Funktionen. Kapitel 3

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1 Kapitel 3 Funktionen Mit Funktionen werden Zusammenhänge zwischen (zwei oder mehr) Größen beschrieben. Beispielsweise hängen die Herstellungskosten eines Produktes von der Produktmenge ab, oder der Gewinn eines Unternehmens vom Umsatz. Ein funktionaler Zusammenhang bedeutet, dass eine Gruppe von Größen - die abhängigen Variablen - sich aus den anderen Größen - den unabhängigen Variablen / Veränderlichen - eindeutig ergeben.!! " # # # " Abbildung 3.1: Kosten, Stückkosten und Produktmenge 33

2 34 KAPITEL 3. FUNKTIONEN 3.1 Definition und allgemeine Eigenschaften Definition. Unter einer Funktion f : M N versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x aus einer Menge M genau ein Element y = f(x) aus einer Menge N zuordnet. Die Mengen M und N heißen Definitionsmenge oder Definitionsbereich bzw. Zielmenge der Funktion f. Weiterhin bezeichnet man x als unabhängige Variable oder Argument und y als abhängige Variable oder Funktionswert. Bei mathematischen Funktionen ist der Name für die Argumente beliebig, meist x. Dagegen ist er bei ökonomischen Funktionen mit festen Inhalten - etwa Preis, Kosten, Menge - nicht austauschbar. Beispiel Jedem Element aus M = {Sophie, Max, Lea, Leon} wird ein Element aus N = {Blau, Gelb, Rot, Grün, Schwarz} zugeordnet (Fahrradfarbe ): x Sophie Max Lea Leon f(x) Grün Grün Blau Schwarz In M ist jedes Element Anfang genau eines Pfeils. Ein Element aus N muss nicht erreicht werden: hier endet kein Pfeil auf Gelb oder Rot. Ein Element aus N kann mehrmals erreicht werden: hier enden zwei Pfeile auf Grün. Nach dieser Definition sind reelle Folgen auch Funktionen von N nach R. Für reelle Funktionen sind sowohl M als auch N Teilmengen von R. Um diese wird es in diesem Kapitel gehen. Die Bildmenge f(m) (in der Literatur auch manchmal Wertebereich genannt) ist die Menge aller Werte aus N, die tatsächlich als Funktionswert angenommen werden. Zur Angabe von Funktionen eignen sich eine Wertetabelle (für endliche viele Argumente), eine bzw. mehrere Funktionsgleichungen f(x) = x 2 für x R bzw. f(x) = { 1 für x < 1 x 2 für x 1 dabei wird oft die Zielmenge weggelassen oder nur die Funktionsgleichung angegeben. implizite Definition Beispiele 1. f(x) = x 2, M = D(f) = R, N = R

