Brückenkurs Mathematik. Jörn Steuding (Uni Würzburg), 27. Januar 2018

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1 Brückenkurs Mathematik Jörn Steuding (Uni Würzburg), 27. Januar 2018

2 unser Programm 11. November: 1. Zahlen und einfache Gleichungen Zahlen, Rechengesetze, lineare u. quadratische Gleichungen, Dezimalbrüche, ein wenig Geometrie 25. November: 2. Folgen und Grenzwerte Konvergenz und Divergenz, geometrische Reihe 9. Dezember: 3. Funktionen Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrale 23. Dezember: Evaluation & Weihnachtsfeier Das Haus vom Nikolaus, Königsberger Brückenproblem 13. Januar: 4. Graphen Euler-Kreise, Planarität, Färbbarkeit 27. Januar: 5. Vektoren und Gleichungssysteme Addition, Vektorräume, explizites Lösen von Gleichungssystemen 10. Februar: 6. Wahrscheinlichkeitstheorie & Abschluss Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsräume, Laplace-Experimente

9 5. Vektoren und Gleichungssysteme

10 ein unrealistisches Beispiel aus der Wirtschaft Ein Landwirt besitzt ein Feld von 30 Quadratmetern Fläche und möchte dort Mais und Kartoffeln anbauen. Ein Zentner Mais bzw. ein Zentner Kartoffeln benötigt 10 Quadratmeter Boden. Wie viel Zentner Mais und Kartoffeln kann er auf dem Feld anbauen? Ein Zentner sind 50 Kilogramm.

11 Ungleichungen Ein Landwirt besitzt ein Feld von 30 Quadratmetern Fläche und möchte dort Mais und Kartoffeln anbauen. Ein Zentner Mais bzw. ein Zentner Kartoffeln benötigt 10 Quadratmeter Boden. Bezeichnet x die Zentner Mais und y die Zentner Kartoffeln, so liefert die Feldgröße die Ungleichungen 10x + 10y 30 bzw. x +y 3. Nebenbei gelten natürlich noch x 0 und y 0.

12 eine Visualisierung Wir visualisieren die Ungleichung x +y 3 für die x Zentner Mais und die y Zentner Kartoffeln in einem Koordinatensystem durch die Gleichungen: x +y = 3 & x = 0 & y = Wo liegen unsere Lösungen?

13 eine Visualisierung Wir visualisieren die Ungleichung x +y 3 für die x Zentner Mais und die y Zentner Kartoffeln in einem Koordinatensystem durch die Gleichungen: x +y = 3 & x = 0 & y = Die Lösungen liegen im Inneren des durch die Geraden begrenzten Gebietes.

14 und noch ein Problem! Das Saatgut für einen Zentner Mais kostet 3 Euro und 2 Euro für einen Zentner Kartoffeln. Es stehen 8 Euro zur Verfügung. Dies liefert uns wieder Bedingungen, wie viel Mais und Kartoffeln angebaut werden können: 3x + 2y 8 & x 0 & y 0. Wir visualisieren diese Ungleichungen wie zu vor und erhalten...

15 und noch ein Problem! Das Saatgut für einen Zentner Mais kostet 3 Euro und 2 Euro für einen Zentner Kartoffeln. Es stehen 8 Euro zur Verfügung. Dies liefert uns wieder Bedingungen, wie viel Mais und Kartoffeln angebaut werden können: 3x + 2y 8 & x 0 & y 0. Wir visualisieren diese Ungleichungen wie zu vor und erhalten...

16 ... noch mehr Geraden Die Punkte (x,y) in dem dunkelgrauen Viereck sind realisierbar. Damit verwandt ist die in Anwendungen wichtige Simplexmethode...

17 eine Entscheidung Der Landwirt entscheidet sich für den Punkt, an dem er also sein Geld für die maximale Ernte ausgibt Das ist der Schnittpunkt beider Geraden! Wie berechnet man den?

