Termumformungen. Binomische Formeln und Faktorisierung Teil 1. Klasse 8. Datei Nr

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1 Term-Umformungen 5 ALGEBRA Terme Termumformungen Binomische Formeln und Faktorisierung Teil 1 Klasse 8 Datei Nr. 110 Diese Datei enthält nicht alle Lösungen. Auf der Mathematik-CD befinden sich alle Läsungen. Friedrich W. Buckel August 00 Internatsgymnasium Schloß Torgelow

2 Term-Umformungen 6 DATEI 1101 Inhalt 1 Was sind und was leisten Terme 1 Zusammenfassen und Ordnen von Termen 3 Ausmultiplizieren und Ausklammern 8 Multiplizieren von Klammern 13 5 Kompliziertere Aufgaben 16 DATEI Binomische Formeln Vorübung 5 6. Aufgaben Komplizierte Umformungen Umkehrung der binomischen Formeln Aufgaben Zusätzliches Ausklammern Aufgaben 3 DATEI Faktorisieren mit beliebigen Klammern Wiederholung Zerlegung in ( x+ a)( x+ b) Aufgaben Aufgaben Bemerkungen 67 DATEI Berechnung von und ( a+ b) n ( a+ b) 3 und ( a b) ( a+ b), ( a+ b) 5 und schlimmeres ( a+ b+ c) 80

3 Term-Umformungen Vorübung 6 Binomische Formeln Eine Grundfähigkeit für die Algebra ist das Multiplizieren von Klammer-Termen. Daher hier nochmals eine Vorübung: ( )( c + ) ac + a a+ b d = d+ bc + b d Man bildet also vier Produkte: Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert. Hier dazu nochmals eine anspruchsvollere Übung: ( a + 3b)( 6a b) = a 6a + a ( b) + 3b 6a + 3b ( b) oder schneller so: ( a + 3b)( 6a b) = a 6a a b + 3b 6a 3b b = 1a 8ab + 18ba 1b = 1a + 10ab 1b Es gibt nun drei Sonderfälle, bei denen das Ergebnis so wichtig ist, daß man es sich merken muß. Diesen drei Fällen gab man daher auch besondere Namen. Man nennt sie die binomischen Formeln. Weil sie so wichtig sind, muß man sie auch herleiten können und nicht nur wissen, wie sie aussehen: 1. Binomische Formel Es geht um die Berechnung des Terms ( a+ b), der ja eigentlich ( a+ b)( a+ b) heißt. Wir wenden einfach die Methode an, die man zur Multiplikation von Klammern immer anwendet: ( a+ b)( a+ b) = a + ab+ ba+ b = a + ab+ b Das war schon alles. Daher merken wir uns: ( ) a +b = a +ab+b In Worten: a und b werden jeweils quadriert, also a + b. Manche hören hier auf und vergessen, daß es einen dritten Summanden gibt: + ab, das doppelte Produkt! Doppeltes Pr odukt ( ) x + 3 = x + 6x + 9 Quadrat des 1. Summanden Quadrat des. Summanden

4 Term-Umformungen 6 Das war schon das erste Beispiel, das ausführlich so berechnet wird: (a) (x + 3) = x + x = x + 6x + 9 (b) ( 3x + ) = ( 3x) + 3x + = 9x + 1x + Erklärung: Jetzt steht statt a 3x da, also ist a = (3x) = 9x. Dann kommt das doppelte Produkt, also 3x mal und das ganze doppelt genommen, also nochmals mal, ergibt 1x. Schließlich ist b = also b =. (c) ( ) ( ) ( ) 5u + 7v = 5u + 5u 7v + 7v = 5u + 70uv + 9v. (d) ( 3 + z) = z + ( z) = 9 + 1z + z 3y + 1x = 3y + 3y 1x + 1x = 9y + 7xy + 1x. (e) ( ) ( ) ( ) Später folgen Übungen dazu.. Binomische Formel Es geht um die Berechnung des Terms ( a b), der ja eigentlich ( a b)( a b) heißt. Wir wenden einfach die Methode an, die man zur Multiplikation von Klammern immer anwendet und erhält: ( a b)( a b) = a + a ( b) + ( b) a+ ( b) = a ab+ b Das war schon alles. Daher merken wir uns: ( ) a- b =a -ab+b In Worten: a und b werden jeweils quadriert, also a + b. Manche hören hier auf und vergessen, daß es einen dritten Summanden gibt: - ab Man nennt ihn auch das doppelte Produkt! Dieses wird hier subtrahiert, weil es auch a b heißt. Einige Beispiele dazu: (e) ( x 1) = ( x) x 1+ 1 = 16x 8x + 1 (f) ( a 9b) = ( a) a 9b + ( 9b) = 16a 7ab + 81b (g) ( ) ( ) ( ) 3x 5y = 3x 3x 5y + 5y = 9x 30xy + 5y (h) ( ) ( ) x = x x + = x 8x + 16 (i) ( ) 10 8z = z + 6z Dies war jetzt ohne Zwischenrechnung!

