Übung ln(p) x aus dem Primzahlsatz π(x) x/ ln(x) folgt. Gehen Sie dabei wie folgt vor: i) p x

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1 Übung 0 Übung 0 Zeigen Sie, dass der Primzahlsatz π(x) x/ ln(x) aus p x ln(p) x folgt Übung 02 Zeigen Sie, dass p x ln(p) x aus dem Primzahlsatz π(x) x/ ln(x) folgt Gehen Sie dabei wie folgt vor: i) p x ln(p) c x für eine geeignete Konstante c p x ii) π(x) = ln(p) ( ) x + O ln(x) ln(x) 2 iii) p x ln(p) x Übung 03 Durch Anwenden von π(x) x/ log(x) im Beweis von Satz 526 ergibt sich ln(p) = ln(x) + O() p Benutzen Sie dies um Satz 528 folgendermaßen zu verbessern: ( ) p = ln(ln(x)) + c + O, ln(x) für eine geeigenete Konstante c Übung 04 i) Was ist d m,d n µ(d)? p x p x Sei φ(x, y) die Anzahl aller Paare (m, n) N N mit m x, n y und ggt(m, n) = ii) Zeigen Sie φ(x, y) = min(x,y) d= x y µ(d) d d iii) Zeigen Sie φ(x, x) = 6 π 2 x2 + O(x ln(x)) Genereller Hinweis: Lemma 527 scheint eine Universalwaffe zu sein Die Klausur findet am Uhr statt Studenten mit gerade Matrikelnummer schreiben in G02-20, Studenten mit ungerader Matrikelnummer in G22A-0 Besprechung der Übung 0 und Rückgabe der Klausur: , 9- in G05-3

2 Übung 9 Übung 9 Sei Λ : N R definiert durch { ln(p), n = p k für p P und k N Λ(n) = 0, sonst Λ heißt Mangoldt-Funktion Zeigen Sie: d n Λ(d) = ln(n) und Λ(n) = d n ln(d)µ(n/d) Übung 92 (Theorem 52) Zeigen Sie: n σ(m) = π2 n 2 2 m= + O(n ln(n)) Übung 93 (Korollar 520) Ein Gitterpunkt z = (z, z 2 ) N 2 heißt sichtbar, falls auf der Strecke zwischen (0, 0) und z kein weiterer Punkt aus N 2 liegt, dh z ist sichtbar, falls ggt(z, z 2 ) = Zeigen Sie: lim N N 2 #{z = (z, z 2 ) {,, N} 2 : z sichtbar} = 6 π 2 Übung 94 Sei δ(n) der größte ungerade Teiler von n N Zeigen Sie: n m= δ(m) = n2 3 + O(n) Übung 95 (Weihnachtsaufgabe) Man bestimme eine neunstellige Zahl, in der alle Ziffern,, 9 genau einmal vorkommen, sodass die i-stellige Zahl z i, die aus den ersten i Ziffern (von links gelesen) besteht, durch i teilbar ist für i =,, 9 Wie viele dieser Zahlen gibt es? Besprechung: Wir wünschen Ihnen alles Gute für die Feiertage und das neues Jahr!

3 Übung 8 Übung 8 Sei p Q[x, y] ein Polynom vom Grad 2 in zwei Variablen x, y, das auf einer Geraden G R 2, die unendlich viele rationale Punkte enthält, verschwindet, dh p(x, y) = 0 für alle (x, y) G Zeigen Sie: p ist nicht irreduzibel Übung 82 Seien k N, A N, #A < und f eine zahlentheoretische Funtkion Zeigen Sie: f(x) = µ(k) f(n) n A d k n A ggt(n,k)= d n Übung 83 Sei die Gaußklammer, dh für x R ist x die eindeutig bestimmte ganze Zahl mit x < x x Zeigen Sie für n Z, m N, x, x, x 2 R i) x + n = x + n { 0, x Z ii) x + x =, sonst iii) x + x 2 x + x 2 iv) x +n m = x+n m v) x 2 x/2 {0, } vi) Der kleinste positive Vertreter von a mod m ist m ( a m a m ) Übung 84 Sei D R + eine (nach oben) unbeschränkte Menge positiver Zahlen Für eine Funktion g : D R + sei Zeigen Sie: O(g) = {f : D R : es gibt x 0 D, M > 0 mit f(x) < Mg(x) für alle x x 0 } { } f(x) o(g) = f : D R : lim x g(x) = 0 x D

