Der Primzahlsatz, Teil 1. 1 Erste Abschätzungen zum Primzahlsatz

Transkript

1 Der Primzahlsaz, Teil Vorrag zum Seminar zur Funionenheorie, Raffaela Biesenbach Diese Arbei beschäfig sich mi der Herleiung des Primzahlsazes. Dazu werden Definiionen und Säze aus dem Sri zur Analyischen Zahlenheorie von Herrn Prof. Krieg verwende siehe Lieraurverweis []). Die Variable soll immer als P versanden werden. 0.) Definiion Primzahlsaz) π) ln) wobei π die Primzahlzählfunion π : [0, ) R, π) := { P; } is. Dieser Saz wurde 896 von Hadamard und De La Vallée Poussin bewiesen. Erse Abschäzungen zum Primzahlsaz Für die ersen Abschäzungen behilf man sich folgender Funionen: Benöige Funionen.) Definiion Die Mangold-sche Lambda-Funion) Die Mangold-sche Lambda-Funion Λ : N C, Λn) = { ln) falls n = N 0, sons vgl. Saz.5) aus []).) Definiion Die Chebyshev-sche si-funion ) Ψ : [0, ) R, Ψ) := Λn) n vgl. Definiion 5.) aus [])

2 Primzahlsaz, Teil Erse Abschäzungen zum Primzahlsaz.3) Definiion Die Chebyshev-sche hea-funion) ϑ : [0, ) R, ϑ) := ln, P vgl. ebd.).4) Definiion charaerische Funion χ von P) χ P n) = {, falls n P 0, falls n P.5) Saz Abelsches Lemma) Sei f : N C eine zahlenheoreische Funion und F : [0, ) C, F) := f n) n Is die Funion g : [a, b] C, 0 < a < b, seig und sücweise seig differenzierbar, so gil b f n) gn) = Fb) gb) Fa) ga) F) g )d a<n b a vgl. Saz 4.) aus []) Erse Abschäzungen.6) Lemma Für > 0 gil: insbesondere ha man 0 Ψ) ϑ) Ψ) lim ln ) ln ϑ) ) = 0

3 Primzahlsaz, Teil Erse Abschäzungen zum Primzahlsaz Ψ) := Λn) = n sein. Da m m ln für m N. Diese Summe is 0, falls < is, also soll m, m is, muss also gelen: m ln m ) ln m ln ln m ln ln Also ha man Dami is Ψ) = m ln ln m ln = ϑ m ) m ln ln 0 Ψ) ϑ) = ϑ m ) ϑ / ) = ϑ m ) m ln ln m ln ln Aus der Definiion von ϑ und der Tasache, dass der ln sreng monoon wachsend is folg und somi ϑ) = ln ln ln 0 Ψ) ϑ) ln m ln m ) ln ln ln m ln ln m ln ln = ln ln ln ln ) ln Dividier durch erhäl man das gewünsche Ergebnis: 0 Ψ) ϑ) ln ) ln ln ) ln Da jede Poenz schneller wächs als der Logarihmus is lim = 0 und dami ) = 0. lim Ψ) ϑ) 3

4 Primzahlsaz, Teil Erse Abschäzungen zum Primzahlsaz Wir werden nun eine weiere Umformung der ϑ- Funion vornehmen und auch die Primzahlzählfunion mihilfe dieser darsellen..7) Lemma Für alle gil a) ϑ) = π) ln b) π) = ϑ) ln + a) Es gil ϑ) = ln = χ P n) lnn). <n π) ϑ) ln d d Wende man Saz.5) auf f = χ P n), F) = π), g) = ln, a =, b = an, dann gil π) = = χ P n) = F) und man erhäl <n Gleichung ϑ) = <n χ P n) lnn) = π) ln) π) ln) }{{} =0 = π) ln) b) Wende man denselben Saz an auf π) d π) d f n) = χ P n) lnn), F) = ϑ), g) = ln, a = 3, b =, folg Gleichung π) = 3 <n f n) = ϑ) ln) + ln n = ϑ) ln) ϑ 3 ) ln 3 }{{ ) ) } ϑ 3 )=0 ϑ) ln d 3 ϑ) ln d 4

