Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6 5. Semester ARBEITSBLATT 6 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

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1 ARBEITSBLATT PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Eine Gerade sell man im R ensprechend zum R auf, nur daß eine z-koordinae hinzukomm: Definiion: Parameerdarsellung einer Gerade durch die Punke A und B: Legende: X A AB A, B... fese Punke X... variabler Punk AB... Richungsvekor... Parameer Beispiel: Selle eine Gerade durch die Punke A( / / ) und B( 5 / / ) auf. Wir berechnen zunächs den Richungsvekor der Geraden: 5 AB 5 Als Anfangspunk der Geraden wähle ich A. Dami können wir die Gerade angeben: g: X 5 Übung: Übungsbla ; Aufgabe Nun für alle eine erfreuliche Mieilung. In der Ebene kennen wir ja für die Gerade verschiedene Darsellungsformen. Im Raum gib es aber für die Gerade nur die Parameerdarsellung. Merke: Im Raum kann man eine Gerade nur in Parameerdarsellung darsellen. Auch das Überprüfen, ob ein Punk auf einer Geraden lieg oder nich geh ensprechend zum R.

2 Beispiel: Überprüfe, ob die Punke A( / / ), B( / / ) und C( / / ) auf einer Geraden liegen. Wir sellen zunächs wieder eine Gerade durch Punke (Ich wähle A und B) auf. Wir berechnen den Richungsvekor dieser Geraden. AB Nun sellen wir die Gerade mi A als Anfangspunk auf: g: X Nun überprüfen wir, ob auch C auf dieser Gerade lieg indem wir C für X einsezen: Wir spalen die vekorielle Gleichung wieder in die drei Zeilen auf und berechnen uns für jede Gleichung den Parameer. Is dieser eindeuig (d.h. es komm immer derselbe Wer heraus), so lieg C auf der Gerade, andernfalls nich. I: Da nich immer denselben Wer ha, lieg C also nich auf der Geraden durch A und B. Folglich liegen die drei Punke auf keiner gemeinsamen Geraden. Übung: Übungsbla ; Aufgabe

3 Lagebeziehung zweier Geraden im Raum Grundsäzlich gib es vier verschiedene Möglichkeien wie zwei Geraden (hier g und h benann) im Raum liegen können: idenisch parallel schneidend windschief g h h g g h S g h Jeder Punk der einen Gerade is zugleich Punk der anderen Gerade Es gib keinen gemeinsamen Punk. Die Lösungsmenge is ses eine leere Menge. Wir erhalen einen gemeinsamen Schnipunk. Die Geraden liegen schräg zueinander im Raum ohne sich zu schneiden. Es gib also keinen gemeinsamen Schnipunk. Wenn wir nun zwei Gerade bezüglich ihrer Lage unersuchen, so berachen wir zunächs einmal die Richungsvekoren. Sind diese parallel (also Vielfache), so können die Geraden nur parallel oder iden sein, sind die Richungsvekoren keine Vielfachen, so sind die Geraden schneidend oder windschief. Beispiel: g: X h: X s ( ) Die Richungsvekoren sind Vielfache voneinander, folglich sind die Geraden parallel oder iden.

4 Beispiel: g X h X s : : Die Richungsvekoren sind keine Vielfachen voneinander, folglich sind die Geraden schneidend oder windschief. Je nachdem, welchen Fall wir miels der Richungsvekoren fesgesell haben, unerscheide sich nun die Unersuchung. Fall : Wir haben fesgesell, dass die Geraden parallel oder iden sein müssen: In diesem Fall nüzen wir aus, dass zwei parallele Geraden keinen gemeinsamen Punk haben. Bei zwei idenischen Geraden is hingegen jeder Punk der einen Gerade auch ein Punk der anderen Geraden. Wir nehmen also eine beliebigen Punk der Gerade h (Am besen den Anfangspunk) und überprüfen, ob dieser auch auf der Geraden g lieg. Wenn ja, so müssen die Geraden iden, andernfalls parallel sein. Gehen wir dies an unserem obigen Beispiel durch: Beispiel: g X h X s : : An den Richungsvekoren haben wir fesgesell, dass die Geraden nur parallel oder iden sein können. Nun nehmen wir den Anfangspunk der Gerade h und überprüfen, ob dieser auch auf g lieg: g X h X s : : ( )