5 Term-Umformungen 7 3. Binomische Formel Es geht um die Berechnung des Terms ( a+ b)( a b). Wir wenden wieder die Methode an, die man zur Multiplikation von Klammern immer anwendet und erhält: ( a+ b)( a b) = a + a ( b) + b a+ b ( b) = a ab+ ab b = a b Das war schon alles. Daher merken wir uns: ( )( ) a+ b a- b =a -b Jetzt gibt es also kein doppeltes Produkt! Einige Beispiele dazu: (j) ( 3a + b)( 3a b) = ( 3a) ( b) = 9a b (k) ( 3a b)( 3a + b) = ( 3a) ( b) = 9a b Hast Du entdeckt, daß die Aufgabe (k) identisch zu (j) ist: Es ist egal, ob die Klammer mit dem Minuszeichen die erste oder die zweite Klammer ist! (l) ( )( ) ( ) 8x 3 8x + 3 = 8x 3 = 6x 9 (m) ( x 5)( 5 + x) Achtung, jetzt muß man genauer hinsehen, denn die Klammern unterscheiden sich nicht nur um das Minuszeichen. Auch die Reihenfolge der Summanden ist anders. Daher muß man dies zuerst ändern. Man darf dies aber nur in der Plus-Klammer tun, denn dort gilt 5 + x = x + 5. ( )( ) ( )( ) ( ) x x = x 5 x + 5 = x 5 = 16x 5 (n) Vorsicht Falle: ( 3x z)( 3z + x) Diese Aufgabe paßt NICHT zur 3. binomischen Formel, denn in der zweiten Klammer stehen andere Summanden! Es müßte so heißen: ( 3x z)( 3x + z) = 9x 16z. Jetzt wurde auch wieder der Zwischenschritt weggelassen. Man macht ihn meistens im Kopf. (o) ( )( ) ( ) x 3 x + 3 = x 3 = x 9 (p) ( )( ) ( )( ) 7p + q q 7p = q + 7p q 7p = 16q 9p (r) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) xy xz yx + zx = xy xz xy + xz = xy xz = x y x z

6 Term-Umformungen 8 6. Aufgaben. Die Lösungen stehen in der CD-Version auf Seite 9/30 Hier nochmals die drei binomischen Formeln: ( ) a+b ( a-b ) ( + )( - ) = a +ab+b =a -ab+b a b a b = a -b (1) Wende die 1. binomische Formel an: (a) ( m+ n) (b) ( 3a + b) (c) ( 7x + 15) (d) ( 5c 6d) + (e) ( 15x + y) 1 3 (f) ( x + ) (g) ( 3x + ) 1 (h) ( 8b + a) 1 (i) ( + ) 3 () Wende die. binomische Formel an: 16 x x (a) ( 5a c) (b) ( 7a b) (c) ( 0x 5) (d) ( ab ) (e) ( a) 1 (g) ( x ) 1 3 (h) ( u v) (f) ( 1 a 1 b) (3) Wende die 3. binomische Formel an: x 6 3 (i) ( ) (a) ( c d)( c+ d) (b) ( 3a b)( 3a + b) (c) ( 5x + 1)( 5x 1) 1 1 (d) ( a )( a + ) (e) ( a b)( a + b) (f) ( x )( x + ) (g) ( 1 x+ 3)( 1 x 3) (h) ( 8u v)( 8u v) (i) ( 6 x)( 6 x) () Wende die geeignete binomische Formel an: (a) ( a 7b)( a 7b) (c) ( ) 3x x 5 1 (b) ( ) + (d) ( 8x y)( y + 8x)