3 3.1. DEFINITION UND ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN Die Zuordnung y = x 2 ist eindeutig, d. h., zu jedem Wert x R gibt es genau einen Wert y. Jedoch gibt es zu jedem y (0, ) zwei verschiedene Werte x 1 = y und x 2 = y mit f(x 1 ) = f(x 2 ) = y. Die Funktionswerte für f sind genau die Zahlen aus dem Intervall [0;+ ). f(x) = x 3, M = D(f) = R, N = R Die Zuordnung y = x 3 ist eindeutig, d. h., zu jedem Wert x R gibt es genau einen Wert y. Verschiedene Argumente haben verschiedene Funktionswerte. Alle reellen Zahlen kommen als Funktionswert vor: für y 0, als y = ( 3 y) 3 und für y < 0 als y = ( 3 y) 3. f(x) = e x, M = D(f) = R, N = (0;+ ) Die Zuordnung y = e x ist eindeutig und ergibt eine positive Zahl also in N, jeder Funktionswert wird nur einmal erreicht und alle Zahlen aus N sind Funktionswerte (man findet für ein y > 0 ein Argument x mit y = e x mithilfe des Logarithmus naturalis: x = lny). 4. Im Ausgangsbeispiel gibt es mehrere Produktmengen, die gleiche Stückkosten haben: die Stückkosten sind eine Funktion der Produktmenge aber die Produktmenge kann nicht als Funktion der Stückkosten aufgefasst werden. Umkehrfunktion Ob eine Funktion sich umkehren lässt wird mit den folgenden Eigenschaften überprüft. Definition. Eine Funktion f : M N heißt bijektiv, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt. injektiv: wenn für alle x 1,x 2 M mit x 1 x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ). surjektiv: wenn für jedes y N es ein x M gibt, mit y = f(x) Dann gibt es für jedes y N genau ein x M mit y = f(x). Das x wird mit f 1 (y) bezeichnet. Die Funktion f 1 : N M ist die inverse Funktion von f (auch Umkehrfunktion). Bildlich: Injektiv: keine Pfeile enden zusammen. Surjektiv: Alle Elemente der Zielmenge werden mit (mindestens) einem Pfeil erreicht. Bijektiv: die Zuordnung erfolgt eins zu eins (insbesondere gibt es keine überflüssige Elemente in N). Mit der Umkehrfunktion wird der funktionale Zusammenhang einfach umgedreht: unabhängige und abhängige Variable werden vertauscht. Praktisch bestimmt man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion indem man die Gleichung y = f(x) nach x auflöst. Beispiel: Preis-Absatz-Funktion und ihre Umkehrung Angenommen, der Preis p eines Produktes kann in Abhängigkeit von der abgesetzten Menge x dieses Produktes aufgefasst werden, etwa p(x) = 400 0, 5x für 0 x 800.

4 36 KAPITEL 3. FUNKTIONEN Will man die abgesetzte Menge als Funktion des Preis, formal die Umkehrung der Preis-Absatz-Funktion, so löst man p = p(x) nach x auf: aus p = 400 0,5x ergibt sich x = 800 2p für 0 p 400. p U ( p) 800 p U ( p)= 800 2p p 400 p( x) = 400 0, 5x p( x) p x x Abbildung 3.2: Preis-Absatz-Funktion und Umkehrung Weitere Beispiele zur Umkehrfunktion Schränkt man Definitionsbereich und Zielmenge der Funktion f(x) = x 2 auf M = N = [0,+ ) ein, so ist f bijektiv und hat die inverse Funktion f 1 (x) = x, x N = [0, ). Gegeben sei die Funktion f(x) = 1 2 ln(1 x)+1. Da die Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert ist, ergibt sich der größtmögliche Definitionsbereich D(f) aus der Lösungsmenge L der Ungleichung 1 x > 0 d. h. D(f) = L = (,1). Die Umkehrfunktion f 1 von f ist f 1 (x) = 1 e 2x 2. Die Exponentialfunktion ist für beliebige reellwertige Argumente definiert. Folglich istd(f 1 ) = R. Man kann etwa mithilfe der Monotonie sehen, dass die Funktion f(x) = x 5 +2x+1 x R umkehrbar ist. Das Umkehren entspricht dem Lösen der Gleichung x 5 + 2x + 1 = y für alle y R...was nicht so allgemein lösbar ist, wie bei quadratischen Gleichungen.

