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1 1. Zwei-Massen-System 15 P. x θ r m 1 y h g m 2 z i. (4 P.) Insgesamt könnten zwei Massenpunkte in drei Dimensionen 6 = 2 3 Translations- Freiheitsgrade haben. Hier darf sich die Masse m 1 bzw. m 2 nicht in z-richtung bzw. in x- oder y-richtung bewegen, entsprechend insgesamt 3 holonomen Zwangsbedingungen. Dazu sind die Höhe h der Masse m 2 und der Abstand r = x 2 + y 2 der Masse m 1 vom Loch über die vierte Bedingung r + h = l verknüpft. Insgesamt bleiben 2 = 6 4 Freiheitsgrade und zwar hiernach die Höhe h und der Winkel θ. ii. (8 P.) Eine mögliche Lagrange-Funktion L ist die Differenz aus kinetischer und Potentialenergie T V des Systems. Seien x(t), y(t) die Koordinaten der Position der Masse m 1 : x(t) = r(t) cos θ(t) = l h(t)] cos θ(t), y(t) = r(t) sin θ(t) = l h(t)] sin θ(t). Die Geschwindigkeit der Masse m 1 ist dann ẋ(t) = ḣ(t) cos θ(t) l h(t)] θ(t) sin θ(t), ẏ(t) = ḣ(t) sin θ(t) + l h(t)] θ(t) cos θ(t). Daraus folgt die kinetische Energie von m 1 : T 1 = 1 2 m 1(ẋ2 + ẏ 2) = = 1 2 m 1ḣ2 + (l h) 2 θ2 ]. Die Potentialenergie von m 1 bleibt konstant, so lange m 1 noch auf dem Tisch ist, und kann somit weggelassen werden. Wiederum lauten die kinetische und Potentialenergie der Masse m 2 T 2 = 1 2 m 2ḣ2, V 2 = m 2 gh. Insgesamt ist eine mögliche Lagrange-Funktion des Systems L = T 1 + T 2 V 2 = 1 2 (m 1 + m 2 )ḣ m 1(l h) 2 θ2 + m 2 gh. (Dazu kann man noch eine totale Zeitableitung hinzufügen, die bei den Bewegungsgleichungen keine Rolle spielen wird.) iii. (3 P.) Allgemein lauten die Euler Lagrange-Gleichungen = d i (1) q i dt q i 1

2 mit L der Lagrange-Funktion und q i bzw. q i den verallgemeinerten Koordinaten bzw. Geschwindigkeiten. Im Fall q i = θ gilt θ = 0 (zyklische Koordinate), so dass die Bewegungsgleichung einfach d dt θ = d m1 (l h) 2 θ] = 0 dt ist, entsprechend der Erhaltung des Drehimpulses. Dies lautet noch m 1 (l h) 2 θ 2m1 (l h) θḣ = 0 (l h) θ θ = 2 θḣ was zu ln θ(t) ] l h(t) 2 θ(t 0 ) = ln führt. l h(t 0 ) Die Euler Lagrange-Gleichung (1) für q i = h lautet woraus folgt. h = m 2g m 1 (l h) θ 2 und ḣ = (m 1 + m 2 )ḣ, θ = 2ḣ l h, (2) (m 1 + m 2 )ḧ = m 2g m 1 (l h) θ 2 (3) 2. Pendel mit Hula-Hoop-Reifen 30 P. i. Vorbereitung (8 P.) a) Betrachte man der Einfachheit halber den Fall ein Koordinatensystem mit dem Nullpunkt im Zentrum des Reifens, der in der (x, y)-ebene liegt. Dann lautet die Massendichteverteilung des Reifens m ρ( r) = 2π x 2 + y δ( x 2 + y 2 R) δ(z) = m δ(r R) δ(z), (4) 2 2πr wobei in der zweiten Gleichung Zylinderkoordinaten benutzt wurden. b) Das Trägheitsmoment einer Massendichteverteilung ρ( r) um eine Achse ist I = ρ( r) r 2 d 3 r mit r = r dem Abstand zur Achse. Die Achse des Hula-Hoop-Reifens sei als z-achse gewählt: in Zylinderkoordinaten (r, θ, z) ist der Abstand eines Punktes zu dieser Achse einfach r = r. Mit dem Integrationsmaß d 3 r = dr r dθ dz und der Massendichte (4) findet man dann für das Trägheitsmoment um die Kreisachse m I = ρ( r) r 2 r dr θ dz = 2πr δ(r R) δ(z) r3 dr dθ dz = mr 2. c) Steiner scher Satz: Das Trägheitsmoment eines starren Körpers mit Masse m um eine beliebige Achse im Abstand L von seinem Schwerpunkt ist gegeben durch die Summe aus ml 2 und dem Trägheitsmoment des Körpers um die parallele Drehachse, die durch den Schwerpunkt geht. Für das Trägheitsmoment des Hula-Hoop-Reifens um eine Drehachse, die parallel zur Kreisachse durch einen Punkt des Kreises durchläuft, ergibt sich I = I + mr 2 = 2mR 2. ii. Doppelpendel (22 P.) a) Die Koordinaten der Position des Schwerpunkts sind entsprechend einer Geschwindigkeit x = l cos θ + R cos ϕ, y = l sin θ + R sin ϕ, ẋ = l θ sin θ R ϕ sin ϕ, ẏ = l θ cos θ + R ϕ cos ϕ. 2

