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1 U N I V E R S I T Ä T R E G E N S B U R G Naturwissenschaftliche Fakultät II - Physik Anleitung zum Physikpraktikum für Chemiker Versuch ww : Wechselstromwiderstand Dr. Tobias Korn Manuel März

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Grundlagen Kondensator Spule Zeigerdiagramme Vorbereitungsaufgaben 8 4 Durchführung Strom und Spannung an einem Kondensator Strom und Spannung an einer Spule Tiefpass Hochpass RLC-Kreis

3 2 GRUNDLAGEN 1 Einführung Passive elektrische Schaltungen enthalten Widerstände, Spulen (Induktivitäten) und Kondensatoren (Kapazitäten). Das Verhalten dieser Elemente unter dem Einfluss einer Wechselspannung ist die Grundlage für das Verständnis der Schaltungen. Die Beziehung zwischen Wechselstrom und Wechselspannung, d.h. der Wechselstromwiderstand von (Ohmschem) Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C sowie das Resonanzverhalten verschiedener Schaltungen, insbesondere des RLC-Kreises, sollen gelernt und erprobt werden. 2 Grundlagen 2.1 Kondensator Der Spannungsabfall U C an einem an eine Wechselspannungsquelle angeschlossenen Kondensator (Abbildung 1) ist gleich der Generatorspannung U G = U max cos(ωt): U C (t) = U max cos(ωt) (1) Der Spannungsabfall am Kondensator ist gegeben durch U C = q C (2) und damit q = CU C = CU max cos(ωt) = q max cos(ωt) (3) Die Stromstärke ist dann I(t) = dq dt = ωq max sin ωt = I max sin ωt (4) U G C U C Abbildung 1: An eine Wechselspannungsquelle angeschlossener Kondensator - 2 -

4 2 GRUNDLAGEN 2.2 Spule Mit Hilfe der Beziehung sin φ = cos(φ + π 2 ) lässt sich das darstellen als: I(t) = I max cos(ωt + π 2 ) (5) Das bedeutet Strom und Spannung sind um 90 phasenverschoben. Der Strom eilt hierbei der Spannung um eine Viertelperiode voraus. Physikalisch lässt sich das folgendermaßen verstehen: Die Ladung q am Kondensator ist proportional zum Spannungsabfall am Kondensator U C. Sie nimmt am stärksten zu wenn der Kondensator nicht geladen ist, also U C = 0 ist. Dann ist der Strom I = dq dt maximal. Die Beziehung zwischen den Maximalwerten von Strom und Spannung lässt sich auf eine Form wie bei einem Ohmschen Widerstand bringen: Dabei wird X C = 1 ωc I max = ω q max = ωc U max (6) = U max X C (7) als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet. Die momentane Leistungsaufnahme eines Kondensators ist gegeben durch P (t) = U(t)I(t) = U max I max cos(ωt) sin(ωt) (8) Daraus folgt mit T 0 sin(ωt) cos(ωt)dt = 0, dass die mittlere Leistungsaufnahme am Kondensator gleich Null ist. 2.2 Spule Der Spannungsabfall U L an einer an eine Wechselspannungsquelle angeschlossene Spule (Abbildung 2) ist gleich der Generatorspannung U G = U max cos(ωt): der Spannungsabfall an der Spule ist gegeben durch und damit U L = U max cos(ωt) (9) U L = L di dt (10) di = U max cos(ωt)dt (11) L - 3 -

5 2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme U G L U L Abbildung 2: An eine Wechselspannungsquelle angeschlossene Spule durch Integration erhält man die Stromstärke I(t) = U max L = U max ωl mit sin(φ) = cos(φ π 2 ) und I max = Umax ωl t 0 cos(ωt )dt (12) sin(ωt) (13) kann der Strom ausgedrückt werden als I(t) = I max cos(ωt π 2 ) (14) Das bedeutet dass Strom und Spannung an einer Spule um 90 phasenverschoben sind. Die Spannung eilt hierbei dem Strom um eine Viertelperiode voraus. Die Beziehung zwischen den Maximalwerten von Strom und Spannung lässt sich auf eine Form wie bei einem Ohmschen Widerstand bringen: I max = U max ωl Dabei wird X L = ωl als induktiver Blindwiderstand bezeichnet. Die Leistungsaufnahme an einer Spule ist (15) = U max X L (16) P (t) = U(t)I(t) = U max I max cos(ωt) sin(ωt) (17) und damit die mittlere Leistungsaufnahme wie beim Kondensator gleich Null. 2.3 Zeigerdiagramme In einem Wechselstromkreis sind die Spannungsabfälle an den einzelnen Elementen in der Regel zueinander phasenverschoben. Deshalb ist die Summe der maximalen Spannungs

6 2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme y U R ω t - δ x Abbildung 3: Zeigerdiagramm: Spannungsabfall an einem Widerstand abfälle an den einzelnen Komponenten im Allgemeinen nicht gleich der maximalen Generatorspannung. Zur Darstellung der Phasenbeziehung zwischen Spannung und Strom an Spulen, Kondensatoren und Widerständen eignen sich zweidimensionale Vektoren in sogenannten Zeigerdiagrammen. In Abbildung 3 repräsentiert der Zeiger U R den Spannungsabfall an einem Ohmschen Widerstand. Der Zeiger hat den Betrag RI max. Strom und Spannung sind in diesem Fall in Phase. Allgemein ist der Strom in einem Wechselstromkreis von der Zeit abhängig I(t) = I max cos(ωt δ) mit der Kreisfrequenz ω und einem Phasenwinkel δ. Der Spannungsabfall am ist dann also U R (t) = RI(t) = RI max cos(ωt δ) (18) Er entspricht also der x-komponente des Zeigers U R der mit der Winkelgeschwindigkeit ω gegen den Uhrzeigersinn rotiert. Werden mehrere Bauelemente in Reihe geschaltet, so addieren sich die Spannungen zur Generatorspannung. In den Zeigerdiagrammen können die einzelnen Zeiger vektoriell addiert werden womit die mühsame algebraische Addition von Sinus- und Cosinus-Funktionen vermieden wird. Die Vorgehensweise soll am Beispiel eines seriellen RLC-Kreises und eines RC-Tiefpassfilters veranschaulicht werden: Serieller RLC-Kreis: An einen seriellen RLC-Kreis liegt die Generatorspannnung U G = U G,max cos(ωt) an. Das Zeigerdiagramm der Spannungsabfälle des Kreises ist in Abbildung 4 dargestellt. Durch alle Bauelemente fließt der gleiche Strom I(t). Die Spannung, die am Widerstand abfällt, ist durch den Zeiger U R dargestellt, der die selbe Phase - 5 -

7 2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme y U L - U C U L U G ω t ωt δ ω t - δ U R x U C Abbildung 4: Zeigerdiagramm: Spannungsabfall an Widerstand, Spule, Kondensator und Generatorspannung wie der Strom und den Betrag U R = RI max hat. Der Spannungsabfall an der Spule wird durch den Zeiger U L mit Betrag U L = X L I max dargestellt. Er eilt dem Strom und damit U R wie oben beschrieben um 90 voraus. Analog ist der Spannungsabfall am Kondensator durch den Zeiger U C mit Betrag U C = X C I max dargestellt. Er ist dem Strom und damit U R um 90 hinterher. Die Summe der Spannungsabfälle ist gleich der Generatorspannung: Für den Betrag heißt das: U G = U R + U L + U C (19) U G,max = U R + U L + U C (20) = UR 2 + (U L U C ) 2 (21) = R 2 + (X L X C ) 2 I max (22) = Z I max (23) wobei Z = R 2 + (X L X C ) 2 als Impedanz des Stromkreises bezeichnet wird

8 2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme Die Zeiger U G und U R schließen den Winkel δ ein für den gilt: tan(δ) = U L + U C U R = X L X C R = X LI max X C I max RI max (24) Der durch U R repräsentierte Spannungsabfall am Widerstand ist in Phase mit dem Strom, für den sich folglich ergibt: I(t) = I max cos(ωt δ) = U G,max Z (25) cos(ωt δ) (26) Sind im Reihenschwingkreis die Blindwiderstände X L und X C gleich groß ist der Gesamtblindwiderstand X L X C = 0 und die Impedanz nimmt den kleinstmöglichen Wert R an. I max wird maximal und der Phasenwinkel δ wird null. Die Frequenz, bei der dies auftritt, wird als Resonanzfrequenz bezeichnet. RC-Tiefpass: In Abbildung 5 ist ein Tiefpassfilter abgebildet. Als Tiefpass bezeichnet man Filter, die Signalanteile mit Frequenzen unterhalb ihrer Grenzfrequenz annähernd ungeschwächt passieren lassen, Anteile mit höheren Frequenzen dagegen abschwächen. Im folgenden wird die Ausgangsspannung U A,max bestimmt: Der Spannungsabfall am Kondensator ist gemäß Gleichung 7: U A,max = X C I max (27) Für den Strom I max gilt nach Gleichung 23: I max = U E,max Z (28) R U E C U A Abbildung 5: Schaltplan eines Tiefpasses - 7 -

9 3 VORBEREITUNGSAUFGABEN wobei zur Impedanz hier nur R und X C beitragen. Damit ist die Ausgangsspannung: U A,max = X C U E,max R 2 + XC 2 (29) U E,max = (30) 1 + ω 2 (RC) 2 3 Vorbereitungsaufgaben 1. Was bedeuten hohe beziehungsweise niedrige Spannungsfrequenzen für einen Stromkreis mit Kondensator beziehungsweise Spule. 2. In Abbildung 6 sind zwei mögliche Schaltungen dargestellt, mit denen in einem Stromkreis gleichzeitig zeitlicher Strom- und Spannungsverlauf an einem Bauteil gemessen werden kann. Erläutere die Funktionsweise der Schaltungen und ihre Vor- und Nachteile. Warum kann in einem Messaufbau, in dem Frequenzgenerator und Oszilloskop auf Erde liegen, Variante b) nicht funktionieren? 3. Leiten Sie für einen RL-Hochpass die Formel für die Ausgangsspannung her (Einen RL-Hochpass erhält man wenn man den Kondensator eines RC-Tiefpasses durch eine Spule ersetzt). 4. Wie verhält sich die Ausgangsspannung U A,max eines RL-Hoch bzw. RC-Tiefpasses für die Grenzfälle kleiner und großer Frequenzen (ω 0, ω ) 5. Als Grenzfrequenz wird die Frequenz bezeichnet ab der die Ausgangsspannung weniger als 1 / 2 der Eingangsspannung beträgt. Bestimmen Sie für einen RL-Hoch und einen RC-Tiefpass die Formeln für die Grenzfrequenz. 6. Wie ist bei einem RL-Hoch- bzw. RC-Tiefpass das Verhältnis von Blindwiderstand zu Ohmschen Widerstand bei Erreichen der Grenzfrequenz? 7. Bestimmen Sie anhand eines Zeigerdiagramms den jeweiligen Phasenunterschied zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung bei der Grenzfrequenz 8. Berechnen Sie für einen RC-Tiefpass mit R = 470 Ω und C = 0, 1 µf die Grenzfrequenz. 9. Berechnen Sie für einen RL-Hochpass mit R = 470 Ω und L = 100 mh die Grenzfrequenz

10 4 DURCHFÜHRUNG AC + - R=0,47Ω - + AC +?? R (a) (b) Abbildung 6: Gleichzeitige Strom- und Spannungsmessung an einem Bauteil: (a) über einen sogenannten Shunt (b) über einen in Reihe geschalteten Messwiderstand 10. Zeichnen Sie einen seriellen RLC-Kreis in dem Sie gleichzeitig Strom und Generatorspannung messen können. Welche Variante aus Aufgabe 2 ist geeigneter? 11. Leiten Sie die Formel für die Resonanzfrequenz in einem seriellen RLC-Kreis her und berechnen Sie die Resonanzfrequenz für einen RLC-Kreis mit L = 100 mh und C = 0, 1 µf. 4 Durchführung 4.1 Strom und Spannung an einem Kondensator Betrachten Sie den zeitlichen Strom und Spannungsverlauf an einem Kondensator, an den eine Wechselspannung angelegt ist. Versuchen Sie die Phasenverschiebungen aus dem Einführungsteil zu bestätigen. Zeichnen Sie den dazu benötigten Schaltplan und skizzieren Sie qualitativ ihre Beobachtungen. 4.2 Strom und Spannung an einer Spule Wiederholen Sie die vorherige Messaufgabe mit einer Spule

11 4 DURCHFÜHRUNG 4.3 Tiefpass 4.3 Tiefpass Bauen Sie einen RC-Tiefpass auf. Tragen Sie das Verhältnis von Ausgangsspannung und Eingangsspannung, und die Phasendifferenz von Ausgangsspannung und Eingangsspannung in Abhängigkeit der Frequenz auf. Vergleichen Sie die Ergebnisse untereinander und mit den theoretischen Werten aus Vorbereitungsaufgabe Hochpass Wiederholen Sie Aufgabe 4.3 für einen RL-Hochpass. 4.5 RLC-Kreis Bauen Sie einen seriellen RLC-Kreis auf, in dem Sie gleichzeitig den Strom und die Generatorspannung messen können. Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz sowohl durch Messung der Phasenverschiebung von Generatorspannnung und Strom, als auch durch Strommessung. Vergleichen Sie die erhaltenen Werte untereinander und mit dem theoretischen Wert aus Vorbereitungsaufgabe

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