5 3.1. DEFINITION UND ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN 37 Verkettung Definition. Die Verkettung zweier Funktionen g : A B und h : B C zu einer neuen Funktion h g : A C besteht darin, die Funktionswerte von g(x) als Argumente der Funktion h einzusetzen: h g(x) = h(g(x)) g ist die innere und h die äußere Funktion Bem. 1. Der Term h(g(x)) ist nur dann sinnvoll, wenn der Funktionswert g(x) zum Definitionsbereich von h gehört. Die Reihenfolge der Funktionen für die Verkettung ist wichtig. 2. Sind g und h bijektiv (umkehrbar), so auch h g und es gilt(h g) 1 = g 1 h 1. Beispiele Die Funktion x x 2 +25, x R kann als Verkettung der inneren Funktion x x 2, x R und der äußeren Funktion t t + 25, t R aufgefasst werden. Die Funktion x (x+1)(x 2 +25), x 1 kann als Verkettung der inneren Funktion g(x) = (x + 1)(x ), x 1 und der äußeren Funktion h(t) = t, t 0 aufgefasst werden. Reelle Funktionen Graph reeller Funktionen Die Menge {(x,f(x)) x D(f)} R 2 heißt Graph oder Kurve. Beispiele Der Graph der Funktion y = 0,5x+1, 3 x 6, ist eine Strecke (Abbildung links). Der Graph der Funktion y = (x 3) 2 +1, 0 x 5, ist ein Parabelabschnitt (Abbildung rechts). Bemerkung. Die Bestimmung der inversen Funktion f 1 von f entspricht anschaulich einer Spiegelung des Graphen der Funktion f an der Geraden y = x (Winkelhalbierenden). Allgemeine Eigenschaften (i) Nullstellen. Die Funktion f besitzt an der Stelle x 0 eine Nullstelle, wenn f(x 0 ) = 0. Nullstellen sind Stellen, an denen der Graph der Funktion die x-achse schneidet oder berührt. (ii) Symmetrie. Die Funktion f heißt gerade Funktion, wenn f(x) = f( x) für alle x D(f). Der Graph einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur y-achse. Die Funktion f heißt ungerade Funktion, wenn f(x) = f( x) für alle x D(f). Der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

6 38 KAPITEL 3. FUNKTIONEN y 10 2 y = ( x 3) x 5 y y = 0, 5x+ 1 3 x x 1 5 x Abbildung 3.3: Graphen: Strecke und Parabelabschnitt (iii) Monotonie. Eine Funktion f heißt monoton wachsend auf ein Intervall I D(f), wenn f(x 1 ) f(x 2 ) für alle x 1,x 2 I mit x 1 < x 2, streng monoton wachsend auf I D(f), wenn f(x 1 ) < f(x 2 ) für alle x 1,x 2 I mit x 1 < x 2, monoton fallend auf I D(f), wenn f(x 1 ) f(x 2 ) für alle x 1,x 2 I mit x 1 < x 2 und streng monoton fallend auf I D(f), wenn f(x 1 ) > f(x 2 ) für alle x 1,x 2 I mit x 1 < x 2. Eine Funktion heißt streng monoton, wenn sie entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist. Wenn eine Funktion ind(f) oder in einem Intervall I D(f) streng monoton ist, so ist sie dort injektiv und damit nach Einschränkung der Zielmenge auch invertierbar. (iv) Beschränktheit. Eine Funktion f heißt beschränkt nach oben, wenn eine Zahl c R existiert, so dass f(x) c für alle x D(f), beschränkt nach unten, wenn eine Zahl c R existiert, so dass f(x) c für alle x D(f), beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. unbeschränkt, wenn sie nicht beschränkt ist. (v)krümmungsverhalten. Die Funktionf heißt konvex auf ein IntervallI D(f), falls für allex 1,x 2 I mit x 1 < x 2 f(px 1 +(1 p)x 2 ) pf(x 1 )+(1 p)f(x 2 ) für alle p (0,1).

