von Kai-Uwe Ekrutt Erste Fassung

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1 Übr d Abhänggkt zwschn gmttltn Wrtn von quadrrtn Schalldrückn und dr arthmtschn ttlwrtbldung von Schalldruckgln b ssrhn von Ka-Uw Ekrutt ovmbr 009 Erst Fassung 00.09

2 . Enltung Dr Inhalt dsr Ausarbtung soll sch mt dr Fragstllung bschäftgn, w sch n Rh von Gräuschgl-ssungn aus Vrsuchn mttln lassn und wlch Abhänggkt zwschn dr arthmtschn ttlung von Schalldruckgln und dr korrktn ttlwrtbldung durch Summaton dr quadrrtn Schalldrück strt. Engangs s rwähnt, dass d ttlung nr ssdatnrh von Schalldruckgln odr von Pglwrtn n Dzbl ncht nfach durch rn Addton jnr sswrt rfolgt, sondrn d quadrrtn Schalldrück bzw. d ntsrchndn Schallnrgn aufsummrt wrdn müsstn, d dann durch d Anzahl dr ssungn zu dvdrn wärn. Da s jdoch twas umständlch st, d Pglwrt (n Dzbl n Schalldruck-Quadrat umzurchnn, d anschlßnd zu addrn und wdrum als Endrgbns n nn Pglwrt umzuwandln snd, soll hr n öglchkt aufgzgt wrdn, w man untr Ausnutzung dr arthmtschn ttlwrtbldung und dr Abltung ns thortschn Korrkturzuschlags bnfalls zu nm adäquatn Ergbns glangn kann. Da s sch hr um n Thor zur Brchnung von ttlwrtn handlt, müssn dsm hyothtschn Ansatz folgnd Bdngungn zu Grund lgn. Bdngungn: - Es muss n ausrchnd hoh Anzahl von ssungn vorlgn. - D sswrt (Pglwrt solln sch gmäß dr ormalvrtlung (Gauß-Vrtlung vrhaltn. - Zu stark strund sswrt, vor allm zu groß Pglwrt außrhalb dr -Strubrt (-fach Standardabwchung, wrdn ncht brückschtgt. - D ssungn stammn von nr nzgn Schallqull. Es handlt sch ncht um Enzlmssungn untrschdlchstr lokal angsdltr Schallqulln.. Brchnung von Schalldruckgln und drn Addton Dr Schalldruckgl n db (Dzbl: log db 0 log 0 0 db mt 0 0µPa -5 Pa : Bzugsschalldruck : gmssnr Schalldruck

3 3 Schalldruckglbrchnung aus dm ttlwrt dr quadrrtn Schalldrück: 3 3 db log... log db : Anzahl dr sswrt, übr d gmttlt wrdn soll Da sch d Schallnrgn roortonal zur dn quadrrtn Schalldrückn vrhaltn, kann man dr obgn Glchung ntnhmn, dass hr d ttlung aus dr Gsamtschallnrg rfolgt. 3. D Gauß-Vrtlung bzw. ormalvrtlung B dr Gauß-Vrtlung (auch Glocknkurv gnannt handlt s sch um n kontnurlch Wahrschnlchktsvrtlung. In dn Ingnurwssnschaftn lassn sch Prozss annährnd gut durch n ormalvrtlung bschrbn, sodass s d Standardgrundlag für d statstsch assung von ssungn bldt. Als Engangsvorausstzung soll d Vrtlung dr m Vrsuch gmssnn Schalldruckgl ( st ausrchnd groß n Annährung zu dr Gauß schn Glocknkurv sthn. D ormalvrtlung h(: h ( mt dm arthmtschn ttlwrt : und mt dr Standardabwchnung : ( D Standardabwchung sagt nährungsws twas darübr aus, w vl dr sswrt sch nnrhalb nr gwähltn Strubrt (vom ttlwrt hr btrachtt von dr ormalvrtlungsfunkton brückschtgt wordn snd. Innrhalb nr Strubrt von ± bfndn sch 68,3% allr ssungn und nnrhalb nr Strubrt von ± bfndn sch 95,5% allr ssungn. D.h., mt dr Bdngung, dass n Strubrt von ± btrachtt wrdn soll, lgn twa 4,5 % dr untrsuchtn sswrt außrhalb dsr gstztn Schrankn, also jwls,5% lnks und rchts dr zur Untrsuchung sthndn Glocknkurv.

