Modellierung- und Simulation Mathis Plewa ( )

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Sabine Dieter
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1 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis... 1 Übungsaufgabe: Zufallsgeneratoren und Histogramme... 2 Standard Gleichverteilung... 2 Gaußverteilung... 3 Exponentialverteilung... 4 Übungsaufgabe: Geometrische Verteilung der Exponentialverteilung... 5 Geometrische Verteilung... 5 Übungsaufgabe: Schätzung der Zahl π mit der Monte-Carlo-Methode... 6 Abbildungsverzeichnis Abbildung 1 - Standard Gleichverteilung N=1e Abbildung 2 - Standard Gleichverteilung N= Abbildung 3 - Gaußverteilung... 3 Abbildung 4 - Exponentialverteilung... 4 Abbildung 5 - Geometrische Verteilung... 5 Abbildung 6 - Monte-Carlo-Methode

2 Übungsaufgabe: Zufallsgeneratoren und Histogramme Erzeugen Sie Zufallszahlen mit den bisher bekannten Wahrscheinlichkeitsdichten und erstellen Sie Histogramme dazu. Standard Gleichverteilungsdichte Abbildung 1 - Standard Gleichverteilungsdichte für N=1e6 Oberes Histogramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte eines idealen Würfels (p=1/6). Bei ausreichend großer Anzahl an Würfelungen sind die Wahrscheinlichkeiten für jede Zahl gleichverteilt (hier: N=1e6). Wählt man hingegen die Anzahl an Würfelungen nicht groß genug (hier: N=100), so entsteht folgendes Bild: Abbildung 2 - Standard Gleichverteilungsdichte N=100 2

3 Gaußverteilung Abbildung 3 - Gaußverteilung Die Gauß- oder Normalverteilung wird häufig in der Messtechnik eingesetzt um die Fehlertoleranz von Messungen auszudrücken. An der Stelle x=0 auf der X-Achse befindet sich der Erwartungswert (µ). Mithilfe der Standardabweichung Sigma (σ) lassen sich Intervalle um den Erwartungswert abstecken, welche zu der Fehlertoleranz gehören. Die Verteilfunktion (CDF) lautet wie folgt: Die Dichtefunktion (PDF) lautet dementsprechend: P(x) = 1 x μ (1 + erf ( 2 2 σ 2)) p(x) = 1 2 π σ (x μ) 2 2 e( 2 σ 2 ) Wie im obigen Bild zu erkennen ist, wurde der Erwartungswert µ hier mit 0 gewählt. Die Standardabweichung σ liegt bei In der Verteilfunktion findet sich die Verwendung der Fehlerfunktion erf(x), die in Matlab vorhanden ist. Diese ist wie folgt definiert: Für eine normalverteilte Zufallszahl Y mit Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 0.5, beschreibt die Fehlerfunktion die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Messung von Y zwischen µ-x und µ+x fällt. 3

4 Exponentialverteilung Abbildung 4 - Exponentialverteilung Um die Exponentialverteilung anschaulich zu Erklären wird im folgenden Beispiel der Zerfall von Radium mithilfe dieser geplottet. Für die Exponentialfunktion finden sich in verschiedenen Quellen zwei Schreibweisen (hier anschaulich für die Dichtefunktion). f λ (x) = λe λx f μ (x) = 1 μ e x μ Zwischen beiden Schreibweisen herrscht folgende Beziehung: μ = 1 λ Am Beispiel des Zerfalls von Radium wurde für λ = s 1 gewählt. Dies entspricht der so genannten Zerfallskonstante. Durch die Beziehung zwischen µ und λ lässt sich aus der Zerfallskonstante der Erwartungswert berechnen. 1 ( μ = s 1) 2331 Jahre Ebenso lässt sich der Median (hier Halbwertszeit: Zeit nach der die Hälfte zerfallen ist) berechnen. x = ln (2) λ 1600 Jahre Es zeigt sich, dass viele Radium-Teilchen schon relativ früh (<1000 Jahre) zerfallen, während es bei großem t eine nicht zu vernachlässigende Menge Teilchen gibt, die immer noch nicht zerfallen sind Jahre nach dem Freisetzen von Radium wird es immer noch Atome geben, welche nicht zerfallen sind. Die Verteilfunktion (CDF) lautet wie folgt: F(x) = 1 e x μ 4

5 Übungsaufgabe: Geometrische Verteilung der Exponentialverteilung Erzeugen Sie ganzzahlige Zufallszahlen mit der geometrischen Verteilung und erstellen Sie ein Histogramm dazu. Wählen sie eine sehr kleine Balkenbreite z.b. mit hist(x,1000). Warten, bis man eine 6 würfelt: Das ist so etwas wie das Warten auf einer diskreten Zeitachse! Geometrische Verteilung Abbildung 5 - Geometrische Verteilung Oberes Histogramm zeigt das Histogramm einer geometrischen Verteilung am Beispiel eines Würfels. Auf der X-Achse ist die Anzahl an Versuchen aufgetragen. Die Y-Achse zeigt die Häufigkeit an. Insgesamt wurde in dem Beispiel mal gewürfelt. In ca. 180 Fällen wurde direkt beim ersten Mal eine 6 gewürfelt. In ca. 75 Fällen wurde erst beim 5-Mal eine 6 gewürfelt. Die geometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt es in zwei Ausführungen. Die erste betrachtet die Anzahl an Versuchen, welche man benötigt um zum ersten Erfolg zu kommen: P(x) = p (1 p) n 1 Die zweite Variante bezeichnet die Wahrscheinlichkeit x Fehlversuche vor dem ersten Erfolg zu haben: P(x) = p (1 p) n 5

6 Übungsaufgabe: Schätzung der Zahl π mit der Monte-Carlo-Methode Man kann Zufallszahlen auch dazu benutzen, Integrale näherungsweise zu berechnen. Die Fläche des Einheitskreises hat den Wert π. Um diesen Wert mit der Monte-Carlo-Methode zu schätzen, legt man den in Abbildung 5 schwarz gezeichneten Einheitskreis in ein Quadrat der Kantenlänge 2. Dann werden N Punkte (x,y) ausgewürfelt, die über das Quadrat gleichverteilt sind. D.h. die beiden Koordinaten sind jeweils gleichverteilt über das Intervall [-1.1]. Jetzt zählt man, wie groß der Anteil der Punkte innerhalb des Kreises ist. Mit Hilfe des Dreisatzes erhält man daraus den Schätzwert für π. Abbildung 6 - Monte-Carlo-Methode Obiges Bild zeigt die visuelle Darstellung der Monte-Carlo-Methode. Zwischen 0 und 2 werden Punkte gleichverteilt erzeugt. Diese Punkte legt man in das obige Koordinatensystem (hier blaue Punkte). Ebenfalls erzeugt man einen idealen Kreis, welchen man in das gleiche Koordinatensystem legt (hier rote Punkte). 6

7 Im Anschluss zählt man die blauen Punkte (Matlab: find), welche sich innerhalb des Kreises befinden und berücksichtigt mithilfe des Dreisatzes die Kantenlängen des Koordinatensystems und die verwendeten Punkte. Das Ergebnis ist eine relativ genaue Schätzung der Zahl π. Durch das Erhöhen der simulierten Zahlen kommt man relativ genau an den tatsächlichen Wert von PI ( ) heran (Zumindest auf den ersten Nachkommastellen). 7

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