7 3.1. DEFINITION UND ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN 39 Der Graph einer konvexen Funktion liegt also unterhalb ( ) jeder Sekante. Die Funktion f heißt konkav auf ein Intervall I D(f), falls für alle x 1,x 2 I mit x 1 < x 2 f(px 1 +(1 p)x 2 ) pf(x 1 )+(1 p)f(x 2 ) für alle p (0,1). Der Graph einer konkaven Funktion liegt also oberhalb ( ) jeder Sekante. Analog ist f streng konvex bzw. streng konkav, wenn f(px 1 +(1 p)x 2 ) < pf(x 1 )+(1 p)f(x 2 ) bzw. f(px 1 +(1 p)x 2 ) > pf(x 1 )+(1 p)f(x 2 ) für alle p (0,1). Der Übergang zwischen unterschiedlich gekrümmten Kurvenstücken wird als Wendepunkt und die Abszisse als Wendestelle bezeichnet. (vi) Periodizität. Eine Funktion f heißt periodisch, wenn es eine Zahl p > 0 gibt, so dass f(x) = f(x+p) für alle x D(f). Die kleinste Zahl p, für die obige Gleichung gilt, heißt Periodenlänge. Beispiele (i) Die Funktionen f(x) = 3x + 6 und f(x) = x 2 haben jeweils eine Nullstelle bei x 0 = 2 bzw. x 0 = 0. (ii) Beispiele für gerade Funktionen sind f(x) = x 2 und f(x) = cos(x); Beispiele für ungerade Funktionen sind f(x) = x 3 und f(x) = sin(x). (iii) Die Funktionf(x) = e x ist streng monoton wachsend in ihrem gesamten DefinitionsbereichD(f) = R. Die Funktion f(x) = x 2 ist streng monoton wachsend in [0, ) und streng monoton fallend in (,0]. (iv) Die Funktion f(x) = x 2 ist nach unten beschränkt, die Funktion f(x) = sin(x) ist beschränkt, und die Funktion f(x) = ln(x) ist unbeschränkt. (v) Die Funktion f(x) = e x ist in ihrem gesamten Definitionsbereich streng konvex; die Funktionen f(x) = ln(x) und f(x) = x sind in ihrem gesamten Definitionsbereich streng konkav. (vi) Die Periodenlänge von sin(x) ist p = 2π. Es gilt sin(x) = sin(x + 2π) für x R. Einfache Transformationen und Verknüpfungen von Funktionen f und g. f(x) + a, a R f(x a), a R a f(x), a > 0 f(ax), a > 0 f( x) f(x) Verschiebung in y-richtung Verschiebung in x-richtung Stauchung (0 < a < 1) bzw. Streckung (a > 1) in y-richtung Stauchung (a > 1) bzw. Streckung (0 < a < 1) in x-richtung Spiegelung an der y-achse Spiegelung an der x-achse (f + g)(x) = f(x) + g(x) Summe (Überlagerung, Superposition) (f g)(x) = f(x) g(x) Differenz (f g)(x) = f(x) g(x) Produkt f f(x) g (x) = g(x) Quotient (g(x) 0) (f g)(x) = f(g(x)) Verkettung (Hintereinanderausführung)

8 40 KAPITEL 3. FUNKTIONEN 3.2 Elementare Funktionen Sogenannte elementare Funktionen, die in der Modellierung ökonomischer Zusammenhänge auftreten, werden mithilfe einiger Grundfunktionen zusammengesetzt. Diese Bausteine sind: Lineare Funktionen Potenzfunktionen (ganze Exponente) Wurzelfunktionen (gebrochene Exponente) Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Die Zusammensetzung erfolgt durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Verkettung (Hintereinanderausführung). Die dadurch gewonnenen Funktionen heißen elementare Funktionen Lineare Funktionen Die allgemeine Form für eine lineare Funktion lautet f(x) = m x+a Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. f(x) a 1 m 2 2m f(x) a x y = m x x x Bedeutung der Koeffizienten: m ist die Steigung der Geraden und a ist der y-achsenabschnitt. Sind zwei Punkten P 1 (x 1,y 1 ) und P 2 (x 2,y 2 ) gegeben, dann gilt m = y 2 y 1 x 2 x 1

9 3.2. ELEMENTARE FUNKTIONEN 41 Sind Steigung und ein Punkt P 0 (x 0,y 0 ) gegeben, dann gilt f(x) = y 0 +m (x x 0 ) oder f(x 0 ) = y 0 in die allgemeine Form einsetzen und nach a auflösen. Man nennt die Funktion stückweise linear wenn sie durch mehrere lineare Funktionsgleichungen definiert ist Quadratische Funktionen Die allgemeine Form für eine quadratische Funktion lautet f(x) = ax 2 +bx+c Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Bedeutung der Koeffizienten: a > 0: die Parabel ist nach oben geöffnet, a < 0: die Parabel ist nach unten geöffnet, a groß: Parabel ist steil/spitz, y y y y a klein: Parabel ist flach/stumpf, x x x x b 2a : Abszisse des Scheitelpunktes, a > 0, a groß a < 0, a groß a > 0, a klein a < 0, a klein c: y-achsenabschnitt (dh. f(0) = c). Die Nullstellen können mit der p-q-formel (gegebenenfalls a ausklammern, falls a 1) oder a-b-c-formel. Die Faktorisierung durch Nullstellen x 1,x 2 wurde im Abschnitt erklärt. Es gilt f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ). Der Satz von Vieta: für f(x) = x 2 +px+q mit Nullstellen x 1 und x 2 gilt x 1 +x 2 = p x 1 x 2 = q Der Satz kann genutzt werden, um Nullstellenberechnungen zu überprüfen, oder um ganzzahlige Nullstellen zu raten Potenzfunktionen Ganzzahlige Exponente > 0: y = x n mit n N,n 1, x ( ;+ ) Die Graphen von Potenzfunktionen mit Exponenten n 2 sind Parabeln n-ten Grades. Sie verlaufen alle durch die Punkte (0; 0) und (1; 1). Für geradzahlige Exponenten n verlaufen die Parabeln außerdem