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5 5 4. D ttlwrtbldung aus dn normalvrtltn Schalldruckgln Um n allgmn Brchnungsgrundlag abzultn, d uns m Sätrn dazu grchn wrd, n vrnfacht Form dr ttlung b nr Vlzahl von Enzlmssungn anwndn zu könnn, soll zurst dr Ansatz bzgl. nr unndlch großn Anzahl an ssungn gwählt wrdn (. In dsm Fall kann d Btrachtungsws an dr kontnurlch vrlaufndn ormalvrtlungsfunkton rfolgn. Wr stlln uns dahr vor, sämtlch Abzssnwrt (-Achs dr ormalvrtlung ntsrchn dn gmssnn Schalldruckgln n db. Um m rstn Schrtt n annährnd Standardabwchung bzw. nn ttlwrt zu rhaltn, wrdn d Schalldruckgl arthmtsch gmttlt. t dr gwähltn Strubrt ± und dm ttlwrt lgt dann d Form und d Bschränkung dr zu untrsuchndn ormalvrtlung h( vor. Um m wtrn Rchngang n vrnfacht Glchungsform zu rhaltn, vrwndn wr statt dr ttlwrt und dr Standardabwchung nur dn zhntn Tl dsr Zwschnrgbnss: ˆ Dr Folgschrtt st dann, d korrkt ttlwrtbldung aus dn Schallnrgn bzw. dn quadrrtn Schalldrückn zu brchnn. Dss kann z.b. mttls dr Schalldruckgl durch d Intgraton dr Zhnrotnzn nnrhalb dr gwähltn Schrankn von ± gschhn. B dr ormalvrtlung h( ntsrchn d Schalldruckgl dn Wrtn : log log 0 0 log

6 6 Somt ntsrcht d quadrrt Schalldruckrlaton / 0 b folgndm Wrt: 0 D rchtg Gwchtung dr Schalldruckrlatonn rgbt sch dann aus dr ultlkaton mt dr ormalvrtlungsfunkton ( h. [Schallnrg Summnhäufgkt] ( ( h f Um all Funktonswrt ( f nnrhalb dr Intgratonsntrvallschrankn und zu summrn, ltt sch folgnds Intgral ab: ~ ( ( d d d f F An dsr Stll dnkn wr uns nun d mt -gknnzchntn Paramtr als n Konvnton, dass wr hr mt dm zhntn Tl dr Wrt grchnt habn und rduzrn d Glchungsform w folgt (-Knnzchnung ntfällt: ~ ( d F Brchnung ds Intgrals ( ~ F : Für d ösung ds Intgrals st s von Vortl, wnn das so gnannt Gauß sch Fhlrntgral [Vrtlungsfunkton φ(z] bzw. d Fhlrfunkton [Error-Functon (z] angsrochn wrdn, da mt drn Hlf n lzt Brchnung zwschn dn Intrgratonsntrvalln möglch st. Das Gauß sch Fhlrntgral φ(z: z t dt z ( φ

7 7 D Fhlrfunkton (z: ( z z t dt 0 Ds bdn Funktonn sthn n nr ggnstgn Abhänggkt, sodass s sch nnandr übrführn lassn. ( z φ( z z z 0 t t dt φ ( z dt z ösung zum Intgral F : ( ~ F( F( F( ~ ~ ~ ln ln ( ( log ( [ ] [ ] d mt: ln ln ( ( φ φ [ ln( ] [ ln( ] F( F( ~ ~ ln ln ( log ( ( ( φ[ ln( ] 0,5 φ[ ln( ] 0,5 ( φ[ ln( ] φ[ ln( ] Ds Funkton würd d Gsamtht allr Schalldruckquadrat ntlang dr ormalvrtlungskurv angbn, also n Summaton übr sämtlch ssungn wdrsgln. Da wr abr nn ttlwrt rrchnn wolln, muss hr noch d Dvson durch d Anzahl dr ssungn rfolgn. D Anzahl dr ssungn ntsräch hr dm Flächnnhalt dr Glocknkurv zwschn dn Intrvallgrnzn, wlchr b nr Struung von ± dn schon obn angsrochnn Wrt 95,45% 0,9545 bstzt. Damt rgbt sch abschlßnd nun folgnd Funkton.

