5 Thomlinson Mechanismus Reibung einer Spitze auf einer atomaren

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1 Atomare Reibung

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Makroskopische Reibung MakroskopischerStick-Slip Mikroskopische Reibung Die Rolle der Oberflächenrauhigkeit Bestimmung der realen Kontaktfläche Reibung innerhalb des Greenwoodschen Modells Oberflächen-Schmelzen und Selbst-Schmierung Experimentelle Methoden der Tribologie Profilometer Oberflächen-Kraft-Apparat SFA Quarz-Kristall-Mikrowaage QCM Reibungs-Kraft-Mikroskopie FFM Das Tomlinsonsche Modell für kinetische Reibung Der Tomlinsonsche Mechanismus als Modell für das FFM Verwandte Phänomene Atomare Reibungsmodelle Frenkel-Kontorova Modell Frenkel-Kontorova-Tomlinson-Modell Dissipation Phononische Reibung Elektronische Reibung Thomlinson Mechanismus Reibung einer Spitze auf einer atomaren Oberfläche Eine moderne Formulierung des Tomlinsonschen Mechanismus Eigenschaften des Potentials Instabilitäten und Topologie Reibungsphase und reibungsfreie Phase Reibungsphase des Tomlinson-Modells (1-dim) Reibungsphase des Tomlinson-Modells (2-dim) Stabilitätsgrenze und kritische Kurve Anisotrope Elastizitätsmatrix C Parametrisierung der kritischen Kurve Übergang zur reibungsfreien Phase

3 5.8 Fourierkoeffizienten für algebraische Paar-Wechselwirkung VergleichmitdemFFM-Experiment Vergleich mit anderen Arbeiten

4 Kapitel 1 Einleitung Nahezu jedes Buch über Reibung [57, 61, 23, 27, 6] beginnt mit dem Satz: Friction is one of the oldest phenomena in the history of mankind. In der Tat hat Leonardo da Vinci [61] die ersten systematischen Experimente, lange vor der Begründung der empirischen Physik durch Newton, zum Reibungsproblem angestellt. Dennoch weiss man heute verhältnismässig wenig über dieses Phänomen, obschon es in unserem täglichen Leben ebenso wichtig ist wie in der Technik, insbesondere für die heute sich immer rasanter entwickelnden Weltraum- Technologien. Mitte dieses Jahrhunderts wurden mit Tribometer und Surface Force Apparatus systematisch nach Gesetzmässigkeiten in der Reibungsphysik gesucht [57]. Die Entwicklung des Reibungs-Kraft-Mikroskops zu Beginn der achtziger Jahre hat schliesslich neue Impulse in der Reibungsphysik angeregt. Ein neuer Forschungszweig, die Nanotribologie, war geboren. Einen Überblick über die aktuellen Bemühungen und Resultate auf diesem Feld geben die Konferenzberichte [23, 27, 31] und das Buch [6]. In der vorliegenden Arbeit werden wir uns durchwegs auf trockene, verschleissfreie Reibung beschränken. Wir wollen aber nicht ausser acht lassen, dass die Bedeutung der geschmierten Bewegung zwischen Oberflächen für die Technik heute sehr viel grösser ist als die der trockenen Reibung. Auch 50 Jahre nach seiner Entdeckung durch Bowden und Tabor [57] ist das Prinzip der Grenzschicht-Schmierung (Boundary Lubrication) heute noch das effizienteste Mittel, um Verschleiss und Wärmeverluste in einem Motor zu reduzieren. Es ist der wichtigste Forschungszweig bei der Herstellung von Schmierstoffen für Maschinen. Dies ist aus zwei Gründen sehr viel komplizierter als es scheinen mag. Zum einen hängt das richtige Verhältnis zwischen Fettsäuren zu Paraffinen in einem Motoren-Öl von der Geometrie der Maschine ab und ist damit für alle Motoren verschieden [57]. Zum zweiten erzeugt man heute durch die richtige Zusammensetzung ein katalytisches Verfahren, um die bei tribochemischen Prozessen zerstörten oder oxidierten Molekülketten abzubauen [53]. Wir wollen in dieser Arbeit weniger die technischen Seiten der Reibung studieren. Es geht vielmehr darum, mehr über die mikroskopischen Grundmechanismen der atomaren Reibung zwischen perfekt glatten Oberflächen zu verstehen. Mikroskopische Theorien unter Berücksichtigung der statistischen Natur von Oberflächen haben gezeigt, dass Prozesse auf atomarer Skala zu makroskopischer Reibung führen (siehe Kapitel 5). Mit der Entwicklung des Reibungs- Kraft-Mikroskops (FFM) steht seit kurzer Zeit ein Werkzeug zur Verfügung, mit 4

5 welchem man diese atomaren Prozesse einzeln studieren kann. Die experimentellen Resultate bestätigen die Modelle von Tomlinson [42] und Prandtl [43] aus den zwanziger Jahren dieses Jahrhunderts. Während wir immer mehr über die mikroskopischen Mechanismen wissen, so sind dennoch fast keine Fortschritte für eine quantitative makroskopische Theorie vorhanden. Für die Berechnung von Reibungskoeffizienten gibt es bis heute kaum brauchbare Ansätze. Abbildung 1.1: Versuchsaufbau von G. Amontons zur Messung der kinetischen Reibkraft. Die Reibung zwischen den Oberflächen A und B wird mittels der Auslenkung einer Feder D gemessen. Die Feder C dient der Einstellung der Normalkraft. Aus [61] 5

6 Kapitel 2 Makroskopische Reibung In der Schulphysik wird das Phänomen Reibung auf die Feststellung der klassischen phänomenologischen Reibungsgesetze von Leonardo da Vinci, Guillaume Amontons, Leonard Euler und Charles Coulomb [61] beschränkt. Leonardo da Vinci machte Reibungsexperimente an der schiefen Ebene. Er fand wider Erwarten, dass die Reibung, d.h. der Inklinations-Winkel der schiefen Ebene beim Start der Bewegung, unabhängig von der Auflagefläche war. Amontons unternahm Reibungsexperimente auf einer horizontalen Unterlage und mass die Reibkraft mittels einer Feder (Siehe Fig.1.1). Er fand, dass Reibung proportional zur Normalkraft und unabhängig von der Auflagefläche war. Den Proportionalitätsfaktor nannte er den Reibungskoeffizienten. Während somit Leonardo die statische Reibung untersuchte, so beschäftigte sich Amontons mit der kinetischen Reibung. Dass zwischen Haft- und Gleitreibung unterschieden werden musste, fand erst viel später der Basler Physiker und Mathematiker Leonard Euler. Er war erstaunt darüber, dass es experimentell unmöglich war, an der schiefen Ebene durch langsame Erhöhung der Steigung eine langsame Bewegung zu erzeugen. Wenn der Klotz zu gleiten begann, dann tat er das immer mit einer endlichen Geschwindigkeit. Daraus folgerte er, dass zwischen Gleit- und Haftreibung unterschieden werden muss. Auch Coulomb beschäftigte sich mit dem Phänomen der Reibung. Er baute eine Versuchsanordnung, die es ihm erlaubte, kinetische Reibung für verschiedene Geschwindigkeiten zu messen. Er fand, dass die Reibkraft unabhängig von der Geschwindigkeit immer gleich hoch war. Damit waren die phänomenologischen makroskopischen Reibunggesetze, oftmals auch Coulombsche Gesetze genannt, begründet: Gesetz von Leonardo Die Reibkraft ist unabhängig von der Auflagefläche. Gesetz von Amontons und Euler Die Reibkraft ist proportional der Normalkraft. Sie ist grösser für statische Reibung als für kinetische Reibung. Gesetz von Coulomb Kinetische Reibung ist unabhängig von der Geschwindigkeit. Der Proportionalitätsfaktor zwischen Lateral- und Normalkraft (Reibungskoeffizient) wird mit µ stat bzw. mit µ kin bezeichnet. Der Anspruch an eine 6

