3) Lagemaße: Mittelwert, Median, Modus

Transkript

1 Thema: Beschreibende Statistik LE.1: 40 min Seite 9 3) Lagemaße: Mittelwert, Median, Modus Lagemaße In der beschreibenden Statistik werden Daten erhoben. Diese Daten weisen eine bestimmte Verteilung auf. So sind beispielsweise die einzelnen Noten bei einer Klassenarbeit die Daten, während der Notenspiegel die Verteilung dieser Daten angibt. Lagemaße beantworten folgende Fragestellungen: Wo liegen die meisten Beobachtungen? Wo liegt die Mitte der Beobachtungen? Wo liegt der Schwerpunkt der Verteilung? Im Nachfolgenden betrachten wir die Lagemaße Mittelwert, Median und Modus. Erklärende ppt auf moodle Erklärung & Beispiele zu allen drei Lagemaßen Lagemaße Mittelwert (auch arithmetisches Mittel) x: Wenn die Ausprägungen eines Merkmals durch Zahlen angegeben werden, wird häufig ein Mittelwert (=arithmetisches Mittel) berechnet und angegeben. So wird beispielsweise beim Notenspiegel einer Klassenarbeit häufig auch der Mittelwert berechnet (umgangssprachlich auch als Durchschnittsnote bekannt). Das geht, weil die Noten (=Merkmal) in Zahlen angegeben werden. In Großbritannien und den USA werden Arbeiten mit den Buchstaben A bis E bewertet, eine direkte Berechnung der Durchschnittsnote ist damit nicht möglich. Der Mittelwert wird berechnet, indem man für alle Objekte die Merkmalsausprägungen addiert und dann durch die Gesamtanzahl der Objekte teilt. Beispiel: Bei dem Notenspiegel Note Anzahl kann man den Mittelwert x auf zwei Arten berechnen: 1+ (+ + ) + ( ) (6+ 6) a) x = = 3, 7 1+ (3 * ) + (6 * 3) + (5 * 4) + (5 * 5) + ( * 6) b) x = = 3, 7 Die zweite Rechnung (b) ist die etwas elegantere Rechnung. LernClip: Den Mittelwert berechnen. Info & Bsp. Internet-Link Mittelwert dynamisch & anschaulich erialien/beschreibendestatistik/content /mittelwert/mittelwert.html Datei: BeschreibStatist _LE _Lage+Streumaße.doc

2 Thema: Beschreibende Statistik LE.1: 40 min Seite 10 Median (auch Zentralwert) x ~ : Ein weiteres Lagemaß ist der Median (=Zentralwert). Er ist der Wert, der sich ergibt, wenn man alle Merkmale der Größe nach ordnet und sich dann (nur) das Merkmal anschaut, das genau in der Mitte steht, also genau im Zentrum steht. LernClip: Den Median berechnen. Info & Bsp. 1) Bei wenigen Merkmalen kann man den Median ermitteln, indem man alle Merkmale der Größe nach geordnet aufschreibt und dann jeweils vom Anfang und vom Ende alle Merkmale rausstreicht, bis nur noch das in stehenbleibt, das sich genau in der Mitte befindet: Beispiel: Der folgende Notenspiegel besitzt nur wenige Merkmale (Schüler/innen, Noten): Note Anzahl Den Median kann man hier bestimmen zu: x ~ = Note 1,,,, 4, 4, 5, 5, 6 = Note 4 ) Bei (sehr) vielen Merkmalen kann es sehr mühsam sein, alle Merkmale geordnet und der Reihe nach aufzuschreiben. Man kann aber mit einer einfachen Überlegung zunächst die Stelle des Merkmals ermitteln das den Median bildet und anschließend den Wert des Merkmals als Median bestimmen: b1) Die Summe (N) aller Merkmale (n) ist gerade: Die Stelle von x ~ N N liegt zwischen und 1 + Beispiel Der folgende Notenspiegel einer Vergleichsarbeit besitzt (sehr) viele Merkmale (Schüler/innen, Noten): Note Anzahl Die Summe (N) aller Merkmale (n) ist N= 180 (Schüler/innen), also eine gerade Zahl! Die Stelle von x ~ N 180 N liegt also zwischen = = 90 und = + 1= 91. Der Median ist also die Note(!), die wenn man sie der Größe nach geordnet aufschreiben würde die Schüler an der 90sten und 91sten Stelle haben. In diesem Beispiel ist der Median daher x ~ = Note 3! b) Die Summe (N) aller Merkmale (n) ist ungerade: Die Stelle von x ~ liegt bei Beispiel Der folgende Notenspiegel einer Vergleichsarbeit besitzt (sehr) viele Merkmale: Note Anzahl N+1 Die Summe (N) aller Merkmale (n) ist N= 05 (Schüler/innen), also eine ungerade Zahl! Die Stelle von x ~ N liegt also bei = =103. Der Median ist also die Note(!), die wenn man sie der Größe nach geordnet aufschreiben würde der Schüler an der 103ten hat. In diesem Beispiel ist der Median daher x ~ = Note! Datei: BeschreibStatist _LE _Lage+Streumaße.doc