7 Term-Umformungen Umformung komplizierterer Terme BEISPIELE: ( ) ( ) [ ] [ ] a b a+ b = a ab+ b a + ab+ b = a ab + b a ab b = ab Hier muß man mindestens den. Term nach der Anwendung der 1. Binomischen Formel in Klammern setzen, weil ja davor ein Minuszeichen steht. Es müssen also alle drei Summanden subtrahiert werden. Wer die Klammer vergißt subtrahiert nur den ersten Summanden. Dies ist falsch und würde so aussehen: ( a b) ( a+ b) = a ab+ b a + ab+ b = b (FALSCH!) Oder: ( ) ( )( ) [ ] 3x 3x 3x + = 9x x x 16 = 9x x x + 16 = x + 3 Hier wurde nur das Umformungsergebnis des. Terms in (eckige) Klammern gesetzt, weil nur dies subtrahiert wird. Ich verwende die eckigen Klammern nur, damit sie besser auffallen. Man darf statt dessen auch runde Klammern nehmen. Oder: ( a b ) [( a b)( a b) ] ( a a b b ) [ a b ] ( ) ( ) + + = + + = = a + a b + b a a b + b = a + a b + b a + a b b = a b. Auch hier war es wieder wichtig, für das Zwischenergebnis des. Terms eine Klammer zu setzen und dann für die Subtraktion alle Vorzeichen umzukehren (rot). AUFGABEN zum selbst lösen. (Die Lösungen stehen in der CD-Version auf Seite 3) (a) ( a b) ( a + b) ( a b) (b) ( u 8v)( u + 8v) ( 8v + u)( 8v u) (c) ( x ) ( x + ) (d) ( a+ b) ( a+ b) (e) ( a b) ( a b) (f) ( )( ) ( ) a b a + b a b (g) ( x+ ) ( x )

8 Term-Umformungen Umkehrung der Binomischen Formeln Wir haben gelernt, den Term ( a+ b) in den äquivalenten Term a + ab+ b umzuformen. Weißt Du noch, warum man von einem äquivalenten Term spricht und nicht vom gleichen Term, obwohl man doch schreibt ( ) a+ b = a + ab+ b? Nun zunächst sieht man auf einen Blick, daß die beiden Terme nicht gleich sind. Das Gleichheitszeichen bedeutet aber: Wenn man für a und für b Werte einsetzt, dann liefern beide Terme dieselben Werte. Man nennt daher diese beiden Terme gleichwertig oder vornehmer äquivalent. Unser Ziel ist es, zu üben, daß man auch den Term a + ab+ b zurückverwandeln kann in den äquivalenten Term ( a+ b). Nun hier ist das noch leicht, weil man die erste binomische Formel gelernt hat und daher sofort erkennt, die das Ergebnis aussehen muß. Doch wie ist es mit dieser Umformung: ( ) x+ 3 = x + 6x+ 9. Würdest Du erkennen, daß man auch x + 6x+ 9 durch ( x+ 3) ersetzen kann? Schauen wir uns noch einmal an, welche Merkmale es dafür gibt: Doppeltes Pr odukt ( ) x + 3 = x + 6x + 9 Quadrat des 1. Summanden Quadrat des. Summanden Nach diesem Schema ist es auch einfach, den Prozeß umzukehren. Wir geben vor x + 6x+ 9 und müssen erkennen: x ist das Quadrat des 1. Summanden, also lautet dieser x. 9 ist das Quadrat des. Summanden, also lautet dieser 3. 6x müßte dann das doppelte Produkt dieser beiden Summanden sein. Das muß kontrolliert werden: x 3 = 6x Stimmt!. Also gilt x + 6x+ 9 = ( x+ 3). Aufgabe: Versuche dasselbe mit x 16x+ 6. Wende auch diese Drei-Schritt-Methode an:

9 Term-Umformungen 3 Lösung: x 16x+ 6=? x 16x + 6 Drei-Schritt-Methode : 1. x ist das Quadrat von x. 6 ist das Quadrat von 8 x8 = 16x Doppeltes Produkt 3. Kontrolle des doppelten Produkts: x 8 = 16x. x 8 ( x 8) Dies ist tatsächlich der mittlere Summand. Also gilt: x 16x+ 6 = ( x 8) Aufgabe: 36x + 1x + 1 =? Drei-Schritt-Methode : 1. Schritt: 36x ist das Quadrat von 6x. Schritt: 1 ist das Quadrat von 1 3. Schritt: Kontrolle des doppelten Produkts: 6x 1= 1x. Dies ist tatsächlich der mittlere Summand. Also gilt: 36x + 1x + 1 = ( 6x + 1) Aufgabe: 9x + 10x + 6 =? Drei-Schritt-Methode : 1. Schritt: 9x ist das Quadrat von 7x. Schritt: 6 ist das Quadrat von 8 3. Schritt: Kontrolle des doppelten Produkts: 7x 8 = 11x. Dies ist aber nicht der mittlere Summand. Hier haben also einen Term, der sich nicht als Klammer-Quadrat-Term darstellen läßt! Wir sehen, wie wichtig der 3. Schritt, also die PROBE ist!!!!!! Ich verrate: Es gilt 9x + 10x + 6 = ( 7x + )( 7x + 16) Doch dies überfordert uns an dieser Stelle noch!

10 Term-Umformungen 35 Aufgabe: a ab + b =? Jetzt muß man erkennen, daß das vermeintliche doppelte Produkt ein Minuszeichen enthält, also kann nur die zweite binomische Formel in Frage kommen. Versuchen wir unsere Drei-Schritt-Methode: 1. Schritt: a ist das Quadrat von a. Schritt: b ist das Quadrat von b 3. Schritt: Kontrolle des doppelten Produkts: a b ab =. Stimmt, also gilt a ab + b = ( a b) Aufgabe: 5u 60uv + 36v =? Drei-Schritt-Methode: 1. Schritt: 5u ist das Quadrat von 5u. Schritt: 36v ist das Quadrat von 6v 3. Schritt: Kontrolle des doppelten Produkts: 5u 6v = 60uv. Stimmt, also gilt 5u 60uv + 36v = ( 5u 6v) Aufgabe: 16x 0x + 16 =? Drei-Schritt-Methode: 1. Schritt: 16x ist das Quadrat von x. Schritt: 16 ist das Quadrat von 3. Schritt: Kontrolle des doppelten Produkts: x = 3x. Jetzt stimmt diese Probe nicht! Es liegt also kein Klammer-Quadrat-Term vor! Es sei wieder verraten, daß dies gilt: 16x 0x + 16 = ( x )( x 8)

11 Term-Umformungen 36 Aufgabe: 16x 0x 5 =? VORSICHT FALLE. Wer jetzt nicht auf Vorzeichen achtet, macht einen Fehler im. Schritt: Der 3. Summand lautet nämlich nicht 5 sondern - 5 und kann damit kein Quadrat sein! ACHTUNG: Der erste und der dritte Summand müssen positiv sein, sonst sind sie keine Quadratzahlen! Aufgabe: 16x 5 =? Jetzt entdeckt man, daß nur noch zwei Summanden vorhanden sind. Dazu kann nur die dritte binomische Formel passen: ( a+ b)( a b) = a b oder in umgekehrter Reihenfolge: a b = ( a+ b)( a b) MERKE: Die dritte binomische Formel wird dann anwendbar, wenn der Term die Differenz zweier Quadratzahlen ist Und das klappt hier: 16x 5 =? 1. Schritt: 16x ist das Quadrat von x. Schritt: 5 ist das Quadrat von 5 Also gilt: 16x 5 = ( x + 5)( x 5) Noch fünf Beispiele zum Anschauen und Überprüfen : 36x 81= ( 6x + 9)( 6x 9) 1u 5v = ( 1u + 5v)( 1u 5v) 1 16z = ( 1+ z)( 1 z) ( )( ) b c = b+ c b c r + 9s läßt sich nicht umformen, weil der Term eine Summe und keine Differenz ist! Die dritte binomische Formel benötigt 16r 9s!