7 mikroskopische, konsistente Reibungstheorie besteht darin, diese phänomenologischen Gesetze zu erklären. Ein überzeugend einfaches Modell von Volmer et al. [30] führt die Coulombschen Reibungsgesetze auf die elastischen Eigenschaften der Oberflächenrauhigkeiten zurück. Es wird weiter unten detaillierter vorgestellt. Das Gesetz von Leonardo erschien den Physikern seit jeher paradox. Intuitiv würde man erwarten, dass die Reibkraft proportional zur Auflagefläche sein müsste. Dieses Paradoxon lösten F. P. Bowden und D. Tabor [57] mit der Unterscheidung zwischen wahrer und scheinbarer (geometrischer) Kontaktfläche auf. Die wahre Berührungsfläche zweier aufeinanderliegender Körper ist nur ein kleiner Bruchteil der scheinbaren Kontaktfläche. Alle Experimente deuten darauf hin, dass die Reibkraft der wahren Kontaktfläche proportional ist, wie man es intuitiv erwartet. 2.1 Makroskopischer Stick-Slip Das Bewegungsverhalten des gleitenden Körpers hängt von der experimentellen Situation ab. Wenn auf den Körper eine vorgegebene elastisch angekoppelte Kraft wirkt, beobachtet man ein sprunghaftes Bewegungsverhalten, das mit Stick-Slip bezeichnet wird. Es ist für das Quietschen einer Türe und das Klingen einer Geigensaite ebenso verantwortlich wie für die Dynamik von Erdbeben [60]. Wir betrachten dazu einen Block der Masse m auf einer horizontalen Ebene. Der Block hängt über eine Feder mit Federkonstante k an einer Zugvorrichtung, welche sich mit konstanter Geschwindigkeit v gleichförmig bewegt. Aus dem Gesetz von Amontons-Euler folgt die Bewegungsgleichung: mẍ = k(vt x) µ(ẋ)mg (2.1) mit { µstat falls ẋ =0 µ(ẋ) = (2.2) µ kin <µ stat falls ẋ 0 Der Block bleibt in Ruhe, bis die Federspannkraft den Wert F Feder = µ stat mg erreicht (Stick phase). Nun setzt sich der Körper gemäss 2.1 in Bewegung (Slip phase): { g x(t) =vt ω 2 (µ kin +(µ stat µ kin )cosωt)+ v } ω sin ωt (2.3) wobei ω = k/m die Eigenfrequenz des Systems beschreibt, bis die Geschwindigkeit wieder auf Null abgefalen ist. Der Block bleibt erneut in Ruhe und der Prozess wiederholt sich. Trägt man die Federkraft gegen die Zeit und damit gegen den Ort der Zugvorrichtung auf, erhält man ein Sägezahnmuster. Diese Bewegungsform ist schon lange bekannt und galt als Bestätigung für die klassischen Reibungsgesetze. T. Baumberger et al. [47] präsentierten 1994 eine moderne Versuchsreihe zum makroskopischen Reibungsverhalten. Untersucht wurde der Reibungsprozess zwischen zwei Papier-Oberflächen. Baumberger et al. bestätigen die Bewegungsgleichungen (2.1) nicht. Nach ihren Messungen ist der Reibungskoeffizient eine stetige Funktion von der Geschwindigkeit, welche für sehr kleine Geschwindigkeiten rapide abnimmt. Ausserdem finden sie experimentell eine Phasengrenze in der k v-ebene, welche in Fig. 2.1 dargestellt 7

8 ist. Für weiche Federn und kleine Geschwindigkeiten finden sie Stick-Slip, die Kreise in Fig. 2.1 deuten den Übergang von Stick-Slip zu einer gleichförmigen Bewegung an. Eine plötzliche Änderung der Steigung der Phasengrenze (Knick) lässt auf eine weitere Verfeinerung in verschiedene Phasenbereiche creep (A) und inertial (B) schliessen. Der Übergang von Stick-Slip zur gleichförmigen Bewegung im Regime (A) ist eine superkritische Hopf-Bifurkation, während in (B) wahrscheinlich ein subkritischer Übergang stattfindet. In Fig.2.2 sind die beiden qualitativ verschiedenen Phasenübergänge dargestellt. a) b) Abbildung 2.1: Die Phasenbereiche aus einem Reibungsexperiment zwischen Papier-Oberflächen. Die Kreise bezeichnen den Übergang vom Stick-Slip Regime in das Regime gleichförmiger Bewegung. Die gestrichelte Linie trennt die Gebiete (A) und (B) (siehe Text), die Pfeile a) und b) beziehen sich auf Fig. 2.2ab). Nach [47] a) b) Abbildung 2.2: Lateralkraft (Feder-Auslenkung) als Funktion der Zeit für verschiedene Geschwindigkeiten. Der Übergang von Stick-Slip zur gleichförmigen Bewegung in a) ist superkritisch, in b) hingegen subkritisch. Aus [47] 8

9 Kapitel 3 Mikroskopische Reibung 3.1 Die Rolle der Oberflächenrauhigkeit Aus den Materialwissenschaften weiss man, dass der Reibungskoeffizient sehr sensitiv auf Grössen wie Temperatur, Atmosphäre und Druck reagiert. Zudem spielt die Präparation der Probe eine ausserordentlich wichtige Rolle. Diese Abhängigkeiten machen es nahezu unmöglich, Reibungskoeffizienten mit vernünftiger Genauigkeit zu tabellieren. Es existieren einige wenige Ausnahmen, bei welchen reproduzierbare Messungen angestellt werden konnten. Allgemein bekannt sind Glas auf Glas und Teflon auf Teflon. Die schlechte Reproduzierbarkeit der Daten wird meist auf die Unkenntnis der mikroskopischen Oberflächenstruktur zurückgeführt. Betrachtet man eine vermeintlich glatte Oberfläche unter dem Mikroskop, so erkennt man Oberflächenrauhigkeiten in Form von kleinen Rauhigkeitsspitzen (asperities). Reibung entsteht als Folge von Verzahnungen dieser Spitzen und deren Deformation. Die Basisprozesse der Reibung laufen folglich auf einer sehr viel kleineren Oberfläche, der realen Kontaktfläche A real, ab. Einzig für den Fall zweier atomar ebenen Oberflächen bzw. zwischen zwei Rauhigkeitsspitzen ist die wahre Kontaktfläche gleich der scheinbaren. Die spezifische Reibkraft pro Flächeneinheit, die Scherspannung, bezeichnen wir mit σ = F R A real (3.1) F. P. Bowden und D. Tabor [57] konstruierten aufgrund dieser Überlegungen ihr Adhäsionsmodell, in dem sie die Scherspannung als unabhängig von der Normalkraft annahmen. Die Reibkraft war dann gegeben durch F R = A real σ (3.2) Sie reduzierten damit das Reibungsproblem auf die Bestimmung der realen Kontaktfläche. Erst viel später fand man mit Hilfe von Oberflächen-Kraft- Apparat und Raster-Kraft-Mikroskop Evidenzen dafür, dass die Scherspannung σ tatsächlich nahezu unabhängig von der Normalkraft ist [20]. 9