3 Thema: Beschreibende Statistik LE.1: 40 min Seite 11 Modus (auch häufigster Wert oder Modalwert) x D : Der Modus ist ein Lagemaß, dass das häufigste Merkmal angibt. Im Notenspiegel-Beispiel ist dies die 3. Man nennt dies auch den Modus. Es kann auch mehr als einen Modus geben. Beispiel: Bei dem Notenspiegel Note Anzahl LernClip: Den Modus berechnen. Info & Bsp. kann man den Modus x D direkt ablesen. Man muss nur schauen, welche Note am häufigsten geschrieben wurde. In diesem Beispiel ist der Modus daher x D = Note! Datei: BeschreibStatist _LE _Lage+Streumaße.doc

4 Thema: Beschreibende Statistik LE.1: 45 min Seite 1 Übungen: 1) Die Mathematik-Vergleichsarbeit der FOS11 ergab den folgenden Notenspiegel: Note Anzahl Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Zentralwert und den häufigsten Wert. (8 * 1) + (16 * ) + (46 * 3) + (5 * 4) + (45 * 5) + (1 * 6) x = = 3,8 179 x ~ =Note 3 ; x D = Note 4 ) Schreiben Sie 10 SchülerInnen aus ihrer Klasse/ ihrem Lernbüro auf. Messen Sie deren Körpergröße (einen Zollstock gibt es beim Lehrer). Bestimmen Sie den Mittelwert, den Zentralwert und den Modus. 3) Ein Lehrer schreibt in zwei Klassen die selbe Klassenarbeit mit folgenden Notenspiegeln Note Klasse Klasse a) Erstellen Sie zu jeder Klassen ein Säulendiagramm. b) Interpretieren Sie die Aussage des Lehrers, beide Klassen seien gleichgut, indem Sie jeweils alle drei Lagemaße berechnen. Was spricht für die These des Lehrers, was spricht dagegen? c) Welche Klasse hat Ihrer Meinung nach besser abgeschnitten? 4) Geben Sie den Durchschnittsverdienst (Bruttostundenverdienst) der ausgewählten Beschäftigungsgruppen im Jahr 014 an. (Quelle: destatis.de) 5) Die rechte Grafik zeigt die Durchschnittliche Anzahl der Sonnenstunden pro Monat in Deutschland (von Juni 016 bis Juni 017) (Quelle: de.statista.com) Geben Sie die Lagemaße an (Mittelwert, Median und Modus). Datei: BeschreibStatist _LE _Lage+Streumaße.doc

