Diskrete Mathematik mit Grundlagen

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1 Sebastian lwanowski Rainer Lang Diskrete Mathematik mit Grundlagen Lehrbuch für Studierende von MINT-Fächern ~ Springer Vieweg

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Mathematik Einführung Aussagenlogik Aussagen und Wahrheitswerte Aussagenverknüpfungen Logische Äquivalenzregeln Logische Schlussregeln Prädikatenlogik Aussageformen, Variable und Prädikate Quantoren Übungsaufgaben Mengenlehre Grundlagen Definition Elementare Eigenschaften von Mengen Darstellung von Mengen Verknüpfungen von Mengen Relationen Besondere Eigenschaften von Relationen Äquivalenzrelationen Ordnungsrelationen Graphische Darstellung von Relationen auf endlichen Mengen M Verallgemeinerung des Relationsbegriffs für verschiedene Mengen Funktionen Komposition von Relationen und Funktionen Inverse Relationen und Funktionen Mächtigkeit von Mengen Boolesche Algebren Motivation aus Aussagenlogik und Mengenlehre Formale Definition von Booleschen Algebren Beispiele für Boolesche Algebren: Schaltfunktionen und Teiler- Algebra

3 XII Inhaltsverzeichnis 2.5 Übungsaufgaben 69 3 Beweisverfahren Grundbegriffe der Mathematik Definition Aussagen: Satz, Lemma, Korollar Beweis Axiom Das Axiomensystem von Peano für die natürlichen Zahlen Vollständige Induktion Grundprinzip Verallgemeinertes Grundprinzip Anwendung auf induktive Definitionen Anwendung auf allgemeine rekursive Definitionen Allgeineine Beweisstrategien Direkter Beweis Beweis durch Kontraposition Indirekter Beweis Beweise von Äquivalenzaussagen Beweise durch Fallunterscheidung Abzählbeweise Übungsaufgaben Zahlentheorie Teilbarkeit Definition und elementare Eigenschaften Größenbeschränkungen für Teiler und Vielfache Zahlendarstellungen mit Hilfe von Zahlenbasen und davon abhängige Teilbarkeitsregeln Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches Division mit Rest Definition und Beispiele Euklidischer Algorithmus Primzahlen Bedeutung und Bestimmung von Primzahlen Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie und Anwendungen Modulare Arithmetik Modulare Kongruenz Rechnen mit Restklassen Übungsaufgaben

4 Inhaltsverzeichnis XIII 5 Algebraische Strukturen Gruppen Beispiele für unendliche Gruppen Beispiele für endliche Gruppen Gruppenisomorphie und ihre Invarianten Körper Beispiele für unendliche Körper und Ringe Endliche Körper Polynome über endlichen Körpern Anleitung für die Konstruktion aller endlichen Körper Anwendung endlicher Körper in Codierung und Kryptographie Übungsaufgaben Kombinatorik Zählformeln für endliche Mengen Disjunkte Vereinigungen und Mengenprodukte Permutationen Inklusion und Exklusion bei beliebigen Vereinigungen Anzahl von Teilmengen Rechnen mit Binomialkoeffizienten Eigenschaften von Permutationen Die verschiedenen Darstellungsarten von Permutationen Komposition von Permutationen Transpositionen Zusammenhang zwischen Kombinatorik, Geometrie und Gruppentheorie Übungsaufgaben Gra phentheorie Terminologie und Repräsentation von Graphen Isomorphie von Graphen Weitere elementare Begriffe der Graphentheorie Darstellung von Graphen im Computer Wege in Graphen Eulerwege und Hamiltonwege Kürzeste Wege in bewerteten Graphen Bäume und Wälder Aufspannende Bäume oder Gerüste Wurzelbäume Planare Graphen Ebene Darstellungen eines planaren Graphen und ihre Gebiete Kombinatorische Charakterisierung von planaren Graphen Färbungen von Graphen

5 XIV Inhaltsverzeichnis Das 4-Farben-Problem als Motivation Eckenfärbungen Andere Färbungen 7.6 Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Symbolverzeichnis Index