4 f(x) i) O(g) = f : D R : lim sup g(x) < x x D ii) Für f O(g), k R gilt kf O(g) iii) Für f O(g), h O(f) gilt h O(g) iv) Für f O(g ), f 2 O(g 2 ) gilt: f ± f 2 O(max(g, g 2 )) v) Für f O(g ), f 2 O(g 2 ) gilt: f f 2 O(g g 2 ) vi) Für f O(g), h : R R gilt nicht notwendigerweise h f O(h g) Besprechung:

5 Übung 7 Übung 7 Zeigen Sie: Jede ganze Zahl n lässt sich als ±-Kombination aus drei Quadratzahlen darstellen, dh n = ±x 2 ± y 2 ± z 2 mit x, y, z Z Finden Sie Zahlen, die in dieser Darstellung tatsächlich drei Quadratzahlen 0 benötigen Übung 72 Ein Tripel (x, y, z) N heißt Pythagoreisch, falls x 2 + y 2 = z 2 Zeigen Sie: i) Die Zahlen und 2 sind in keinem Pythagoreischen Tripel, aber alle anderen natürlichen Zahlen ii) Für jede natürliche Zahl k gibt es nur endlich viele Pythagoreische Tripel, die k enthalten iii) Bestimmen Sie alle Pythagoreischen Tripel, die die Zahlen k 7 enthalten Übung 73 Sie H ein vierdimensionaler reeller Vektorraum mit den Basiselementen, i, j, k, dh H = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d R} Weiterhin sei eine (nicht kommutative,) distributive Multiplikation definiert durch folgende Relationen: i 2 = j 2 = k 2 =, ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j, 2 =, i = i = i, j = j = j, k = k = k Der Vektorraum H zusammen mit der gegebenen Multiplikation wird Menge der Quaternionen genannt i) Sei q = a + b i + c j + d k und q 2 = a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k Bestimmen Sie q q 2 Zu einem gegebenen Quaternion q = a + bi + cj + dk bei das konjugierte Quaternion definiert als q = a bi cj dk, die Länge von q sei gegeben durch q = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ii) Zeigen Sie: q 2 = q q und q q 2 = q 2 q iii) Folgern Sie, dass q q 2 2 = q 2 q 2 2 Übung 74 Bestimmen Sie #{(m,, m g ) N g 0 : m + + m g n} in Abhängigkeit von g und n Besprechung:

6 Übung 6 Übung 6 (Bemerkung 36 i)) Zeigen Sie: Eine von zwei aufeinanderfolgenden Konvergenten erfüllt die Approximation x p n Übung 62 q n i) (Proposition 34 für unendliche Kettenbrüche) Sei pn q n die nte Konvergente des Kettenbruchs x = z 0 + z + z 2 + z 3 + und seien x k R definiert durch x = z 0 + z + z 2 + z 3 + Zeigen Sie: x = p k x k + p k 2 z k + x k q k x k + q k 2 ii) Sei d > eine rationale Zahl, die kein rationales Quadrat ist und seien pn q n die nten Konvergenten der Kettenbruchentwicklung von d Zeigen Sie, dass die Folge (p 2 k dq2 k ) k N periodisch ist Hinweis: Verwenden Sie Teil i); schreiben Sie x k = d+rk s k und untersuchen Sie die so entstehenden Zahlen r k und s k Übung 63 Seien die Voraussetzungen wie in Übung 62 und sei h die Länge der Periode der Kettenbruchentwicklung von d Zeigen Sie: p 2 h dq2 h = ( )h Hinweis: Nutzen Sie die in Übung 62 gefundene Form für s h Übung 64 Finden Sie ganzzahlige Lösungen für 2q 2 n x 2 + 6xy 4y 2 4x 2y 9 = 0 Besprechung:

7 Übung 5 Übung 5 Sei pn q n die nte Konvergente des endlichen Kettenbruchs x = z 0 + Zeigen Sie i) ii) q n = z n + q n z n + p n = z n + p n z n + Übung 52 z n 2 + z 2 + z z n 2 + z 2 + z + z 0 z + z 2 + z 3 + z k + z k i) Für eine quadratisch irrationale Zahl x = a + b d sei die konjugierte Zahl definiert durch x := a b d Zeigen Sie: Ist x > und < x < 0, dann ist die Kettenbruchentwicklung von x reinperiodisch, dh Hinweis: Sie können wie folgt vorgehen: Sei x k R definiert durch x = z 0 + y k+ = z k + y k Damit folgt induktiv, dass y k+ = z k x = z 0 + z + z 2 + z 3 + z h + z 0 + z + z 2 + z 3 + z k + x k und sei y k = Dann ist Führen Sie nun die Annahme, die Kettenbruchentwicklung von x wäre nicht reinperiodisch zum Widerspruch ii) Sei d > eine rationale Zahl, die kein rationales Quadrat ist Zeigen Sie: Die Kettenbruchentwicklung von d ist d = z0 + z + z 2 + z 3 + z k + 2z 0 + x k

8 Übung 53 i) Sei p P und n N Zeigen Sie, dass der Exponent von p in der Primfaktorzerlegung von n! genau n p + n + n + ist p 2 p 3 ii) Auf wieviele Nullen enden die Zahlen 0! und 00!? Übung 54 i) Seien, a, b Z mit ggt(a, b) = und sei pn q n die nte Konvergente des endlichen Kettenbruchs a b = z 0+ z + z 2 + z 3 + z k + z k Nutzen Sie dies, um eine Lösung der linearen Diophantisches Gleichung ax + by = c zu finden ii) Bestimmen Sie die Löungsmenge der Gleichung 247x + 77y = 3 Besprechung:

9 Übung 4 Übung 4 ( ) i) Zeigen Sie: {0 < a < 4q : a mod 4, a q = } = {(2l + ) 2 mod 4q : l = 0 (q 3)/2} (Bemerkung 223) ii) Bestimmen Sie alle Primzahlen p, sodass 6 quadratischer Rest modp ist ( Übung 42 Sei q P >2 Bemerkung 223 besagt, dass die Primzahlen p P >2 mit q p) = genau jene sind, die in bestimmten Restklassen mod 4q liegen Zeigen Sie, dass diese Primzahlen p für q mod 4 sogar durch Restklassen mod 2q beschrieben werden können ( Übung 43 Sei p P mit p = 4m + und sei d m Zeigen Sie d p) = Übung 44 Lösen Sie die folgenden Kongruenzen oder zeigen Sie, dass keine Lösung existiert i) 3x 2 5x mod 3 ii) 5x 2 + 6x mod 3 Besprechung: 62009

10 Übung 3 Übung 3 i) Seien a Z, p P >2 mit p a Zeigen Sie: x 2 a mod p ist lösbar genau dann, wenn x 2 a mod p k lösbar ist ii) Sei n N mit n = x 2 ay 2, a, x, y Z und sei p P mit p n Zeigen Sie: a ist quadratischer Rest mod p oder x 0 mod p Übung 32 i) Seien p P, n N mit a b mod p n Zeigen Sie a pk b pk mod p n+k ii) Sei p P, < k < p Zeigen Sie: (p k)!(k )! ( ) k mod p Übung 33 Sei p P mit p mod 4 Konstruieren Sie eine Lösung für x 2 mod p Übung 34 (Lemma 225) Seien a, a, a 2 Z, b, b, b 2 N ungerade Zeigen Sie: i) ( a a 2 ) ( b = a ) ( a2 ) b b ii) ( a b b 2 ) = ( a b ) ( a b 2 ) iii) Falls a a 2 mod b, dann ist ( a ) ( b = a2 ) b iv) ( ) b b = ( ) 2 v) ( ) b 2 b = ( ) 2 8 vi) Falls a ungerade und ggt(a, b) =, dann ist ( a b ) ( b a ) a b = ( ) 2 2 Besprechung:

11 Übung 2 Übung 2 Zeigen Sie: Jede ungerade natürliche Zahl, die Summe von zwei Quadratzahlen ist, lässt bei Division durch 4 den Rest Übung 22 Zeigen Sie: Jede ganzzahlige Lösung (x, y, z) Z 3 der Polynomgleichung x 3 + y 3 = z 3 erfüllt xyz 0 mod 3 Übung 23 i) Sei p P \ {2, 5} Zeigen Sie: Unendlich viele der Zahlen,,,, sind durch p teilbar ii) Zeigen Sie: Es gibt beliebig lange Blöcke aufeinanderfolgender ganzer Zahlen, von denen keine Quadratfrei ist Übung 24 Sei p P Zeigen Sie: i) ( n i= x i) p n i= xp i mod p ii) Für d (p ) hat x d 0 mod p, d verschiedene Lösungen modp Besprechung:

12 Übung Übung Seien a, b N, a > b Zeigen Sie: Zum Berechnen von ggt(a, b) mittels Euklidischem Algorithmus braucht man weniger als 2 log 2 (a) Divisionen Übung 2 Seien a 0,, a n Z\{0} Der größte gemeinsame Teiler ggt(a 0,, a n ) von a 0,, a n ist definiert als der positive gemeinsame Teiler von a 0,, a n, der Vielfaches jedes gemeinsamen Teilers von a 0,, a n ist i) Weiterhin sei D = ggt(a 0, a ) und D i = ggt(d i, a i ) Zeigen Sie: D n = ggt(a 0,, a n ) ii) Zeigen Sie: Es gibt x i Z, 0 i n mit ggt(a 0,, a n ) = n i=0 a ix i iii) Ist ggt(a 0,, a n ) = äquivalent zu ggt(a i, a j ) = für alle 0 i < j n? iv) Zeigen Sie: Ist ggt(a, b) = ggt(a, c) so ist ggt(a, b) = ggt(a, b, c) Übung 3 Seien a, b, c Z \ {0} Bestimmen Sie die Lösungsmenge der linearen diophantischen Gleichung ax + by = c, dh alle (x, y) Z 2, die diese Gleichung erfüllen Übung 4 Seien a < a 2 < < a n < a n+ 2n Zeigen Sie: Es gibt i, j {,, n + }, i j, sodass a i a j (Hinweis: Betrachten Sie die größten ungeraden Teiler der a i ) Besprechung:

13 Übung 0 Übung 0 Sei τ(n) die Anzahl der positiven Teiler einer natürlichen Zahl n N = {, 2, 3, } Zeigen Sie: τ(n) ist ungerade, genau dann wenn n eine Quadratzahl ist Übung 02 Wir betrachten die Zahlen + 4 N = {, 5, 9, 3, 7, 2, 25, 29, } und nennen eine Zahl d + 4 N pseudo-prim, falls sie in der Menge + 4 N nur die trivialen Teiler und d hat Zeigen oder widerlegen Sie: Jede Zahl in + 4 N lässt sich eindeutig als Produkt von pseudo- Primzahlen schreiben Übung 03 Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen der Form + 4 m, m N, gibt Übung 04 Zeigen Sie: Um mit einer Waage alle Gewichte der Größe 0,, 2, 3, 4,, 2 n+ austarieren zu können, benötigt man genau die (n + ) (Gegen-)Gewichte, 2, 4, 8, 6,, 2 n Besprechung: