Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

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1 Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr Christoph Schmoeger Dipl-Math Sebastia Schwarz WS 4/5 45 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Übugsklausur Aufgabe (3+3+4 Pukte) a) Zeige Sie, dass für x ud N gilt, dass k ( + x (k) ) x(+ ) x b) Utersuche Sie, ob der folgede Grezwert existiert ud bereche Sie ih we möglich c) Bestimme Sie alle x R, für die die folgede Potezreihe kovergiert ( ) (x ) a) Wir zeige die Aussage iduktiv Sei dazu x beliebig Iduktiosafag: Sei Es gilt ( + x (k) ) + x () + x ( + x) x x x + x x(+) x k Iduktiosschritt: Die Aussage gelte für ei N (Iduktiosvoraussetzug (IV)) Da gilt ( + ) + ( + x (k) ) k ( + x (k) ) ( + x (+) ) IV x(+ ) ( + x (+) ) x k BiFor (x (+) ) x x(+ ) x b) Laut Vorlesug ist die -te Wurzel mooto wachsed auf R + Wege

2 gilt demach Nach dem Eischürugssatz über die Kovergez vo Folge gilt also c) Der Kovergezradius der Potezreihe ist gegebe durch sup sup ( ) Da der Etwicklugspukt der Potezreihe ist, kovergiert diese also auf dem Itervall ( 3, 5 ) ud divergiert außerhalb des Itervalls [ 3, 5 ] Für x 3 gilt ( ) (x ) ) ( ) ( Wege divergiert diese Reihe ach dem Mioratekriterium Für x 5 gilt ( ) (x ) ( ) ( ) ( ) Da ( ) eie mooto fallede Nullfolge ist, kovergiert diese Reihe ach dem Leibitzkriterium Igesamt kovergiert die gegebee Potezreihe also geau da, we x ( 3, 5 ] Aufgabe ((+3)+(+3+) Pukte) a) Die Fuktio f : R R sei gegebe durch x cos(π si ( f (x) x )),x,,x (i) I welche x R ist f stetig? (ii) I welche x R ist f differezierbar? Gebe Sie dort die Ableitug f a b) Die Fuktio g : [, 5] R sei gegebe durch g(x) 6 x3 x + 5x 4log(x ) (i) Zeige Sie, dass g midestes eie Nullstelle besitzt (ii) Weise Sie ach, dass 7 x y g(x) g(y) 5 x y x,y [,5]

3 Hiweis: Fide Sie die Extrema vo g auf [,5] durch Betrachtug vo g (iii) Folger Sie u, dass g geau eie Nullstelle besitzt a) (i) I x ist f stetig als Kompositio der stetige Fuktioe x x, x x, x si(x), x πx, x x Für x gilt ebeso Somit ist f auf gaz R stetig f (x) f () x cos(π si (/x)) x } {{ } x (ii) I x ist f differezierbar als Kompositio differezierbarer Fuktioe (siehe obe) ud es gilt mit Produkt- ud Quotieteregel f (x) cos(π si (/x)) + x ( si(π si (/x))) π si(/x)cos(/x) ( /x ) cos(π si (/x)) + π si(π si (/x))si(/x)cos(/x) x Damit f i differezierbar wäre, müsste der Grezwert existiere Es gilt jedoch f (x) f () x f (x) f () x x cos(π si ( x )) Betrachte wir die Folge x π, so gilt x für ud cos(π si (/x )) cos(π si cos(π ), gerade, (π/)) cos(π ), ugerade Also existiert der obige Grezwert icht ud f ist somit i icht differezierbar b) (i) Es gilt g() log() > ud g(5) log(4) log(4) < 5 4 < Da g eie stetige Fuktio ist, liefert der Zwischewertsatz, dass g (midestes) eie Nullstelle besitzt (ii) g ist eie überall differezierbare Fuktio, womit der Mittelwertsatz für alle x,y [,5] ei ξ (x,y) liefert mit g(x) g(y) g (ξ) x y 3

4 Für die Ableitug g gilt g (x) x 4x x Nu brauche wir die (betragsmäßige) Extremwerte dieser Fuktio auf [,5] Da dieses Itervall kompakt ist ud g stetig, werde diese ageomme ud befide sich deshalb a de Radpukte oder a Stelle, a dee g (x) gilt (wir bemerke dazu, dass g differezierbar ist) Es folgt g (x) x (x ) (x 4)(x ) + 4 x(x 3) x oder x 3 Wege g () 5, g (5) 7, g (3) 9 folgt max x [,5] g (x) 5, mi x [,5] g (x) 7 ud deshalb, idem wir das Ergebis des Mittelwertsatzes ach obe ud ute abschätze, 7 x y g(x) g(y) 5 x y x,y [,5] (iii) Nutze wir die ebe gezeigte Ugleichug ud ehme a, dass g zwei Nullstelle x ud x mit x x besitzt, so gilt < 7 x x g(x ) g(x ), ei Widerspruch Somit hat g geau eie Nullstelle (da es ach (i) midestes eie besitzt) Aufgabe 3 ((4+3)+3 Pukte) a) Für N sei f : R R, x e x gegebe (i) Bestimme Sie alle x R, für die die Folge (f (x)) kovergiert ud gebe Sie im Falle der Kovergez de Grezwert a (ii) Utersuche Sie die Fuktioefolge (f ) auf gleichmäßige Kovergez auf de Itervalle [, ) ud [, ) b) Die Fuktio g : (, ) R sei gegebe durch g(x) log(x + ) Bereche Sie das Taylorpolyom T (g,) (zweite Grades, Etwicklugspukt ) ud zeige Sie, dass g(x) T (g,)(x) 8 3 x3 für alle x gilt a) (i) Für x > gilt x, also f (x) Für x gilt f (x) e für alle N 4