10 3.2 Bestimmung der realen Kontaktfläche Um die reale Kontaktfläche zu bestimmen, muss man die elasto-plastischen Eigenschaften des Materials kennen. Bei der theoretischen Behandlung der Deformation der Spitzen fanden zwei prinzipiell gegensätzliche Annäherungen ihren Platz. Auf der einen Seite steht die vollkommen plastische Verformung (Plastic Junction Theory [57]), auf der anderen Seite die vollkommen elastische Theorie nach Hertz [62]. Da innerhalb der Hertz-Theorie keine lineare Abhängigkeit zwischen Reibung und Normalkraft vorausgesagt wird, dies hingegen für die plastische Deformation der Fall ist, herrschte bis Mitte der fünfziger Jahre die Meinung vor, Reibung sei eine Folge der plastischen Deformation der Oberflächen. Archard s [28] Plausibilitäts-Argument, dass ein Motor nicht mehrere Millionen mal plastisch deformiert und trotzem noch funktionieren kann, gab den Ausschlag für eine statistische Behandlung elastischer Spitzen durch Greenwood [59]. In der Tat fand er für eine Gauss sche Höhenverteilung der Spitzen, wie sie aus Experimenten bekannt war, eine nahezu lineare Abhängigkeit der Reibkraft von der Normalkraft und zudem eine Unabhängigkeit von der scheinbaren Auflagefläche. Die makroskopischen Reibungsgesetze waren gerettet. 3.3 Reibung innerhalb des Greenwoodschen Modells Mit der Greenwoodschen Theorie war es möglich, die Proportionalität zwischen Reibung und Normalkraft in einem vollständig elastischen Prozess zu erklären. A. Volmer und T. Nattermann [30] studierten in einem verfeinerten Modell die Gültigkeit der klassischen Reibungsgesetze. Ein Block mit rauher Oberfläche wird mit konstanter Kraft über eine ebenfalls rauhe Oberfläche gezogen. Es stellt sich aufgrund der elastischen Wechselwirkung der überlappenden Rauhigkeitsspitzen eine konstante Geschwindigkeit v ein. Die Autoren modellieren die elastische Dissipation (Produktion von Phononen) durch einen viskosen Dämpfungsterm. Die laterale potentielle Energie (Elastizitäts-Energie) ist allgemein gegeben durch die Elastizitätsmatrix, welche die elastischen Eigenschaften der Körper beschreibt. Bei expliziten Rechnungen mit finiten Elementen entspricht dieser Ansatz einem dreidimensionalen FK-Modell, in dem alle Paar-Wechselwirkungen berücksichtigt werden. In ihren Rechnungen verwendeten Volmer et al. ein Gauss sches Höhenverteilungs-Profil und zudem eine isotrope Elastizitätsmatrix. Das überaus interessante Resultat der Arbeit liegt darin, dass allein aus diesen verhältnismässig einfachen Elastizitäts-Überlegungen bereits alle drei Coulomb schen Reibungsgesetze folgen. Für das Geschwindigkeitsverhalten erhalten die Autoren für hohe Geschwindigkeiten eine Abhängigkeit F Frict 1 v. (3.3) 10

11 3.4 Oberflächen-Schmelzen und Selbst- Schmierung Aus Experimenten weiss man, dass der Schmelzvorgang in einem Festkörper einen Schmelzkeim braucht, um einzusetzen. Punkt-Defekte, Versetzungslinien und Korngrenzen sind solche Schmelzkeime. Dazu kommt klarerweise die Oberfläche, welche immer eine Störung der strengen Symmetrie des Kristalls darstellt. Ein idealer vergoldeter Silberkristall kann über seine Schmelztemperatur erwärmt werden, ohne dass der Schmelzvorgang einsetzt, solange die Schmelztemperatur von Gold nicht erreicht ist [21]. Am Tripelpunkt treten alle drei Phasen gleichzeitig auf. Die Oberfläche ist flüssig, obschon der Kern des Körpers noch kristallin ist. Betrachtet man einen Reibungsprozess am Tripelpunkt, so gleiten die flüssigen Oberflächen gegeneinander und das System schmiert sich selbst. Wir erwarten daher für den Reibungs-Prozess am Tripelpunkt eine wesentlich kleinere Reibkraft. 3.5 Experimentelle Methoden der Tribologie Wir wollen kurz die experimentellen Methoden der Tribologie vorstellen und ihren Zusammenhang mit der vorliegenden Arbeit diskutieren Profilometer Mitte des Jahrhunderts war die Verwendung des Tribometers [57] sehr verbreitet, um Reibkräfte und deren Korrelation mit der Oberflächen-Topographie ortsaufgelöst bis zu einer Auflösung im Mikrometer-Bereich zu messen. Ein Tribometer besteht aus einer sehr spitzen Nadel, welche elastisch aufgehängt ist, und deren Auslenkungen beim Entlangziehen über eine Oberfläche mittels hoher Übersetzungen beobachtbar gemacht werden Oberflächen-Kraft-Apparat SFA Im Oberflächen-Kraft-Apparat (Surface Force Apparatus SFA) [23] werden zwei Zylinder orthogonal zueinander aufeinandergepresst, so dass sie sich in genau einem Punkt berühren. Auf die Zylinder-Oberflächen werden atomar glatte Glimmer-Plättchen geklebt. Die Zylinder werden mittels Piezo-Elementen gegeneinander verschoben, und man erhält aus Kraft-Messungen Informationen über den Reibungsvorgang zwischen atomar flachen Oberflächen Quarz-Kristall-Mikrowaage QCM Die Quarz-Kristall-Mikrowaage (Quartz Crystal Microbalance QCM) besteht aus einem Quartz-Einkristall-Plättchen, welches mit einem Wechselstrom zu Schwingungen angeregt wird. Gleichzeitig werden wenige Adpartikel auf die Oberfläche aufgedampft. Aus der Verschiebung der Resonanzfrequenz und der Änderung des Gütefaktors des Quartz können Rückschlüsse darüber gezogen werden, in wie weit die Adpartikel der Oszillation folgen können, und in wie weit die Unterlage unter ihnen davongleitet. Eine mittlere Gleitzeit, während der die Adpartikel-Geschwindigkeit um den Faktor 1/e kleiner wird, kann berechnet 11

12 werden. Sie ist proportional dem Reibungskoeffizient zwischen Adpartikel und Oberfläche Reibungs-Kraft-Mikroskopie FFM Die Funktionsweise des Raster-Kraft-Mikroskops (AFM) legte es nahe, dieses als Nano-Tribometer zu verwenden. Man brauchte lediglich eine zusätzliche Auslenkung des Federbalkens (Cantilever) in Bewegungsrichtung aufzuzeichnen. C. M. Mate et al. [46] machten die ersten Lateralkraft-Messungen auf atomarer Skala mit ihrem Reibungs-Kraft-Mikroskop (Friction-Force-Microscope FFM). Sie verwendeten dazu eine Wolfram-Spitze auf einer Graphit-Oberfläche. Das Lateralkraft-Bild ist in Fig.3.1 gezeigt. Man kann darin sehr gut das Sägezahnverhalten und den Verlauf der kritischen Kurve, d.h. die Orte, an denen ein Sprung der Spitze stattgefunden haben muss, erkennen. Abbildung 3.1: Das erste FFM-Bild von Mate et al. aus dem Jahre Aus [46]. Der Aufbau eines FFM ist in Fig. 3.2 dargestellt. Es wird senkrecht zur Balkenachse (entlang der y-richtung) über die Oberfläche bewegt. Die auf die Spitze wirkende Reibkraft erzeugt eine Verdrehung des Cantilevers. Diese lässt sich mittels Laserstrahl-Ablenkung messen. Kennt man die Torsions-Federkonstante des Federbalkens, kann man die Reibkraft bestimmen. Fährt man dieselbe Strecke erst in positiver und anschliessend in negativer Richtung ab (Friction Loop), so erkennt man die typische Hysterese und den Sägezahn-Charakter des Kraft- Verlaufs. Ein typischer Reibungszyklus ist in Fig. 3.3 gezeigt. Das FFM ist eine Realisierung eines Single Asperity Contact. Sein Verhalten lässt sich sehr gut durch das Tomlinsonsche Modell beschreiben (siehe Kapitel 5). 12