3 Somit ist die kinetische Energie der Translationsbewegung T 1 = 1 2 m( ẋ 2 + ẏ 2) = = 1 2 ml2 θ mr2 ϕ 2 + ml θr ϕ cos(θ ϕ). (5) b) Der Winkel der Drehbewegung des Reifens um seinen Schwerpunkt ist ebenfalls ϕ. Somit ist die entsprechende kinetische Energie T 2 = 1 2 I ϕ2 = 1 2 mr2 ϕ 2. (6) c) Die übliche Lagrange-Funktion für das System ist L = T V. Dabei sind die zwei Beiträge zur kinetischen Energie durch Gl. (5) und (6) gegeben: Wiederum ist die Potentialenergie Insgesamt gilt also T = mr 2 ϕ ml2 θ2 + ml θr ϕ cos(θ ϕ). V = mgx = mg(l cos θ + R cos ϕ). L = 1 2 ml2 θ2 + mr 2 ϕ 2 + ml θr ϕ cos(θ ϕ) + mg(l cos θ + R cos ϕ). (7a) Behaltet man nur Terme bis zur zweiten Ordnung in den Winkeln und ihren Zeitableitungen, so wird diese Funktion zu L 1 ) ) 2 ml2 θ2 + mr 2 ϕ 2 + ml θr ϕ + mgl (1 θ2 + mgr (1 ϕ2, (7b) 2 2 wobei cos x 1 x 2 /2 benutzt wurde. d) Die Euler Lagrange-Gleichungen für das System lauten θ = d dt θ mglθ = d ) (ml 2 θ + mlr ϕ = ml 2 θ + mlr ϕ (8a) dt und ϕ = d dt ϕ mgrϕ = d dt d.h. nach trivialer Umformung (mit R, l 0) l θ + R ϕ + gθ = 0 ( ) 2mR 2 ϕ + mlr θ = 2mR 2 ϕ + mlr θ, (8b) l θ + 2R ϕ + gϕ = 0. e) Um die Eigenfrequenzen der Normalmoden des gekoppelten Systems (9) zu finden, macht man den Ansatz θ(t) = Ae iωt, ϕ(t) = Be iωt. Das Einsetzen in Gl. (9) führt zu Alω 2 e iωt BRω 2 e iωt + gae iωt = 0 Alω 2 e iωt 2BRω 2 e iωt + gbe iωt = 0 d.h. in Matrixdarstellung ( )( ) ( ) g lω 2 Rω 2 A 0 lω 2 g 2Rω 2 =. (10) B 0 Damit dieses System nicht-triviale Lösungen hat, muss die Determinante der quadratischen Matrix Null sein, d.h. (g lω 2 )(g 2Rω 2 ) Rlω 4 = 0. Diese Bedingung lässt sich noch in der Form (9) 3