18 ein System von linearen Gleichungen Der Schnittpunkt der beiden Geraden erfüllt die beiden linearen Gleichungen: x +y = 3, 3x + 2y = 8. Man kann dies durch Auflösen einer Gleichung nach beispielsweise y y = 3 x und anschließendes Einsetzen in der anderen Gleichung lösen: 3x + 2(3 x) = 8, denn dann liegt nur noch eine lineare Gleichung in x vor...

21 eine lineare Gleichung Die allgemeine lineare Gleichung in einer Unbekannten ax = b mit a 0 lösen wir durch Multiplikation mit dem Inversen von a: x = a 1 b = b a. Wäre es nicht schön, wenn man so auch zwei lineare Gleichungen in zwei Unbekannten lösen könnte?

22 eine lineare Gleichung Die allgemeine lineare Gleichung in einer Unbekannten ax = b mit a 0 lösen wir durch Multiplikation mit dem Inversen von a: x = a 1 b = b a. Wäre es nicht schön, wenn man so auch zwei lineare Gleichungen in zwei Unbekannten lösen könnte?

23 eine lineare Gleichung Hierzu schreiben wir das lineare Gleichungssystem von oben x +y = 3, 3x + 2y = 8 um in die Form ( ) ( x y ) = ( 3 8 ). In der Matrix links stehen die Koeffizienten der Unbekannten und die rechte Seite des Gleichungssystems bildet den Vektor rechts. Die Multiplikation von Matrix und Vektor erfolgt nach dem Muster Zeile Spalte komponentenweise: zum Beispiel zweite Zeile mit der einzigen Spalte: 3 x + 2 y = 8.

24 ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Wir schreiben die Einträge aus der Matrix und dem Vektor auf der rechten Seite in ein Schema und lassen den Vektor mit den Unbekannten weg: Mit Blick auf die Einträge in der ersten Spalte ziehen wir das 3-fache der ersten Zeile von der zweiten ab und erhalten: Tatsächlich ist dies:

27 die Zeilenstufenform Mit unseren Umformungen haben wir die Lösungsmengen der jeweiligen linearen Gleichungen nicht verändert! Also ist folgendes lineares Gleichungssystem äquivalent zu unserem obigem: Wir multiplizieren die zweite Zeile mit 1 und erhalten Auch das hat die Lösungsmengen nicht verändert. Nun fügen wir die Unbekannten x und y wieder ein und lesen aus der zweiten Gleichung unmittelbar ab: 0 x + 1 y = 1. Einsetzen dieses Wertes in die erste Zeile liefert die Lösung für x...

31 die komplette Lösung Wir können aber auch noch durch Subtraktion der zweiten Zeile weiter vereinfachen: bzw Dem lesen wir die Lösung ab: x = 2 & y = 1.

32 die komplette Lösung Wir können aber auch noch durch Subtraktion der zweiten Zeile weiter vereinfachen: bzw Dem lesen wir die Lösung ab: x = 2 & y = 1.

33 der Fürst der Mathematik Carl Friedrich Gauß entwickelte diesen sogenannten Gauß-Algorithmus Anfang des 18. Jahrhunderts; er lässt sich leicht auf beliebige lineare Gleichungssysteme verallgemeinern. In der Praxis sind mit Computerhilfe manchmal hunderte von Gleichungen in hunderten von Unbekannten zu lösen... Gauß lebte von 1777 bis Neben der Mathematik hat er wichtige Beiträge in Physik und Astronomie sowie bei der Landvermessung geleistet.

34 ...und jetzt noch einmal! Wir lassen diese Rechenschritte jetzt noch einmal ablaufen, allerdings diesmal mit einer anderen rechten Seite: Wir erzeugen wieder eine Null in der ersten Spalte: bzw Und durch Subtraktion der zweiten Zeile entsteht...

37 ...und jetzt noch einmal! Das schaut nun links so aus, wie das, was wir zu Beginn rechts hatten: Wir fassen die 2 2-Blöcke als Matrizen auf: A E E B und...

40 Matrixmultiplikation... und berechnen nach dem Muster Zeile Spalte die Produkte ( ) ( ) ( ) B A = = = E

41 mit Skalarprodukten... und berechnen nach dem Muster Zeile Spalte die Produkte ( ) ( ) ( ) B A = = = E Hier haben wir beispielsweise gerechnet = 1 Dieses Produkt von Vektoren nennt man ein Skalarprodukt. Ganz ähnlich zeigt man A E = A = E A und E ( x y ) = (x y ).

42 mit Skalarprodukten... und berechnen nach dem Muster Zeile Spalte die Produkte ( ) ( ) ( ) B A = = = E Hier haben wir beispielsweise gerechnet = 1 Dieses Produkt von Vektoren nennt man ein Skalarprodukt. Ganz ähnlich zeigt man A E = A = E A und E ( x y ) = (x y ).

43 Magie! Damit erfüllt sich ein Traum: Wir können lineare Gleichungssysteme lösen wie lineare Gleichungen: Oben hatten wir ( ) ( ) ( ) 1 1 x 3 =. 3 2 y 8 Die Matrix links hatten wir A genannt. Wir multiplizieren von links mit B und erhalten so ( ) ( ) x 3 B A = B y 8

44 Magie! Damit erfüllt sich ein Traum: Wir können lineare Gleichungssysteme lösen wie lineare Gleichungen: Oben hatten wir ( ) ( ) ( ) 1 1 x 3 =. 3 2 y 8 Die Matrix links hatten wir A genannt. Wir multiplizieren von links mit B und erhalten so ( ) ( ) x 3 B A = B y 8

45 Magie! Damit erfüllt sich ein Traum: Wir können lineare Gleichungssysteme lösen wie lineare Gleichungen: Oben hatten wir ( ) ( ) ( ) 1 1 x 3 =. 3 2 y 8 Die Matrix links hatten wir A genannt. Wir multiplizieren von links mit B und erhalten so ( ) ( ) x 3 B A = B y 8 Weil B A = E und E bei Multiplikation Vektoren nicht verändert, ergibt sich so die Lösung: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x = E = B = =. y y

46 Matrizenmultiplikation formal Wir haben also mit B die zu A inverse Matrix ausgerechnet und durch Multiplikation die Lösung gewonnen. Das lässt sich wesentlich verallgemeinern: Schreiben wir eine Matrix in der Form A 11 A 12 A A = (A ij ) = A 21 A 22...,... dann lautet die Formel für die Matrizenmultiplikation (A ij ) (B jk ) = j A ij B jk. Diese Multiplikation ist nicht-kommutativ, d.h., es gibt Matrizen C,D, für die C D D C gilt. Diese Überraschung und Matrizen spielen eine große Rolle in der Quantenphysik!

47 Matrizenmultiplikation formal Wir haben also mit B die zu A inverse Matrix ausgerechnet und durch Multiplikation die Lösung gewonnen. Das lässt sich wesentlich verallgemeinern: Schreiben wir eine Matrix in der Form A 11 A 12 A A = (A ij ) = A 21 A 22...,... dann lautet die Formel für die Matrizenmultiplikation (A ij ) (B jk ) = j A ij B jk. Diese Multiplikation ist nicht-kommutativ, d.h., es gibt Matrizen C,D, für die C D D C gilt. Diese Überraschung und Matrizen spielen eine große Rolle in der Quantenphysik!

48 etwas zum Üben! Lösen Sie das Gleichungssystem: 4x + 3y = 7, 5x + 4y = 8. Ein Bild hilft da nicht...

49 was kann alles passieren? Man beachte: lineare Gleichungsysteme können keine Lösung haben, (zwei parallele Geraden: y = x & y = x + 1) genau eine Lösung haben, (zwei sich schneidende Geraden wie oben) unendlich viele Lösungen. (zwei identische Geraden: y = 2x + 1 & 2y 2 = 4x) Lineare Gleichungssysteme kommen überall vor: über Schaltkreise in der Elektrotechnik, beim Produktionsmodell von Leontief in den Wirtschaftswissenschaften, usw.

54 ein wenig mehr Geometrie Die Gleichung 3x + 2y = 8 bzw. y = 3 2 x + 4 beschreibt geometrisch eine Gerade mit Steigung 3 2 und y-achsenabschnitt 4. Wir können diese Gerade auch folgendermaßen beschreiben: ( ) ( ) ( ) x 0 2 = +t mit t R. y 4 3 Die auftretenden Paare ( a b ) nennen wir Vektoren. Umgekehrt können wir eine Gerade auch stets durch eine algebraische Gleichung beschreiben! Geometrie vs. Algebra!

55 ein wenig mehr Geometrie Die Gleichung 3x + 2y = 8 bzw. y = 3 2 x + 4 beschreibt geometrisch eine Gerade mit Steigung 3 2 und y-achsenabschnitt 4. Wir können diese Gerade auch folgendermaßen beschreiben: ( ) ( ) ( ) x 0 2 = +t mit t R. y 4 3 Die auftretenden Paare ( a b ) nennen wir Vektoren. Umgekehrt können wir eine Gerade auch stets durch eine algebraische Gleichung beschreiben! Geometrie vs. Algebra!

56 die euklidische Ebene y 1 (3,1) (0,0) 3 x Und die Menge aller solchen Vektoren, die wir auch in einer Zeile als (x,y) notieren, mit den reellen Zahlen für x und y aufgefüllt nennen wir einen Vektorraum; wir bezeichnen ihn als die euklidische Ebene und wird als R R oder noch kürzer R 2 notiert: R 2 = {(x,y); x,y R}.

57 eine Definition Wir definieren einen Vektorraum als eine Menge V mit einem additiv neutralem Element 0 und einer Addition +, so dass v + 0 = v und je zwei Elemente aus V addiert werden können, und es zu jedem v V ein Element u V gibt, so dass u +v = 0 gilt; wir nennen dann u das additiv Inverse von v und schreiben dies als v. Ferner gibt es eine skalare Multiplikation, derzufolge für jede reelle Zahl λ mit v auch λ v ein Element von V ist.

58 am Beispiel Wir addieren Punkte in der euklidischen Ebene komponentenweise, z.b. ( ) ( ) ( ) ( ) = = Das additiv neutrale Element ist die Doppel-Null: ( ) ( ) ( ) ( = = Und wir können Punkte auch komponentenweise mit reellen Zahlen multiplizieren: ( ) ( ) ( ) = =. 3 5 ( 3) 15 Wie illustriert man das in einem Koordinatensystem? Was bedeutet das geometrisch? ).

61 und dazu ein Bild! y (6,2) 1 (3,1) (0,0) 3 x Was wird hier illustriert? Wo liegt die Summe der Vektoren (2,1) und (3,1)?)

62 und dazu ein Bild! y (6,2) 1 (3,1) (0,0) 3 x Was wird hier illustriert? Wo liegt die Summe der Vektoren (2,1) und (3,1)?)

63 ... und noch viel mehr! Das Konzept eines Vektorraums geht wesentlich über die euklidische Ebene hinaus: Anstelle von Vektoren mit zwei Komponenten kann man Vektoren mit drei Komponenten betrachten, das ist dann der euklidische Raum; tatsächlich betrachtet man manchmal auch Vektoren mit n Komponenten, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist und sogar unendliche Vektoren... Funktionen bilden einen Vektorraum, denn man gewinnt ja beispielsweise aus der Summe zweier Funktionen wieder eine neue Funktion: f(x) = cos(x) & g(x) = sin(x) h(x) := f(x)+g(x) = cos(x)+ sin(x).

64 ... und noch viel mehr! Das Konzept eines Vektorraums geht wesentlich über die euklidische Ebene hinaus: Anstelle von Vektoren mit zwei Komponenten kann man Vektoren mit drei Komponenten betrachten, das ist dann der euklidische Raum; tatsächlich betrachtet man manchmal auch Vektoren mit n Komponenten, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist und sogar unendliche Vektoren... Funktionen bilden einen Vektorraum, denn man gewinnt ja beispielsweise aus der Summe zweier Funktionen wieder eine neue Funktion: f(x) = cos(x) & g(x) = sin(x) h(x) := f(x)+g(x) = cos(x)+ sin(x).

