8. Schwingkreise. Reihenschwingkreis

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1 . Schwingkreise Moeller et.al.: Grundlagen der Elektrotechnik,. Auflage, Teubner Verlag 996, Seite ff Paul,.: Elektrotechnik, Springer Verlag, 3. Auflage 993, Seite 5 ff, Pregla,.: Grundlagen der Elektrotechnik, 6.Auflage Hüthig Verlag, Seite 65 ff Wolff,.: Grundlagen der Elektrotechnik, Verlagshaus Nellissen-Wolff 997, Seite 57 ff eihenschwingkreis Z = + jω -j ω = + j(ω - ) ω kapazitiv = esonanz induktiv esonanzfrequenz: Bei der esonanzfrequenz ω ist im eihenschwingkreis nur der ohmsche Widerstand wirksam, die Beträge der Blindwiderstände sind gleich groß. X = ω = = X ω mit ω = => X = = X esonanzblindwiderstand oder Kennwiderstand

2 Gütefaktor Q: eihenschwingkreis Der Gütefaktor Q ist das Verhältnis der zwischen den Energiespeichern ( und ) hin und her pendelnden Blindleistung zur insgesamt verbrauchten Wirkleistung bei esonanz. Q = X = X = ω = ω = dimensionslos Der Kehrwert des Gütefaktors Q wird als Verlustfaktor (Dämpfung) bezeichnet: d = /Q je kleiner umso GÖSSE Q umso kleiner d Beim idealen Schwingkreis = Verstimmung v Ortskurve des komplexen Widerstands Z: X ω ω mit = und = ω X ω => Z = + jx - ω ω mit Q = X / => Z = ( + jqv) v = ω ω - ω ω => Z = + (Qv) ϕ Z = arctan(qv) Verstimmung bei ω = ω ist v = Stromresonanzkurve: iegt der Schwingkreis an einer Spannung konstanter Amplitude und veränderlicher Frequenz, so bestimmt Z die esonanzkurve des Schwingkreisstromes: = Z = + jqv mit = => = + jqv Stromresonanz = bei ω=ω maximal

3 Verstimmung v Verstimmungbetrag v kapazitiv Verstimmung -Frequenz 6 Frequenz (Hz) 6 Frequenz (Hz) induktiv ω =5 Hz Die Verstimmung anstatt der Frequenz als unabhängige Variable zu nehmen, kompensiert die nsymmetrie der mpedanz des eihenschwingkreises links und rechts von der esonanzfrequenz durch das kapazitive bzw. induktive Verhalten. Gesamtimpedanzdarstellungen im Vergleich Z ges (Ω) kapazitiv induktiv 6 Frequenz (Hz) Z ges (Ω) 6 = Güte unendlich = Ω Güte Q = 3 6 Frequenz (Hz) Z ges (Ω) Verstimmung Z ges (Ω) Verstimmung

4 mpedanzortskurve des eihenschwingkreises Z = = + (+ jqv jqv) : Komplexe mpedanzebene A Z = + jqv ϕ Az = arctan(qv) m A Z ϕ Az induktiv Qv e kapazitiv Stromortskurve des eihenschwingkreises = /Z = + jqv Normierung A= / A = + (Qv) ϕ A = -arctan(qv) mit Gütefaktor Q = X / ω ω v = - ω ω Verstimmung m ½ Qv =- Qv=+ 5 Qv = - ½ Qv = ω=ω e Qv = - : ω = Qv = - : ω = ω - ω Qv = : ω = ω Qv = + : ω = ω + ω Qv = + : ω = -½ Qv = + Qv bei ω=ω