4 ω 4 2g l ( 1 + l )ω 2 + g2 2R Rl = 0 schreiben, entsprechend einer quadratischen Gleichung für ω 2, deren zwei Lösungen durch ω 2 = g ( 1 + l ) g ± 2 ( l 2R l l ) 2 g2 2R Rl = g ( 1 + l ) ± g 1 + l2 l 2R l 4R 2 gegeben sind. Im Fall R = l/2 werden diese Eigenfrequenzen zu ω 2 = g l (2 ± 2). 3. Bewegung auf einer Rotationsfläche 35 P. i. (3 P.) Insgesamt kann eine Punktmasse 3 Freiheitsgrade haben. Hier stellt die Bedingung, dass die Masse auf der Rotationsfläche bleibt, eine Zwangsbedingung dar, so dass es nur 2 = 3 1 Freiheitsgrade gibt. ii. Bewegungsgleichungen (16 P.) a) In einem kartesischen System lauten die Koordinaten der Punktmasse Dies liefert die Geschwindigkeit und somit die kinetische Energie Dabei gilt ṙ = d dt f( z(t) ) = f (z)ż, d.h. x = r cos θ, y = r sin θ, z mit r = f(z). ẋ = ṙ cos θ r θ sin θ, ẏ = ṙ sin θ + r θ cos θ, ż T = 1 2 m( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) = = 1 2 m( ṙ 2 + r 2 θ2 + ż 2). T = 1 2 m ( 1 + f (z) 2] ż 2 + f(z) 2 θ2 ). Mit der Potentialenergie V = mgz ergibt sich dann die Lagrange-Funktion L = T V = 1 2 m ( 1 + f (z) 2] ż 2 + f(z) 2 θ2 ) mgz. (11) b) Für den Winkel θ lautet die Euler Lagrange-Gleichung θ = d dt θ 0 = d ( ) mf(z) 2 θ, (12) dt entsprechend der Erhaltung des Drehimpulses. c) Die Euler Lagrange-Gleichung für die Höhe z ist Aus der Lagrange-Funktion (11) folgen und z = d dt ż. z = mf (z)f (z)ż 2 + mf(z)f (z) θ 2 mg ż = m 1 + f (z) 2] ż d dt ż = 2mf (z)f (z)ż 2 + m 1 + f (z) 2] z, 4

5 so dass die Bewegungsgleichung lautet, d.h. noch mf(z)f (z) θ 2 mg = mf (z)f (z)ż 2 + m 1 + f (z) 2] z z 1 + f (z) 2] + ż 2 f (z)f (z) = g + f(z)f (z) θ 2 = g + C 2 f (z) f(z) 3, (13) mit C f(z) 2 θ (entsprechend laut der Frage ii.b) einer Erhaltungsgröße). iii. Stabilität von Bahnkurven (16 P.) a) Für konstante θ(t) = Ω 0 und z(t) = z 0, wobei z 0 die Gleichung f = g C 2 f(z 0) 3 = g Ω 2 0 f(z 0) (14) erfüllt, gelten sowohl Gl. (12) da θ und f(z) = f zeitunabhängig sind als auch Gl. (13) in der die linke Seite wegen ż = 0, z = 0 verschwindet. b) Die Taylor-Entwicklung von f(z) um z = z 0 lautet f(z) = f + (z z 0 )f + O ( (z z 0 ) 2). Daraus folgt 1 ] 3 f(z) 3 f + (z z 0 )f 1 = f (z z 0 ) f ] 3 = 1 f f 3 1 3(z z 0 ) f ]. f Andererseits gilt f (z) f + (z z 0 )f und somit f (z) 2 f (z z 0 ) f ] 2 f = f (z z 0 ) f ] f. Setzt man z z 0 = ɛ sin ωt ein, und benutzt man ż = ɛω cos ωt, z = ɛω 2 sin ωt, so lautet Gl. (13) zur Ordnung ɛ ɛω 2 sin ωt 1 + f 2] = g + C 2 f f 3 1 3f ] f ɛ sin ωt + ɛf f sin ωt. Die Ordnung ɛ 0 gibt 0 = g + C 2 f /f 3, d.h. genau die Beziehung (14). Zur Ordnung ɛ kommt (bis auf den Faktor sin ωt) ω f 2] = C 2 f f f 3 f 3f ]. f Schreibt man C 2 = f 4 Ω 2 0, so lautet diese Beziehung noch ω 2 = 3f 2 ff 1 + f 2 Ω 2 0. (15) c) Für ff < 3f 2 ist der Bruch in Gl. (15) positiv, d.h. ω 2 > 0. Dann gibt es reelle Lösungen für ω, und die Bahn z = z 0 + ɛ sin ωt ist eine Schwingung um die triviale Bahn z = z 0. Die letztere stellt somit ein stabiles Gleichgewicht dar. Dass die Masse sich auch bergauf bewegen kann, statt einfach immer bergab, kommt aus der Erhaltung des Drehimpulses r 2 θ: wenn r sich ändert, soll sich die Winkelgeschwindigkeit gleichzeitig ändern. 5

6 d) Für ff > 3f 2 ist der Bruch in Gl. (15) negativ, d.h. ω 2 < 0, d.h. formell ist ω rein imaginär. Dann ist z = z 0 +ɛ sin ωt unbegrenzt, d.h. die Bahn z = z 0 ist in diesem Fall instabil gegen Störungen. (Das effektive Potential, welches das Verhalten der Bahn gegen Störungen beschreibt, hat eine negative zweite Ableitung, entsprechend einer instabilen Bahn.) 4. Feld einer elektrisch geladenen Kugelschale 15 P. Sei ein Koordinatensystem mit dem Nullpunkt im Zentrum der Kugelschale. Wegen der Symmetrie der letzteren ist es sinnvoll, Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ) zu verwenden. Aus der Kugelsymmetrie der Kugelschale kann man sinnvoll annehmen, dass das elektrische Feld nicht von den Winkeln θ, ϕ abhängt und entlang der radialen Richtung zum Zentrum liegt, d.h. E( r) = E(r) e r mit r = r und e r dem Einheitsvektor in Radialrichtung. Betrachte man jetzt eine Kugel mit Radius a und gleichem Zentrum wie die Kugelschale. In jedem Punkt der Kugelfläche V ist das elektrische Feld normal, so dass dessen Fluss Φ E = V E( r) d 2 S = V E( r) d 2 S = E(a) V d 2 S = 4πa 2 E(a) ist, wobei benutzt wurde, dass das Oberflächenintegral im vorletzten Glied einfach die Oberfläche der Kugel mit Radius a ist. Dank dem Gauß schen Gesetz ist der elektrische Fluss mit der Gesamtladung Q in innerhalb des durch V abgeschlossenen Volumens verknüpft, und zwar über Φ E = Q in /ɛ 0. Hier hängt diese Gesamtladung vom Radius a der Gauß schen Fläche (Kugel): für a R gilt Q in = Q, für a < R gilt Q in. Somit ergibt sich insgesamt Q für a R Q 4πa 2 E(a) = 0 für a < R E(a) = 4πɛ 0 a 2 für a R 0 für a < R. Das elektrostatische Potential folgt dann aus Integration: Q Φ(a) = 4πɛ 0 a + K 1 für a R für a < R K 2 mit K 1, K 2 zwei Konstanten. Für die Stetigkeit des Potentials bei a = R soll K 2 = K 1 + Q/(4πɛ 0 a) gelten. Die übliche Wahl ist dann K 1 = 0, entsprechend Φ( ) = 0: Q für r R 4πɛ Φ(r) = 0 r Q für r < R. 4πɛ 0 R 5. Plattensender 25 P. Sei das elektrische Feld E(t, r) = E 0 Θ(x) cos(kx ωt) + Θ( x) cos(kx + ωt)] e y E y e y (16) mit Θ(x) der Stufenfunktion und ω = ck. i. Die Maxwell Gauß-Gleichung lautet E = ρ/ɛ, wobei die rechte Seite im Vakuum Null ist. Für das Feld (16) gilt in der Tat weil E x = E z = 0 und E y unabhängig von y ist. ii. Die Maxwell Faraday-Gleichung E = E x x + E y y + E z z = 0, 6

