Übungen zu Theoretischer Mechanik (T1)

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1 Arnold Sommerfeld Center Ludwig Maximilians Universität München Prof. Dr. Viatcheslav Mukhanov Sommersemester 08 Übungen zu Theoretischer Mechanik T Übungsblatt 8, Besprechung ab Aufgabe 8. Lineare Schwingungen Ein mathematisches Pendel der Masse m und der Länge l ist auf einem beweglichen Aufhängepunkt befestigt. Es wirke das Erdschwerefeld. Der Aufhängepunkt Masse M kann sich reibungsfrei entlang eines Kreises Radius R bewegen, siehe Abbildung. Sämtliche Bewegung ist nur in einer vertikalen Ebene möglich. Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen der kleinen Schwingungen um die Gleichgewichtslage Im Grenzfall M 0, geben Sie die allgemeine Lösung der linearen Bewegungsgleichungen an. Figure : Abbildung : Pendel mit beweglichem Aufhängepunkt. Hinweis: Als verallgemeinerte Koordinaten verwenden Sie den Winkel φ und die Lage x des Aufhängepunktes. Führen Sie die harmonische Näherung schon in der Lagrangefunktion aus. Wir berechen zuerst die Lagrangefunktion und behalten nur Terme bis quadratischer Ordnung. Die Ruhelage ist φ 0 und x 0. Die Position x m, z m der Masse m berechnet sich aus der Position x, z der Masse M wie folgt: Ferner gilt die Zwangsbedingung x m x + l sin φ x + lφ + Oφ 3, z m z l cos φ l + z + l φ + Oφ4 Damit z R R x x R + Ox4 3 z m x R + lφ l. 4

2 Die Lagrangefunktion ohne Einbeziehung der Zwangsbedingungen ist L m ẋ m + żm + M ẋ + ż mgz m Mgz. 5 Nach Einsetzen der obigen Beziehungen ist die Lagrangefunktion nur noch ein Funktional von φ und x. Terme höher als quadretisch werden weggelassen. L m ẋ + l φ + M Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind mit X ẋ mg x R mgl φ Mg x R m + M ẋ + mlẋ φ + m l φ m + Mg x φ mgl R. 7 x, K φ 6 KẌ + V X 0 8 m + M ml g m+m ml ml, V R mgl Mit dem Ansatz Ẋ i λx berechnen sich die Eigenfrequenzen ω ±i λ als Nullstellen der charakteristischen Gleichung detv λk 0 0 Ausgeschrieben lautet diese Gleichung g m+m R 0 det λm + M λml λml mgl λml [m + M g R m + Mλg + l R + λ Ml g m + M R λ mlg lλ λ ml ] ml. Die Lösungen sind λ, g m + MR + l ± m + M MlR R + l 4m + MMlR Offensichtlich sind beide λ, reell und positiv. 3 Wir können nicht einfach im gerade berechneten Ergebnis M Null setzen, da durch M geteilt wird und die Frequenz singulär wird. Wir beginnen erneut in der Lagrangefunktion 5 und setzen hier M 0. Dies liefert mẋ L + mlẋ φ + m l φ mg x φ mgl R, 4 und die linearen Bewegungsgleichungen haben die folgende Form, ẍ + l φ g R x, ẍ + l φ gφ. 5 Damit eine Lösung möglich ist, muss gφ g x, 6 R bzw. x Rφ. D.h. wir haben nur einen Freiheitsgrad im System. Einsetzen liefert φ g φ. 7 R + l Das Pendel schwingt, also ob es an einem Faden der Länge l + R aufgehnängt wäre. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen ist g φt C cos ωt + C sin ωt, ω, xt Rφt. 8 R + l