5 Parallelschwingkreis Y = + jω -j = + j(ω - ) ω ω induktiv = esonanz kapazitiv esonanzfrequenz: Bei der esonanzfrequenz ω ist im Parallelschwingkreis nur der ohmsche eitwert / wirksam, die Beträge der Blindleitwerte sind gleich groß. Y = ω = = Y ω mit ω = => Y = = Y esonanzblindleitwert Gütefaktor Q: Parallelschwingkreis Güte: Der Gütefaktor Q ist das Verhältnis der zwischen den Energiespeichern ( und ) hin und her pendelnden Blindleistung zur insgesamt verbrauchten Wirkleistung bei esonanz. dimensionslos Q = Y / =Y = Der Kehrwert des Gütefaktors Q wird als Verlustfaktor (Dämpfung) bezeichnet: d = /Q je GÖSSE umso GÖSSE Q umso kleiner d Beim idealen Schwingkreis =

6 Ortskurve des komplexen eitwertes Y Y = + jω -j mit = ω und = Y ω Y ω = + j(ω - ) ω mit Q = Y => Y = ( + jqv) => Y = + (Qv) ϕ Y = arctan(qv) ω ω => Y = + jy - ω ω ω ω v = - ω ω Verstimmung bei ω = ω ist v = Spannungsresonanzkurve: Wird der Schwingkreis mit einem Strom konstanter Amplitude und veränderlicher Frequenz gespeist, so bestimmt Y die esonanzkurve der Schwingkreisspannung : = Y = + jqv mit = => = Spannungsresonanz = bei ω =ω maximal + jqv Vergleich der Schwingkreise eihenschwingkreis Parallelschwingkreis

7 Widerstands-Ortskurven = /Z eihenschwingkreis Z = = + (+ jqv jqv) : + jqv = Normierung A= / A = + (Qv) ϕ A = -arctan(qv) Parallelschwingkreis Y Y = = (+ jqv jqv). = Y = + jqv Normierung A = / A = + (Qv) ϕ A = -arctan(qv) m Z ind Y cap A ϕ A Qv e Widerstandsortskurve des eihenschwingkreises bzw. eitwertortskurve des Parallelschwingkreises Ortskurven von Strom und Spannung m ½ Qv = - = + jqv Qv =- Qv=+ 5 ½ Qv = ω=ω e A = = + jqv + (Qv) -½ Qv = + Qv, bei ω=ω ϕ = -arctan(qv) Ortskurve des Stromes beim Ortskurve der Spannung beim eihenschwingkreis bzw. Parallelschwingkreis

8 Zusammenstellung von Ortskurven Durch die Zusammenschaltung von Widerständen, Kondensatoren und Spulen ergeben sich u.. komplizierte mpedanz-ortskurven.,,6,, esonanzkurven von Strom und Spannung A = + (Qv) Q klein Q groß ω=ω Qv Bandbreite ω abhängig von Q bei Qv = +- Qv 3 Stromresonanzkurve beim eihenschwingkreis (an konst. Spannung) bzw. Spannungsresonanzkurve beim Parallelschwingkreis (an konst. Strom)

9 esonanzkurven der mpedanz Z Verlauf von = + (Qv) Z bzw Y 7 Y = + (Qv) + Ω 6 Q = Q = 5 +(Qv) 3 Q = -,7 -,6 -,5 -, -,3 -, -,,,,3,,5,6,7 v mpedanz Z des eihenschwingkreises, Admittanz Y des Parallelschwingkreises als Funktion der Verstimmung v mit der Güte Q als Parameter. eihenschwingkreis A = = max + (Qv), Parallelschwingkreis A = = max + (Qv) Bandbreite Ω = = Qv =,,6 =,77 Q=, v=,, Q=,, v =,5 Q=, v =,5 Q = Q = Q = -,7 -,6 -,5 -, -,3 -, -,,,,3,,5,6,7 v Stromresonanzkurve des eihenschwingkreises bzw. Spannungsresonanzkurve des Parallelschwingkreises