7 E + B t = 0 liefert die Zeitableitung von der magnetischen Induktion B herleiten, und zwar B t = E = E y x e z. In der Ableitung von E y nach x treten Ableitungen der Heaviside-Funktion Θ (x) = δ(x)] auf, die für x 0 nicht beitragen werden. Es bleibt für x 0 E y x = ke 0Θ(x) sin(kx ωt) + Θ( x) sin(kx + ωt)]. Daraus folgt (bis auf einen zeitabhängigen Beitrag) ] B = ke 0 Θ(x) sin(kx ωt) + Θ( x) sin(kx + ωt) ez Für x = 0 gibt diese Formel B = 0. = ke 0 ] Θ(x) cos(kx ωt) Θ( x) cos(kx + ωt) ez ω = E 0 ] Θ(x) cos(kx ωt) Θ( x) cos(kx + ωt) ez B z e z. (17) c iii. Die elektrische Stromdichte lässt sich aus der Maxwell Ampère-Gleichung berechnen. Aus Gl. (17) folgt B ɛ 0 µ 0 E t = µ 0 j el. B = B z x e y = ke 0 ] Θ(x) sin(kx ωt) Θ( x) sin(kx + ωt) ey c + E 0 ] δ(x) cos(kx ωt) + δ( x) cos(kx + ωt) ey c Macht man x = 0 in den Termen proportional zu δ(x) = δ( x) und benutzt man ω = ck, so kommt B = ωe 0 ] Θ(x) sin(kx ωt) Θ( x) sin(kx + ωt) ey c 2 + 2E 0 cos(ωt)δ(x) e y. c Wiederum führt Gl. (16) zu Somit gilt ɛ 0 µ 0 E t = 1 c 2 E t = ωe 0 c 2 Θ(x) sin(kx ωt) Θ( x) sin(kx + ωt)] e y. j el. = 1 µ 0 B ɛ 0 µ ] E 0 = 2E 0 t µ 0 c cos(ωt)δ(x) e y. 6. Eichtransformationen 25 P. i. Wissen (8 P.) Die Beziehungen zwischen elektromagnetischen Feldern und Potentialen lauten (der Faulheit halber werden die Variablen t, r nicht geschrieben) E = Φ A t B = A. (18a) (18b) 7

8 Eine allgemeine Eichtransformation der Potentiale ist eine gleichzeitige Transformation Φ Φ = Φ χ t A A = A + χ (19a) (19b) mit χ einer beliebigen Funktion von Zeit und Ort. ii. (17 P.) a) Die retardierten Potentiale Φ ret., A ret. sind Lösungen der Bewegungsgleichungen Φ = ρ el. /ε 0 und A = µ 0 j el., die in Lorenz-Eichung gelten. ε 0 µ 0 Φ t + A = 0 (20) b) Sei χ die Eichfunktion der Eichtransformation von Φ ret. nach Φ. Laut Gl. (19a) gilt Φ = Φ ret. χ t χ t = Φ ret. Φ. Die Integration beider Seite dieser Gleichung nach der Zeit von einem beliebigen Anfangspunkt t 0 bis zur Zeit t gibt dann χ(t, r) χ(t 0, r) = Φret. (t, r) Φ(t, r) ] dt. t 0 Dabei ist χ(t 0, r) unwesentlich für die Eichtransformation und kann weggelassen werden. Mit der Wahl t 0 = ergibt sich die gesuchte Formel Aus Gl. (19b) folgt χ(t, r) = A(t, r) = A ret. (t, r) + χ(t, r) = A ret. (t, r) + Dabei gilt laut Beziehung (18a) woraus Φret. (t, r) Φ(t, r) ] dt (21) = A ret. (t, r) + Φ ret. (t, r) = E(t, r) A ret. (t, r), t Φ ret. (t, r)dt = folgt. Eingesetzt in Gl. (22) kommt A(t, r) = A ret. (, r) = A ret. (, r) Φret. (t, r) Φ(t, r) ] dt Φret. (t, r) Φ(t, r) ] dt. (22) E(t, r)dt Aret. (t, r) A ] ret. (, r). E(t, r)dt Φ(t, r)dt E(t, r) + Φ(t, r) ] dt. (23) 8

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(a) Transformation auf die generalisierten Koordinaten (= Kugelkoordinaten): ẏ = l cos(θ) θ sin(ϕ) + l sin(θ) cos(ϕ) ϕ. Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Theoretische Physik B - Lösungen SS 10 Prof. Dr. Aleander Shnirman Blatt 5 Dr. Boris Narozhny, Dr. Holger Schmidt 11.05.010

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