10 42 KAPITEL 3. FUNKTIONEN immer durch den Punkt ( 1;1), für ungeradzahlige Exponenten n dagegen immer zusätzlich durch den Punkt ( 1; 1). Ganzzahlige Exponente < 0: y = x n mit n N,n 1, x ( ;0) (0;+ ) Die Graphen von Potenzfunktionen mit Exponenten k < 0 sind Hyperbeln. Sie verlaufen alle durch den Punkt (1; 1). Für geradzahligen Exponenten k verlaufen die Hyperbeln außerdem immer durch den Punkt ( 1;1), für ungeradzahligen Exponenten k dagegen immer zusätzlich durch den Punkt ( 1; 1). Abbildung 3.4: Die Graphen der Funktionen (a) f(x) = x, (b) f(x) = x 2, (c) f(x) = x 3, (d) f(x) = x 4, (e) f(x) = x 5, (f) f(x) = x 6, Wurzelfunktionen Ganzzahlige z: Per Definition sind die Wurzelfunktionenx 1 z die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionenx z. Der Definitionsbereich ist [0; + ) für positive z, (0; + ) für negative. Die Graphen von Wurzelfunktionen beginnen im Koordinatenursprung (0;0) und verlaufen alle durch den Punkt (1;1). Sie liegen ausschließlich im 1. Quadranten des kartesischen Koordinatensystems. Potenz- und Wurzelfunktionen können zusammengefasst und auf beliebige Exponenten a verallgemeinert werden: y = x a mit a R x (0;+ ) Exponentialfunktionen Für eine Basis a > 0, a 1 ist das Argument diesmal im Exponent: y = a x x R Für die Basis a = e 2,71828 (Euler Zahl) schreibt man wahlweise e x oder exp(x).

11 3.2. ELEMENTARE FUNKTIONEN 43 Abbildung 3.5: Die Graphen der Funktionen (a) f(x) = x, (b) f(x) = x, (c) f(x) = 3 x, (d) f(x) = 4 x, (e) f(x) = 5 x, (f) f(x) = 6 x,... Die Graphen von Exponentialfunktionen liegen ausnahmslos in der oberen Halbebene des kartesischen Koordinatensystems und verlaufen alle durch den Punkt (0;1). Für ein konkretes a verläuft der entsprechende Graph darüber hinaus durch die beiden Punkte ( 1,1/a) und (1,a). Es gilt a x = e lna x, daher kann man alle Exponentialfunktionen mithilfe des Logarithmus Naturalis ln auf die Funktion x e x zurückführen. Abbildung 3.6: Die Graphen der Funktion f(x) = a x für (a) a = 1 4, (b) a = 1 e, (c) a = 1 2, (d) a = 3 4, (e) a = 1, (f) a = 3 2, (g) a = 2, (h) a = e,...