13 A-B C-D w l t h z x y Abbildung 3.2: Der Aufbau eines FFM. Die Rasterrichtung verläuft senkrecht zur Balken-Achse. Die dicke Linie symbolisiert den Strahlengang der Laser- Optik, welcher auf dem Vier-Quadranten-Detektor endet. Abbildung 3.3: Friction Loop aus einem Reibungskraft-Experiment. Die durchgezogene Linie entspricht dem Vorwärts-, die gestrichelte dem Rückwärts-Scan. Die von den Kurve eingeschlossene Fläche entspricht der in diesem Zyklus dissipierten Energie. Aus [1] 13

14 3.6 Das Tomlinsonsche Modell für kinetische Reibung Basierend auf den sich rasant entwickelnden Atom-Theorien der Materie schlug der englische Physiker G. A. Tomlinson 1929 [42] einen atomaren Reibungsmechanismus vor. Seine Vorstellung des Reibungsvorgangs konzentriert sich auf das Verhalten eines Oberflächen-Atoms A der Oberfläche I (Fig. 3.4a). Es ist stark an Oberfläche I gekoppelt. Von Oberfläche II wirkt aufgrund der Relativbewegung eine zeitabhängige Kraft. Atom A wird von einem Potentialhügel der Oberfläche II mitgezogen (Fig. 3.4b), bis schiesslich die von Oberfläche I wirkende Kraft dominiert und Atom A zurückschnellt (Fig. 3.4c). Beim Zurückschnellen verwandelt sich die gespeicherte Elastizitätsenergie in kinetische Energie und dissipiert in das Kristallgitter (Fig. 3.4d), und wird damit in Wärme umgewandelt. In einem gewissen Bereich gibt es für jede relative Position der beiden Oberflächen zwei stabile Lagen des Atoms A. Auch wenn die Oberflächen unendlich langsam gegeneinander verschoben werden, kann Energie dissipieren, da Atom A während des Zurückschnellens der Bewegung von Oberfläche II nicht mehr adiabatisch folgt. Multistabilität und die Verletzung der mechanischen Adiabatizität sind nach Tomlinson der Schlüssel zum Phänomen der atomaren Reibung. Oberfläche I a) b) A Oberfläche II A c) d) A A Abbildung 3.4: Atomarer Reibungsmechanismus nach Tomlinson während des Vorbeigleitens eines Oberflächen-Atoms der oberen Oberfläche bei einem Potential-Hügel des Oberflächenpotentials der unteren Oberfläche. Erläuterungen zum Ablauf a) bis d) siehe Text. Der Tomlinsonsche Mechanismus der atomaren Reibung stellt einen typischen Pinning-Prozess dar. Betrachten wir dazu noch einmal das Verhalten des Oberflächen-Atoms A in Fig Es wird an einem energetisch günstigen Ort von Oberfläche II gepinnt. Nun muss eine endliche Kraft (Depinning Force) aufgewendet werden, um Atom A aus dieser Falle zu befreien. Diese Kraft können wir als Reibung interpretieren. Die bisherigen Betrachtungen waren durchwegs eindimensional. Sie lassen sich leicht auf zwei Dimensionen erweitern, dabei spielt allerdings die Symmetrie eine entscheidende Rolle. Anne Tanguy und Philippe Roux [44] studierten das Hysterese-Verhalten zweier einzelner Spitzen beim Zusammentreffen. Sie wählten dazu ein rotationssymmetrisches Potential, welches eine einzelne Spitze des unteren Körpers symbolisiert. Für isotrope Kopplung tritt im allgemeinen 14

15 keine Instabilität auf. Einzige Ausnahme bilden die Rasterlinien, welche den Drehpunkt schneiden. Aus Symmetrie-Gründen verhält sich das System dann wie das eindimensionale Tomlinsonsche Modell Der Tomlinsonsche Mechanismus als Modell für das FFM In der ersten Arbeit über Reibungs-Kraft-Mikroskopie von C. M. Mate et al. [46] wurde Tomlinson zwar nicht explizit zitiert, doch die Autoren interpretierten ihre gemessenen Reibungsbilder mithilfe des Tomlinsonschen Mechanismus. Später präsentierten Tománek et al. [45] eine systematischere Untersuchung des quasistatisch getriebenen FFM innerhalb von Tomlinsons Modell in einer Dimension. Sowohl der Sägezahn-Charakter als auch das Hysterese-Verhalten der Messdaten konnten gut verstanden werden Verwandte Phänomene Es gibt in verschiedenen Bereichen der Physik dissipative Vorgänge im quasistatischen Limes. Sie beruhen auf der Existenz multistabiler Zustände und der Verletzung der Adiabatizität während der irreversiblen Sprünge, die beim Durchfahren der Hysteresekurve auftreten. Dies sind genau die Attribute, welche den Tomlinsonschen Reibungs-Mechanismus ausmachen. Irreversible Verformung von Festkörpern Prandtl [43] beschrieb den Festkörper bereits 1928 im Rahmen eines Modells, das demjenigen von Tomlinson qualitativ äquivalent ist. Er interessierte sich für die irreversiblen Verformungserscheinungen von nicht-monokristallinen Festkörpern. Die Tatsache, dass zwischen Spannung und Verformung im Festkörper in idealen Monokristallen keine Hysterese auftritt, führte ihn zum Schluss, dass die Dynamik von Versetzungslinien dafür verantwortlich sein musste. Er modellierte das Verhalten eines zu einer Versetzungslinie gehörenden Atoms ähnlich wie es Tomlinson für ein Oberflächen-Atom während des Reibungsvorgangs tat. Es ist verständlich, dass er die Hysterese-Effekte erklären konnte. Pinning von Bloch-Wänden in Ferromagneten Durch Gitterdefekte, Verunreinigungen, Korngrenzen, etc. können Blochwände zwischen einzelnen Domänen in Ferromagneten gepinnt werden. Das äussere H- Feld muss einen kritischen Wert H crit überschreiten, damit sich die Bloch-Wand bewegen kann. Dieser Umstand ist in Fig. 3.5 deutlich sichtbar. Pinning von Flussschläuchen in Typ II Supraleitern Auf dem Gebiet der Supraleitung wird der Pinning-Effekt technisch genutzt. In Supraleitern vom Typ II in der Shubnikov-Phase führt ein gerichteter Strom zu einer Lorenzkraft, welche auf die Flussschläuche wirkt und diese verschiebt. Dabei fliesst Energie in die inneren Freiheitsgrade, was zu einem endlichen Widerstand führt. Durch gezielten Einbau von Gitterdefekten werden die Flussschläuche an diese Störungen gepinnt [12]. Für kleine Felder sind nur noch 15