5 Thema: Beschreibende Statistik LE.: 30 min Seite 13 Ich kann den Unterschied zwischen Lage- und Streumaßen erklären. 4) Streumaße: Varianz und Standardabweichung Streumaße Eine Verteilung kann durch die Angabe von Lagemaßen nur unzureichend beschrieben werden. Für die folgende Klassenarbeit, die in zwei unterschiedlichen Klassen geschrieben wurde ist die Durchschnittsnote jeweils gleich, die Verteilung der Noten unterscheidet sich jedoch fundamental: LernClip: Die Streumaße (Varianz & Standardabweichung) berechnen. Info & Bsp. Note Häufigkeit in Klasse Häufigkeit in Klasse Streumaße beantworten Fragen wie: Wie groß ist die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert? Wie stark schwanken die Beobachtungen? Das wichtigste Streumaß ist die Standardabweichung s. Um die Standardabweichung ermitteln zu können, benötigt man im Voraus allerdings die sogenannte Varianz s. Varianz: s² Streumaße wie die Varianz oder die Standardabweichung geben an, wie stark, die Werte einer Erhebung um ihren Mittelwert streuen. Die Varianz misst die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert. Durch das Quadrieren tragen negative und positive Abweichungen vom Mittelwert gleichermaßen zur Varianz bei. Man erhält die Varianz mit Hilfe der Formel: k ( x1 x) + n ( x x) nk ( xk x) = ni ( xi x) n s = 1 1 n n i= 1 Im Zähler bildet man die Summe aller Merkmale, wobei gilt: Zuerst zieht man von jedem beobachteten Merkmal (x i ) den Mittelwert (x) ab, quadriert das Ergebnis und multipliziert es mit der Anzahl (n i )der selben beobachteten Merkmale. Dies führt man für alle Merkmale durch. Die Summe aus dem Zähler dividiert man anschließend durch die Gesamtzahl (n) aller Merkmale. Datei: BeschreibStatist _LE _Lage+Streumaße.doc

6 Thema: Beschreibende Statistik LE.: 30 min Seite 14 Ich kann den Unterschied zwischen Lage- und Streumaßen erklären. Standardabweichung: s Da die Varianz die quadrierte Einheit besitzt, ist sie sehr unanschaulich zu interpretieren. Jedoch erhält man aus der Varianz durch einfaches Ziehen der Wurzel die Standardabweichung, welche sehr anschaulich zu interpretieren ist. Internet-Link Mittelwert und Standardabweichung gut als interaktiver Clip erklärt. erialien/beschreibendestatistik/content /mwstdabw/index.html Beispiel Für eine Klassenarbeit liegt folgender Notenspiegel vor: Note Schülerhäufigkeit Der Mittelwert (Durchschnittsnote) ist x =, 8 (siehe auch Kapitel ) Die Varianz errechnet sich dann zu: ( 1,8) + 5 (,8) + 9 ( 3,8) + 3 ( 4,8) + 1 ( 5,8) + 0 ( 6,8) s = 0 Die Standardabweichung ist, wie oben erwähnt, die Wurzel aus der Varianz. Es folgt also s= 0, 96 = 0,98 Die Noten streuen im Mittel also um 0,98 Notenpunkte um die Durchschnittsnote von,8. = 0,96 Das Ergebnis kann man wie folgt interpretieren: Der Leistungsschwerpunkt der Klasse liegt bei der Note,8 (das ist ungefähr eine 3+). Die Leistungen streuen durchschnittlich um diesen Mittelwert mit etwa einer ganzen Note. Die meisten Noten sind daher zu erwarten zwischen 1,8 (+) und 3,8 (4+). Datei: BeschreibStatist _LE _Lage+Streumaße.doc

7 Thema: Beschreibende Statistik LE.: 45 min Seite 15 Ich kann den Unterschied zwischen Lage- und Streumaßen erklären. Übungen: 1) Die Mathematik-Vergleichsarbeit der FOS11 ergab den folgenden Notenspiegel: Note Anzahl Bestimmen Sie die Varianz und die Standardabweichung. ) Schreiben Sie die Namen von 10 SchülerInnen aus ihrer Klasse/ ihrem Lernbüro auf und notieren Sie sich das jeweilige Geburtsdatum. a) Berechnen Sie das jeweilige Alter in Tagen. b) Berechnen Sie die Standardabweichung und interpretieren Sie das Ergebnis. 3) Ein Lehrer schreibt in zwei Klassen die selbe Klassenarbeit mit folgenden Notenspiegeln Note Klasse Klasse Interpretieren Sie die Aussage des Lehrers, beide Klassen seien gleichgut, indem Sie die Streumaße berechnen. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. 4) a) Berechnen Sie die Standardabweichung der in der Abbildung ausgewählten Beschäftigungsgruppen im Jahr 014. b) Berechnen Sie nochmals die Standardabweichung der in der Abbildung ausgewählten Beschäftigungsgruppen im Jahr 014 OHNE Berücksichtigung der Piloten und der Mediziner. c) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus den Berechnungen a) und b) und erklären Sie den Unterschied. (Quelle: destatis.de) 5) Die rechte Grafik zeigt die Durchschnittliche Anzahl der Sonnenstunden pro Monat in Deutschland (von Juni 016 bis Juni 017) (Quelle: de.statista.com) Geben Sie die Streumaße an. Datei: BeschreibStatist _LE _Lage+Streumaße.doc

