Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2012/13): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7

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1 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS /3): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 4) Im R 3 seien die beiden Ebenen E : 6x+4y z = und E : +s +t 4 a) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Schnittgerade der beiden Ebenen an. b) Zeigen Sie, dass der Punkt P = in der Ebene E liegt. Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Gerade g an, welche im Punkt P senkrecht auf der Ebene E steht. c) In welchem Punkt durchstößt die Gerade g die Ebene E? 7. (Herbst, Thema 3, Aufgabe ) Im euklidischen Raum R 3 sei E die Ebene, auf der die drei Punkte P = (,,), Q = (,,), R = (,, ) liegen. Sei g die Gerade, die den Ursprung enthält und die auf E orthogonal ist. Man bestimme g, sowie den Schnittpunkt von g mit E und den Spiegelpunkt des Ursprungs in Bezug auf E. 7.3 (Frühjahr, Thema, Aufgabe 4) Betrachten Sie die Ebene E := { (x,y,z) R 3 x+y = } R 3 und zu gegebenem λ R die Teilmenge G λ := { (x,y,z) R 3 x+y λz = und x 3y +λz = +λ } R 3 im euklidischen Vektorraum R 3. a) Zeigen Sie, dass G λ für jede Wahl von λ R eine Gerade ist und geben Sie eine Gleichung dieser Geraden in Parameterform an. b) Bestimmen Sie alle λ R, so dass E und G λ einen nicht-leeren Schnitt haben und berechnen Sie diesen jeweils.

2 7.4 (Frühjahr 6, Thema 3, Aufgabe ) a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E R 3, auf der die drei Punkte ( 3), ( ), ( ) liegen. b) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P = (3 ) von der Ebene E. 7.5 (Frühjahr 8, Thema 3, Aufgabe 5) Gegeben seien die Punkte A :=, B :=, C :=, D := 3 4 R 3. 5 a) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform für die Gleichung der durch A, B, C verlaufenden Ebene. Welchen Abstand hat D von dieser Ebene? b) Geben Sie eine Parameterdarstellung für jede Gerade durch D an, welche auf der Ebene aus a) senkrecht steht. Bestimmen Sie den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene. 7.6 (Herbst 5, Thema, Aufgabe 3) Im euklidischen Raum R 3 mit den Koordinaten x, y, z seien zwei Ebenen E und E gegeben durch ihre Gleichungen E : x+y =, E : y +z =. Bestimmen Sie den Abstand des Nullpunkts (,,) R 3 a) von der Ebene E, b) von der Schnittgerade L = E E. 7.7 (Herbst 8, Thema 3, Aufgabe 3) Im R 3 seien die Ebenen E durch die Punkte A = (,,) t, B = (,, ) t und C = (,,) t, E durch den Punkt Q = (,,3) t und senkrecht auf dem Vektor v = (,, ) und der Punkt R = (5,,) t Berechnen Sie die Abstände des Punktes R von den Ebenen E und E. 7.8 (Herbst 7, Thema, Aufgabe 4) Im euklidischen R 3 seien die Ebene E und die Gerade G gegeben durch x E := y x+y+3z =, G := +r : r R. z a) Zeigen Sie, dass E und G parallel sind. b) Bestimmen Sie den euklidischen Abstand der Gerade G von der Ebene E.

3 7.9 (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 5) Gegeben seien im euklidischen R 3 die Gerade g durch ihre Punkte A = (,,) t und B = (,,) t, sowie die Gerade g durch ihren Punkt C = (3,,7) t und ihren Richtungsvektor v = (,,4) t. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E, welche die Gerade g enthält und zur Geraden g parallel ist. b) Welchen Abstand hat die Gerade g von der Ebene E? Liegt g auf der gleichen Seite von E wie der Ursprung? 7. (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Im R 3 seien die Geraden g := +R 3 und h := R 5 Finden Sie zwei verschiedene Punkte p g und q h so, dass die Gerade durch p und q auf beiden Geraden g und h senkrecht steht. 7. (Frühjahr 3, Thema 3, Aufgabe ) Gegeben seien im euklidischen R 3 die Schnittgerade G der Ebenen sowie die x 3 Achse H. x +x +x 3 = und x x +x 3 = a) Bestimmen Sie diejenige Gerade L des R 3 durch den Nullpunkt, deren Richtungsvektor senkrecht zu den Richtungsvektoren von G und H ist. b) Bestimmen Sie die Endpunkte p G und q H der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen Punkten p G und q H. 7. (Frühjahr 7, Thema, Aufgabe 4) Im euklidischen R 3 seien die Vektoren t = 4, u =, t = 4, u = und damit die Geraden g = t +Ru sowie g = t +Ru a) Zeigen Sie, dass g und g windschief sind. b) Bestimmen Sie die gemeinsame Lotgerade l von g und g. c) Berechnen Sie den Abstand zwischen g und g.