16 Abbildung 3.5: Die Blochwände in einem dünnen NiFe-Film sind an den durch Pfeilen markierten Orten gepinnt. Dazwischen werden sie von der energetisch günstigeren Domäne in der Mitte angezogen. (Nach [14].) wenige Flussschläuche frei beweglich, was sich in einer deutlichen Reduktion des Widerstands manifestiert. 3.7 Atomare Reibungsmodelle Basierend auf dem Tomlinsonschen Mechanismus wurden verschiedene verwandte Modelle auf ihr Reibungsverhalten untersucht. Speziell das Reibungsverhalten als Funktion der Kommensurabilität der Oberflächen wurde intensiv studiert Frenkel-Kontorova Modell Das Frenkel-Kontorova-Modell besteht aus einer linearen Kette von Teilchen, welche harmonisch (Federkonstante c FK ) miteinander verbunden sind. Die Teilchen liegen in einem periodischen Potential (Potentialstärke v). Legt man eine konstante Kraft an, setzt sich die Kette in Bewegung. Das FK-Modell ist in Fig.3.6a dargestellt. Seine Eigenschaften wurden in den verschiedensten Zusammenhängen (Dynamik von Versetzungslinien, epitaktisch adsorbierte Monolagen, Reibung, etc.) intensiv untersucht. Eine bemerkenswerte Pionier-Arbeit über die Kollektiv-Eigenschaften des Frenkel-Kontorova-Modell leistete S. Aubry in [55]. Eine gute Zusammenfassung findet man in [56]. Wir wollen hier nur die für Reibung relevanten Punkte kurz darlegen. Bei fest vorgegebenem Verhältnis von mittlerem Teilchenabstand 16

17 a) F b) v Abbildung 3.6: a) Das Frenkel-Kontorova-Modell. b) Das Frenkel-Kontorova- Tomlinson-Modell. l zur Gitterkonstanten a des periodischen Potentials findet Aubry für einen wohldefinierten Wert λ c (l/a) des Parameters λ = v/c FK einen Phasenübergang (transition by breaking of analyticity), unterhalb von welchem die Peierls- Nabarro-Barriere (kleinste notwendige Energie-Barriere, um die Kette kontinuierlich zu verschieben) und damit die statische Reibung verschwindet. Die Peierls-Nabarro-Barriere wächst oberhalb des kritischen Werts gemäss E PN (λ λ c ) 3 (3.4) an. Der Übergang ist ein thermodynamischer Phasenübergang zweiter Ordnung. Strunz und Elmer [40] untersuchten die unterdämpfte Dynamik des FK- Modells. Das Verhalten ist dominiert von den durch Wechselwirkung mit dem periodischen Potential erzeugten Phononen. Für den Pinning-Depinning-Übergang finden sie im überdämpften Fall im Gegensatz zu Aubry keinen Phasenübergang. Im unterdämpften Fall ist die Berechnung eines kritischen Übergangs wegen der dominanten Trägheitsterme äusserst komplex. Hirano und Shinjo [52] studierten die Richtungsabhängigkeit der Reibung des zweidimensionalen FK-Modells mit offenen Randbedingungen. Sie stellten fest, dass bei quadratischer Symmetrie und konstanter Kraft der Schwerpunkt des Systems am schnellsten bei einem Drehwinkel von ϑ =45 fortbewegt wird Frenkel-Kontorova-Tomlinson-Modell verschwindet. Die beiden Oberflächen können folglich in diesem Regime ohne eine Depinningkraft gegeneinander verschoben werden. Oberhalb der kritischen Potentialstärke finden sie eine statische Reibkraft Das FKT-Modell kann als Erweiterung des Frenkel-Kontorova-Modells betrachtet werden. Zusätzlich zur Nächst-Nachbar-Kopplung wird jedes Teilchen harmonisch an eine Platte gekoppelt (siehe Fig. 3.6b). M. Weiss und F. J. Elmer untersuchten das Reibungsverhalten des eindimensionalen FKT-Modells, sowohl mit statischem [49] wie auch mit dynamischem [50] Antrieb. In Fig.3.7 ist die statische Reibung als Funktion der Potentialstärke b für verschiedene Kommensurabilitäts-Verhältnisse gezeigt. Es werden immer Vehältnisse von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen gewählt, da diese Folge gegen den goldenen Schnitt konvergiert. Es fällt auf, dass für ein inkommensurables Verhältnis (( 5 1)/2) die statische Reibkraft bis zu einer kritischen Potentialstärke b stat crit F stat (b) (b b stat crit )2. Die kinetische Reibung als Funktion der Geschwindigkeit ist für ein starkes Potential bei kleinen Geschwindigkeiten gross, für höhere Geschwindigkeiten fällt sie ab und verschwindet für sehr hohe Geschwindigkeiten schliesslich ganz. 17

18 Abbildung 3.7: Statische Reibkraft als Funktion der Potentialstärke im FKT- Modell. Aus [49]. 18

19 Kapitel 4 Dissipation 4.1 Phononische Reibung In allen beschriebenen Modellen bleibt die Frage, wohin die Energie dissipiert, unbeantwortet. Die Antwort hängt von der Kopplung an die verschiedenen inneren Freiheitsgrade ab und erfordert ein detailliertes Studium der jeweiligen Situation. In einfachen dynamischen Modellen wird die Energie mit einem phänomenologischen Dämpfungsterm abgeführt. Tatsächlich führt die Kopplung an ein klassisches Phononenbad nach Elimination der Phononenkoordinaten zu einem viskosen Dämpfungsterm mit Gedächtniseffekt in den Bewegungsgleichungen [15], was eine gewisse Rechtfertigung für den viskosen Dämpfungsterm darstellt. Diese Rechtfertigung gilt aber im allgemeinen nicht für sehr kleine oder sehr ungeordnete Systeme, da in diesen Fällen Phononen-Gaps auftreten, welche in gewissen Energie-Bereichen die Energie nicht mehr abführen können. Dieser Effekt wurde von J. Israelachvilli als Grund für periodische Schmelz-Gefrier-Effekte in Nanostrukturen postuliert [18]. 4.2 Elektronische Reibung Bei der Frage, über welche Kanäle die Energie dissipiert, beschränken sich die meisten Antworten auf die Erzeugung von Phononen. Dies ist für Nichtleiter der einzig wichtige Kanal, für leitende Materialien existiert jedoch ein weiterer. Die Energie kann in die Erzeugung von Elektron-Loch-Paaren umgewandelt werden. Man spricht von elektronischer Reibung. Über den Anteil der elektronischen Reibung sind in den letzten Jahren sowohl auf theoretischer wie auch auf experimenteller Seite einige interessante Arbeiten erschienen. Persson zeigte in [24], dass die Bewegung von adsorbierten Partikeln auf einem Leiter zur Produktion von Elektron-Loch-Paaren führt und damit elektronische Reibung verursacht. Experimentell ist es leider unmöglich, diese Theorie der elektronischen Reibung direkt zu bestätigen, da in einem solchen Experiment der Phononen-Kanal geschlossen werden müsste. Persson präsentierte einen Ausweg: Die relative Bewegung des Leiters gegenüber den Adpartikeln kann als elektronischer Strom interpretiert werden. Dieser führt zu einem zusätzlichen der Bedeckung proportionalen Widerstand des Leiters. Dieser Effekt wurde von D. Schumacher [26] 19

20 experimentell untersucht und bestätigt. Auch die Resultate von Krim [8] mittels der Quarz-Kristall-Mikrowaage-Technik (QCM) für auf einer Silber-Oberfläche adsorbierte Xenon-Atome lassen bei entsprechender Interpretation der Daten auf einen elektronischen Anteil schliessen. Die erste direkte Evidenz für elektronische Reibung gaben A. Dayo et al. [48] in der Gruppe von Jacqueline Krim. Sie unternahmen ein modifiziertes QCM-Experiment mit einer Blei-Oberfläche ober- und unterhalb seiner kritischen Temperatur und stellten fest, dass die Reibung im supraleitenden Zustand auf ungefähr die Hälfte absinkt, was mit dem Verschwinden des elektronischen Anteils zusammenhängen müsste (Siehe Fig. 4.1). Der elektronische Anteil bei den QCM-Experimenten ist folglich von gleicher Grössenordnung wie der phononische und kann somit durchaus wichtig sein. Abbildung 4.1: Slip time τ und Schermodul s zwischen Adpartikeln und Blei- Oberfläche als Funktion der Temperatur. Am kritischen Punkt springt der Schermodul auf den ungefähr doppelten Wert, was dem Einschalten der elektronischen Reibung entspricht. Aus [48] 20