8 8 F ( F ( ~ ~ ln ln ( log ( 0,9545 ( φ[ ln( ] φ[ ln( ] ( log ( 0,9545 log ( φ [ ln ( ] φ [ ln ( ] Das Ergbns lfrt dn ttlwrt dr quadrrtn Schalldrück bzw. dr Schallnrgn. Um wdr zu nm Schalldruckgl zu glangn, wär dsr Wrt ldglch zur Bass zu logarthmrn. (Gnau gnommn wär dann auch mt dm Faktor zu multlzrn, wnn mt dm zhntn Tl ds Schalldruckgls grchnt wurd. ( ( ~ ln( log ( 0,9545 log φ ln( ( [ ] φ[ ln( ] log F D.h., wr könnn dn ttlwrt dr quadrrtn Schalldrück auch so auffassn, dass dsr sch aus dm arthmtschn ttlwrt rrchnt, dm noch n Korrkturzuschlag k ( zu addrn st. ~ k ( mt: k ( ln( log ( 0,9545 log ( φ[ ln( ] φ[ ln( ] Hr s zur Ernnrung noch rwähnt, dass dr ttlwrt aus dm zhntn Tl dr Schalldruckgl gbldt wurd! (sh und und Da dr Korrkturzuschlag ( k nur n Abhänggkt zur Standardabwchung aufwst, lässt sch vrnfacht n allgmn Brchnungsvorschrft für d ttlwrtbldung angbn. Anhand dr folgndn Tabllnwrt und Dagramm soll gzgt wrdn, wlch Korrkturwrt dm arthmtschn ttlwrt noch zugordnt wrdn müsstn. 5. D Wrt ds Gauß schn Fhlrntgrals φ(z: In dr Tabll dr folgnd St snd tabllarsch d Wrt für vrschdn z 0 3,5 anggbn. φ ( z t z dt

9 9 Tabll : Gauß schs Fhlrntgral z Fhlrntgral φ(z z Fhlrntgral φ(z 0,00 0, ,05 0,5994 0, 0, ,5 0,5596 0,0 0,5796 0,5 0,5987 0,30 0,679 0,35 0, ,40 0,6554 0,45 0, ,50 0,6946 0,55 0, ,60 0,7575 0,65 0,745 0,70 0, ,75 0, ,80 0,7884 0,85 0,8034 0,90 0,8594 0,95 0,8894,00 0,8434,05 0,8534, 0,86433,5 0,87493,0 0,88493,5 0,89435,30 0,9030,35 0,949,40 0,994,45 0,9647,50 0,9339,55 0,93943,60 0,9450,65 0,95053,70 0,95543,75 0,95994,80 0,96407,85 0,96784,90 0,978,95 0,9744,00 0,9775,05 0,9798, 0,984,5 0,984,0 0,986,5 0,98778,30 0,9898,35 0,9906,40 0,9980,45 0,9986,50 0,99379,55 0,9946,60 0,99534,65 0,99598,70 0,99653,75 0,9970,80 0,99744,85 0,9978,90 0,9983,95 0,9984 3,00 0, ,05 0, , 0, ,5 0,9998 3,0 0,9993 3,5 0,9994 3,30 0,9995 3,35 0, ,40 0, ,45 0,9997 3,50 0,99977 Für ngatv Wrt von z glt folgnd Vorschrft: φ( z φ( z mt: φ( 0 φ(

10 6. D Wrt ds Korrkturzuschlags ( Tabll : Korrkturzuschlag k ( k : Standardabwchung Korrkturzuschlag bzgl. Struung /- n db n db 0 0,000 0, 0,000 0, 0,003 0,3 0,008 0,4 0,04 0,5 0,0 0,6 0,03 0,7 0,043 0,8 0,056 0,9 0,07 0,088, 0,7, 0,7,3 0,50,4 0,73,5 0,99,6 0,6,7 0,55,8 0,86,9 0,39 0,353, 0,389, 0,46,3 0,465,4 0,506,5 0,549,6 0,593,7 0,639,8 0,686,9 0, ,786 3, 0,838 3, 0,89 3,3 0,948 3,4,005 3,5,063 3,6,3 3,7,85 3,8,48 3,9,3 4,378 4,,446 4,,55 4,3,585 4,4,657 4,5,730 4,6,805 4,7,88 4,8,958 4,9,037 5,7