65 warum so abstrakt? Der Vorteil dieses künstlichen Begriffes ist also, einen mathematischen Zusammenhang nicht für jeden Vektorraum einzeln behandeln zu müssen, sondern ihn abstrakt und auf die wesentliche Struktur reduziert zu behandeln!

66 Wie funktioniert GPS? GPS steht für Global Positioning System, und dies liefert mit Hilfe von Satellitennavigation eine ziemlich genaue Positionierung auf der Erdoberfläche (wie sie etwa für Navigation im Auto notwendig ist). Neben viel Technologie steckt auch Mathematik in GPS. Genauer gesagt das Lösen von vielen Gleichungen...

67 Wie funktioniert GPS? GPS steht für Global Positioning System, und dies liefert mit Hilfe von Satellitennavigation eine ziemlich genaue Positionierung auf der Erdoberfläche (wie sie etwa für Navigation im Auto notwendig ist). Neben viel Technologie steckt auch Mathematik in GPS. Genauer gesagt das Lösen von vielen Gleichungen...

68 Abstände In der euklidischen Ebene messen wir den Abstand zwischen zwei Punkten mit dem aus der Schule bekannten Satz des Pythagoras Im Raum geht das ganz ähnlich. Verzichten wir auf die Quadratwurzel, ergibt sich so eine quadratische Gleichung...

69 Abstände In der euklidischen Ebene messen wir den Abstand zwischen zwei Punkten mit dem aus der Schule bekannten Satz des Pythagoras Im Raum geht das ganz ähnlich. Verzichten wir auf die Quadratwurzel, ergibt sich so eine quadratische Gleichung...

70 Viele quadratische Gleichungen Von den verschiedenen Satelliten erhalten wir also viele quadratische Gleichungen. Aber das simultane Lösen quadratischer Gleichungen in mehreren Variablen ist schwierig! Allerdings kommen in diesen vielen Gleichungen immer dieselben Quadrate vor. Durch Subtraktion erhalten wir viele lineare Gleichungen und nur eine einzige quadratische Gleichung bleibt übrig! Dabei verändern sich die Lösungsmengen nicht. Jetzt löst man das lineare Gleichungssystem (wie oben) und erhält normalerweise viele Lösungen. Die richtige ergibt sich durch das Lösen der verbleibenden quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung...

73 und noch etwas ganz anderes: Die Abbildung ( x y ) ( ) ( x y ) = ( 2x +y x +y ) verzerrt ein Foto wie folgt:

74 Arnold s cat map Wir zerschneiden das Bild in vier Teile und fügen es wieder zu einem Quadrat zusammen: 1. Iteration

75 Was ist aus der Katze geworden? Dann iterieren wir die Abbildung, d.h. wir wenden sie noch einmal an und erhalten: 2. Iteration

76 ein Zebra? Dann iterieren wir die Abbildung, d.h. wir wenden sie noch einmal an und erhalten: 3. Iteration

77 ein Streifentiger? Dann iterieren wir die Abbildung, d.h. wir wenden sie noch einmal an und erhalten: 4. Iteration nur noch schwarzweiße Streifen...

78 nachts sind alle Katzen grau Dann iterieren wir die Abbildung, d.h. wir wenden sie noch einmal an und erhalten: 6. Iteration alles ganz grau!

79 Arnold s cat returns! Dann iterieren wir die Abbildung, d.h. wir wenden sie noch einmal an und erhalten: 405. Iteration die Katze ist zurück! Wie kann das sein?

80 Und noch mehr zum Tüfteln... Ein Beispiel aus der Chemie: Wie viele Moelküle von den jeweiligen Sorten sind für die Reaktionsgleichung notwendig? x C 6 H 12 O 6 y C 2 H 5 OH+z CO 2 Fermentation: Glucose Ethanol + Kohlendioxid Alles Gute bis in zwei Wochen!

81 Und noch mehr zum Tüfteln... Ein Beispiel aus der Chemie: Wie viele Moelküle von den jeweiligen Sorten sind für die Reaktionsgleichung notwendig? x C 6 H 12 O 6 y C 2 H 5 OH+z CO 2 Fermentation: Glucose Ethanol + Kohlendioxid Alles Gute bis in zwei Wochen!