3 Aufgabe 8. Hamilton-Formalismus I: Zentralkraft Ein Faden der Länge l läuft durch ein Loch in einer reibungsfreien horizontalen Platte. An seinen beiden Enden sind Massen m und m befestigt. Die Masse m bewegt sich frei auf der horizontalen Platte, während m immer senkrecht im Schwerefeld hängt. Der Abstand von m zum Loch sei r mit r < l siehe Abbildung. Zur Zeit t 0 bewegt sich die Masse m mit einer Geschwindigkeit v 0 senkrecht zum Faden, während der Abstand zum Loch r 0 ist. Wie lauten in den Polarkoordinaten r, θ die Lagrangefunktion und die Hamilton-Funktion? Geben Sie die Hamilton schen Bewegungsgleichungen für dieses System an. Geben Sie zwei unabhängige Erhaltungsgrößen an. Welche Werte haben diese Erhaltungsgrößen für die angegebenen Anfangsbedingungen? Figure : Abbildung : Verbundene Massen Die Höhe der Masse m ist l r. Die Geschwindigkeit der Masse m ist v ṙ + r θ. Die Lagrangefunktion ist also L m + m ṙ + m r θ + m g l r. 9 Die Konstante l darf weggelassen werden. Die Hamilton-Funktion bestimmen wir wie folgt: Die kanonischen Impulse sind p r L ṙ m + m ṙ, Wir müssen nun die Geschwindigkeiten durch die Impulse ausdrücken: p θ L θ m r θ. 0 ṙ und die Hamilton-Funktion berechnen, ] H p r, r, p θ, θ [p r ṙ + p θ θ L Die Hamilton schen Gleichungen sind: p r m + m, θ p θ m r ṙ..., θ... p r m + m + p θ m r + m gr l. dr dt H p r, p r m + m dθ dt H p θ p θ m r, dp r dt H r p θ m r 3 m g; 3 dp θ dt H 0. θ 4 Erhaltungsgrößen sind offensichtlich p θ und die Gesamtenergie E H: p θ m r θ const, H p r m + m + p θ m r + m g r l const. 5 Die Interpretation von p θ ist die z-komponente des Drehimpulses, p θ L z. Am Anfang ist r r 0, und die Komponente der Geschwindigkeit orthogonal zum Faden r θ v 0, t0

4 die Komponente der Geschwindigkeit parallel zum Faden ṙ t 0 0. Dann sind die Anfangsbedingungen für die Hamilton schen Variablen r 0 r 0, θ 0 0, p r 0 0, p θ 0 m r θ m r 0 v 0. 6 t0 Deshalb sind die Werte der Erhaltungsgrößen p θ L z m r 0 v 0 E H m v 0 + m g r 0 l. 7 Die Konstante l darf auch weggelassen werden. Aufgabe 8.3 Hamilton-Formalismus II Ein Teilchen der Masse m ist durch einen masselosen und undehnbaren Stab der Länge l an einem Ring der Masse M verbunden. Der Ring kann sich entlang eines festen und unendlich langen Drahtes bewegen siehe Abbildung 3. Die Schwerkraft ist zu vernachlässigen. Die Bewegung der Masse m ist dreidimensional. Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion, die Hamilton-Funktion und die Hamilton schen Bewegungsgleichungen Bestimmen Sie die Erhaltungsgrößen. Figure 3: Abbildung 3: Zwei Massen an einem Stab gebunden. Wir wählen die kartesischen Koordinaten so, dass der Draht entlang der z-achse ist. Dann seien die verallgemeinerten Koordinaten z, θ, φ so, dass die Masse M an der Stelle 0, 0, z ist und die Winkel θ, φ die Kugelwinkel für den Stab sind. Dann ist die Masse m an der Stelle Die Lagrangefunktion ist deshalb Die Berechnung ergibt Die verallgemeinerten Impulse sind: x m, y m, z m l sin θ cos φ, l sin θ sin φ, z + l cos θ 8 L Mż + m ẋ m + ẏ m + ż m. 9 L M + m ż mż θl sin θ + ml θ + φ sin θ. 30 p z M + m ż m θl sin θ 3 p φ ml φ sin θ 3 p θ ml θ mżl sin θ 33