21 Kapitel 5 Thomlinson Mechanismus Reibung einer Spitze auf einer atomaren Oberfläche 5.1 Eine moderne Formulierung des Tomlinsonschen Mechanismus Wir diskutieren das verschleissfreie Reibungs-Verhalten eines Einzel-Spitzen- Kontakts (Single asperity contact) im Rahmen des Tomlinsonschen Mechanismus unter Ausschluss chemischer Wechselwirkung [13]. Als Beispiel betrachten wir immer die Spitze eines Raster-Kraft-Mikroskops (FFM) über einer atomar glatten Oberfläche mit perfekter Translationssymmetrie. Die Resultate lassen sich direkt auf eine natürliche Rauhigkeitsspitze einer Oberfläche übertragen. Die Elastizität der Rauhigkeitsspitze ersetzt dabei die Federkonstante des Federbalkens. Wir nehmen an, dass alle auftretenden Instabilitäten sich durch Spitzen- und Aufhängungskoordinaten r bzw. R beschreiben lassen und keine inneren Instabilitäten in Spitze und Probe auftreten. Wir werden später im Rahmen des Reibungsprozesses zwischen Oberfläche und endlicher Insel (Kapitel 5.7) auf innere Instabilitäten innerhalb der Spitze eingehen. Die gesamte potentielle Energie des Systems ist die Summe aus dem adiabatischen Potential V ( r) und der Energie, welche in der Feder gespeichert ist, repräsentiert durch die Elastizitätsmatrix C T : E = V ( r)+ 1 2 ( r R) C T ( r R). (5.1) Die Position R der Federbalken-Aufhängung wirkt somit als Kontrollvariable, während die Position r der Spitze die Rolle eines Systemparameters einnimmt Eigenschaften des Potentials Wir betrachten im Weiteren immer das adiabatische Potential, welches sich durch adiabatische Elimination aller inneren Freiheitsgrade ξ i in Spitze und 21

22 Probe aus einem Oberflächen-Potential Ṽ ( r, {ξ i}) ergibt: V ( r) = min Ṽ ( r, {ξ i }) (5.2) {ξ i} Wir nehmen an, dass für gegebene Teilchenposition genau ein Satz innerer Friheitsgrade ξ existiert, welcher (5.2) erfüllt, d.h. dass keine innere Multistabilität existiert. Damit hat das Potential V ( r) die Translationssymmetrie der Oberfläche. Betrachtet man ein eindimensionales Problem, so lässt sich das adiabatische Potential V (x) in eine Fourier-Reihe der Form V (x) = l v l cos(klx) (5.3) entwickeln, wobei k =2π/a der reziproke Gittervektor ist. Für zweidimensionale Berechnungen entwickeln wir das Potential in eine zweidimensionale Fourier- Reihe. In der vorliegenden Arbeit haben wir, wo es nicht explizit anders erwähnt ist, ein Potential mit voller quadratischer Symmetrie (D 4 )gewählt. Damit lässt sich die allgemeine Fourier-Reihe reduzieren auf V (x, y) = lm v lm cos(klx)cos(kmy) (5.4) mit der Zusatz-Bedingung v ml = v lm. In fast allen Rechnungen haben wir das Potential V (x, y) =v 1 (cos kx +cosky)+v 2 (cos kx cos ky) (5.5) verwendet. Es entspricht (5.4) mit v 10 = v 01 =: v 1 und v 11 =: v Instabilitäten und Topologie Wir betrachten zunächst einen isotropen Federbalken mit C T = c T 1.Diewesentlichen Abweichungen für den Fall anisotroper Kopplung werden in Abschnitt 5.5 diskutiert. Die potentielle Energie im Tomlinsonschen Modell bekommt die Form E( R, r) =V ( r)+ c T 2 ( r R) 2. (5.6) Wir beschränken uns auf die Betrachtung von Gleichgewichts-Konfigurationen, d.h. auf Lösungen von r E = r V ( r)+c T ( r R)=0. (5.7) Diese Bedingung kann explizit nach R aufgelöst werden und gibt so einen direkten Zusammenhang zwischen Spitzen- und Aufhängungsposition r bzw. R.Es ist physikalisch einsichtig, dass für jede Position R der Aufhängung mindestens eine stabile Position der Spitze existieren muss. Für sehr harte Federn ist es nur eine einzige, für weiche Federn existieren mehrere stabile Positionen. Das bedeutet, dass die Abbildung R r Faltungen enthält. Wird die Spitze über die Kante einer solchen Fallte gezogen, findet ein irreversibler Sprung zur nächsten stabilen Position statt. Während dieses Sprungs dissipiert Energie in die inneren Freiheitsgrade. Die Falten zwischen Spitzen- und Aufhängungs-Ebene sind in Fig.5.1 schematisch dargestellt. Die Projektion der Kanten der Falten in die 22

23 Spitzen-Ebene Aufhängungsebene Abbildung 5.1: Die Abbildung R r enthält Faltungen. Ebene der Aufhängungs-Positionen bilden die kritische Kurve, welche wir weiter unten noch genauer untersuchen. Wir führen eine einfache Stabilitätsanalyse der Gleichgewichtskonfigurationen durch. Die Spitzenposition r ist genau dann stabil, wenn beide Eigenwerte der Hessematrix H( r) der zweiten Ableitungen H αβ = 2 E x α x β (5.8) positiv sind. Diese Bedingung ist äquivalent zur Bedingung, dass Spur und Determinante positiv sind. 5.3 Reibungsphase und reibungsfreie Phase Für genügend harte Federn ist die Hesse-Matrix der potentiellen Energie für alle Spitzenpositionen r positiv definit, und es treten keine Instabilitäten auf. Den maximalen Wert von c T, bei dem Instabilitäten auftreten, nennen wir c T,crit. Es exisitiert neben der Reibungsphase (c T <c T,crit ) eine reibungsfreie Phase 1. Der Wert von c T,crit lässt sich für die meisten Systeme leicht berechnen. Die Wahl, die kritischen Parameter durch den Wert von c T auszudrücken, ist willkürlich, wird sich später aber als zweckmässig erweisen. In einem FFM- Experiment ist die Elastizität des Federbalkens nicht variabel, wohl aber die Normalkraft. Daher manifestiert sich der Phasenübergang im Experiment als eine kritische Normalkraft Reibungsphase des Tomlinson-Modells (1-dim) In einer Dimension ist die Berechnung von c T,crit trivial. Die zweite Ableitung der Energie E nach der Systemvariablen x ist immer positiv, wenn die 1 Die reibungsfreie Phase findet man in der Literatur oft unter dem Namen superlubric phase. Diese Bezeichnung ist aber irrefürend, da die superlubric phase mit dem Reibungsprozess zwischen geschmierten Oberflächen zusammenhängt. Die korrekte englische Bezeichnung wäre wohl frictionless phase. 23

24 Tomlinson-Federkonstante grösser ist als die maximale Krümmung des Potentials. Für ein Potential der Form V (x) = l v l cos klx gilt folglich: c T,crit = k 2 l l 2 v l (5.9) Reibungsphase des Tomlinson-Modells (2-dim) In zwei Dimensionen hängt die Aussage, ob Sprünge auftereten von der Rasterlinie ab. Der zuvor definierte kritische Wert soll Instabilitäten auf allen Rasterlinien ausschliessen und ist daher global definiert, als kleinste Kopplung c T,für die unter keinen Umständen Reibung auftreten kann. Es treten keine Sprünge mehr auf, wenn die Hesse-Matrix H( r) für alle r positiv definit ist. Ist sie dies auf den Maxima des Potentials, so ist sie es in den von uns betrachteten Potentialen der Form (5.4) überall. Die Forderung, dass keine Sprünge auftreten, ist folglich äquivalent zur Bedingung: det H > 0, spur H > 0 auf den Maxima (5.10) Wir gehen von einem periodischen Potential der Form (5.4) aus und betrachten Spur und Determinante der Hesse-Matrix H im Ursprung. Unter Ausnutzung von v lr = v rl folgt det H =(c T k 2 l 2 v lm ) 2 (5.11) spur H =2(c T k 2 l 2 v lm ). (5.12) Die Determinante ist auf den Maxima immer positiv, da aus Symmetriegründen die Eigenwerte gleich sind. Die Positivität der Spur liefert uns schliesslich den Wert für die Phasengrenze c T,crit = k 2 l 2 v lm. (5.13) Wir definieren eine weitere kritische Kopplung c T,crit < c T,crit, welche den Übergang beschreibt, oberhalb welcher es zwischen allen Paaren von Aufhängungspositionen R 1 und R 2 instabilitätsfreie Rasterlinien gibt und damit oberhalb welcher die Menge aller stabilen Spitzenpositionen einfach zusammenhängend ist. 5.4 Stabilitätsgrenze und kritische Kurve Sprünge finden statt, wenn eine stabile Spitzenposition nach infinitesimaler Änderung der Position der Aufhängung instabil wird. Das bedeutet für die Hesse-Matrix, dass die Vorzeichen von (++) nach (+ ) wechseln. Damit gleichbedeutend ist die Bedingung det H =0, spur H > 0 (5.14) Die Menge aller Spitzen-Positionen r, welche (5.14) erfüllen, bilden die Stabilitätsgrenze. Wir verwenden die Gleichgewichtsbedingung (5.7), um die explizite Abbildung r R zu finden: R( r) = 1 V ( r)+ r (5.15) c T 24

25 Das Bild der Stabilitätsgrenze in der R-Ebene ist die kritische Kurve. Wird die Aufhängung über die kritische Kurve geführt, so erreicht die Spitze die Stabilitätsgrenze und ein irreversibler Sprung findet statt. In Fig. 5.2 ist die kritische Kurve für eine isotrope Elastizitätsmatrix gezeigt. Sie besteht für harte Kopplung (c T,crit <c T <c T,crit ) aus einem Satz von vierzahnigen Sternchen, welche jeweils auf den Potential-Maxima liegen. Rasterlinien, welche die Sternchen schneiden, sind mit Reibung verbunden, Rasterlinien zwischen den Sternchen erzeugen keine Reibung. Für weiche Kopplung wachsen die Sternchen an und überlappen schliesslich für c T <c T,crit. Es gibt nun keine reibungsfreie Rasterlinie mehr. Abbildung 5.2: Kritische Kurve in der R-Ebene für isotrope Kopplung zwischen Spitze und Aufhängung für c T a) oberhalb von c T,crit und b) unterhalb von c T,crit. Die Parameterwerte sind v 2/v 1 =0.6, c T /v 1 = 18 (a) bzw. c T /v 1 =6 (b). 5.5 Anisotrope Elastizitätsmatrix C Die elastischen Eigenschaften eines Federbalkens sind aufgrund seiner Geometrie stark anisotrop. Die Federkonstante senkrecht zur Balkenachse ist bedeutend kleiner als diejenige in Achsenrichtung. Wir wollen die Effekte der Anisotropie des Federbalkens für die kritische Kurve diskutieren. Die quadratische Symmetrie der Kurve wird im allgemeinen zerstört, und die kritische Kurve ist nun abhängig von der Raster-Richtung. Das Muster erfährt eine affine Verzerrung in Richtung der Raster-Richtung und hat nicht mehr die volle Symmetrie des Atom-Gitters. Die Verzerrung muss bei der Interpretation der Messdaten unbedingt berücksichtigt werden. 5.6 Parametrisierung der kritischen Kurve Für Federkonstanten c T nahe bei der kritischen Federkonstanten c T,crit ist die kritische Kurve durch die Werte der potentiellen Energie in der Nähe der Maxima bestimmt. Für V (x, y) =v 1 (cos x +cosy)+v 2 cos x cos y. (5.16) 25

26 Abbildung 5.3: Kritische Kurve in der R-Ebene für anisotrope Kopplung zwischen Spitze und Aufhängung, für ein Verhältnis c /c =1.3 und einer Raster- Richtung in einem Winkel von 33 zur x-achse für c T a) oberhalb von c T,crit und b) unterhalb von c T,crit. Die anderen Parameterwerte sind gleich wie diejenigen in Fig. 5.2, wobei man c T durch c ersetzen muss. ergibt die Taylorentwicklung um das Maximum bei x =0,y =0 V (x, y) =B{x 4 + y 4 +6Ax 2 y 2 12(x 2 + y 2 )} (5.17) mit A = v 2, B = v 1 + v 2. (5.18) v 1 + v 2 24 Mit dem Ansatz für die totale Energie E(x, y, X, Y )=V (x, y)+ c T ( (x X) 2 +(y Y ) 2) (5.19) 2 erhalten wir für die Determinante der Hesse-Matrix (5.8) mit der Definition von C = c T /(12B) 2 den Ausdruck det H = 144B 2 { A(x 4 + y 4 )+(1 3A 2 )x 2 y 2 + C(1 + A)(x 2 + y 2 )+C 2}. (5.20) Nach einem Übergang zu Polarkoordinaten bekommt (5.20) folgende Form: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (5.21) det H = 144B 2 { Ar 4 (cos 4 ϕ +sin 4 ϕ)+(1 3A 2 )r 4 cos 2 ϕ sin 2 ϕ + C(1 + A)r 2 + C 2} (5.22) Die Bedingung det H =0lässt sich nach r auflösen: r ± (ϕ) = C 2 (1 + A) ± (1 A) 2 γ sin 2 2ϕ A + γ/4sin 2 2ϕ 1/2 (5.23) mit γ =(1 2A 3A 2 ). Dabei beschreibt r den uns interessierenden Übergang von (++) nach (+ ). Der Graph von (5.23) in der (x, y)-ebene ist in Fig. 5.4a 26

27 dargestellt. Damit haben wir eine Parametrisierung der Stabilitätsgrenze für Werte von c T nahe am kritischen Wert mit dem Polarwinkel ϕ als Parameter gefunden. Nach Rücktransformation in kartesische Koordinaten und unter anschliessender Verwendung der Gleichgewichtsbedingung lässt sich die Stabilitätsgrenze als kritische Kurve in der (X, Y )-Ebene darstellen. Fig. 5.4b zeigt (5.23) in der (X, Y )-Ebene. a) b) Abbildung 5.4: a) Stabilitätsgrenze (5.23) in der (x, y)-ebene, b) Zugehörige kritische Kurve in der (X, Y )-Ebene. 5.7 Übergang zur reibungsfreien Phase Wir betrachten Energie-Sprunghöhe und resultierende Reibkraft für eine Tomlinson-Kopplung c T = c T,crit ɛ nahe dem kritischen Wert c T,crit.Das kritische Verhalten wird bestimmt durch das Verhalten in der Nähe der Maxima des periodischen Potentials. Wir betrachten zunächst den eindimensionalen Fall und entwickeln das periodische Potential V (x) in eine Taylor-Reihe bis vierte Ordnung um das Maximum bei x = 0. Unter gewissen Umständen, insbesondere in der Nähe der Symmetrie-Achsen lassen sich die so gewonnenen Resultate direkt auf Rasterlinien im zweidimensionalen Fall, welche parallel zu den Gittervektoren verlaufen, anwenden. V (x) =a 0 a 2 x 2 + a 4 x 4.. (5.24) Damit ist die gesamte Potentielle Energie gegeben durch E = a 0 a 2 x 2 + a 4 x 4 + c T 2 (x X)2 (5.25) und wir erhalten für die kritische Federkonstante c T,crit =2a 2 (5.26) 27