5 Wir spalen die Gleichung wieder auf und berechnen für jede Gleichung den Parameer: I: Da wir nich überall denselben Wer für bekommen, lieg der Punk nich auf der Gerade g. Folglich müssen also die beiden Geraden parallel sein. Fall : An den Richungsvekoren haben wir fesgesell, dass die Geraden nur schneidend oder windschief sein können. Um dies fessellen zu können schneiden wir die beiden Geraden (Wir unersuchen also, ob es einen Schnipunk gib oder nich). Dabei soßen wir aber auf ein rechnerisches Problem. Wir haben drei Gleichungen mi nur zwei Unbekannen, d.h. eine Gleichung wird gar nich benöig. Wir rechnen uns also beide Parameer aus zwei Gleichungen aus. Dann überprüfen wir, ob diese Were auch für die drie Gleichung gelen, indem wir sie einsezen. Erhalen wir eine wahre Aussage, so schneiden sich die beiden Geraden, erhalen wir eine falsche Aussage, so sind die Geraden windschief. Gehen wir dies an unserem obigen Beispiel durch: Beispiel: g: X h: X s An den Richungsvekoren haben wir bereis erkann, dass die beiden Geraden nur schneidend oder windschief sein können. Wir schneiden die beiden Geraden, sezen sie also gleich: g h s : Wir spalen die Gleichung auf: I: s s s Nun suchen wir uns zwei der drei Gleichungen heraus, um die Parameer s und zu berechnen. Ich wähle die zweie und drie Gleichung. Wir haben also folgendes Gleichungssysem zu lösen: s s Ich wähle das Eliminaionsverfahren: s / ( ) s 5

6 s s s / 5 s /: s 5 Nun berechnen wir uns aus einer der gewählen Gleichungen (also II oder III) den Parameer. Ich seze in die Gleichung II ein: s 5 5 / 7 Nun sezen wir beide Parameer in jene Gleichung ein, die wir bisher nich verwende haben (Bei uns Gleichung I): I: s falsche Aussage Da wir eine falsche Aussage erhalen sind die beiden Geraden windschief. Häen wir eine wahre Aussage erhalen, so würden sich die Geraden schneiden. Beispiel: Besimme die Lage der Geraden g: X h: X s 5 zueinander und berechne gegebenenfalls den Schnipunk. und Als Erses berachen wir wieder die Richungsvekoren: is kein Vielfaches von. Folglich müssen die Geraden also schneidend oder windschief sein. Wir schneiden die beiden Geraden, sezen sie also gleich: g h s : 5

7 Wir spalen auf: I: s 5 s s Wir wählen zwei Gleichungen, um s und zu berechnen. Ich wähle die Gleichung zwei und drei: 5 s s Wir lösen das Gleichungssysem miels dem Eliminaionsverfahren: 5 s s / / : Wir sezen in eine der beiden verwendeen Gleichungen zur Berechnung von s ein. Ich wähle die Gleichung s s / s /:( ) s Nun sezen wir beide Parameer in die bisher nich verwendee Gleichung (Bei uns Gleichung I) ein: I: s wahre Aussage Da wir also eine wahre Aussage erhalen, schneiden sich die beiden Geraden. Um den Schnipunk zu berechnen müssen wir nur noch den ensprechenden Parameerwer in eine der beiden Gleichungen einsezen: g: X Wir sezen für ein: X 5 S( / 5 / ) Schniwinkel zweier Geraden Zur Berechnung des Schniwinkels zweier Geraden benüzen wir unsere be- a b reis bekanne Formel cos ϕ. a b 7

8 8 Beispiel: Berechne den Schniwinkel der beiden Geraden X g : und s X h :. Wir verwenden zur Berechnung des Winkels die beiden Richungsvekoren der Geraden und sezen ein. b a b a ϕ cos ϕ cos ϕ cos 8, ϕ Übung: Übungsbla ; Aufgabe 5

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