11 Dagramm : Korrkturzuschläg n Abhänggkt von Zuschlag zum arthmtschn ttlwrt n db, wnn zwschn Wrtn dr Glocknkurv (± gmttlt wrd. bzgl. Glocknkurv gmttlt (95,45%-Btrachtung ( k,4,,8,6,4, 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 (Standardabwchung n db 7. Rchnbsl mt Schalldruckgln (mt Bnomnalvrtlung Um nr ormalvrtlung annährnd grcht zu wrdn, solln sch d sswrt ds Bsls gmäß nr Bnomnalvrtlung vrhaltn. Für unsrn Fall solln d Bnomnalkoffzntn für n 6 d Anzahl dr Enzlmssungn vorgbn: ssung mt: 67dB 6 ssungn mt: 68dB 5 ssungn mt: 69dB 3 0 ssungn mt: 70dB 4 5 ssungn mt: 7dB 5 6 ssungn mt: 7dB 6 ssung mt: 73dB 7 Das arthmtsch ttl und d dazughörg Standardabwchung snd: 70dB,34dB n 64

12 Aus dr Tabll odr dm Dagramm kann dr Korrkturzuschlag n Abhänggkt von dr Standardabwchung ntnommn wrdn. Dsr würd für, 34 db dn thortschn Wrt von 0,35 db annhmn. (,34dB 0, db k 35 womt sch folgnds Rsultat rgäb: ( 70dB 0,35dB 70, db ~ k 35 D Frag st nun, wlchr Untrschd lgt zwschn dsm Wrt und dm korrkt rrchntn ttlwrt aus dn quadrrtn Schalldrückn? 3 3 log... db log db Würd man d Bslmssungn hr nstzn, dann rgbt sch dr ttlwrt: 70, 7dB Das bdutt nn rlatvn Fhlr von 0,053% zwschn dm Ergbns von ~ und. Insofrn kann man hr schon von nr adäquatn Annährung mttls ns rrchntn Korrkturzuschlags srchn, dr dm arthmtschn ttlwrt hnzugrchnt wrd. Wchtg st jdoch, dass kn zu großn Schalldruckgl außrhalb dr gstztn Grnz zuglassn wrdn, da hr dr onntll Charaktr dr Schallnrgn n ntschdndm aß Enfluss auf d Korrkturzuschlag nmmt, dsn also übrmäßg anwachsn lässt. Im folgndn Abschntt soll dsr Enfluss dargstllt wrdn, wnn wr d Glocknkurv übr dn gsamtn Brch (von - bs ntgrrn. 8. D ttlwrtbldung übr d gsamt ormalvrtlung Als Ausgangsglchung soll nun gltn: F( ~ d ln( log ( ~ [ ] F(

13 3 mt: ( c ln ( c ln und mt: c somt: [ ] [ ] bzw.: ( φ Damt rsultrt d Glchung: F ( ~ ln ( log ( ln ( mt dm gmttltn Wrt ~ und dm Korrkturzuschlag ( k : ~ k k ( ( ln( Dagramm : Korrkturzuschläg n Abhänggkt von Zuschlag zum arthmtschn ttlwrt n db, wnn zwschn Wrtn dr Glocknkurv (± bzw. (± gmttlt wrd. ( k ( k,4,,8,6,4, 0,8 0,6 0,4 0, 0 bzgl. Glocknkurv gmttlt (95,45%-Btrachtung bzgl. Glocknkurv gmttlt (0%-Btrachtung 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 (Standardabwchung n db k ( ( k

14 4 9. D ttlwrtbldung von zw sswrtn Zum Schluss soll auch noch dr nfachst Fall nr ttlwrtbldung bhandlt wrdn, nämlch dn zwschn zw Schalldruckgln. D Brchnung dr Standardabwchung vrnfacht sch dahnghnd, dass ldglch d Dffrnz dr bdn Schalldruckgl halbrt wrdn muss. Es s: arthmtschr ttlwrt: Standardabwchung: Dr korrkt gmttlt Wrt aus dn Schalldrückn wär daggn: log log log log ( ( log log log log log log log k ( Dr Korrkturwrt k st dmnach: k log log ( Tabll 3: Korrkturzuschlag k

15 5 Dagramm 3: Korrkturzuschlag k Zuschlag zum arthmtschn ttlwrt n db, wnn zwschn Wrtn gmttlt wrd. db-zuschlag / für Wrt,400,00,000,800,600,400,00,000 0,800 0,600 0,400 0,00 0, ,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 /- (Standardabwchung n db. Rchnbsl mt Schalldruckgln (ttlwrtbldung 77dB 79dB arthmtschr ttlwrt: Standardabwchung: 78dB db k log log ( 4,4dB db 3,0dB 0, 4dB k 78, 4dB log 78, 4 db