Assoziation & Korrelation

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1 Statistik 1 für SoziologInnen Assoziation & Korrelation Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec

2 Einleitung Bei Beobachtung von 2 Merkmalen für jeden Merkmalsträger stellt sich die Frage, ob es systematische Zusammenhänge oder Abhängigkeiten zwischen den Merkmalen gibt. Für die Messung der quantitativen Stärke des Zusammenhangs dienen im Falle qualitativer Merkmale die sog. Assoziationsmaße im Falle quantitativer Merkmale spricht man von Korrelationsmaßen. 2 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

3 Beispiel: Assoziation von Produktkäufen Information über 2 Produkte aus der Umsatz-Statistik eines Warenhauses(2 univariate Randverteilungen). Produkt A Kauf % kein Kauf % % Produkt B Kauf % kein Kauf % % 3 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

4 Szenario: Keine Assoziation zwischen den Produkten Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Gesamt Kauf kein Kauf Gesamt Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf 42% 28% 70% kein Kauf 18% 12% 30% Gesamt 60% 40% 100% Bei Unabhängigkeit ergeben sich die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten direkt aus dem Produkt der Randverteilungen! 4 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

5 Szenario: Keine Assoziation zwischen den Produkten Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Gesamt Kauf kein Kauf Gesamt Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf 60% 40% 100% kein Kauf 60% 40% 100% Gesamt 60% 40% 100% Bei Unabhängigkeit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten gleich der marginalen Wahrscheinlichkeit P(Kauf von B Kauf von A) = 420/700 = 0,60 P(Kauf von B kein Kauf von A) = 180/300 = 0,60 5 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

6 Szenario: Positive Assoziation zwischen den Produkten Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf kein Kauf Gesamt Beispiel: Farbe + Pinsel Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf 79% 21% 100% kein Kauf 17% 83% 100% Gesamt 60% 40% 100% P(Kauf von B Kauf von A) = 550/700 = 0,79 P(Kauf von B kein Kauf von A) = 50/300 = 0,17 P(kein Kauf von B kein Kauf von A) = 250/300 = 0,83 6 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

7 Szenario: Negative Assoziation zwischen den Produkten Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf kein Kauf Gesamt Beispiel: 2 Konkurrenzprodukte verschiedener Markenanbieter Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf 51% 49% 100% kein Kauf 80% 20% 100% Gesamt 60% 40% 100% P(Kauf von B Kauf von A) = 360/700 = 0,51 P(Kauf von B kein Kauf von A) = 240/300 = 0,80 7 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

8 Szenario: Maximale Positive Assoziation zwischen den Produkten Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf kein Kauf Gesamt Maximale Häufigkeitsmasse auf der Hauptdiagonale Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf 86% 14% 100% kein Kauf 0% 100% 100% Gesamt 60% 40% 100% 8 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

9 Szenario: Maximale Negative Assoziation zwischen den Produkten Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf kein Kauf Gesamt Minimale Häufigkeitsmasse auf der Hauptdiagonale Maximale Häufigkeitsmasse auf der Nebendiagonale Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf 43% 57% 100% kein Kauf 100% 0% 100% Gesamt 60% 40% 100% 9 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

10 Maßzahl für Stärke der Assoziation Wir betrachten 2 binäre Merkmale A (A1, A2) und B (B1, B2) B1 B2 Summe A1 a b a+b A2 c d c+d Summe a+c b+d N Kreuzproduktverhältnis (cross product ratio) cpr = a*d/(b*c) Wertebereich: 0 bis + Assoziationskoeffizient nach Yule: Q=(cpr-1)/(cpr+1) Wertebereich: -1 bis Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

11 Szenario: Keine Assoziation zwischen den Produkten Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Gesamt Kauf kein Kauf Gesamt Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf 60% 40% 100% kein Kauf 60% 40% 100% Gesamt 60% 40% 100% cpr=420*120/(280*180)=1 Q=0 11 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

12 Szenario: Positive Assoziation zwischen den Produkten Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf kein Kauf Gesamt Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf 79% 21% 100% kein Kauf 17% 83% 100% Gesamt 60% 40% 100% cpr=250*550/(150*50)=18,33 Q=0,90 12 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

13 Szenario: Negative Assoziation zwischen den Produkten Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf kein Kauf Gesamt Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf 51% 49% 100% kein Kauf 80% 20% 100% Gesamt 60% 40% 100% cpr=360*60/(340*240)=0,26 Q=-0,58 13 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

14 Szenario: Maximale Positive Assoziation zwischen den Produkten Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf kein Kauf Gesamt Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf 86% 14% 100% kein Kauf 0% 100% 100% Gesamt 60% 40% 100% cpr=600*300/(0*100)=+ Q=1 14 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

15 Szenario: Maximale Negative Assoziation zwischen den Produkten Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf kein Kauf Gesamt Produkt B Produkt A Kauf kein Kauf Kauf 43% 57% 100% kein Kauf 100% 0% 100% Gesamt 60% 40% 100% cpr=300*0/(300*400)= 0 Q=-1 15 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

16 Cross Product Ratio ~ odds ratio Das Verhältnis von Chance zu Gegenchance nennt man odds odds:= p/(1-p) z.b. Würfelwurf odds(für einen 6er)=(1/6)/(5/6)=1/5 Man spricht auch die Chancen stehen 1 zu 5 Reziprokwert der Odds ist jene Auszahlung, die zu einer fairen Wette führt (Details späteres Kapitel) 16 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

17 Cross Product Ratio ~ odds ratio B1 B2 Summe A1 a b a+b A2 c d c+d Summe a+c b+d N Die Cross Product Ratio cpr = a*d/(b*c) kann auch als das Verhältnis der Odds (odds-ratio) für zwei unterschiedliche Bedingungen interpretiert werden a a d b b c c d a/b ist das Chancenverhältnis von B1 zu B2 gegeben A1 ist eingetreten c/d ist das Chancenverhältnis von B1 zu B2 gegeben A2 ist eingetreten 17 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

18 Zur Interpretation der Cross Product Ratio D+ D- Total T+ 0,64 0,36 0,289 T- 0,187 0,813 0,711 Total 0,318 0,682 1,000 odds(d+ T+) = 0,64/0,36 = 25/14 = 1,78 odds(d+ T-) = 0,187/0,813= 18/78 = 0,23 odds-ratio(d+ T) = 1,78/0,23 = 7,74 Das Chancenverhältnis einer Erkrankung ist bei Vorliegen eines positiven Testbefundes 7,7 mal so hoch wie bei Vorliegen eines negativen Testbefundes. (25/14)/(18/78)=(25*78)/(14*18)=7,74 18 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

19 Maße der prädiktiven Assoziation Diese Maße basieren auf der proportionalen Fehlerreduktion, die sich bei der Vorhersage eines Merkmals bei Kenntnis des Wertes des anderen Merkmals ergeben (Goodman-Kruskal ) E0... Fehler bei Vorhersage von Merkmal X ohne Kenntnis der Merkmalausprägung von Y E1... Fehler bei Vorhersage von Merkmal X bei Kenntnis der Merkmalausprägung von Y (X) = (E0-E1)/E0 = 1-E1/E0 ~ relative Fehlerreduktion 19 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

20 Beispiel Konfession katholisch evangelisch keine gesamt CDU SPD FDP Grüne PDS Quelle: Allbus 1996 Konfession katholisch evangelisch keine gesamt CDU 48,4% 35,6% 22,3% 35,7% SPD 29,3% 34,9% 34,2% 32,9% FDP 7,2% 12,7% 6,5% 9,2% Grüne 13,6% 15,0% 21,2% 16,4% PDS 1,5% 1,9% 15,8% 5,8% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% Merkmale sind abhängig! 20 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

21 Prognose-Fehler ohne Kenntnis des zweiten Merkmals Konfession katholisch evangelisch keine gesamt CDU E0= =1394 SPD FDP Grüne PDS E0 ist der Vorhersagefehler für die Wahlabsicht ohne Kenntnis des Merkmals Konfession bei Anwendung jener Regel, die die geringste Fehlerrate aufweist (tippe auf die Modalklasse!) Ohne Kenntnis der Konfession ist es offensichtlich am sinnvollsten auf CDU zu tippen (höchste Trefferquote ~ geringste Fehlerhäufigkeit) 21 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

22 Prognosefehler bei Kenntnis des zweiten Merkmals Konfession katholisch evangelisch keine gesamt CDU E1=( ) + ( ) + ( ) = 1319 SPD FDP Grüne PDS E1 ist der Vorhersagefehler der Wahlabsicht bei Kenntnis der Merkmalsausprägung des Merkmals Konfession Bei Kenntnis der Konfession ist es am sinnvollsten bei den Ausprägungen katholisch und evangelisch auf CDU zu tippen (höchste Trefferquote) bei der Ausprägung keine auf SPD zu tippen Anwendung der Regel Tippe auf die Modalklasse pro Spalte 22 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

23 Berechnung Sei X das Merkmal Wahlabsicht und Y das Merkmal Konfession, so gilt für (X) = (E0-E1)/E0 = 1-E1/E0 (X) = ( )/1394 =1-1319/1394=0,054 Demgemäß verbessert sich die Vorhersage der Wahlabsicht bei Kenntnis der Konfessionszugehörigkeit um 5,4%. Man beachte, dass dieses Maß gerichtet ist, d.h. dass es nicht symmetrisch in Bezug auf die Rollen der Variablen ist (Y) = /1308 = 0,084 [siehe nächste Folie] Die Vorhersage der Konfessionszugehörigkeit wird bei Kenntnis der Wahlabsicht um 8,4% gesteigert. 23 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

24 Vorhersage der Konfessionszugehörigkeit bei Kenntnis der Wahlabsicht = (E0-E1)/E0 = 1-E1/E0 ( )/1308=0, Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

25 Symmetriesierung Ist man an der Stärke des Zusammenhangs interessiert, kann man die beiden gerichteten Maße (X) und (Y) wie folgt symmetrisieren: Im Beispiel ergibt sich: 25 E E E E (X) x x y y (Y) x y E0 E0 E E E E x x y y x y E0 E0 ( ) ( ) ,8% Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

26 Die Chi-Quadrat Statistik Basiert auf dem Vergleich von beobachteten und unter Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten Für eine Tabelle mit I Zeilen und J Spalten und N Beobachtungen wird die Chi-Quadrat Statistik wie folgt definiert: J I 2 j 1 i 1 observed expected 2 ij expected ij ij Dabei steht observed für die beobachtete absolute Häufigkeit und expected für jene absolute Häufigkeit, die sich bei Unabhängigkeit ergeben würde. 26 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

27 Bezeichnungen Die Chi-Quadratstatistik wird auch als die quadratische Kontingenz bezeichnet Demgemäß bezeichnet man 2 2 /N auch als die mittlere quadratische Kontingenz Manchmal wird auch der Phi-Koeffizient verwendet, der bei einer 2x2 Tafel zwischen 0 und 1 normiert ist. 2 /N 27 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

28 Cramer`s V Entspricht einer Normierung der Chi-Quadrat Statistik für eine beliebige Tabellengröße Für eine Tabelle mit I Zeilen und J Spalten und N Beobachtungen wird wie folgt definiert: V Nmin(I 1,J 1) 2 28 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

29 Berechnung der erwarteten Häufigkeiten (1) Beobachtete Häufigkeiten Erwartete Häufigkeiten Konfession Konfession katholisch evangelisch keine gesamt katholisch evangelisch keine gesamt CDU CDU 241,3 307,0 225,6 774 SPD SPD 222,6 283,2 208,1 714 FDP FDP 62,0 78,9 58,0 199 Grüne Grüne 110,7 140,8 103,5 355 PDS PDS 39,3 50,0 36, Quelle: Allbus 1996 Konfession Konfession katholisch evangelisch keine gesamt katholisch evangelisch keine gesamt CDU 48,4% 35,6% 22,3% 35,7% CDU 35,7% 35,7% 35,7% 35,7% SPD 29,3% 34,9% 34,2% 32,9% SPD 32,9% 32,9% 32,9% 32,9% FDP 7,2% 12,7% 6,5% 9,2% FDP 9,2% 9,2% 9,2% 9,2% Grüne 13,6% 15,0% 21,2% 16,4% Grüne 16,4% 16,4% 16,4% 16,4% PDS 1,5% 1,9% 15,8% 5,8% PDS 5,8% 5,8% 5,8% 5,8% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% Bei Unabhängigkeit 29 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

30 Berechnung der erwarteten Häufigkeiten (2) Konfession katholisch evangelisch keine gesamt CDU SPD FDP Grüne PDS *860/2168 = 78, *632/2168 = 103,49 30 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

31 Berechnung ( ,3)²/241,3=30,4 Konfession katholisch evangelisch keine CDU 30,4 0,0 31,7 SPD 2,7 1,0 0,3 FDP 2,7 11,4 5,0 Grüne 3,2 1,0 9,0 PDS 21,8 23,1 109,0 n=2168 I=5 J=3 ² observed 2 ij expectedij expected 252,4 Chi²-Wert 0,241 Cramer`s V ij Interpretation: 0,1 < V < 0,2... geringer Zusammenhang 0,2 < V < 0,4... mäßiger Zusammenhang V > 0,4...starker Zusammenhang 31 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

32 Vierfeldertafel (1) Im Falle der einfachsten Tabelle, bei der 2 binäre Merkmale gekreuzt werden (~Vierfeldertafel) gibt es einfache Berechnungsmöglichkeiten: = n(ad bc) (a b)(a c))b d)(c d) ad bc (a b)(a c))b d)(c d) = 1 32 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

33 Vierfeldertafel (2) Assoziation nach Yule cpr 1 ad / bc 1 ad bc Q cpr 1 ad / bc 1 ad bc Q = +1 Q = 1 33 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

34 Kovarianz Kovarianz: Zusammenhangsmaß bei intervallskalierten Merkmalen, das sich unmittelbar aus der Varianz ableitet s XX 1 n n i 1 n x x x x x x nxx n n 1 1 XY i i i i n i 1 n i 1 s x x y y x y nxy Nachteil: keine Normierung i i 1 n i 1 i i 34 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

35 Konzept der Kovarianz 35 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

36 Korrelationskoeffizient Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y. Er ist durch folgende Formel charakterisiert: r xy i i XY i i n xy i i xi yi 2 2 i i i i x x y y cov( XY) corr 2 2 Std. Abw.( X ) Std. Abw.( Y) x x y y 2 2 n x x n y y 36 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

37 Korrelationskoeffizient Der Korrelationskoeffizient liegt stets zwischen -1 und +1. Korrelationskoeffizient nahe -1: Die Mehrzahl der Datenpunkte konzentrieren sich um eine Gerade mit negativer Steigung. Korrelationskoeffizient ungefähr 0: Die Datenpunkte sind entweder auf alle vier Quadranten ungefähr gleichmäßig verteilt oder sie liegen um eine Gerade die parallel zu einer Achse verläuft. Korrelationskoeffizient nahe +1: Die Mehrzahl der Datenpunkte konzentrieren sich um eine Gerade mit positiver Steigung. 37 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

38 Hohe positive Korrelation Korrelation Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

39 Hohe negative Korrelation Korrelation Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

40 Mittlere positive Korrelation Korrelation Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

41 Korrelation nahe 0 Korrelation Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

42 Was ist eine starke Korrelation? Vorschlag von Cohen: r ~ 0,1 schwacher Zusammenhang r ~ 0,3 mittlerer Zusammenhang r ~ 0,5 starker Zusammenhang Ist r deutlich größer als 0,5 spricht man von einem sehr starken Zusammenhang 42 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

43 Verschiedene Szenarien 43 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

44 Beispiel: X Gewicht des Vaters, Y Gewicht des Sohnes Excel-Funktionen: Varianzen Kovar, Korrel 44 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

45 Berechnung via Standardisierte Daten Die Korrelation der Originaldaten ist gleich der Kovarianz der standardisierten Daten 45 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

46 Unabhängigkeit und Kausalität Sind zwei Variablen unabhängig, so folgt daraus, daß der Korrelationskoeffizient den Wert 0 annimmt. Umgekehrt kann aus einer Korrelation von Nahe Null nicht auf Unabhängigkeit geschlossen werden, da die Korrelation nur den linearen Zusammenhang misst. 1.0 Die Punkte im linken Beispiel haben Korrelation null! Keinesfalls darf Korrelation mit Kausalität gleichgesetzt werden. Problem: Scheinkorrelation 46 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

47 Kausalität Kausalität bezeichnet die Beziehung zwischen Ursache und Wirkung, wobei die Ursache ein Sachverhalt ist, der einen bestimmten anderen Sachverhalt (Wirkung) als Folge herbeiführt. Kausalität weist eine feste Richtung auf, die immer von der Ursache ausgeht, auf der die Wirkung folgt. Korrelation ist ungerichtet Korrelation kann auch über Drittvariablen entstehen 47 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

48 Simpsons Paradoxon (heterogene Gruppen) 48 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

49 Correlation vs. Causality Empirische Daten zeigen, dass der Verzehr von Speiseeis das Risiko von einem Haifisch attackiert zu werden erhöht! Quelle: Eric Siegel. Predictive Analytics: Delivering on the Promise of Big Data. IBM Government Analytics Forum, May Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

50 Scheinkorrelation 50 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

51 Korrelation bei ordinalen Daten Rang-Korrelation nach Spearman Idee: Verwende den Rang der Beobachtung (aufgrund der Ordnung nach X bzw. Y) anstelle des Wertes der Beobachtung 51 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

52 Beispiel 52 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

53 Rangkorrelation nach Spearman Vorteile: Anwendbar auf zumindest ordinalskalierte Daten Keine Annahme, dass die Beziehung zwischen den Variablen linear ist. Der Rangkorrelationskoeffizient ist robust gegenüber Ausreißern. Invariant gegenüber monotonen Transformationen Nachteile: Informationsverlust bei Vorliegen stetiger Merkmale Bei normalverteilten Daten resultiert daraus ein Genauigkeitsverlust 53 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

54 Trauen Sie der Korrelation? 54 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

55 Elimination des extremen Datenpunkts Keine Korrelation mehr in den Daten!! 55 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation

56 Anwendung der Rangkorrelation Spearman s Rangkorrelation r S =0,1113 Durch die Reduktion der Skalierung erfolgt implizit eine schwächere Gewichtung extremer Beobachtungen Nachteil: Informationsverlust Vorteil: Robust gegenüber Datenfehlern Vergleichbar mit der Diskussion Median versus arithmetisches Mittel 56 Statistik 1 - Assoziation & Korrelation