12 Term-Umformungen 37 AUFGABEN Die Lösungen stehen in der CD-Version auf Seite 38 Ersetze den gegebenen Term durch einen äquivalenten Term, wende eine der drei binomischen Formeln in ihrer Umkehrung an. (a) (c) (e) (g) (i) (k) x + 8x+ 16 (b) z 0z (d) 16r + 0rs + 5s (f) 36a + b ab (h) 3 6 u + 1u v + 9v (j) a 16b (l) 9x + 30x y 560y u + 1uv + 6v 100x 10x x x z + z x 1

13 Term-Umformungen Zusätzliches Ausklammern Schauen wir uns zwei Beispiele an, dann erkennt man, was gemeint ist: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 x + 5 = 6 x + 10x + 5 = 6x + 60x x 7 = 5 x 8x + 9 = 0x 10x + 5 Beide Beispiele sind ein Produkt aus einem Faktor und einem binomischen Term. Der Faktor verändert beim Ausmultiplizieren das Ergebnis so stark, daß man nun Schwierigkeiten bekommt, wenn man die Aufgabe umkehren soll. Schauen wir uns das doch genauer an: 6x + 60x soll in ein Produkt zerlegt werden. Wir wissen hier schon, wie das Ergebnis aussehen wird: 6( x+ 5). Merken wir uns gleich auch noch den mathemathischen Fachausdruck: Der Term soll faktorisiert werden. Wir erweitern unsere bisherige Drei-Schritt-Methode nun zu einer Vier-Schritt-Methode: 1. Schritt: 6x ist kein Quadrat, also können wir keine der binomischen Formeln direkt anwenden. Suchen eines möglichst großen Faktors, der in allen drei Summanden enthalten ist. Dieser wird dann ausgeklammert. Hier muß man die Zahl 6 finden: 6x + 60x = 6 ( x + 10x + 5) Nun folgt die Umwandlung des Klammerterms mit der 1. Binomischen Formel:. Schritt: x ist das Quadrat von x 3. Schritt: 5 ist das Quadrat von 5. Schritt; Kontrolle des doppelten Produkts: x 5 = 10x stimmt. Ergebnis: 6x + 60x = 6 ( x + 10x + 5) = 6 ( x + 5) Oder das andere Beispiel: 0x 10x + 5 =? 1. Schritt: Ausklammern des Faktors 5: 0x 10x + 5 = 5 x 8x + 9. Schritt: x ist das Quadrat von x 3. Schritt: 9 ist das Quadrat von 7. Schritt: Kontrolle des doppelten Produkts: x 7 = 8x: Stimmt! ( ) Ergebnis: ( ) ( ) 0x 10x + 5 = 5 x 8x + 9 = 5 x 7.

14 Term-Umformungen 0 Ein neues Beispiel: ab + 1ab + 18a =? Vier-Schritt-Methode 1. Schritt: Ausklammern des Faktors a: ab + 1ab + 18a = a b + 6b + 9. Schritt: b ist das Quadrat von b 3. Schritt: 9 ist das Quadrat von 3. Schritt: Kontrolle des doppelten Produkts: b3 = 6b: Stimmt! ( ) Ergebnis: ab 1ab 18a a( b 6b 9) a( b 3) Oder diese Aufgabe: 8a c + + = + + = +. 75b c =? Vier-Schritt-Methode 1. Schritt: Ausklammern des Faktors 3c : 8ac 75bc = 3c ( 16a 5b ). Schritt: 16a ist das Quadrat von a 3. Schritt: 5b ist das Quadrat von 5b.. Schritt: Entfällt. Da kein doppeltes Produkt vorliegt, wird die 3. Binomische Formel zur Anwendung gebracht: Ergebnis: 8ac 75bc 3c ( 16a 5b ) 3( a 5b)( a 5b) Eine schwere Aufgabe mit Brüchen: 9 x 6x+ =? = = +. Hier erhebt sich die Frage, was man denn da ausklammern soll. Hier hilft ein alter Trick weiter. Der lautet: Beseitige das was stört! Und hier stört der Bruch 9. Beseitigen bedeutet bei uns ausklammern. Ja und ausklammern setzt voraus, daß dieser Bruch auch überall steht. Brüche kann man bekanntlich manipulieren: Man kann sie etwa Erweitern, und man kann sie sogar erzeugen, wenn sie nicht da sind. So kann man aus der Zahl den Bruch 16 machen, und aus 6 den Bruch. Schreiben wir dies in unseren Term, dann erhält man folgende Umformung: x 6x+ = x x+ Jetzt erkennt man, daß man den Bruch 1 ausklammern kann. 9 Zahl 9 ist kein Teiler der 16! geht nicht, denn die Und hier nun die komplette Lösung der Faktorisierungsaufgabe:

15 Term-Umformungen 1 ( ) ( ) x 6x+ = x x+ = 9x x+ 16 = 3x Die Kontrolle des doppelten Produkts bringt 3x = x, also eine Bestätigung. Noch eine Bruchaufgabe: 1x 75 15x + = Man erkennt, daß man zunächst überall Viertel schreiben sollte, damit man diese dann auch wieder ausklammern kann: = + 1x 15x x x Nun verlangt der erste Schritt die Suche nach einem möglichst großen Faktor zum Ausklammern. Hier kann man Klar Viertel ausklammern, aber dann sollte man in den drei Zählern noch den gemeinsamen Faktor 3 entdecken. Also klammern wir 3 aus: ( ) 1x 15x + = x x + = 16x 0x + 5 Nun erkennen wir die Quadrate von x und 5 und verwenden die. Binomische Formel: ( ) ( ) 1x 15x + = x x + = 16x 0x + 5 = x Die Kontrolle des doppelten Produkts bringt: x 5 = 0x Und jetzt haben wir etwas ganz Wichtiges erlebt: Nämlich die Gewißheit, daß man die Probe machen muß. Denn hier stimmt sie nicht. Wie in der letzten Klammer müßte - 0x stehen, dann wäre unsere Faktorisierung möglich geworden. Stellen wir noch die Zusatzfrage, wie man die Aufgabe im. Summanden ändern muß, damit die Faktorisierung gelingt. Nun, dann müssen wir die 0x durch 0 x ersetzen und so rechnen: ( ) Übe diese Beispiele mehrmals! 16x 0x + 5 = 1x 30x

16 Term-Umformungen ( ) ( ) x 6x+ = x x+ = 9x x+ 16 = 3x Die Kontrolle des doppelten Produkts bringt 3x = x, also eine Bestätigung. Noch eine Bruchaufgabe: 1x 75 15x + = Man erkennt, daß man zunächst überall Viertel schreiben sollte, damit man diese dann auch wieder ausklammern kann: = + 1x 15x x x Nun verlangt der erste Schritt die Suche nach einem möglichst großen Faktor zum Ausklammern. Hier kann man Klar Viertel ausklammern, aber dann sollte man in den drei Zählern noch den gemeinsamen Faktor 3 entdecken. Also klammern wir 3 aus: ( ) 1x 15x + = x x + = 16x 0x + 5 Nun erkennen wir die Quadrate von x und 5 und verwenden die. Binomische Formel: ( ) ( ) 1x 15x + = x x + = 16x 0x + 5 = x Die Kontrolle des doppelten Produkts bringt: x 5= 0x Und jetzt haben wir etwas ganz Wichtiges erlebt: Nämlich die Gewißheit, daß man die Probe machen muß. Denn hier stimmt sie nicht. Wir In der letzten Klammer müßte - 0x stehen, dann wäre unsere Faktorisierung möglich geworden. Stellen wir noch die Zusatzfrage, wie man die Aufgabe im. Summanden ändern muß, damit die Faktorisierung gelingt. Nun, dann müssen wir die 0x durch 0 x ersetzen und so rechnen: ( ) Übe diese Beispiele mehrmals! 16x 0x + 5 = 1x 30x

17 Term-Umformungen Aufgaben Faktorisiere die folgenden Terme, indem du zuerst ausklammerst und dann eine binomische Formel anwendest. Die Lösungen stehen in der CD-Version auf Seite 3/ (a) (c) 3x + x + 8 (b) 3 3x 18x + 7x (d) 8x 0x x + 08x + 338x (e) 1 x x+ 8 (f) 5 3x 10x + 3 (g) (i) x 9 81 x 16 x y + + (h) (j) y x z 9 + 1z u uv+ v 8 3 Ersetze das Kästchen durch eine Zahl, so daß man ohne Ausklammern auf eine binomische Formel kommt: (k) (m) (o) x 9x + x+ (l) 7x + (n) x (p) 16x 1 1 x 3 9u + 0x + x+ + 16v Ersetze das Kästchen durch eine Zahl, so daß man mit vorherigem Ausklammern auf eine binomische Formel kommt: (q) (s) 50x 6x + 60x + (r) + 80x + (t) 0x 10x 100x + 56x + (u) 1 x + x+ (v) 3x + x + (w) (y) x 3x + (x) 8x (z) x 10 3 x+ x Die Lösungen stehen in der CD-Version auf Seite 3 Die Fortsetzung folgt in der Datei 1103.