12 44 KAPITEL 3. FUNKTIONEN Logarithmusfunktionen Per Definition sind die Logarithmusfunktionen die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen. Genauer: log a ist die Umkehrfunktion von x a x. Die Graphen von Logarithmusfunktionen liegen ausnahmslos in der rechten Halbebene des kartesischen Koordinatensystems (Definitionsbereich ist (0; + ) und verlaufen alle durch den Punkt (1;0). Man erhält sie durch Spiegelung der Graphen entsprechender Exponentialfunktionen an der Geraden y = x. Daher verläuft auch für ein konkretes a der zugehörige Graph der Logarithmusfunktion durch die beiden Punkte (1/a, 1) und (a,1). Abbildung 3.7: Die Graphen der Funktion f(x) = log a x für (a) a = 1 4, (b) a = 1 e, (c) a = 1 2, (d) a = 3 4, (f) a = 3 2, (g) a = 2, (h) a = e, Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Die trigonometrischen Funktionen sin(x), cos(x), tan(x) = sin(x) cos(x) cos(x) und cot(x) = sin(x) sind periodische Funktionen. Die Periodenlängen sind 2π für sin(x) und cos(x) und π für tan(x) und cot(x). Die Polstellen der Funktion tan sind der Form π 2 ±2kπ, k N, die Polstellen der Funktion cot sind der Form ±2kπ, k N. Wichtige Zusammenhänge zwischen den trigonometrischen Funktionen wurden schon im Abschnitt 1.5 gegeben. Weitere Beziehungen finden sich in Tabellenbüchern. Die Funktion Sinus und Cosinus können bei der Beschreibung von Saisonschwankungen und Konjunkturerscheinungen auftreten.

13 3.2. ELEMENTARE FUNKTIONEN 45 Graphen der trigonometrischen Funktion (a) f(x) = sin(x) und (b) f(x) = cos(x). Graphen der trigonometrischen Funktion (a) f(x) = tan(x) und (b) f(x) = cot(x). Die inversen Funktionen arcsin, arccos, arctan und arccot der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan bzw. cot sind nur für Definitionsbereiche definiert, in denen diese Funktionen monoton sind. Graphen der Arcusfunktionen (a) f(x) = arcsin(x) und (b) f(x) = arccos(x). Graphen der Arcusfunktionen (a) f(x) = arctan(x) und (b) f(x) = arccot(x) Polynome und rationale Funktionen Polynome Definition. Eine Funktion vom Typ f(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 mit a 0,a 1,...,a n R, a n 0 heißt Polynom vom Grad n. Der Definitionsbereich ist R. Beispiele f(x) = 4 f(x) = a 0 Polynom vom Grad n = 0 (konstante Funktion) Gerade parallel zur x-achse

14 46 KAPITEL 3. FUNKTIONEN f(x) = 3x 2 Polynom vom Grad n = 1 (lineare Funktion, Gerade) f(x) = mx+a Gerade mit dem Anstieg m und dem Schnittpunkt a mit der y-achse f(x) = 6x 2 7x+2 Polynom vom Grad n = 2 (quadratische Funktion, Parabel) f(x) = ax 2 +bx+c allgemeine Form der Parabel Eigenschaften (i) Ein Polynom vom Grad n besitzt maximal n (reellwertige) Nullstellen. 1 (ii) Es sei x 0 eine Nullstelle des Polynoms f(x) vom Grad n, d. h. f(x 0 ) = 0. Dann gilt f(x) = (x x 0 ) f 1 (x), wobei f 1 (x) ein Polynom vom Grad n 1 ist. Die Differenz x x 0 heißt Linearfaktor. (iii) Ein Polynom f(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 mit den reellen) Nullstellen x 1,...,x k lässt sich als Produkt seiner Linearfaktoren mit einem Polynom g(x) ohne Nullstelle darstellen, f(x) = g(x) (x x 1 ) (x x 2 )... (x x k ). (3.1) Die Vielfachheit einer Nullstelle x i entspricht der Anzahl des Vorkommens des Linearfaktors x x i in der Produktdarstellung. Beispiele (i) Die Funktion f(x) = 2x 2 +8x+8 hat die Nullstellen x 1 = 2 und x 2 = 2, d. h., die Zahl 2 ist doppelte Nullstelle (Nullstelle mit der Vielfachheit 2). Es gilt f(x) = 2(x+2)(x+2). (ii) Das Polynom 4. Grades f(x) = x 4 13x kann durch die Substitution z = x 2 in ein Polynom 2. Grades g(z) = z 2 13z +36 der Form g(z) = z 2 +pz +q überführt werden. Man erhält die Nullstellen z 1/2 = z 2 ± p 2 4 q = ± = 13 2 ± 5 2 z 1 = 9, z 2 = 4, x 1 = 3, x 2 = 3 x 3 = 2, x 4 = 2 Es gibt also vier (einfache, reelle) Nullstellen, und es gilt f(x) = (x 3) (x+3) (x 2) (x+2). 1 Ein Polynom vom Grad n besitzt genau n komplexe Nullstellen.