28 Aus der Gleichgewichtsbedingung E/ x = 0 erhalten wir die Beziehung zwischen Aufhängungskoordinate X und Spitzenkoordinate x: X = 4a 4 c T x 3 +(1 c T,crit c T )x. (5.27) Aufhängungsposition X x'1 x 2 x' 2 x 1 Spitzenposition x Abbildung 5.5: Aufhängungsposition X als Funktion der Spitzen-Koordinate x für das Potential (5.24). Die Spitzenpositionen x 1,2 und x 1,2 bezeichnen Sprung- Start bzw. Sprung-Ende. Wir suchen nun die Koordinate x, an welcher ein Sprung von x nach x stattfindet (siehe Fig. 5.5) und finden: x 1,2 = ± 1 ɛ x 1,2 = 2x 1,2 (5.28) 2 3a 4 Die dissipierte Energie pro Sprung ergibt sich aus der Differenz E = E tot (x 1,2 ) E tot (x 1,2) =ɛ 2 ( 8+a 4 48a 2 ). (5.29) 4 Damit gilt für die Reibung in der Nähe von c T,crit : F frict (c T,crit c T ) 2. (5.30) Wir finden für den eindimensionalen Fall einen kritischen Exponenten ρ = 2. In zwei Dimensionen ist der Übergang zur reibungsfreien Phase komplexer als in einer Dimension, weil es für einen Wertebereich von c T zwischen c T,crit und c T,crit von der gewählten Rasterlinie abhängt, ob Reibung auftritt oder nicht. 28

29 Wir schreiben die kritische Federkonstante c T,crit (R) als Funktion des Abstands R vom Maximum. Zur Wahrung der Übersicht schreiben wir in diesem Kapitel c T,crit (0) als c o. Wir werden nun zeigen, dass c T,crit (R) =c T,crit (0) σr 2/3 (5.31) in der Nähe der Maxima gilt. Wir betrachten dazu die Taylor-Entwicklung (5.17) des periodischen Potentials: V (x, y) =B{x 4 + y 4 +6Ax 2 y 2 12(x 2 + y 2 )}. (5.32) Die kritische Federkonstante c o ist c o =24B (5.33) und der Parameter C = c T /(12B) 2istC = 2(c o c T )/c o (vergleiche Abschnitt 5.6). Der Übergang zur reibungsfreien Phase im Abstand R findet statt, wenn die äussersten Spitzen der kritische Kurve den Abstand R vom Ursprung haben. Diese ist maximal für den Polarwinkel ϕ = π/2 Z. Die maximale Ausdehnung der kritischen Kurve lässt sich aus (5.23) und aus der Gleichgewichtsbedingung gewinnen: R max = r max + 1 V (r max ), (5.34) c T x wobei nach (5.23) gilt r max = C/A. Wir erhalten durch Einsetzen Durch Umkehrung dieser Relation finden wir R max (c o c T ) 3/2. (5.35) c T,crit (R) =c o σr 2/3 (5.36) c mit σ = oa. Wir beziehen uns im Weiteren auf die Resultate des eindimensionalen Falls und nehmen an, dass sich die Reibkraft in der Reibungsphase (2(2 A) 2 ) 1/3 gemäss einem Gesetz F frict (R) =λ(c T,crit (R) c T ) 2 (5.37) verhält. Daraus erhalten wir für die Reibkraft als Funktion des Abstands R den Ausdruck F frict (R) =λ(c o c T σr 2/3 ) 2 Θ(c T c T,crit (R)). (5.38) Hierbei beschreibt Θ(x) die Sprungfunktion mit Θ(x) = 1 falls x < 0 und Θ(x) =0sonst. 5.8 Fourierkoeffizienten für algebraische Paar- Wechselwirkung Das Potential V ( r) zwischen Spitze und Oberfläche lässt sich näherungsweise als Summe von Paarpotentialen v( r r lm ) zwischen der Spitze und den Oberflächenatomen an den Orten r lm = la x e x + ma y e y (5.39) 29

30 darstellen, V ( r) = l,m v( r la x e x + ma y e y ). (5.40) Für numerische Rechnungen wäre es sehr ungeschickt, diese Summe für jede Spitzenposition r neu zu berechnen (vergleiche [36, 38, 27]). Durch Ausnutzung der Gittersymmetrie lässt sich der Rechenaufwand erheblich reduzieren. Besonders nützlich erweist sich die Entwicklung des Potentials in eine Fourierreihe V tot (x, y, z) = ( v lm (z)cos l 2π ) ( x cos m 2π ) y. (5.41) a x a y lm Mit der einmaligen Berechnung der Fourierkoeffizienten v lm erreicht man für ein quadratisches Raster aus Punkten, wie es in der vorliegenden Arbeit stets verwendet wurde, eine Einsparung der Rechenzeit von über 99%. Für die üblicherweise verwendeten algebraischen Paarpotentiale v(r) = 1 r n (5.42) lassen sich die Fourierkoeffizienten v lm (z) analytisch berechnen. Man erhält ( ) s 1 1 klm v lm (z) = π2 s 1 K s 1(k lmz) (5.43) Γ(s) z wobei K s 1 die modifizierte Besselfunktion dritter Art bezeichnet und k lm =2π (l/a x ) 2 +(m/a y ) 2 (5.44) der Betrag des Wellenvektors ist. Der Parameter s ist gegeben durch s = n/2. Da die Fouriertransformation ein lineares Funktional ist, errechnen sich die Fourierkoeffizienten eines Potentials der Form v(r) = 1 a n r n (5.45) n durch Linearkombination der einzelnen Terme. Aufgrund der Periodizität der Oberfläche fällt das Potential mit zunehmendem Abstand von der Oberfläche exponentiell ab. In der Nähe der Oberfläche dominiert die Paar-Wechselwirkung mit den nächsten Nachbarn. In Fig. 5.6 ist der erste Fourierkoeffizient eines Lennard-Jones Potentials ( ) r 12 0 V (r) =ɛ r 12 2r6 0 r 6 (5.46) mit Gleichgewichtsabstand r 0 und Potentialtiefe ɛ als Funktion des Abstands von der Probe für verschiedene Verhältnisse von a/r 0 dargestellt, wobei a = a x = a y gilt. Für eine mehratomige Spitze und unter Berücksichtigung mehrerer Atomlagen genügt es, die entsprechenden Fourierkomponenten einzeln zu addieren. In der obigen Rechnung wurde angenommen, dass die Oberflächen-Atome durch die Wechselwirkung mit der Spitze nicht von ihrem Gitterplatz ausgelenkt werden. Es ist aber durchaus möglich, die obige Darstellung derart zu erweitern, dass eine endliche Anzahl Oberflächen-Atome in der Nähe der Spitze ausgelenkt werden. Dazu ist die Summe ihrer Paarpotentiale vom Potential (5.41) abzuziehen, und ihre Koordinaten sind in der Bewegungsgleichung explizit zu behandeln. 30