5 Primzahlsaz, Teil Erse Abschäzungen zum Primzahlsaz Beache 3/ ϑ) ln d = ϑ) ln d, weil ϑ) = 0 für <. Wenn man nun Gleichung ) durch dividier, erhäl man Gleichung 3 ϑ) = π) / ln) π) d Und Gleichung wird zu Gleichung 4, wenn durch geeil wird. ln) Gleichung 4 π) / ln) = ϑ) + ln) ϑ) ln d Äquivalene Charaerisierungen des Primzahlsazes Die Gleichungen 3 und 4 erleichern den zu folgenden äquivalenen Charaerisierungen des Primzahlsazes.8) Saz Die folgenden Aussagen sind äquivalen i) π) / ln) ii) ϑ) iii) Ψ) i) ii) : Wegen Gleichung 3 genüg es zu zeigen, dass lim Nach i) is π) eisier für das gil: ln. Das bedeue π) / ln π) / ln, 5 0 π) d = 0.. Daraus folg, dass ein o R Da die Funion π) / ln sücweise seig is auf [, 0] π) ers ab = größer 0), nimm sie dor ihr Maimum M an und es folg: π) / ln c für c := ma{, 5; M} 5

6 Primzahlsaz, Teil Erse Abschäzungen zum Primzahlsaz Also gil π) c ln. Dami folg 0 π) d c ln d = c ln d + ln d c ln ) + c ln + c ) ln) = ln ) ) ) = c ln c + c ) ) ln ln ln) ii) i) Wegen Gleichung 4 genüg es zu zeigen, dass lim Nach der Voraussezung ii) is ϑ). Das bedeue ϑ) dass ein o R eisier für das gil: + ) ln 0 ϑ) d = 0. ln. Daraus folg, Da die Funion ϑ) an und es folg: Also gil ϑ) c. ϑ), 5 0 sücweise seig is auf [, 0 ], nimm sie dor ihr Maimum K ϑ) c für c := ma{, 5; K} Dami gil: 0 ln c ln ϑ) ln d c ln ln d c ln ) ln + ) ) ln ln d + ln d c ln ln + 4c ln 0 ii) iii) Dies wurde in Lemma.6) bewiesen. Nun folg eine Abschäzung für die si-funion: 6

7 Primzahlsaz, Teil Erse Abschäzungen zum Primzahlsaz.9) Lemma Es gib ein c > 0, so dass für alle gil Ψ) c Für alle Primzahlen mi n < n gil n n ) = n n+j j. Bei diesem Produ j= omm jedes als n + j, j {,..., n} vor, jedoch nich als j, wodurch der Quoien nich geürz werden ann. Das heiß jedes omm in der Primzahlzerlegung von n n ) vor und es gil: n< n ) n n n =0 ) n = n =0 binom. Formel n ) n {}}{ = + ) n = n Wenn man den ln auf die Ungleichung n< n n anwende, gil ) ln n< n ln n ) Mi den Rechengesezen des Logarihmus gil ln n ln n< n und wenn man nun noch n = j sez, ha man also ln = j= j < j ln = geom. Summenformel j < j ln j ln j= j ln ) = j= j {}}{ ) ln = + ln + ln Wähl man nun mi <, so ergib sich ) ϑ) = ln ln + ln = {}}{ 4 ln 4 ln 7

