Kapitel II: Integration bezüglich eines Masses

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1 Reihard Höpfer Vorlesug Stochastik I Kapitel II: Itegratio bezüglich eies Masses Sommersemester 2016 Istitut für Mathematik, Johaes Guteberg Uiversität Maiz May 23,

2 Übersicht zu Kapitel II : A. Itegrierbarkeit Grudidee, messbare umerische Fuktioe Itegral eier Elemetarfuktio 2.3 (2.4) Itegral eier ichtegative Fuktio Satz vo der mootoe Kovergez 2.7 ud Lemma vo Fatou 2.8 itegrierbare Fuktioe Nullmege der Raum L 1 (µ) 2.12 Bemerkuge zu Riema- ud Lebesgue-Itegral 2.13 B. Die Räume L p (µ), µ-f.s. Kovergez, Kovergez i L p (µ) Jese-Ugleichug 2.13 Hölder-Ugleichug 2.14 die Räume L p (µ), p µ-fast sichere Kovergez Satz vo der domiierte Kovergez 2.17 Vollstädigkeit der Räume L p (µ) 2.18 Iklusioe im Fall eies edliche Masses 2.19 C. Spezialfall edlicher Masse: drei Kovergezbegriffe stochastische Kovergez 2.20 Beispiele zu de drei Kovergezbegriffe 2.21 Teilfolgekriterie ud Beziehuge zwische de drei Kovergezbegriffe Defiitio der gleichgradige Itegrierbarkeit 2.25 Charakterisieruge der gleichgradige Itegrierbarkeit vo der fast sichere zur L p -Kovergez: gleichgradige Itegrierbarkeit

3 A. Itegrierbarkeit Sei (Ω, A) ei messbarer Raum, betrachte Fuktioe f, g : (Ω, A) (IR, B(IR)) messbar. Sei µ ei Mass auf (Ω, A). Ist g eie A-Elemetarfuktio wie i 1.38, wird ma das Itegral vo g bezüglich des Masses µ durch g dµ := l α i µ(a i ) falls g = i=1 l α i 1 Ai, i=1 A i A defiiere, sofer alle A i edliches µ-mass besitze. Nimmt f Werte i [0, ] a, wird ma eie gege f aufsteigede Folge (f ) vo A-Elemetarfuktioe wähle, etwa f (ω) := 2 1 k=0 k 2 1 { k 2 f< k+1 2 } (ω) + 1 {f }(ω), 1, ω Ω wie bereits im Beweisschritt 2) vo 1.43, ud wird setze f dµ := sup f dµ ; dabei muss ma isbesodere sicherstelle, dass eie solche Defiitio icht vo der Wahl der betrachtete Folge (f ) vo A-Elemetarfuktioe abhägt. Schliesslich wird ma eie beliebige A-B(IR)-messbare Fuktio i ihre Positiv- ud Negativteil aufspalte, wie im Beweisschritt 3) vo 1.43, um beide Teile separat zu itegriere. Das ist die Grudidee für dieses Kapitel. Um Limite i IR betrachte zu köe, arbeitet ma vo Afag a mit messbare Abbilduge (Ω, A) (IR, B(IR)) wie i Das hier skizzierte Argumetatiosschema kehrt häufig wieder: das Vorgehe, eie Beweis i) zuerst für die Klasse der A-Elemetarfuktioe, ii) iii) daach für die Klasse aller ichtegative A messbare Fuktioe, schliesslich für alle A-messbare Fuktioe durch Aufspaltug i Positiv- ud Negativteil zu führe, kezeichet ma mit dem Stichwort Aufbau messbarer Fuktioe. 2.1 Notatioe für dieses Kapitel: Sei (Ω, A) ei messbarer Raum. a) Eie messbare Abbildug f : (Ω, A) (IR, B(IR)) heisst messbare umerische Fuktio (MNF). Eie ichtegative messbare umerische Fuktio ist eie A-messbare Abbildug f : Ω [0, ]. Die 3

4 Klasse aller ichtegative MNF bezeiche wir mit F +. b) Die Klasse der A-Elemetarfuktioe ist { } l E := g = α i 1 Ai, α i IR, A i A, l 1 Die Teilklasse aller ichtegative g E bezeiche wir mit E +. i= Hilfssatz: Seie g, f, 1, MNF auf (Ω, A), seie α, β IR, A A. Da gilt: a) {f 1 < f 2 }, {f 1 f 2 }, {f 1 = f 2 }, {f 1 f 2 } sid i A, b) g 1 A ist eie MNF, c) falls für f 1, f 2 Summe, Produkt, Quotiet auf gaz Ω wohldefiiert sid, sid f 1 ± f 2, f 1 f 2, f 1 f 2 MNF, d) f 1 f 2 ud f 1 f 2 sid MNF, sup f ud if f sid MNF; 1 1 isbesodere sid Positivteil, Negativteil ud Betrag eier MNF g wieder MNF, g + = g 0, g = (g 0) (damit gilt g = g + g ), g = g + + g e) lim sup f ud lim if f sid MNF, f) kovergiere die Fuktioe f puktweise auf Ω für, d.h. gilt ω Ω existiert lim f (ω) i IR, so ist f := lim f eie MNF auf (Ω, A), g) stets gilt also ist eie MNF auf (Ω, A). {ω Ω : lim f (ω) existiert i IR} A, f := ( ) lim f 1 { lim f existiert i IR } Beweis: Die Charakterisieruge der A B(IR) Messbarkeit i 1.42 impliziere die Aussage a) d), i Aalogie zu Mit a) d) folgt e) aus lim if f = sup if f m 1 m }{{} wachsed i, lim sup f = if sup f m 1 m }{{} falled i. 4

5 f) ist ei Spezialfall vo e). Für beliebige Folge (f ) hat ma ach a) ud e) stets A := { lim f existiert i IR } = { lim sup f = lim if f } A. Damit sid alle f 1 A MNF, 1. Wedet ma auf diese die Aussage f) a, ist g) bewiese. 2.3 Hilfssatz: Sei µ ei Mass auf (Ω, A). Für ichtegative Elemetarfuktioe g E + ist l l g dµ := α i µ(a i ) falls g = α i 1 Ai i=1 i=1 uabhägig vo der für g E + gewählte Darstellug defiiert, ud die Abbildug I : E + g g dµ [0, ] hat die Eigeschafte (2.4) I(1 A ) = µ(a) A A I(α 1 g 1 + α 2 g 2 ) = α 1 I(g 1 ) + α 2 I(g 2 ), α 1, α 2 0 g 1 g 2 = I(g 1 ) I(g 2 ). Beweis: Wir zeige hier ur, dass die Abbildug I : g g dµ wohldefiiert ist. Alle adere Aussage ergebe sich daach elemetar mit deselbe Argumete. Seie g 1, g 2 zwei Darstelluge desselbe g E + : g 2 = g 1 = l α i 1 Ai, i=1 A i A beliebig m β j 1 Bj so dass B 1,... B m i A paarweise disjukt. j=1 Eie solche Darstellug existiert stets, ud ma ka die Mege B 1,..., B m so festlege, dass für jedes Paar (i, j), j = 1,..., m, i = 1,..., l etweder B j A i oder B j A i = gilt. Da g 1 ud g 2 dasselbe g darstelle, muss gelte β j = α i, A i = i=1,...,l B j A i ud die Additivität vo µ erzwigt das Gewüschte: j=1,...,m B j A i B j l α i µ(a i ) = i=1 l i=1 α i µ(b j ) = j=1,...,m B j A i m β j µ(b j ). j=1 5

6 Der folgede Satz liefert de wesetliche Schritt zur Defiitio vo Itegrale. 2.5 Satz: Die Abbildug I : E + [0, ] aus 2.3 ka fortgesetzt werde zu eier Abbildug I : F + [0, ] mit de Eigeschafte I(1 A ) = µ(a) A A (2.6) I(α 1 f 1 + α 2 f 2 ) = α 1 I(f 1 ) + α 2 I(f 2 ), α 1, α 2 0 f 1 f 2 = I(f 1 ) I(f 2 ). Für f F + ud beliebige Folge (g ) E + mit g f gilt dabei I(f) = sup I(g ). 1 Bemerkug: Damit ist das µ-itegral vo f F + f dµ := I(f) wohldefiiert. Ma schreibt auch µ(f) für f dµ. Beweis: 1) Zuächst existiert für jedes f F + eie Folge (g ) E + mit g f für, etwa wie im Beweis vo 1.43 g := 2 1 l=0 l 2 1 { l 2 f< l+1 2 } + 1 {f }, 1. Wege Mootoie vo I(g ) ach (2.4) ist sup I(g ) wohldefiiert i [0, ]. Zu zeige ist, dass jede adere Wahl eier Folge ( g m ) m E + mit g m f auf deselbe Wert des sup... führt. 2) Zeige: ist g E +, ud ist (g ) E + eie aufsteigede Folge mit g sup g, so gilt I(g) sup I(g ). Beweis: Schreibe g = l α i 1 Ai ud betrachte für festes ε > 0 i=1 B := { g (1 ε)g } A. Da sid auch g 1 B ud g1 B i E +, ud ach Defiitio der B : g dµ g 1 B dµ (1 ε) g1 B dµ. 6

7 Wege g sup g i diesem Beweisschritt ist die Megefolge (B ) aufsteiged gege Ω. Mit 2.3 ud mit aufsteigeder Stetigkeit des Masses µ etlag (A i B ) folgt g1 B dµ = l α i µ(a i B ) i=1 l α i µ(a i ) = i=1 g dµ für, ud damit sup g dµ (1 ε) für beliebig kleies ε > 0: das zeigt die Behauptug. g dµ 3) Zeige: ist f F + ud sid (g (i) ), i = 1, 2, zwei aufsteigede Folge i E + mit g (i) f, so gilt Beweis: Für jedes feste m gilt sup m g (1) m dµ = sup g (2) dµ. also zeigt Schritt 2) g (1) m g (1) m sup g (2), 1 dµ sup 1 g (2) dµ. Da (g (1) m ) m E + aufsteiged ist, zeigt die Mootoieeigeschaft i (2.4) sup m g (1) m dµ sup g (2) dµ. Nach Rolletausch der Idizes i = 1, 2 hat ma geauso ud damit die Behauptug. 4) Wir setze u für f F + ( ) I(f) := sup I(g ) für (g ) E + mit g f beliebig ; 1 dabei ist I(f) i ( ) wohldefiiert, d.h. uabhägig vo der Wahl der approximierede Folge ach Schritt 3). Es bleibt zu zeige, dass mit dieser Defiitio die Eigeschafte (2.6) erfüllt sid. α) es gilt I(1 A ) = µ(a) für A A: betrachte g := 1 A, 1, ud beutze (2.4). β) I ist mooto auf F + : Betrachte f i F +, (g (i) ) E +, g (i) f i ; da gilt für jedes feste m ach Schritt 2) ud ( ) impliziert f 1 f 2 = g (1) m sup g (2) = I(g (1) f 1 f 2 = I(f 1 ) I(f 2 ). m ) sup I(g (2) ) 7

8 γ) I ist liear auf F + : Mit α 1, α 2 0 ud Folge (g (i) ) i E +, die gege f i F + aufsteige, α 1 I(f 1 ) + α 2 I(f 2 ) = α 1 sup I(g (1) ) + α 2 sup I(g (2) ) α 1 I(g (1) m ) + α 2 I(g (2) m ) (2.4) = I(α 1 g (1) m + α 2 g (2) m ) m sup I(α 1 g m (1) + α 2 g m (2) ) = I(α 1 f 1 + α 2 f 2 ) ; m geauso erhält ma vo I(α 1 f 1 + α 2 f 2 ) ausgehed die umgekehrte Abschätzug I(α 1 f 1 + α 2 f 2 ) α 1 I(f 1 ) + α 2 I(f 2 ) ud hat damit =. Satz 2.5 ist vollstädig bewiese. Jetzt köe wir i 2.7 ud 2.8 bereits zwei der drei wichtigste Kovergezsätze (siehe 2.17 für de dritte) formuliere. 2.7 Satz vo der mootoe Kovergez: Für aufsteigede Folge (f ) ichtegativer messbarer Fuktioe gilt stets ( ) I sup f 1 = sup 1 I (f ) [0, ]. Beweis: Nach 2.2 ist f := sup f i F +. Wähle zu jedem der f F + eie aufsteigede Folge 1 (g,m ) m E + mit g,m f für m. Daraus baut ma eie eue aufsteigede Folge g r := g 1,r... g r,r E +, r 1 für die ach Kostruktio gilt g r = g 1,r... g r,r f 1... f r = f r ud weiter, mit Bezug auf ei beliebig festzuhaltedes i IN, (+) f = sup f r r sup g r r sup g i,r = f i g i, i IN. r i Zusamme mit der Voraussetzug f i f impliziert die Ugleichugskette (+) sup g r = f ; r 8

9 ach Defiitio des Itegrals für f F + folgt hieraus wege (g r ) r E + I(f) = sup I(g r ). r Mit der Mootoieeigeschaft (2.6) auf F + aber zeige die Abschätzuge (+) auch I(f) I(f i ) I(g i ), i IN was für i erzwigt I(f) = sup i 1 I(f i ). 2.8 Lemma vo Fatou: Für beliebige Folge (f ) ichtegativer messbarer umerischer Fuktioe gilt ( ) lim if f dµ lim if f dµ. Beweis: Nach 2.2 gilt f := lim if f F +. Weiter ist h := if m m eie aufsteigede Folge i F + mit h f für ; der Satz vo der mootoe Kovergez 2.7 zeigt also (+) f dµ = sup h dµ. Für beliebiges festes gilt ud also mit Mootoieeigeschaft (2.6) auf F + h = if r f r f m für alle m h dµ if m f m dµ. Vorschalte eies sup ud Ahäge der letzte Ugleichug a (+) liefert die Behauptug. 2.8 Beispiel: Die Abschätzug i 2.8 ka ohe Zusatzvoraussetzuge icht zu eiem = verbessert werde: Betrachte (Ω, A, µ) = (IR, B(IR), λλ). Orde jeder atürliche Zahl m durch Abspalte eier maximale 2-Potez i eideutiger Weise ei Zahlepaar ((m), k(m)) zu m = 2 (m) + k(m), (m) IN 0, 0 k(m) < 2 (m) ud defiiere eie Folge (f m ) m i F + durch f m := 2 1 [ k 2, k+1 2 ] mit = (m), k = k(m), m IN. 9

10 Ma sieht sofort lim if m f m(ω) = 0 ω Ω ; f m dµ = 1, m IN. Wir habe i 2.5 für beliebige ichtegative MNF f ei Itegral I(f) = fdµ defiiert: beachte, dass I eie Abbildug F + [0, + ] ist, ud zum Beispiel im Fall µ(ω) = + der kostate Fuktio f 1 das Itegral + zugesproche wird. 2.9 Defiitio: Eie messbare umerische Fuktio f auf (Ω, A) heisst µ-itegrierbar, we Positivteil f + F + ud Negativteil f F + vo f separat ei edliches Itegral besitze: ( ) f + dµ < ud f dµ < ; uter ( ) defiiert ma das µ-itegral vo f durch f dµ := f + dµ f dµ. Ist f µ-itegrierbar ud A A, so schreibt ma A fdµ für (f1 A )dµ. Ist µ ei Wahrscheilichkeitsmass auf (Ω, A) ud ist f eie µ-itegrierbare MNF, schreibt ma auch E(f) oder E µ (f) astelle vo fdµ. I Aalogie zu 1.40 etspricht diese Schreibweise der Iterpretatio vo f als IR-wertiger Zufallsvariable auf (Ω, A, µ) Hilfssatz: Für eie messbare umerische Fuktio f sid folgede Aussage gleichwertig: i) f ist µ-itegrierbar, ii) es existiere u i F + mit u i dµ < ud f = u 1 u 2, iii) es existiert ei u F + mit u dµ < ud f u, iv) es gilt f dµ <. Ist f µ-itegrierbar, so gilt für jede Zerlegug f = u 1 u 2 mit de Eigeschafte aus ii) f dµ = u 1 dµ u 2 dµ. Beweis: i) = ii): wähle etwa u 1 := f +, u 2 := f ; ii) = iii): Dreiecksugleichug für u := u 1 +u 2 ; iii) = iv): Mootoieeigeschaft (2.6) des Itegrals auf F + ; iv) = i): wege f = f + + f ist iv) 10

11 geau die Bedigug i Defiitio 2.9. Der Zusatz ergibt sich so: Schreibt ma f = u 1 u 2 mit u i F + ud u i dµ <, so ist f + = f 1 {f>0} = (u 1 u 2 )1 {f>0} u 1 1 {f>0} u 1 ; geauso sieht ma f u 2. Zusamme mit de beide Darstelluge f = f + f ud f = u 1 u 2 erhält ma u 1 f + = u 2 f F +. Wege Liearität (2.6) des Itegrals auf F + ka ma daher die Grösse ( f + dµ + ) (u 1 f + )dµ ( f dµ + ) (u 2 f )dµ sowohl i Form u 1 dµ u 2 dµ als auch i Form f + dµ f dµ schreibe Hilfssatz: Ereigisse A A mit µ(a) = 0 et ma µ-nullmege i A oder auch A- Nullmege uter µ. Es gilt: a) Ist f F + µ-itegrierbar, so ist {f = + } eie µ-nullmege i A. b) Ist A A eie µ-nullmege ud f eie beliebige MNF auf (Ω, A), so gilt A f dµ = 0. c) Gilt f dµ = 0 für eie MNF f, so ist {f 0} eie µ-nullmege i A. Beweis: Die Aussage a) folgt mit der Mootoieeigeschaft (2.6) auf F + aus > fdµ sup } {{ ) dµ = sup } E + (1 {f=+ } b) zeigt ma aalog: aus µ(a) = 0 folgt für eie beliebige MNF f f 1 A dµ = sup ( f )1 A dµ sup µ({f = + }). µ(a) = 0. Die Aussage c) folgt aus {f 0} = m 1 { f 1 m }, f dµ ( 1 m 1 { f 1 m }) dµ = 1 m µ({ f 1 m }) Defiitio: Zwei MNF f 1, f 2 auf (Ω, A) heisse µ-äquivalet falls µ({f 1 f 2 }) = 0. Ei Beispiel: für die Gleichverteilug µ := R((0, 1)) auf dem offee Itervall (0, 1) i (IR, B(IR)) ist (, 0] [1, + ) eie µ-nullmege i B(IR), ud die drei MNF f 1 := 1 (0,1), f 2 1, f 3 := 1 (0,1) + 1 (0,1) c 11

12 sid µ-äquivalet. Ei Mass µ auf (Ω, A) ka A-messbare Fuktioe ie geauer uterscheide als bis auf µ-äquivalez: 2.11 Hilfssatz: Betrachte zwei MNF f 1, f 2 auf (Ω, A), etweder beide µ-itegrierbar oder beide ichtegativ. Da gilt µ({f 1 f 2 }) = 0 A f 1 dµ = A f 2 dµ für alle A A. Beweis: Die Implikatio = folgt aus 2.11 b): i Darstelluge f 1 = f 1 1 {f1 =f 2 } + f 1 1 {f1 f 2 }, f 2 = f 1 1 {f1 =f 2 } + f 2 1 {f1 f 2 } führt der jeweils zweite Term zu eiem Itegral über eie µ-nullmege wie i 2.11 b). Für = betrachte ma A m A defiiert als {f 1 f m } oder {f 2 f m } : aus A m f 1 dµ = A m f 2 dµ folgt da µ(a m ) = 0, für jedes m 1. Also ka die Abbildug f f dµ sivoll ur auf de Äquivalezklasse µ-itegrierbarer MNF auf (Ω, A) betrachtet werde. Isbesodere ist jede µ-itegrierbare MNF f µ-äquivalet zur IR-wertige MNF f := f1 { <f<+ }. Damit ergibt sich aus eie eifache Aussage: 2.12 Satz: Schreibe L 1 (µ) = L 1 (Ω, A, µ) für die Klasse aller (Äquivalezklasse vo) µ-itegrierbare messbare umerische Fuktioe auf (Ω, A). Da gilt: L 1 (µ) ist ei liearer Raum über IR, ud die Abbildug I : L 1 (µ) f f dµ IR ist i dem folgede Si eie positive Liearform auf L 1 (µ): I(1 A ) = µ(a) A A (2.12 ) I(α 1 f 1 + α 2 f 2 ) = α 1 I(f 1 ) + α 2 I(f 2 ), α 1, α 2 IR f 1 f 2 = I(f 1 ) I(f 2 ). Beweis: 1) Homogeität: zerlege f L 1 (µ) i Positiv- ud Negativteil, da für α IR (αf) ± = α f ±, α > 0 α f, α < 0 = I(αf) = αi(f). 12

13 2) Additivität: für f 1, f 2 L 1 (µ) schreibe f 1 + f 2 = u 1 u 2 mit u 1 := f f 2 +, u 2 := f1 + f 2. Da sid u i F + ud es gilt u i dµ < : also gilt ach 2.10 ud Liearität (2.6) auf F + I(f 1 + f 2 ) = I(u 1 ) I(u 2 ) = I(f 1 ) + I(f 2 ). 3) Mootoie: Für f 1 f 2 gilt f 1 + f 2 +, f 1 f 2, also I(f 1) I(f 2 ) Bemerkug: Ist isbesodere µ = λλ das i 1.21 defiierte Lebesgue-Mass auf (IR d, B(IR d )), so heisst das i 2.9 ud 2.12 defiierte Itegral Lebesgue-Itegral auf (IR d, B(IR d )). Eie messbare Fuktio (IR d, B(IR d )) (IR, B(IR)), welche i Eischräkug auf ei Kompaktum Riema-itegrierbar ist, ist i Eischräkug auf dieses Kompaktum auch Lebesgue-itegrierbar, ud die Itegrale stimme überei. Der Riemasche Itegratiosweg führt jedoch ur auf eher restriktiv defiierte Fuktioeklasse (wie z.b. der Klasse aller stetige Fuktioe IR d IR mit kompaktem Träger) zum Ziel. Äderuge) erläuter wir das geauer. I Dimesio d = 1 (der allgemeie Fall erfordert ur otatioelle a) Betrachte die Dirichlet-Sprugfuktio f : IR IR + auf (IR, B(IR), λλ) +1 falls x IQ, f(x) = 0 sost. Es gilt f F +, also ist I(f) ach 2.5 wohldefiiert; als abzählbare Mege ist {f 0} eie λλ- Nullmege i B(IR), also ist f λλ-äquivalet zur kostate Fuktio g 0. Also gilt f L 1 (λλ) mit f dλλ = 0. Klar ist f : [0, 1] IR + icht Riema-itegrierbar. b) Betrachte eie Riema-itegrierbare Fuktio f : [a, b] IR +. Da existiert eie Folge vo Partitioe vo [a, b] π : a := t 0 <... < t l() =: b, mesh(π ) := π π +1 max 1 j l() (t j t j 1 ) 0 für so dass mit m j := if f(x), M x [t j 1,t j ] j := sup f(x) x [t j 1,t j ] die Limites vo Riema-Obersumme ud -Utersumme übereistimme: l() j=1 } {{ } =:s(f,π ) l() lim m j (t j t j 1) = lim Mj (t j t j 1). 13 j=1 } {{ } =:S(f,π )

14 Betrachte l() f := m 1 1 [t 0,t 1 ] + m j 1 ]t j 1,t j ] E +, 1, j=2 l() F := M1 1 [t 0,t 1 ] + Mj 1 ]t j 1,t j ] E +, 1. j=2 Dies sid Folge vo B(IR)-Elemetarfuktioe, (f ) ist aufsteiged, (F ) absteiged, ud es gilt f f F für jedes 1. Isbesodere ist (F f ) eie absteigede Folge i F +, ud für g := lim (F f ) F + gilt ach Fatou 2.8 ud wege Riema-Itegrierbarkeit vo f: g dλλ lim if (F f ) dλλ = lim (S(f, π ) s(f, π )) = 0. Also ist {g > 0} eie λλ-nullmege i B(IR): da ach der eigags gemachte Voraussetzug f1 [a,b] : (IR, B(IR)) (IR, B(IR)) messbar ist, sid f1 [a,b] ud sup f λλ-äquivalet i F +, also ist ach 2.7 ud 2.11 das Lebesgue-Itegral vo f1 [a,b] gegebe durch f1 [a,b] dλλ = (sup f )dλλ = sup ud stimmt also mit dem Riema-Itegral überei. f dλλ = sup s(f, π ) c) Lässt ma u die Voraussetzug der B(IR)-B(IR)-Messbarkeit vo f falle, so zeigt das Argumet aus b) immer och: aus Riema-Itegrierbarkeit vo f auf [a, b] folgt sup f f1 [a,b] if F = sup f + g wobei die Fuktioe auf der like ud der rechte Seite der Ugleichug B(IR)-B(IR)-messbar sid, g 0, ud λλ({g > 0}) = 0. Dies zeigt, dass eie auf [a, b] Riema-itegrierbare Fuktio f bis auf eie Teilmege eier λλ-nullmege aus B(IR) siehe auch (+) ute mit eier messbare Fuktio übereistimmt. Diese Teilmege wird jedoch im allgemeie icht mehr i der Borel-σ-Algebra B(IR) ethalte sei. d) Komplettiert ma u die σ-algebra B(IR) bezüglich des Lebesgue-Masses λλ: N := {A IR : es gibt ei A B(IR) mit λλ(a) = 0 ud A A } B(IR) λλ := σ ( B(IR), N ) = {A N : A B(IR), N N } λλ(a N) := λλ(a), A B(IR), N N (N ist also das System aller Teilmege vo µ-nullmege i B(IR d )) so wird für jede auf [a, b] Riema-itegrierbare Fuktio f die Eischräkug f1 [a,b] : IR IR 14

15 zu eier B(IR) λλ B(IR) messbare Fuktio, für die das Itegral ach Lebesgue mit dem Riemasche Itegral übereistimmt: beachte (+) für alle b > 0 gilt : { f1 [a,b] sup f > b } { g > 0 } wobei {g > 0} die obe geate λλ-nullmege aus B(IR) ist. B. Die Räume L p (µ), µ-fast sichere Kovergez, Kovergez i L p (µ) Wir begie mit eiige wichtige Ugleichuge Jesesche Ugleichug: Sei I ei beliebiges Itervall i IR, sei u : I IR eie kovexe Fuktio. Für jede Zufallsvariable X auf (Ω, A, P ) mit de Eigeschafte P (X I) = 1, X L 1 (P ) ist da E(u(X)) wohldefiiert, ud es gilt u(e(x)) E(u(X)) (, ]. Beweis: 1) Eie Fuktio u : I IR ist kovex we es a jeder Stelle ξ I (midestes) eie Gerade g durch de Pukt (ξ, u(ξ)) gibt, mit geeigeter Steigug λ IR, so dass gilt (+) für alle x I: u(x) u(ξ) + λ(x ξ) = g(x). g heisst da Stützgerade zu u im Pukt (ξ, u(ξ)). 2) I der eifachste Fassug der Jese-Ugleichug, i der ma zusätzlich u X L 1 (P ) vorauszusetze bereit ist (vgl. z.b. Georgii 2002 S. 111), ist der Beweis mit (+) scho fertig: ma setzt ξ := E(X) i (+) ud erhält aus Liearität ud Mootoie des Itegrals die gewüschte Aussage. Wir brauche eie Ugleichug ohe die geate Zusatzvoraussetzug. 3) Zeige zuerst: hat X L 1 (P ) die Eigeschaft P (X I) = 1, so gilt auch E(X) I: Betrachte zuächst die utere Itervallgreze vo I ud setze α := if I = if{x : x I}. Falls α =, gilt E(X) > α wege X L 1 (P ), ud es ist ichts zu zeige. Sei also α IR. Im Falle α I hat ma X α P -fast sicher ud damit E(X) α. Im Falle α / I hat ma X > α P -fast sicher; zu zeige ist E(X) > α. Mit aufsteigeder Stetigkeit existiert ei ε > 0 so dass P (X α+ε) > 0, daher E(X) = XdP = XdP = XdP + XdP. Ω {X>α} 15 {X (α,α+ε)} {X α+ε}

16 Damit folgt E(X) a P (X (α, α + ε)) + (α+ε) P (X α+ε) > α. Bezüglich der utere Itervallgreze α ist daher die Behauptug i alle Fälle gezeigt. Bezüglich der obere Itervallgreze β = sup I argumetiert ma aalog. 4) Betrachte u u, ξ, g ud λ wie i Schritt 1), ud X wie i Schritt 3). Für ξ := E(X) I ist die Zufallsvariable g(x) = u(ξ) + λ(x ξ) i L 1 (P ). Nach (+) ist (u g) X eie ichtegative messbare umerische Fuktio, dere P -Itegral E ((u g) X) (0, ] ach 2.5 wohldefiiert ist. Wege g(x) L 1 (P ) da auch das Itegral E(u(X)) = (u g) X dp + g X dp (, ] wohldefiiert, ud die behauptete Ugleichug folgt aus (+) ud der Liearität vo g Hölder-Ugleichug: Sei µ ei Mass auf (Ω, A). Für p > 1 ud 1 p + 1 q = 1 gilt f g dµ ( ) 1/p ( f p dµ für beliebige messbare umerische Fuktioe f, g auf (Ω, A). g q dµ) 1/q Beweis: Schreibe f =: f 1, g =: f 2, p =: p 1, q =: p 2. Dabei gilt p 1 > 1 ud 1 p 2 = 1 1 p 1. Es geügt, die Behauptug achzuweise für f i p i dµ < (sost wäre die Behauptug trivial), für f i F + (sost ersetze f i durch f i ), ud für f i p i dµ > 0 (sost wäre eies der f i µ-äquivalet zur kostate Fuktio 0). Aus folgt für y 1 y 2 > 0 y 1 1 p 1 1 y p 2 x 0 = (1 + x) 1 p p 1 x = 1 p p 1 (1 + x) 2 = y 2 ( y1 y 2 }{{} 1 ) 1 p 1 { 1 y2 + 1 ( )} y1 p 2 p 1 y 2 ud damit wege Symmetrie der rechte Seite für beliebige y 1, y 2 0: (+) y 1 1 p 1 1 y p p 1 y p 2 y 2. 1 p 2 y p 1 y 1 Setzt ma u isbesodere y i := f p i i fi p i dµ, i = 1, 2 16

17 (beachte die Aahme 0 < f i p i dµ < obe) i die Ugleichug (+) ei, so ergibt sich f 1 f 2 1 f p1 1 f 1 p1 f 2 p2 p 1 f1 p + 1 f p dµ p 2 f2 p. 2 dµ Itegriert ma beide Seite bezüglich des Masses µ, ergibt sich auf der rechte Seite 1 p p 2 die Behauptug ist bewiese. = 1, ud 2.15 Satz: Sei 1 p <. Schreibe L p (µ) = L p (Ω, A, µ) für de Raum aller (µ-äquivalezklasse vo) messbare umerische Fuktioe f auf (Ω, A) mit f p dµ <. a) Da ist L p (µ) ei liearer Raum, ud f p := ( f p dµ ) 1/p ist eie Norm auf L p (µ). b) Für 1 s < r < ud beliebige messbare umerische Fuktioe f gilt eie Abschätzug ( ) 1 f s s dµ ( (µ(ω)) 1 s 1 r ) 1 f r r dµ. Ist µ ei edliches Mass, impliziert dies f s cst f r für f L r (µ), ud damit L r (µ) L s (µ) für 1 s < r. Beweis: 1) Für p = 1 ist L 1 (µ) ach 2.12 ei liearer Raum. Um zu sehe, dass 1 eie Norm auf L 1 (µ) ist, braucht ma ebe der Dreiecksugleichug ur 2.11 c): f 1 = f dµ = 0 = f ist µ-äquivalet zur kostate Fuktio 0. 2) Sei u p > 1. Für f 1, f 2 L p (µ) gilt f 1 + f 2 p (2 ( f 1 f 2 )) p 2 p ( f 1 p + f 2 p ). ud damit f 1 + f 2 L p (µ). Also ist L p (µ) ei liearer Raum. Defiiert ma zu p > 1 ei q > 1 durch 1 p + 1 q = 1 (isbesodere da (p 1)q = p) ud schreibt mit Hölder f 1 + f 2 p dµ f 1 f 1 + f 2 p 1 dµ + f 2 f 1 + f 2 p 1 dµ ( ( f 1 p dµ) 1 p + ( f 2 p dµ) 1 p ) ( ( ) 1 f 1 + f 2 p 1 ) q q dµ = ( ( f 1 p dµ) 1 p + ( f 2 p dµ) 1 p ) ( ) 1 1 f 1 + f 2 p p dµ, so folgt die Dreiecksugleichug ( ) 1 f 1 + f 2 p p dµ ( f 1 p dµ ) 1 p + ( f 2 p dµ ) 1 p. 17

18 Damit ist p eie Norm auf L p (µ). 3) Für 1 s < r < liefert Hölder mit p = r s > 1 für eie beliebige MNF f ( ) 1 1 ( ) 1 f s dµ = 1 f s p dµ 1 dµ ( f s ) p p dµ = ( ) 1 s ( ) s r 1 dµ f r r dµ ud damit die behauptete Abschätzug. Falls µ ei edliches Mass ist, folgt L r (µ) L s (µ) Defiitio: Sei µ ei Mass auf (Ω, A). a) Eie A-Mege vo vollem µ-mass ist das Komplemet eier A-Nullmege uter µ (vgl. 2.11). b) Sei E eie Eigeschaft, so dass elemetweise vo jedem ω Ω gesagt werde ka, ob ω die Eigeschaft E besitzt oder icht besitzt. Ma sagt, die Eigeschaft E gilt µ-fast sicher (µ-f.s.), falls es eie A-Mege vo vollem µ-mass gibt, so dass alle Elemete dieser Mege die Eigeschaft E besitze. Bemerkug: I 2.16 b) wird im allgemeie Ω 0 := {ω Ω: ω erfüllt E} icht zur σ-algebra A gehöre, d.h. kei Ereigis sei. Ma verlagt lediglich, dass Ω 0 als Teilmege vo Ω Obermege eier A-Mege vo vollem µ-mass sei. Die folgede Defiitio stellt u scheibar eie Rückschritt hiter 2.2 g) dar: 2.16 Defiitio: Sei (f ) 1 eie Folge messbarer umerischer Fuktioe auf (Ω, A). Gibt es eie Mege à A vo vollem µ-mass so dass gilt ( ) lim f (ω) existiert i IR für jedes ω à so sagt ma, die Folge (f ) kovergiert µ-fast sicher ( µ-f.s ). Bemerkug: Zwar gilt A := {ω Ω : lim f (ω) existiert i IR } A ach 2.2 g), de Nachweis vo µ-fast sicherer Kovergez führt ma jedoch oft bequemer auf kleiere A-Mege à A vo vollem µ Mass. Auch möchte ma eie µ-fast sicherere Limes falls er existiert, braucht ma ih ur eideutig bis auf µ-äquivalez auf µ-nullmege abäder zu dürfe. Isbesodere ist für beliebige Mege à A vo vollem µ-mass, die der Bedigug ( ) geüge, f(ω) := eie Festlegug des µ-fast sichere Limes. lim (f 1Ã)(ω), ω Ω 18

19 Nu komme wir (ach 2.7 ud 2.8) zum dritte der drei wichtigste Kovergezsätze Satz vo der domiierte Kovergez (Lebesgue): Sei µ ei Mass auf (Ω, A), sei (f ) eie Folge messbarer umerischer Fuktioe auf (Ω, A), sei 1 p <. Gilt i) die Folge (f ) kovergiert µ-fast sicher, ii) es existiert ei g F + mit g L p (µ), f g µ-fast sicher für jedes 1, so gibt es eie messbare umerische Fuktio f auf (Ω, A) so dass f L p (µ), f f i L p (µ) ud µ-fast sicher. Beweis: 1) Abzählbare Vereiiguge vo µ-nullmege i A liefert wieder eie µ-nullmege i A. Daher gibt es ei A A mit µ(a c ) = 0 so dass ω A : f (ω) g(ω), 1, lim f (ω) existiert i IR. Nach 2.2 sid da f := f 1 A MNF mit (+) ω Ω : f (ω) g(ω), 1, lim f (ω) existiert i IR, ud f := lim f ist eie MNF. Dies zeigt isbesodere die µ-fast sichere Kovergez f f. 2) Wir zeige die Kovergez i L p (µ). Aus (+) folgt f g auf Ω, ud die Voraussetzug g L p (µ) liefert f L p (µ). Geauso impliziert (+) auch f L p (µ), für alle 1. Defiiere u MNF h := f f p, 1, ud h := (2 g) p. Diese sid ichtegativ, es gilt h (2 g) p = h auf gaz Ω, ach Voraussetzug g L p (µ) sid die h, 1, h µ-itegrierbar, ud (+) liefert h 0 für auf gaz Ω. Also zeigt Fatou 2.8 h dµ = lim if(h h ) dµ lim if (h h }{{} ) dµ 0 = h dµ lim sup h dµ h dµ. Das aber bedeutet =, damit ud also lim f f p = ( h dµ = 0 h dµ) 1/p 0. 19

20 Gezeigt ist: f f i L p (µ) für. Aber f ud f sid µ-äquivalet, für jedes 1. Also ist die Behauptug bewiese Satz: Sei µ ei Mass auf (Ω, A), sei 1 p <. a) Der Raum L p (µ) ist vollstädig. b) Kovergiert (f ) gege f i L p (µ), so gibt es eie Teilfolge ( k ) k so dass gilt: f k k f µ-fast sicher. Beweis: 1) Wir zeige zuerst, dass ma aus jeder Cauchyfolge i L p (µ) eie Teilfolge auswähle ka, welche µ-fast sicher ud i L p (µ) kovergiert. Sei (f ) Cauchy i L p (µ), da gilt ε > 0 existiert 0 = 0 (ε) so dass f f m p < ε für alle, m 0 (ε). Wähle eie Teilfolge (f k ) k 1 mit f k f k+1 p < 2 k, k IN (es geügt, k 0 (2 k ) zu forder ud dabei ( k ) k aufsteiged zu wähle) ud betrachte g l := l f k+1 f k F +, l 1, g := k=1 f k+1 f k F +. k=1 Klar gilt g l L p (µ) für jedes l IN wege g l p Das Lemma vo Fatou 2.8 liefert g p dµ = l f k+1 f k p k=1 ud folglich g L p (µ); isbesodere gilt (lim if l l 2 l, l 1. k=1 g p l ) dµ lim if l g p l dµ < µ({g = + }) = 0. Auf dem Ereigis {g < } ist die Folge (f k ) k aber koverget i IR. Damit ist bewiese, dass ma aus jeder Cauchyfolge i L p (µ) eie Teilfolge auswähle ka, welche µ-fast sicher kovergiert. Für die so kostruierte (f k ) k liefert der Satz vo der domiierte Kovergez 2.16 (mit f 1 +g L p (µ) als itegrierbarer Majorate) eie MNF f mit (+) f L p (µ), f k k f µ-fast sicher ud i L p (µ). 20

21 2) Hat ma eie Cauchyfolge (f ) i L p (µ), eie Teilfolge ( k ) ud ei f so dass (+) gilt, so zeigt eie weitere Awedug der Cauchyeigeschaft auch f f i L p (µ) für. 3) Mit Schritt 1) ist Aussage b) des Satzes bewiese, da jede kovergete Folge isbesodere Cauchy ist. Schritte 1)+2) zeige, dass Cauchyfolge i L p (µ) kovergiere; damit ist L p (µ) vollstädig. Zum Abschluss des Teilkapitels vermerke wir eie sofort aus 2.15 b) folgede Tatsache: 2.19 Satz: Sei µ ei edliches Mass auf (Ω, A), sei 1 < r <. Kovergiert (f ) gege f i L r (µ), so auch i L s (µ) für jedes 1 s r. C. Spezialfall edlicher Masse: drei Kovergezbegriffe 2.20 Defiitio: Sei µ ei edliches Mass auf (Ω, A), seie f, 1, f messbare umerische Fuktioe auf (Ω, A). Ma sagt, die Folge (f ) kovergiert gege f µ-stochastisch, falls gilt für jedes ε > 0 : lim µ({ f f > ε}) = Beispiele: Betrachte auf (Ω, A) = (IR, B(IR)) das Wahrscheilichkeitsmass µ = R[0, 1], die Gleichverteilug auf [0, 1]. Defiiere drei Folge (f l ) l, (g l ) l, (h l ) l i F + : f 2 +k := k 2 1 [0, 1 2 ], k = 0, 1,..., 2 1, 1, g 2 +k := 1 [ k 2, k+1 2 ], k = 0, 1,..., 2 1, 1, h 2 +k := 2 1 [ k 2, k+1 2 ], k = 0, 1,..., 2 1, 1. Bezeiche f die kostate Fuktio f 0. Für jedes feste 1 p < gilt da für l : i) die Folge (f l ) l kovergiert µ-fast sicher, aber icht i L p (µ); ii) die Folge (g l ) l kovergiert i L p (µ), aber icht µ-fast sicher; iii) alle drei Folge (f l ) l, (g l ) l, (h l ) l kovergiere µ-stochastisch gege f; iv) die Folge (h l ) l kovergiert weder µ-fast sicher och i L p (µ). Dies folgt aus Betrachtug vo z.b. f l f p, µ({f l f}), ud µ({ lim l f l existiert}). 21

22 2.22 Satz: Sei µ ei edliches Mass auf (Ω, A), seie f, 1, f messbare umerische Fuktioe auf (Ω, A). Da gilt f f µ-fast sicher = f f µ-stochastisch. Beweis: ( ) Es geügt, de Fall f 0 zu betrachte (sost ersetze f durch f := f f). Zeige zuerst: f 0 µ-fast sicher sup f m 0 µ-stochastisch. m Zum Nachweis vo ( ) betrachtet ma Ereigisse A k m := { sup f 1 m k }, A := {ω Ω : lim f (ω) = 0} = i A. Für diese gilt f 0 µ-fast sicher µ(a c ) = 0 µ( m=1 k=1 m=1 (A k m) c, A c = k=1 m=1 A k m) = 0 für jedes feste k. Nach Defiitio ist für festes k die Folge (A k m) m absteiged i m, also ist die letzte Aussage wege absteigeder Stetigkeit des edliche Masses µ (vgl. 1.17) äquivalet zu A k m das aber ist geau die Aussage lim m µ(ak m) = 0 für jedes feste k, sup f m 0 µ-stochastisch. m Damit ist ( ) bewiese. Mit ( ) ud der offesichtliche Iklusio { f m > ε} { sup f > ε}, ε > 0 m folgt die Behauptug. Der folgede Satz präzisiert die zwische µ-stochastischer ud µ-fast sicherer Kovergez bestehede Lücke durch ei Auswahlkriterium, ud liefert zugleich die Eideutigkeit bis auf µ-äquivalez des µ-stochastische Limes eier Folge (f ) Satz: Sei µ ei edliches Mass, seie f, 1, f messbare umerische Fuktioe auf (Ω, A). Die folgede Aussage i) ud ii) sid gleichwertig: 22

23 i) es gilt f f µ-stochastisch für ; ii) zu jeder Teilfolge ( k ) k 1 der atürliche Zahle existiert eie weitere Teilfolge ( kl ) l 1 so dass f kl Beweis: l f µ-fast sicher. Es geügt, die Behauptug im Fall f 0 zu zeige (sost ersetze f durch f := f f). 1) Gilt f 0 µ-stochastisch für, so gibt es zu jedem ε > 0 ei 0 = 0 (ε) so dass gilt ( ) l, l 0 (ε) : µ ({ f l f l > ε}) < ε. Der Beweis vo ( ) folgt sofort aus { f l f l > ε} { f l > ε 2 } { f l > ε 2 } ud der vorausgesetzte stochastische Kovergez der Folge (f ) gege 0. 2) Wir zeige i) = ii): Die Folge (f ) kovergiere µ-stochastisch gege 0. Sei (f k ) k 1 eie beliebige Teilfolge vo (f ). Mit ( ) ka ma aus ( k ) k eie weitere Teilfolge ( kl ) l mit der Eigeschaft für l = 1, 2,... : µ({ f kl+1 f kl > 2 l }) < 2 l auswähle (mit de Bezeichuge aus ( ) reicht es, eie strikt mooto wachsede Folge ( kl ) l mit der Eigeschaft kl 0 (2 l ), l IN, bereitzustelle). Schreibe A l := { f kl+1 f kl > 2 l }, A := lim sup A l = l A l. m=1 l m Wege absteigeder Stetigkeit vo µ ist A als absteigeder Limes der Megefolge l m A l, m, mit µ(a l ) < 2 l eie µ-nullmege i A. Damit ist A c eie A-Mege vo vollem µ-mass, ud A c = lim if l Ac l = m=1 l m A c l = {ω Ω : es gilt f kl+1 f kl (ω) 2 l für schliesslich alle l} {ω Ω : lim l f kl (ω) existiert}. Also kovergiert die Folge (f kl ) l µ-fast sicher. Sei f eie Festlegug des µ-fast sichere Limes. Zu zeige bleibt, dass f µ-äquivalet zur kostate Fuktio 0 ist. Dies sieht ma aus (+) { f 0 > ε} { f f kl > ε 2 } { f kl 0 > ε 2 } 23

24 für beliebiges ε > 0, wobei das µ-mass der zweite Mege auf der rechte Seite vo (+) wege f 0 µ-stochastisch ach Voraussetzug ud das µ-mass der erste Mege auf der rechte Seite vo (+) wege f kl l f µ-fast sicher (ud damit ach 2.22 auch µ-stochastisch) für l gege 0 strebt. Dabei war ε > 0 beliebig, also ist f µ-äquivalet zur Fuktio f 0. Damit ist eie Teilfolge ( kl ) l gefude mit f kl l 0 µ-fast sicher. 3) Wir zeige ii) = i). Für ε > 0 beliebig betrachte die Zahlefolge α := µ({ f > ε}),. Zu zeige ist α 0. Ageomme, es sei lim sup α =: α > 0. Da ka ma eie Teilfolge ( k ) k k auswähle mit α k α. Zu dieser wähle wir ach Voraussetzug ii) eie weitere Teilfolge ( kl ) l so dass f kl l 0 µ-fast sicher. Nach 2.22 gilt da aber auch f kl l 0 µ-stochastisch, also lim α kl = 0 im Widerspruch zur gemachte Aahme. Also war diese absurd, es gilt α = 0, ud l damit f f µ-stochastisch. Der folgede Satz ist u eie eifache Kosequez aus 2.18 b) ud 2.23: 2.24 Satz: Sei µ ei edliches Mass auf (Ω, A), 1 p <, seie f, 1, f messbare umerische Fuktioe auf (Ω, A). Gilt da f, 1, f L p (µ), f f L p (µ) so gilt auch f f µ-stochastisch. Für edliche Masse µ ergibt sich aus 2.22 ud 2.24 folgede Hierarchie vo Kovergezbegriffe: Wir werde im Rest des Kapitels Zusatzbediguge diskutiere, uter welche ma i diesem Diagramm vo µ-fast sicherer Kovergez auf L p (µ)-kovergez schliesse darf. 24

25 2.25 Defiitio: Sei µ ei edliches Mass auf (Ω, A), sei H eie Teilfamilie vo L 1 (µ). H heisst gleichgradig µ-itegrierbar falls lim c sup f H { f c} f dµ = Hilfssatz: Sei µ ei edliches Mass auf (Ω, A), sei H eie Teilfamilie vo L 1 (µ). Geau da ist H gleichgradig µ-itegrierbar, we die folgede Bediguge i) ud ii) erfüllt sid: i) es gilt sup f dµ < ; f H ii) zu jedem ε > 0 gibt es ei δ > 0 so dass gilt: A A, µ(a) < δ = A f dµ < ε für alle f H. Beweis: (+) Für c > 0 schreibe f c := f 1 { f c}, da gilt für beliebige f H, A A A f dµ c µ(a) + f c dµ. 1) Sei H gleichgradig µ-itegrierbar, sei ε > 0 beliebig. Da gibt es ach Defiitio 2.25 ei c = c(ε) > 0 so dass f c dµ < ε/2 für alle f H. Da µ(ω) <, folgt i) aus (+) mit A = Ω. Setzt ma δ = δ(ε) = ε 2 c i (+), so folgt auch ii). f dµ ud wähle zu beliebigem 2) Seie umgekehrt die Bediguge i) ud ii) erfüllt. Setze M := sup f H ε > 0 zuerst ei δ > 0 gemäss ii), daach ei c > 1 δ M: damit hat ma δ = δ(ε), c = c(ε) so dass µ({ f c}) 1 f dµ 1 M < δ für alle f H ; c c die Voraussetzug ii) liefert da { f c} f dµ ε für alle f H. Da ε > 0 beliebig war, ist dies die gleichgradige Itegrierbarkeit der Familie H. Ei wichtiges hireichedes Kriterium für gleichgradige Itegrierbarkeit ist gleichmässige Beschräktheit höherer Momete i folgedem Si Hilfsatz: Sei H L 1 (µ). Gibt es eie ichtfallede Fuktio G : IR + IR + mit G(t) lim t t = + ud sup f H 25 G f dµ <,

26 so ist die Familie H gleichgradig µ-itegrierbar. Beweis: Schreibe M := sup G f dµ. Als ichtfallede Fuktio ist G messbar. Sei ε > 0 f H beliebig. Da G ach Voraussetzug scheller als liear wächst, gibt es ei c = c(ε) < mit G(t) 1 M t auf [c, ). ε Mit dieser Wahl vo c erhält ma sup f H { f c} f dµ sup f H ε 1 M { f c} G f dµ ε ud damit die Behauptug Beispiel: Sei µ ei Wahrscheilichkeitsmass auf (Ω, A), sei 1 p <, sei (f ) eie Folge messbarer umerischer Fuktioe auf (Ω, A). Die Bedigug es gibt ei r > p so dass f r dµ < ist hireiched für gleichgradige Itegrierbarkeit vo sup 1 H := { f p : 1} L 1 (µ). Dies folgt sofort aus 2.26 mit G(t) = t r/p, t 0. Nu die Atwort auf die Frage, uter welche Zusatzbediguge ma im Diagramm der drei Kovergezarte vor 2.25 vo µ-fast sicherer Kovergez auf Kovergez i L p (µ) schliesse darf: 2.28 Satz: Sei µ ei edliches Mass auf (Ω, A), sei 1 p <. Betrachte eie Folge (f ) L p (µ) ud eie messbare umerische Fuktio f so dass f f µ-fast sicher für. Da sid folgede Aussage gleichwertig: i) H := { f p : 1} ist gleichgradig itegrierbar ii) es gilt f L p (µ), ud f f i L p (µ). Beweis : 0) Domiierte Teilmege H vo L 1 (µ), d.h. solche mit es existiert ei g L 1 (µ) so dass h g für alle h H 26

27 sid stets gleichgradig itegrierbar: zuerst zeigt domiierte Kovergez 2.17 für die Fuktioeschar g1 {g c}, c IN lim c wege h g für alle h H folgt daraus lim sup c h H { g c} { h c} g dµ = 0 ; h dµ = 0. 1) Edliche Teilmege H vo L 1 (µ) sid gleichgradig itegrierbar: dies folgt aus Schritt 0) mit H = {h 1,..., h l } ud g := h h l. 2) Wir zeige ii) = i): Es gelte Kovergez vo (f ) gege f i L p (µ). Für A A schreibe f 1 A p (f f )1 A p + f1 A p f f p + f1 A p. Sei ε > 0 beliebig. Wege Voraussetzug ii) ud wege Schritt 1) gibt es zur eielemetige Familie { f p } L 1 (µ) gemäss 2.25 ei δ > 0 so dass A A, µ(a) < δ = f1 A p = ( ) 1/p f p dµ < ε A 2. Wege Voraussetzug ii) gibt es auch ei 0 = 0 (ε) mit f f p < ε 2 für alle 0. Zusamme ergebe die drei Abschätzuge (+) A A, µ(a) < δ : f 1 A p < ε für alle 0 (ε). Die edliche Familie { f 1 p,..., f 0 1 p } ist ach Schritt 1) gleichgradig itegrierbar: also gibt es ei δ > 0 so dass (++) A A, µ(a) < δ : f j 1 A p < ε für j = 1,..., 0 (ε) 1. Zusamme liefer (+) ud (++) mit δ(ε) := δ δ ach 2.25 die gleichgradige Itegrierbarkeit der Familie H = { f p : 1}. 3) Zeige i) = ii): Sei u { f p : 1} gleichgradig itegrierbar. Nach 2.25 gilt M := sup 1 f p dµ < ud mit Fatou 2.9 impliziert die vorausgesetzte µ-fast sichere Kovergez f f f p dµ lim if 27 f p dµ M <.

28 Also gilt f L p (µ). Sei ε > 0 beliebig. Uter Voraussetzug i) gibt es ei c = c(ε) mit { f c} f p dµ < ε p, sup f p dµ < ε p. 1 { f c} Daraus erhält ma mit eier Trukatio h c (x) := x1 ( c,+c) (x) f f p f 1 { f <c} f1 { f <c} p + f 1 { f c} p + f1 { f c} p h c f h c f p + 2 ε. Hier ist h c beschräkt ud messbar: da µ ei edliches Mass ist ud da (f ) µ-fast sicher gege f kovergiert, zeigt domiierte Kovergez 2.17 h c f h c f p 0. Die beide letzte Formelzeile zeige f f p 0; damit ist die gewüschte Kovergez f f i L p (µ) bewiese. Die Bediguge des Satzes vo der domiierte Kovergez 2.17 ware wie im Schritt 0) des Beweises vo 2.28 gezeigt wurde ei Spezialfall vo gleichgradiger Itegrierbarkeit. Folgede eifache Umformulierug vo 2.28 ist häufig ützlich: 2.28 Satz: Sei µ ei edliches Mass auf (Ω, A), seie f, 1, f messbare umerische Fuktioe auf (Ω, A) mit f f µ-fast sicher für. Für 1 p < sid folgede Aussage gleichwertig: i) die Familie H := { f p : 1} ist gleichgradig itegrierbar; ii) es gilt (f ) L p (µ), f L p (µ), ud f f i L p (µ). Beweis: Dies sieht ma sofort mit de Argumete des Beweises vo