K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 11. Übung SS 13: Woche vom

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1 Übungsaufgaben 11. Übung SS 13: Woche vom Stochastik V: ZG Momente von ZG; Grenzverteilungssätze Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow vanselow/lehre SoS13/Uebungen SoS13/U 4 IJ11.html Auch(dort): Aktuelle Hinweise zu Übungszusammenlegungen/ Raumveränderungen Konsultationsmöglichkeit zur Klausurvorbereitung: Jeden Donnerstag ab Uhr (6. DS) im Raum WIL C307 durch Frau Pfeifer

2 Wiederholung WR IV - Stetige ZG Def : Eine Zufallsgröße X : E R, deren Vert.-fkt. F (x) sich für alle x mittels einer Funktion f(x) 0 in der Form F (x) = x f(ξ) dξ darstellen lässt, heißt stetige Zufallsgröße. f(x) nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte von X. Wichtige stetige Verteilg.: Normalverteilung (!!), Gleichvert., Exponentialverteilung (=Lebensdauerverteilung) 0 x < 0 Weibullvertlg.: f(x) = bpx p 1 e bxp x 0, p > 0, b > 0 Weitere Verteilungen (s. Statistik): Fisher-Vertlg., χ 2 -Vertlg.

3 Normalverteilung (Gaußvertlg.) Standardisierte Normalverteilung N(0, 1) φ(x) = f(x; 0, 1) = 1 z e x2 2 Φ(z) = 2π φ(x)dx Zentrale Aussage (für Anwendung): Falls die ZG X N(µ, σ 2 ), so besitzt die ZG Z := X µ σ eine N(0, 1)-Verteilung (Z N(0, 1)) Beispiel: Der Innenringdurchmesser D von Kugellagern sei normalverteilt mit µ = 12.2mm, σ 2 = mm 2 (D N(12.2, )). Ein Innenring ist paßfähig, wenn D [12.1mm, 12.4mm]. Wie groß ist in einem Posten von 1000 Stück der (mittlere) Anteil paßfähiger Ringe?

4 Definition (Erwartungswert, Momente einer stet. ZG) X sei eine stetige Zufallsgröße mit Dichte f(x), für die ξ k f(ξ) dξ konvergiert (k = 1, 2,... ). Dann nennt man E(X) = m k = µ k = ξf(ξ) dξ den Erwartungswert (Mittelwert) von X, ξ k f(ξ) dξ das k-te Moment von X und (ξ EX) k f(ξ) dξ das zentrale k-te Moment von X Weitere Lageparameter: Ein Wert x = x p heißt p-quantil, falls F (x p ) = p = P (X < x p ) = xp f(ξ)dξ, 0.5 Quantil: Median Weitere Größen: Schiefe γ 3 = µ 3 σ 3, Exzeß γ 4 = µ 4 σ 4 3

5 Die Tschebychevschevsche Ungleichung Satz: Für eine beliebige ZG X mit endlichen EX, D 2 X gilt P ( X EX a) D2 X a 2, bzw. P ( X EX kσ) 1 k 2, a, k > 0 Konsequenz: P ( X EX < kσ) 1 1, k > 0. k2 Diese Abschätzung gilt für beliebige ZG X mit endlichem Erwartungswert und Varianz. Für konkrete Verteilungen lassen sich diese Abschätzungen u.u. noch verbessern: 3 σ Regel für die Normalverteilung: Sei X N(µ, σ 2 ). Dann P ( X µ < 3σ) =... = 2Φ 0 (3) ( 1).

6 Zufallsvektoren (mehrdim. ZG) Def (n-dimensionale Zufallsgröße, zufälliger Vektor) Ein System von n reellen Funktionen X 1 (e), X 2 (e),..., X n (e), deren DB die Menge E der Elementarereignisse e ist, heißt n-dimensionale Zufallsgröße, wenn das Urbild eines jeden n-dimensionalen Intervalls der Form <x k <a k, (k =1, 2,..., n) ein zufälliges Ereignis A aus einem Ereignisfeld Z ist. Def (Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors) (X 1, X 2,..., X n ) sei eine n-dimensionale Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ereignisse {X 1 < x 1, X 2 < x 2,..., X n < x n } gemeinsam eintreten, heißt Verteilungsfunktion F von (X 1, X 2,..., X n ): F (x 1, x 2,..., x n ) = P {X 1 < x 1, X 2 < x 2,..., X n < x n }.