4 7.3 (Frühjahr 9, Thema, Aufgabe ) Im R 3 seien die beiden Geraden 5 g = +R, g = +R 3 Bestimmen Sie die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes und den Abstand beider Geraden. 7.4 (Herbst, Thema, Aufgabe ) Im euklidischen R 3 mit den Koordinaten x, y, z seien zwei Geraden gegeben, und zwar die Gerade L, welche die beiden Punkte P = und P = enthält, sowie der Durchschnitt M der Ebenen E : x z =, E : x+y =. Bestimmen Sie den Abstand zwischen L und M. 7.5 (Herbst 7, Thema 3, Aufgabe ) Im R 3 seien die beiden folgenden Geraden gegeben: g := +R, g = +R. 3 a) Geben Sie ein lineares Gleichungssystem an, dessen Lösungsmenge die Gerade g ist. b) Bestimmen Sie für das gemeinsame Lot der beiden Geraden die Fußpunkte auf g und g. 7.6 (Herbst, Thema 3, Aufgabe 4) Im euklidischen R 3 seien die beiden folgenden Geraden gegeben: 7 g = +R 3 und h = +R. 7 a) Zeigen Sie, dass l = +R die gemeinsame Lotgerade von g und h ist. Bestimmen Sie die beiden Lotfußpunkte und damit den Abstand von g und h. b) Berechnen Sie den Mittelpunkt einer Kugel mit kleinstem Radius, welche g und h berührt, und begründen Sie diese Rechnung.

5 7.7 (Herbst 9, Thema, Aufgabe 4) Im euklidischen R 3 seien die windschiefen Geraden 3 g : R und g : +R a) Finden Sie Punkte A g und B g so, dass die Strecke AB parallel zur x,y Ebene ist und die Länge hat. b) Wie groß ist die minimale Länge l einer Strecke, die einen Punkt auf g mit einem Punkt auf g verbindet und zur x,y Ebene parallel ist? 7.8 (Frühjahr 7, Thema 3, Aufgabe ) a) Geben Sie im R 3 zwei nicht parallele Geraden g durch (,,) und h durch (,,) an, welche sich nicht schneiden. b) Bestimmen Sie den Abstand zwischen g und h. 7.9 (Frühjahr, Thema, Aufgabe 5) Sei e, e, e 3, e 4 die Standardbasis in R 4. Bestimmen Sie mit Hilfe des Standardskalarproduktes den Abstand des Punktes e von der Ebene U R 4, welche von den Vektoren e +e und e 3 +e 4 aufgespannt wird. 7. (Herbst, Thema, Aufgabe ) Im euklidischen R 4 mit Standardskalarprodukt und Standardnorm seien 3 u =, u =, u 3 = 4, v = 3, v = u R U = u +Ru +Ru 3, V = v +Rv, a) Berechnen Sie eine Basis von W. W = Ru +Ru 3 +Rv R 4. b) Berechnen Sie den Abstand von U und V. 7. (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Es sei a R ein Parameter. a) Geben Sie eine Gleichung an für die Menge M a aller Punkte P = welche ( a vom Punkt Q = a) den gleichen Abstand haben. und von der Geraden G = R x R y,