15 3.2. ELEMENTARE FUNKTIONEN 47 (iii) f(x) = x 3 1 hat offensichtlich eine Nullstelle bei x = 1. Es gilt x 3 1 = (x 2 +x+1)(x 1) (Polynomdivision) und x 2 +x+1 hat keine reellen Nullstellen. Daraus folgt x 2 +x+1 > 0 für alle x R. Daher hat f(x) das Vorzeichen von x 1: f(x) < 0 für x < 1, f(x) = 0 für x = 1, f(x) > 0 für x > 1. Polynomdivision Die Bestimmung der Nullstellen von Polynomen höheren Grades basiert im allgemeinen auf numerischen Methoden. Ist eine Nullstelle x 1 von f exakt bekannt, so kann man die Faktorisierung durch den linearen Faktor x x 1 durch Polynomdivision erreichen. Beispiel Man rechnet leicht nach, dass die Funktion f(x) = x 4 +6x 3 8x 2 6x+9, die Nullstellen x = 1 und x = 1 hat. Es gilt f(x) = (x 1)(x+1)f 1 (x) Das Polynom f 1 (x) ergibt sich aus der Polynomdivision von f(x) durch (x+1)(x 1) = x 2 1. ( x 4 +6x 3 8x 2 6x +9) x 4 +x 2 6x 3 9x 2 6x +9 6x 3 6x 9x x : (x 2 1) = x 2 +6x 9 Es gilt f 1 (x) = x 2 +6x 9 = (x+3) 2. Die weiteren Nullstellen von f sind die Nullstellen von f 1 : die doppelte Nullstelle -3. Es gilt demnach f(x) = (x+1)(x 1)(x+3) 2. In dieser Form kann man etwa schnell durch Vorzeichentabelle das Vorzeichen von f ermitteln. Übungsaufgabe: x 3 1 = (x 2 +x+1)(x 1) durch Polynomdivision nachweisen.

16 48 KAPITEL 3. FUNKTIONEN Rationale Funktionen Definition. Ein Quotient zweier Polynome P m und Q n wird rationale Funktion genannt. f(x) = P m(x) Q n (x) Charakteristische Stellen (i) Nullstellen: Werte x 0 mit P m (x 0 ) = 0 und Q n (x 0 ) 0 (ii) Polstellen: Werte x p mit Q n (x p ) = 0 und P m (x p ) 0. Die Funktionswerte von f wachsen oder fallen in der Umgebung ihrer Polstellen (abkürzend auch Pole genannt) über alle Grenzen ( Unendlichkeitsstelle ). Abbildung 3.8: Die Graphen der Funktionen (a) f(x) = 1 x, (b) f(x) = 1 x 2 und (c) f(x) = 1 x+1. Beispiel f(x) = x2 1 x 2 +x+1 Definitionsbereich? Man prüft nach, dass x 2 + x + 1 keine reelle Nullstelle hat, daher D(f) = R. Die Nullstellen von f sind -1 und 1. f(x) = x2 1 x 2 +x 2 Definitionsbereich? Der Polynom x 2 + x 2 hat zwei Nullstellen -2 und 1, daher erstmal D(f) = R\{ 2,1}. Die Nullstellen von f sind -1 und 1. Da 1 sowohl im Zähler als auch im Nenner Nullstelle

17 3.2. ELEMENTARE FUNKTIONEN 49 ist, kann man beide durch (x 1) kürzen: f(x) = x2 1 x 2 +x 2 = (x 1)(x+1) (x 1)(x+2) = x+1 x+2 Daher ist die Funktion nur scheinbar in x = 1 nicht definiert. Es gilt D(f) = R\{ 2}.

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