7 Beispiel diskreter Zufallsvektor - Polynomialverteilung: Ereignissystem A k, A k =E, A i A j =, P (A k )=p k, p k =1 k k n unabhängige Versuche; X k - Anzahl des Eintretens von A k. P (X 1 =j 1, X 2 =j 2,..., X k =j k ) = p j1 j 2...j k = n! j 1!... j k! pj p j k k Positive Wahrscheinlichkeit besitzen Urbilder aller Vektoren x mit x = (j 1, j 2,..., j k ) T mit i j i = n, 0 j i n, j i ganzzahlig Stetige Zufallsvektoren, Verteilungsfunktion (2D) ZG (X, Y ) heißt stetig, falls Dichte f(x, y) 0 existiert mit F (x, y) = x y f(x, y)dxdy, Monotonie: F (x 1, y 1 ) F (x 2, y 2 ), falls x 1 x 2, und y 1 y 2

8 Skalierung: F (, ) = f(x, y)dxdy = 1 Beispiel(e): Normalverteilung, Gleichverteilung in B R 2, Erinnerung Beispiel 4 (1.VL WR): 2 Personen (P,Q) wollen sich zw und 9.00 Uhr treffen. X - Ankunftszeit P; Y - Ankunftszeit Q. Zufallsvektor: Z = (X, Y ) ist gleichverteilt in [0, 1] [0, 1] Definition (Randverteilung, Randdichte (n = 2)): Sei (X, Y ) ein zufälliger Vektor mit Verteilungsfunktion F (x, y). Dann nennt man (eindimensionale) Randverteilungen von (X, Y ): P (X<x, Y < )=F (x, )=F X (x), P (X<, Y <y)=f (, y)=f Y (y) Ist (X, Y ) ein stetiger Zufallsvektor mit Dichte p(x, y), so heißen p X (x) = p(x, η) dη, p Y (y) = (eindimensionale) Randdichten von (X, Y ). p(ξ, y) dξ

9 Momente von Zufallsvektoren (X, Y ) (n=2) Erwartungswerte der Komponenten X bzw. Y E(X) = E(Y ) = ξf(ξ, η) dξdη = ηf(ξ, η) dξdη = ξf X (ξ)dξ ηf Y (η)dη Def Momente m pq und zentrale Momente µ pq m pq = E(X p Y q ) = µ pq = E( X E(X) p Y E(Y ) q ) = ξ p η q f(ξ, η) dξdη ξ E(X) p η E(Y ) q f(ξ, η) dξdη

10 Kovarianzmatrix; Korrelationskoeffizienten Def Ist (X 1, X 2,..., X n ) ein n-dimensionaler Zufallsvektor, so heißt k jl = E{[X j E(X j )][X l E(X l )]} = cov(x j, X l ) die Kovarianz der Zufallsgrößen X j, X l (1 j, k n). Die Matrix (k jl ) heißt Kovarianzmatrix. Die mit den Standardabweichungen normierten Kovarianzen nennt man Korrelationskoeffizienten: ρ jl = cov(x j, X l ) D(Xj ) D(X l ) = cov(x j, X l ) σ j σ l (1 j, l n). Definition (unkorrelierte Zufallsgrößen) Sei (X, Y ) ein zufälliger Vektor. Die Zufallsgrößen X, Y heißen unkorreliert, wenn ihr Korrelationskoeffizient ρ(x, Y ) verschwindet.

11 Unabhängigkeit von ZG Def : Sei (X 1, X 2,..., X n ) ein zufälliger Vektor, F (x 1, x 2,..., x n ) seine Verteilungsfunktion, und F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F n (x n ) seien die eindimensionalen Randverteilungen. Man nennt die Zufallsgrößen X 1, X 2,..., X n unabhängig, wenn für beliebige x 1, x 2,..., x n gilt. F (x 1, x 2,..., x n ) = F 1 (x 1 )F 2 (x 2 )... F n (x n ). Für stetige ZG: ZG sind genau dann unabhängig, wenn die Dichte Produkt der Randdichten ist: F (x, y) = F X (x)f Y (y) f(x, y) = f X (x)f Y (y) Satz: Unabhängigkeit der ZG (X, Y ) impliziert ihre Unkorreliertheit, d.h., F (x, y)=f X (x)f Y (y) cov(x, Y )=ρ(x, Y )=0