6 b) Bestimmen Sie v a, w a R so, dass va M a und M a. w a c) Zeigen Sie: Nur für a = ist M a eine Gerade. 7. (Herbst, Thema, Aufgabe 3) Gegeben sei das Dreieck im R mit den Ecken A = (,), B = (4,), C = (,). a) Bestimmen Sie für dieses Dreieck den Schwerpunkt S, den Umkreismittelpunkt U und den Höhenschnittpunkt H. b) Zeigen Sie, dass S, U und H zusammen auf einer Geraden liegen. 7.3 (Frühjahr, Thema, Aufgabe 5) In der euklidischen Ebene R werde das Dreieck mit den Ecken betrachtet. A = (,), B = (,), C = (,) a) Bestimmen Sie für dieses Dreieck den Mittelpunkt und den Radius des Umkreises. b) Bestimmen Sie Gleichungen für die Tangenten T A, T B und T C an den Umkreis in den Punkten A, B und C. c) Berechnen Sie die Schnittpunkte A von T A und BC, B von T B und CA, C von T C und AB dieser Tangenten mit den Verlängerungen der ihnen gegenüberliegenden Dreiecksseiten. 7.4 (Herbst 8, Thema 3, Aufgabe 5) In der euklidischen Ebene R werde das Dreieck mit den Ecken betrachtet. A = (,), B = (4,), C = (,3) a) Es sei t R und P = (t,t) R. Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Geradengleichung für die Gerade BC und damit den Abstand d des Punktes P von der Geraden BC als Funktion von t. b) Berechnen Sie den Inkreismittelpunkt I des Dreiecks ABC. c) Berechnen Sie die Berührpunkte A BC, B CA und C AB des Inkreises mit den Dreiecksseiten. d) Zeigen Sie: Die drei Geraden AA, BB und CC treffen sich in einem Punkt.

7 7.5 (Herbst 5, Thema, Aufgabe 4) In der euklidischen Ebene R mit den Koordinaten x, y sei ein Dreieck PQR gegeben durch seine Ecken P = (,), Q = (,), R = (,). a) Zeigen Sie: Der Kreis K mit Mittelpunkt (, ) und Radius geht durch P und berührt die durch die Dreieckseite QR definierte Gerade in R. b) Finden Sie eine Gleichung für den Kreis K, der durch Q geht und die durch die Seite RP definierte Gerade in P berührt, sowie eine Gleichung für den Kreis K 3, der durch R geht und die durch die Seite PQ definierte Gerade in Q berührt. c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Kreise K und K. Zeigen Sie: Es gibt einen Punkt B R, in dem sich alle drei Kreise K, K, K 3 schneiden. 7.6 (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe 3) Es sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt,. Weiter seien a b V Punkte in V. Es bezeichne E V die Menge aller Punkte x V, welche von a und b den gleichen Abstand haben. a) Rechnen Sie nach, dass (a+b) E. b) Zeigen Sie, dass E die affine Hyperebene mit der Gleichung ist. a b,x = a,a b,b c) Bestimmen Sie im Fall, dass V der euklidische R 3 ist, sowie 5 a = 6 und b = 3 für E eine Parameterdarstellung E = p+rv +Rv := {p+λ v +λ v λ,λ R}. 7.7 (Frühjahr 8, Thema, Aufgabe 4) Der euklidische R 3 sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Zeigen Sie, dass der Punkt P := R 3 3 Mittelpunkt einer Kugel K R 3 ist, die sowohl die Gerade 5 g := 7 +R 3 8 als auch die Ebene x E := y R 3 3x+y 6z = 38 z berührt. Geben Sie den Radius r dieser Kugel K sowie ihre Berührpunkte mit der Geraden g und der Ebene E an.

8 7.8 (Herbst 6, Thema, Aufgabe 5) Ermitteln Sie im euklidischen Raum R 3 alle Kugeln Σ (durch Angabe von Mittelpunkt und Radius), welche die Ebene ε : z = im Punkt E = ( 3,, ) berühren und zusätzlich die Gerade g : x = y = z berühren. 7.9 (Frühjahr 4, Thema, Aufgabe 4) Imeuklidischen R 3 seien dievier Punkte O = (,,),A = (,,),B = (,3,) und C = (,,) a) Man ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks ABC und das Volumen des Tetraeders OABC. b) Manbestimme denmittelpunkt M(a,b,c) unddenradiusr > einer Kugel Σ mit den folgenden drei Eigenschaften: M liegt im ersten Oktanten, d.h. a >, b >, c >. Σ berührt jede der drei Geraden OA, OB und OC. Σ berührt die Ebene ABC. Wieviele solcher Kugeln Σ gibt es? 7.3 (Herbst 8, Thema, Aufgabe 4) In der Ebene R sei die Gerade g mit der Gleichung x + y = Die Spiegelung an dieser Geraden sei S : R R. ( x a) Berechnen Sie für einen Punkt P = die Koordinaten des gespiegelten y) Punktes S(P). b) Berechnen Sie für die Gerade g mit der Gleichung x y = die Gleichung der gespiegelten Geraden g = S(g ). 7.3 (Herbst 6, Thema, Aufgabe 4) Im euklidischen Raum R 3 sei die Ebene E gegeben durch die Gleichung x +x +x 3 = 5. Weiter sei f : R 3 R 3 die Orthogonalprojektion auf die Ebene E. Bestimmen Sie die 3 3 Matrix A und den Vektor t R 3 so, dass für alle x R 3 gilt: 7.3 (Frühjahr 7, Thema 3, Aufgabe 5) Im R 3 seien die Ebenen f(x) = Ax+t. H : x+y +z = und E : z = Weiter sei π : E H die Orthogonalprojektion von E auf H, d.h. die Parallelprojektion längs der Normalenrichtung von H. Finden Sie eine 3 Matrix A und einen Vektor v R 3 so, dass x π y = A x +v für alle y x y E.

