B S bestimmen: B S = S B =, 5 4 Länge der Vektoren B S und n E 6 7 = bestimmen: 5, 5 7 Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a = a a = a + a + 5, 5 B S = 7 = 0, = 00, 5 n E = = = Gegeben (aus vorherigen Teilaufgaben): Abitur Bayern 0 Geometrie VI

6 Seite Seite Winkel α bestimmen: Erläuterung: Winkel zwischen Ebene und Gerade Erläuterung: Hesse-Normalenform der Ebene Die Hesse-Normalenform E HNF einer Ebene E entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene E mit dem Betrag des Normalenvektors n E. Beispiel: Der Winkel α zwischen einer Ebene E und einer Geraden g entspricht dem von 90 abgezogenen Winkel β zwischen dem Normalenvektor n E der Ebene und dem Richtungsvektor v der Geraden. Für den Sinus des Winkels α gilt dann: sin α = v ne v n E B S n E sin α = B S n E 5, 5 7 sin α = 00, 5 sin α = 6 00, 5 ( ) α = sin 6 00, 5 α 58 Abstand Punkt - Ebene Höhe h der Pyramide (entspricht dem Abstand der Spitze S zur Ebene E ) bestimmen: E : x + x + x 4 = 0 n E = n E = = E HNF : (x + x + x 4) = 0 E H N F : (x + x x ) = 0 Erläuterung: Abstand Punkt - Ebene Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes P in die Hesse-Normalenform E HNF der Ebene E (zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand d(p, E) des Punktes zur Ebene. Beispiel: E HNF : (x + x + x 4) = 0 P ( 6) d(p, E) = ( + + () 4) = 9 = h = d(s, E) = (, () ) = Volumen einer Pyramide Volumen der Pyramide bestimmen: Hesse-Normalenform E H N F der Ebene E aufstellen: Abitur Bayern 0 Geometrie VI

7 Seite Seite 4 Erläuterung: Volumen einer Pyramide Eine Pyramide mit Grundfläche G und Höhe h hat ein Volumen von: V = G h V = A A B C h V = ( ) A C B C h V = 9 = 6 Teilaufgabe e ( BE) Welche Lagebeziehung muss eine Gerade zur Ebene E haben, wenn für jeden Punkt P dieser Geraden die Pyramide A B C P das gleiche Volumen wie die Pyramide A B C S besitzen soll? Begründen Sie Ihre Antwort. Die Gerade ( g in der Skizze) muss parallel zur Ebene E verlaufen. Jeder Punkt P auf dieser Geraden hat den gleichen Abstand zur Ebene E. Dieser Abstand entspricht der Höhe der Pyramide. Teilaufgabe f (7 BE) Der Umkreis des Dreiecks A B C und der Punkt S legen einen Kegel fest. Zeigen Sie, dass es sich um einen geraden Kegel handelt, der Mittelpunkt des Grundkreises also zugleich der Höhenfußpunkt des Kegels ist. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Kegels größer ist als das Volumen der Pyramide A B C S. Lösung zu Teilaufgabe f Mittelpunkt einer Strecke Lösung zu Teilaufgabe e Lagebeziehung Gerade und Ebene Abitur Bayern 0 Geometrie VI

8 Seite 5 Seite 6 Lagebeziehung von Vektoren Vektor M S bestimmen: M S = S M =, 5 4, 5 0 = Erläuterung: Gerader Kegel Liegt ein gerader Kegel vor, so steht die Verbindungsstrecke zwischen Spitze und Mittelpunkt des Grundkreises (hier der Vektor M S) senkrecht zur Grundfläche (hier die Ebene E - A B ist ein Richtungsvektor) Prüfen ob der Vektor M S senkrecht zur Ebene E steht: Erläuterung: Thaleskreis Das Dreieck A B C ist bei C rechtwinklig. Der Umkreis (alle Ecken liegen auf dem Kreis) ist somit der Thaleskreis. Der Mittelpunkt M des Kreises ist also der Mittelpunkt der Hypotenuse [A B]. (im Allgemeinen ist der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) Mittelpunkt M des Umkreises (Thaleskreis) bestimmen: Erläuterung: Mittelpunkt einer Strecke Der Mittelpunkt M einer Strecke [A B] ist stets gegeben durch: M = ( A ) + B M = ( A ) + B M = 7 + M(, 5 0 ) 6 7 = =, 5 0 Erläuterung: Normalenvektor M S = Der Normalenvektor einer Ebene steht selbst senkrecht zur Ebene = 4 = 4 n E M S ist ein Vielfaches vom Normalenvektor n E. M S E M ist Höhenfußpunkt des Kegels Volumen eines Kegels Radius r des Kegels: Höhe h des Kegels: Volumen des Kegels bestimmen: r = A B = 5 = 7, 5 h = M S = = 44 = Abitur Bayern 0 Geometrie VI

9 Seite 7 Erläuterung: Volumen eines Kegels Das Volumen eines Kegels ist gegeben durch: V K e g e l = G h wobei G die Grundfläche ist und h die Höhe des Kegels. V Kegel = = r π h (7, 5) π 706, 86 (VE) Prozentualer Unterschied: V Kegel V Pyramide V Pyramide = 706, , 7 Das Volumen des Kegels ist um 7, % größer als das Volumen der Pyramide Abitur Bayern 0 Geometrie VI