10 Kondensator - Spule im Schwingkreis S c () Ein auf Gleichspannung c () geladener Kondensator mit der Energie W pot = c / werde zur Zeit t = an eine nduktivität geschaltet und damit der Schwingkreis angestoßen. Folgende Schritte laufen dann qualitativ ab: Die Gleichspannung c () verursacht einen Strom i durch die nduktivität. Er steigt durch den Trägheitscharakter der nduktivität nur langsam an. Dabei beginnt u c (t) zu sinken, denn Feldenergie wird zum Aufbau des Magnetfeldes benötigt. m Nulldurchgang von u c erreicht i sein Maximum: Die Kondensatorenergie ist voll in das Magnetfeld der Spule gewandert. Der Trägheitscharakter des Stromes verleiht ihm die Tendenz des Weiterfließens. Dadurch wechselt das Vorzeichen der induzierten Spannung und die Kapazität wird mit umgekehrter Spannungsrichtung geladen: Abbau der magnetischen Feldenergie, Aufbau der Kondensatorenergie. Die steigende Kondensatorspannung bremst den Stromfluss schließlich auf Null, und der Vorgang beginnt erneut. ngedämpfte Schwingung u(t) i(t) Gesamte Energie in t Gesamte Energie in W Hälfte von W ges je in W und W Wges W = (/) W = (/) t

11 Der Maschenumlauf ergibt: u + u = () di idt + dt = () einmal differenzieren mit () = const. und durch teilen Schwingungsgleichung d i i + d = t ösung: i(t) = î sin(ω t) mit ω = u c (t) () i(t) DG. Ordnung einer periodischen Schwingung Q = î = ω î = u (t) Berechnung der Energie in und u (t)= i(t)dt =- î cos(ω t) ω W (t)= (t) = û (cos (ω t)) u (t)= di(t) dt W (t)= û = ω î cos(ω t) (t) = î (sin (ω t)) mit cos α = W (t)= (+ cos(α)) û (+cos(ω t)) mit sin α = (- cos(α)) W (t)= î (- cos(ω t))

12 Gedämpfte Schwingungen Wird zusätzlich ein ohmscher Widerstand in den Kreis geschaltet, dann wird in diesem Widerstand ein Teil der Energie in Wärme umgesetzt. Die für die Schwingung zur Verfügung stehende Energie nimmt ständig ab. u + u + u = einmal differenzieren und durch teilen d i di + + i = d t dt u c (t) u (t) u (t) i(t) idt + di + i dt = DG. Ordnung einer abklingenden Schwingung ösung: i(t) = ie dω t sin( d ω t) mit d = Dämpfung und ω = ω i(t) = î e - dω t sin( - d ω t) mit d = Dämpfung ω und ω = esonanzfrequenz u c (t) u (t) i(t) u (t) Die veränderte Eigenfrequenz ist: ω = ω - d mit δ = ω d ω = ω - δ und î = ω darin sind δ = und ω = die Abklingzeitkonstante i(t) = î e - δ t sin(ω t) die esonanzfrequenz des ungedämpften Schwingkreises; und ω die Eigenkreisfrequenz, die für = => δ= mit ω übereinstimmt

13 Abklingverhalten i(t) = î e - δ t sin(ω t) i î = ω i(t) e -δt sin(ω t) t Erzwungene Schwingungen Die Schwingung erfolgt mit der Frequenz der Erregung. Dabei finden folgende Energieumsetzungen statt: (t) Energiependelung zwischen den Speichern (Blindleistung) msatz von Energie in Wärme (Verluste, Dämpfung) Bei esonanz ω = ist die Blindleistung beider Speicher gleich, die zugeführte Energie ist nur Dämpfungsenergie. Der Kreis ist ein reiner Wirkwiderstand. Bei veränderlicher Frequenz wirkt der Kreis als veränderlicher Scheinwiderstand. Dabei ändern sich: der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom, die Amplitude von Spannung oder Strom in Abhängigkeit von der Art der Quelle (Strom- oder Spannungsquelle).

14 esonanz eihenschwingkreis Parallelschwingkreis Zusammenfassung ω = X =X =X c = esonanzfrequenz Q= Q = Gedämpfte Schwingungen: Amplitude klingt exponentiell ab ω ω v = - ω ω Verstimmung Gütefaktor, Z min in esonanz Gütefaktor, Z max in esonanz Erzwungene Schwingungen: Anregung mit ω ω Nächste Vorlesung Anwendungen von Schwingkreisen