5 Wir können die Zeitableitungen durch die Impulse ausdrücken: ż M + m cos p z + p θ sin θ 34 θ l l θ pθ M + m M + m cos θ l m + p z sin θ 35 p φ φ ml sin θ. 36 Somit ist der Hamiltonian zu berechnen. Ein Vergleich mit 30 liefert damit folgt H L. Setzen wir dann ż, θ, φ in L ein: H H p z, z, p θ, θ, p φ, φ p z ż + p θ θ + pφ φ L 37 M + m cos θ Die Bewegungsgleichungen sind ṗ z H z 0, ṗ φ H φ 0, ṗ θ H θ M + m cos θ ż H p z + pθ l sin θ p z φ H p φ θ H p θ l p z ż + p θ θ + pφ φ L, 38 p z + p p θ z sin θ + p θ M + m l l m + p φ ml sin θ p θ p z cos φ + mh cos θ sin θ + p φ cos θ l ml sin 3 θ M + m M + m cos θ, 4 M + m cos θ, 43 p φ ml sin θ p θ M+m l m 44 + p z sin θ M + m cos. 45 θ Die Erhaltungsgrößen sind H, p z Gesamtimpuls in z-richtung und p φ Drehimpuls um den Draht. Es ist einfach zu sehen, dass diese Impulse infolge der Hamilton schen Gleichungen konstant bleiben. Aufgabe 8.4 Poisson-Klammern In einem System treten L x und L y als Erhaltungsgrößen auf. Bestimmen Sie weitere Erhaltungsgrößen durch Anwendung der Poisson-Klammern. Nehmen Sie zusätzlich an, dass auch p z in dem System erhalten ist. Welche weitere Erhaltungsgrößen folgen daraus? Die Definition der Poisson-Klammer ist {f, g} k [ f q k und die Komponenten des Drehimpulses L r p sind f ], 46 p k p k q k L x yp z zp y, L y zp x xp z, L z xp y yp x. 47 [ f q k f q k p k ], Bemerkung: Die Definition der Poisson-Klammern in Landau/Lifshitz ist {f, g} k p k was ein totales Minuszeichen gegenüber der obigen Definition produziert. Die Musterlösung orientiert sich an Gl. 46. Wenn L x und L y erhalten sind, dann ist auch {L x, L y } L z erhalten. Weitere Größen bestehen nicht, weil die Poisson schen Klammern zurück zu L x und L y führen. Wir berechnen {L x, p z } p y und {L y, p z } p x. Deshalb sind auch alle Komponenten des Impulses erhalten.

6 Aufgabe 8.5 Kanonische Transformationen I Eine kanonische Transformation kann durch erzeugende Funktion F p, Q angegeben werden, wobei p der alte Impuls und Q die neue Koordinate ist. Finden Sie die kanonische Tranformation p, q P, Q die aus den unten angegebenen erzeugenden Funktionen foldgen. F p, Q p + Q F p, Q e Q tan p Die kanonischen Koordinaten genügen F p + Q ergibt P F Q, Diese Gleichungen bestimmen keine kanonsiche Transformation. F e Q tan p ergibt q F p. 48 P Q, q p 49 P e Q e Q tan p, q eq cos p, 50 oder umgeformt e Q q cos p. Wir lösen diese Gleichungen, um P, Q durch p, q auszudrücken: Q log + q cos p, P + q q cos cos p p sin p cos p. 5 Aufgabe 8.6 Kanonische Transformationen II Bestimmen Sie, ob eine der folgengen Transformationen p, q P, Q kanonisch ist: P q cot p, Q ln q sin p P αq + p α q, Q arctan αq p Die Bedingung ist {P, Q} P,p Q,q P,q Q,p const. Diese müssen wir nun überprüfen. Bemerkung: Hier wiederum ist die Definition der Poisson-Klammern diejenige aus Landau/Lifshitz. P q cot p, Q ln q sin p. Dann {P, Q} q sin p q sin p sin p q q cot p sin p cos p 5 q Deshalb ist diese Transformation kanonisch. Diese Transformation folgt aus der erzeugenden Funktion P αq + α p, F q, Q q arcsin q e Q + e Q q 53 Q arctan αq p. Dann p {P, Q} α + α q p α p Deshalb ist diese Transformation auch kanonisch. Funktion F q, Q + α q p Um diese Funktion zu bekommen, müssen wir zunächst p F q dann über q integrieren. p αq p αq 54 Diese Transformation folgt aus der erzeugenden αq tan Q. 55 als Funktion von q,q umrechnen: αq tan Q, 56

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