8 Primzahlsaz, Teil Beschäfigung mi der RIEMANNschen Zeafunion Wie in.6) folg nun für alle Ψ) = ϑ m ) m ln ln m ln ln 4 ln /m = 4 ln m + 4 ln m ln ln 4 ln + 4 ln 4 ln + ln ln 4 ln c m ln ln Anmerung zu der lezen Abschäzung: a + b ln a + b ln c c Denn a + b ln α, weil der Logarihmus schwächer wächs als jede osiive Poenz und. Also eisieren c, 0 mi a + b ln c 0. Da die Funion f ) = a + b ln sücweise seig is, nimm sie auf [, 0 ] ihr Maimum K an und es gil: a + b ln c für c := ma{ c, K }. Beschäfigung mi der RIEMANNschen Zeafunion.) Definiion RIEMANNsche Zeafunion) ζ : {s C; Res) > } C, s ζs) = n s Die Zeafunion is holomorh auf ihrem Definiionsbereich..) Saz ζs) besiz eine meromorhe Forsezung in die Halbebene Res) > 0. Die Forsezung ζs) is holomorh bis auf einen einfachen Pol mi Residuum bei s =. Es gil ζs) = 0 für alle s C mi Res) > und ζs) < 0 für alle 0 < s < 8

9 Primzahlsaz, Teil Beschäfigung mi der RIEMANNschen Zeafunion Zunächs soll gezeig werden, dass ζs) eine meromorhe Forsezung in die Halbebene Res) > 0 besiz und diese dor holomorh is bis auf einen einfachen Pol bei s =. Man berache die Funionen Fs) := s ) ζs) = hn) = {, falls n gerade n s 0, falls n ungerade Gs) := 3 s ) ζs) = n) s = = n s n s hn) n) s, hn)) n s ) n+ n s 3 3n) s = gn) n s, wobei gn) = - für n 0 mod 3) und gn) = sons. Dies muss so gelen, weil bei n s 3 3n) s für alle n N, die ein Vielfaches von 3 sind gil, dass n s 3n s = n s gerechne wird. Somi erfüll gn) die gewünsche Bedingung. Es gil aber N ) n+, N gn) }{{} N N und N gn) sowie N ) n+ divergieren, weil gn)) n N und ) n+) n N eine Nullfolgen sind. Dami sind die Bedingungen erfüll, dass man 4.8) aus [] anwenden darf, um die Konvergenzabzisse der beiden Funionen Fs) und Gs) zu besimmen: σ b G) = lim su N ln n N gn) ln N = 0 und σ b F) = lim su N ln n N ) n+ ln N = 0, weil der Zähler jeweils wie oben gezeig) begrenz is und der Logarihmus sreng monoon wächs. 9

10 Primzahlsaz, Teil Beschäfigung mi der RIEMANNschen Zeafunion Die absolue Konvergenzabzisse lieg jeweils bei, weil lim ) n+ = und n lim gn) = und σ lnn) a = lim n N lnn) =. Nach 4.4) aus [] sind die DIRICHLET-Reihen Fs) und Gs) holomorh für Res) > 0. Also is ζs) = Fs) s bzw. ζs) = Gs) 3 s als Quoien holomorher Funionen holomorh für Res) > 0 bis auf evenuelle einfache Pole an den Sellen s = + πi ln bzw. s = + l πi ln 3 mi, l Z Es handel sich um einfache Pole, weil bei s und 3 s für die gerade genannen Sellen s einfache Nullsellen vorliegen. Zwei holomorhe Forsezungen müssen auf dem Bereich, auf dem sie holomorh sind gleich sein. Deshalb müssen auch die möglichen Pole an den gleichen Sellen vorliegen. ln = l ln 3 Da ln 3 = l ln e ln 3) = el ln ) 3 = l, lieg für = l = 0 die einzige Singulariä. Ordnung bei s =. Nach dem Saz von LANDAU 4.9) in [] ann an der Selle σ a = eine hebbare Singulariä vorliegen. Deshalb muss an dieser Selle eine Polselle sein. Weier wird gezeig, dass Res s= ζs) = is: Nach der Poenzreihenenwiclung des Logarihmus gil F) = = ln, somi gil denn Fs) F) Res s= ζs) = lim s ) = s s ln =, s lim s s ) = d ds s ) s= = d ds e s) ln ) s= = e s) ln ) ln ) s= = s ln ) s= = ln) ) n+ n Weier zu zeigen: ζs) = 0 für alle s C mi Res) > : 0

11 Primzahlsaz, Teil Beschäfigung mi der RIEMANNschen Zeafunion Für Re s) > gil nach 4.) in [] { ) ζs) µn) n s falls n = = µn) = 0, sons j P w. versch. also ζs) = 0, denn wenn ein Produ ergib, ann ein Faor 0 sein. Zum Abschluss bleib zz., dass ζs) < 0 für alle 0 < s < : Is s R mi 0 < s <, so ha man Fs) = ) n+ n s > 0 denn die Folge ) n+ n s) is sreng monoon fallend und somi is der n N Anfangswer bei n = der größe. Dieser is osiiv. Es lieg also eine Folge von abwechselnd osiiven und negaiven Zahlen vor, wobei bei jedem Paar von einer osiiven und einer negaiven Zahl die Posiive die größere Zahl is. Da außerdem s < 0 is, gil insgesam ζs) < 0. Dami wurden bereis einige Eigenschafen der Zeafunion demonsrier. Es folg ein Korollar zur Nullsellenfreihei der ζ-funion auf einem besimmen Gebie..3) Korollar Sei M) = n µn) und θ = inf{σ R; M) = O σ ) für }. Dann is die RIEMANNsche Zeafunion nullsellenfrei auf der Halbebene {s C; Res) > θ} is. Die Möbius-sche µ-funion is eine zahlenheoreische Funion. Wenn man θ für die Konvergenzabzisse σ b schreib, gil nach 4.8) in []: Wenn D f s) = Zeige also, dass µn) n s für 0 an der Selle s = 0 divergier, so gil θ = inf{σ R; M) = O σ ) für }. D f s) = µn) divergier: Da µn) eine Nullfolge is, weil µn) immer wieder die Were und annimm, ann µn) nich onvergieren.

12 Primzahlsaz, Teil Beschäfigung mi der RIEMANNschen Zeafunion Nach Korollar 4.) aus [] is ζs) = µn) n s für Res) >. Falls nun θ > is, onvergier ζs) = µn) n s auf der Halbebene {s C; Res) > θ}. Also is dor insbesondere definier, weshalb gelen muss ζs) = 0 auf der Halbebene ζs) {s C; Res) > θ}. Falls 0 ϑ gil, läss sich ζs) über µn) n s bis Res) > ϑ holomorh forsezen. Die Forsezung von ζs) muss dor nullsellenfrei sein. Es folg eine Abschäzung mi der Zeafunion:.4) Lemma Für σ > und R gil ζ 3 s) ζσ + i) 4 ζσ + i) Voraussezungen: a) Für n = m gil: b) Λn) n= lnn) n s = P m= ln ln m ) m ) s = P m= ln m ln) ms = P m= m ms s=σ+i ms {}}{ = e ms ln ) = e[ mσ + i) ln ] = e mσ ln ) e mi ln ) = mσ im ln e c) d) Also is e z = e Rez) für alle z C e iz) = cos z) + i sin z) = cosz) + i sin z), z R Ree iz)) = cosz), z R

13 Primzahlsaz, Teil Beschäfigung mi der RIEMANNschen Zeafunion Nach 4.8) aus [] gil für s = σ + i C mi σ = Res) > ζs) = e Gs), Gs) = Daraus folg Λn) lnn) n s a) {}}{ = c) d) {}}{{}}{ ζs) = eregs))) = e m= m ms m= b) {}}{ = m= ) m mσ cosm ln ) m mσ im ln e und dami ζ 3 σ) ζσ + i) 4 ζσ + i) = e = e = e m= m= ) 3 m mσ e e m= ) m mσ 3 e e m= m= m= m mσ cosm ln ) m= m mσ cosm ln ) ) 4 m mσ cosm ln ) ) ) m mσ cosm ln ) 4 ) m mσ cosm ln ) + cosm ln )). ) Wegen cosϕ) + cosϕ) = cosϕ) + cos ϕ) = + cos ϕ) 0 m= m mσ cosm ln ) + cosm ln )) 0 und wenn man nun is auch die Eonenialfunion auf diese Summe anwende, is das Ergebnis. Insgesam folg ζ 3 σ) ζσ + i) 4 ζσ + i) 3

14 Primzahlsaz, Teil Beschäfigung mi der RIEMANNschen Zeafunion In dem folgenden Korollar wird man sehen, wie Dirichle-Reihen und die Zeafunion in Zusammenhang gebrach werden önnen..5) Korollar Gegeben seien die DIRICHLET-Reihe sowie die Funion Ds) := σ ai n) n s mi σ ai n) := d ai d n f s) = ζs) ζs + ai)ζs ai) ζs) mi a R fes. Dann gelen die folgenden zwei Annahmen: a) Sei σ die Konvergenzabzisse von D. Dann gil f s) = Ds) für alle s mi Res) > maσ, 0). Da f ) = D ) unmöglich is, folg σ. b) Die Annahme ζ + ai) = 0 sell einen Widersruch zum Saz von LAND- AU dar. a) Man benuze aus Aufgabe 7c), Seie 43 in []: ζs) ζs) = wn) n s mi wn) := Anzahl der verschiedenen Primeiler von n Des weieren gil Dami is ζs + ai) = f s) = ζs) ζs + ai) ζs ai) ζs) n ai n s und ζs ai) = n ai n s = wn) n s n ai n s n ai n s. Dieses Produ läss sich nach der Dirichleschen-Falung.3) in [] berechnen. wn) n s [ = n ai n s n ai n s ] we) b ai c ai n s = Ds) ebc=n 4

15 Primzahlsaz, Teil Beschäfigung mi der RIEMANNschen Zeafunion Auf diesem Wege ann man die Gleichhei zeigen. b) f s) = ζs) ζs + ai) ζs ai) is holomorh für s C \ {, + ai, ai, ζs) }, a R fes und is nullsellenfrei für alle s C mi Res) > nach Saz 5.6) aus []. Nach Voraussezung gil, dass ζ + ai) = 0. Daraus folg, dass ζ ai) = n nai = n eai ln n = An der Selle s = n e ai ln n = n +ai) = ζ + ai) = 0 = 0. ) n ai) = f ) = ζ) ζ+ai) ζ ai) ann man f s) dann holomorh ζ) forsezen, weil die doele Nullselle die zweifache Polselle bei ζ) wegheb. Die Funion ζs) ha an der Selle s = einen einfachen Pol nach.). Deshalb an dieser Selle eine hebbare Singulariä und dami auch f s). ha ζs) Aus a) wissen wir, dass Ds) = f s) für alle s mi Res) > ma{σ, 0} gil, wobei σ die Konvergenzabzisse von D is. σ = ann nich die Konvergenzabzisse von D sein, weil Ds) an der Selle s = nach dem Saz von Landau 4.9) in []) eine hebbare Singulariä haben darf. Mi f s) haben wir jedoch gezeig, dass dor eine vorlieg. Das Gleiche gil an der Selle s =. Wäre σ = die Konvergenzabzisse von Ds), dann dürfe an dieser Selle eine hebbare Singulariä vorliegen, u es aber, wie mi f gezeig. Die Konvergenzabzisse müsse also lins von liegen. Nach a) gil aber σ. Widersruch. Lieraurhinweis [] Krieg, Aloys, Prof. Dr. 009). Analyische Zahlenheorie, Lehrsuhl A für Mahemai, RWTH Aachen Universiä. 5