8 Thema: Beschreibende Statistik LE : Seite 16 Ich kann den Unterschied zwischen Lage- und Streumaßen erklären. LÖSUNGEN Seite 4: (8 * 1) + (16 * ) + (46 * 3) + (5 * 4) + (45 * 5) + (1 * 6) 1) x = = 3, 8 ; x ~ =Note 3 ; x D = Note ) individuelle Schüleraufgabe Ergebnisse bitte mit Mitschüler oder Lehrer besprechen. 3) a) b) Klasse 1: x = 3, 30 ; x ~ =Note (Schüler 7) ; x D = Note Klasse : x = 3, 30 ; x ~ =Note 3 (Schüler 7) ; x D = Note 3 Für die Aussage des Lehrers spricht, dass beide Klassen den selben Mittelwert, nämlich x = 3, 30 haben. Allerdings zeigen sich sowohl beim Median als auch beim Modus Unterschiede, die zeigen, dass beide Klassen unterschiedlich abgeschnitten haben. Auch wenn man sich die Verteilung (Diagramme) der Notenspiegel anschaut, ist zu erkenne, dass die Noten eher unterschiedlich als ähnlich verteilt sind. c) Individuelle Schülerlösung (Es kommt auf die Begründung an ) 4) x = 0, 84 ; x ~ =13,67 ; x D existiert in dieser Aufgabe nicht! (weil es kein Merkmal/Stundenlohn gibt, das häufiger als einmal vorkommt.) 5) x = 147, 46 ; x ~ =155 Sonnenstunden ; x D1 = 60 Sonnenstunden und x D = 75 Sonnenstunden (In dieser Aufgabe gibt es zwei Modalwerte, weil sowohl 60, als auch 75 Sonnenstunden gleich häufig vorkommen.) Datei: BeschreibStatist _LE _Lage+Streumaße.doc

9 Thema: Beschreibende Statistik LE : Seite 17 Ich kann den Unterschied zwischen Lage- und Streumaßen erklären. LÖSUNGEN Seite 5: 1) x = 3, 8 (s. Lös. Aufg.1, Seite 16) 8 s = s = ( 1 3,8) + 16 ( 3,8) + 46 ( 3 3,8) + 5 ( 4 3,8) + 45 ( 5 3,8) + 1 ( 6 3,8) 1,5 = 1,3 179 = 1,50 ) individuelle Schüleraufgabe Ergebnisse bitte mit Mitschüler oder Lehrer besprechen. 3) Klasse 1: s = 3, 34, s= 1,83 ; Klasse : s = 1, 78, s= 1,33 Varianz und Standardabweichungen der beiden Klassen widersprechen der Aussage des Lehrers. Während die Standardabweichung in Klasse 1 um fast Noten streuen (s= 1,83), streuen sie in Klasse nur um 1,3 Notenpunkte. Die Leistungen in Klasse liegen enger/dichter am Mittelwert, während sie in Klasse 1 deutlicher vom Mittelwert abweichen. Dies ist auch in den Notenspiegeln zu erkennen. 4) a) x = 0,84 (s. Lös. Aufg.4, Seite 16) ; s = 86, 8, s= 16,9 b) x = 13,8 ; s = 1, 76, s= 3,57 c) Die Standardabweichung aus Aufgabe a) beträgt s= 16,9! eine relativ große Streuung um den Mittelwert. Dies ist durch die deutlich höheren Stundenlöhne von Piloten und Medizinern zu erklären. Ohne die Stundenlöhne dieser beiden Spitzenverdiener beträgt die Standardabweichung (Aufg. b) nur noch s= 3,57! Die Stundenlöhne liegen damit relativ nahe am Mittelwert von x = 13,8 (Aufg. b). 5) x = 147, 46 (s. Lös. Aufg.5, Seite 16) ; s = 5077, 94, s= 71,6 Sonnenstunden (In dieser Aufgabe gibt es zwei Modalwerte, weil sowohl 60, als auch 75 Sonnenstunden gleich häufig vorkommen.) Datei: BeschreibStatist _LE _Lage+Streumaße.doc