9 7.33 (Herbst 7, Thema, Aufgabe ) a) Zeigen Sie, dass die Punkte P := (,,) t, P := (,,) t, P := (,3,) t und P 3 := ( 3,,3) t R 3 nicht in einer Ebene liegen. b) Es sei ψ : R 3 R 3 die bijektive affine Abbildung mit ψ(p ) = (,,) t, ψ(p ) = (,,) t, ψ(p ) = (,,) t, ψ(p 3 ) = (,,) t. Finden Sie eine 3 3 Matrix A und einen Vektor b R 3 so, dass für alle x R 3 gilt ψ(x) = A x+b (Frühjahr 3, Thema 3, Aufgabe 3) Im R seien die Vektoren v =, v =, v 3 = sowie w =, w = 5, w 3 = 3 a) Gibt es eine lineare Abbildung F : R R mit F(v i ) = w i für i =,,3? b) Bekanntlich heißt eine Abbildung F : R R affin, wenn es eine reelle Matrix A und einen Vektor b R gibt mit F(v) = A v +b für alle v R. Gibt es eine affine Abbildung F : R R mit F(v i ) = w i für i =,,3? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Matrix A und den Vektor b (Frühjahr, Thema, Aufgabe 4) In der euklidischen Ebene R seien das Dreieck mit den Ecken 7 a =, b = und c =, 5 5 sowie das Dreieck mit den Ecken 8 a =, b = und c = 3 5 a) Skizzieren Sie die beiden Dreiecke und im kartesischen Koordinatensystem der Ebene und berechnen Sie ihre Seitenlängen. b) Zeigen Sie, dass es genau eine Drehung d : R R, d(x) = D x+t, mit einer Drehmatrix D und einem Vektor t R gibt, welche das Dreieck auf das Dreieck abbildet. Geben Sie D und t explizit an.

10 7.36 (Herbst, Thema 3, Aufgabe 4) Eine Abbildung f : R R heißt eine Bewegung, wenn es einen Vektor b R und eine orthogonale Matrix A gibt so, dass f(x) = A x+b für alle x R. Weiter sei e, e die Standardbasis des R, d.h. e = und e =. Geben Sie alle Bewegungen f : R R an, für die gilt f(e ) = und f(e 3 ) = 7.37 (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) a) Zeigen Sie, dass es genau eine Bewegung (= abstandserhaltende affine Transformation) g im R gibt, welche die Menge { } 8 4,, 3 auf die Menge { ( ( 3 8,, 3 3) 3)} abbildet. b) Berechnen Sie das Bild des Dreiecks {, unter g (Herbst 5, Thema, Aufgabe 5), } Es seien A R und t R. Die affine Abbildung. f : R R mit f(x) = Ax+t sei eine Drehung der euklidischen Ebene R mit Drehzentrum z. a) Begründen Sie, dass für alle p R gilt: p z = f(p) z. b) In R seien die folgenden vier Punkte gegeben: ( 7 5,5 p =, q =, p = 3 ), q =,5. Zeigen Sie, dass es genau eine Drehung f um ein Drehzentrum z R gibt mit f(p) = p und f(q) = q. Berechnen Sie z, sowie die Matrix A und den Vektor t von f.

11 7.39 (Herbst, Thema, Aufgabe 4) In der euklidischen Ebene R seien die Punkte 6 p =, p =, q 6 = 4, q 3 = 5 6 a) Berechnen Sie für i =, Parameterdarstellungen der Mittelsenkrechten m i zu den( Strecken ) p i q i. Bestimmen Sie den Durchschnitt m m. (Zur Kontrolle: m m.) b) Zeigen Sie, dass es genau eine Drehung δ : R R, δ(x) = Ax+t A eine reelle Matrix und t R, um einen Punkt z R gibt, die p auf q und p auf q abbildet. Bestimmen Sie das Drehzentrum z, den Kosinus des Drehwinkels und die Matrix A von δ.