5 Für x (,) gilt x x, also f (x) e Für x gilt f (x) e für gerade ud f (x) e für ugerade, womit die Folge (f (x)) icht kovergiert Für x < gilt x k für k, also f k (x) für k (f (x)) hat also eie divergete Teilfolge ud ist deshalb diverget Isgesamt kovergiert (f ) also auf (, ) puktweise gege die Grezfuktio,x >, f (x) : e,x,, < x < (ii) Auf dem Itervall [, ) ist die puktweise Grezfuktio f icht stetig, weshalb die Kovergez icht gleichmäßig sei ka Für x [, ) gilt f (x) f (x) e x e wege der Mootoie der Expoetialfuktio ud der Tatsache, dass x y, we x y Also gilt sup f (x) f (x) e, x [, ) womit die gleichmäßige Kovergez gezeigt ist b) Die Fuktio g ist auf ihrem Defiitiosbereich uedlich oft stetig differezierbar ud es gilt g (x) x +, g 4 (x) (x + ), g (x) 6 (x + ) 3 Das Taylorpolyom zweite Grades vo g mit Etwicklugspukt ist gegebe durch T (g,)(x) g () () x g() + g ()x +! g ()x + x x x( x) für x > Nach dem Satz vo Taylor existiert zu jedem x ei ξ [,x] mit also g (ξ) 6 g(x) T (g,)(x) + g (ξ) x 3, 3! Da g positiv ud mooto falled ist auf [, ) x 3 g(x) T (g,) g (ξ) x x3 8 3 x3, 5

6 Aufgabe 4 ((+3)+(+3) Pukte) a) Bestimme Sie de Wert der folgede Itegrale (i) (ii) 3x + x 3 + x + 5 dx si 3 (x)cos 3 (x) dx b) Utersuche Sie, ob die folgede Grezwerte existiere ud bereche Sie diese gegebeefalls log(e + x ) cos (x) (i) x x (ii) (cos(x) + log(x + )) x x + a) (i) Der Itegrad ist stetig auf gaz R, womit das Itegral existiert Wir erkee, dass im Zähler die Ableitug des Neers steht Somit bereche wir direkt (alterativ über die Substitutio y x 3 + x + 5), dass 3x + x 3 + x + 5 dx [log(x3 + x + 5)] log(8) log(5) log( 8/5) (ii) Der Itegrad ist stetig auf gaz R, womit das Itegral existiert Etweder wir beutze si (x) cos (x) ud substituiere daach y cos(x), womit dy dx si(x), also si(x) dx dy Damit folgt si 3 (x)cos 3 (x) dx ( cos (x))cos 3 (x)si(x) dx Subst y 3 y 5 dy y 3 y 5 dy [ y4 4 y6 6 ] 4 6 Alterativ folgt auch mit partieller Itegratio ( 4 cos4 ist eie Stammfuktio vo sicos 3 ) si 3 (x)cos 3 (x) dx si (x) si(x)cos 3 (x) dx } {{ }} {{ } u v PI [ 4 si (x)cos 4 (x)] π } {{ } [ cos6 (x)] π + si(x)cos 5 (x) dx b) (i) Es gilt x log(e+x ) cos (x) log(e) cos() x x Zudem sid Zähler ud eer differezierbar ud die Ableitug des Neers, gegebe durch x, ist außerhalb 6

7 der icht Null Nach der Regel vo de L Hospital gilt also log(e + x ) cos (x) x x x 4x e+x + si(x)cos(x) x 4x falls der zweite Grezwert existiert Auch hier gilt wieder x + si(x)cos(x) e+x x x ud die Ableitug des Neers, gegebe durch, verschwidet irgeds Nach der Regel vo de L Hospital gilt also x 4x (e+x + si(x)cos(x) ) 4 4x 4x si (x) + cos (x) e+x (e+x ) + x x e, was damit auch der gesuchte Grezwert ist (ii) Für x (, π ) gilt cos(x) + log(x + ) > ud somit (cos(x) + log(x + )) x e x log(cos(x)+log(x+)) Durch die Stetigkeit der Expoetialfuktio reicht es, de Grezwert log(cos(x) + log(x + )) x + x zu bereche Es gilt dass x + log(cos(x) + log(x + )) log( + ) geau wie x + x Deshalb folgt mit der Regel vo de L Hospital, dass log(cos(x) + log(x + )) x + x x + I die Expoetialfuktio eigesetzt ergibt sich cos(x)+log(x+) ( si(x) + x+ ) x+ si(x) x + cos(x) + log(x + ) (cos(x) + log(x + )) x e e x +, 7