GP Getriebenes Pendel

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1 GP Getriebenes Pendel Blockpraktikum Frühjahr 7 (Gruppe ) 5. April 7 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Theoretische Grundlagen 3 Versuchsdurchführung 3 4 Messergebnisse und Auswertung Abhängigkeit der Kreisfrequenz vom Antrieb (Überschlag) 3 4. Abhängigkeit des Winkels vom Antrieb (kein Überschlag) 3

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN GP 1 Einführung Nach der Untersuchung des gedämpften physikalischen Pendels wird nun der Einfluss einer antreibenden äußeren Kraft untersucht. Theoretische Grundlagen Beim angetriebenen Pendel wird die Differentialgleichung des physikalischen Pendels wird um den Term einer äußeren Kraft erweitert ϕ + γ ϕ + ω sin ϕ = k = const. (1) Da wir insbesondere Überschläge beobachten wollen, dürfen wir die Kleinwinkelnäherung nicht mehr verwenden, d.h. wir haben eine nichtlineare DGL, die nicht ohne weiteres lösbar ist. Die Spezialfälle 1. ϕ = ϕ = und. k/ω 1, γ 1 vereinfachen die Rechnung jedoch deutlich. 1. Kein Überschlag ( ϕ = ϕ = ): Wenn die erste und zweite Ableitung von ϕ Null sind, bewegt sich das Pendel nicht. Dieser Fall tritt ein, wenn das Drehmoment durch die Gewichtskraft des Pendels gleich dem antreibenden Drehmoment ist. Die Lösung von (1) ist trivial ϕ = arcsin k ω. Wir werden diese Arcussinus-Abhängigkeit des Winkels von k, welches direkt proportional zur Antriebsspannung U ist, unten experimentell bestätigen.. Große Dämpfung γ 1 und großer Antrieb k ω : Da für diesen Fall in (1) der Koeffizient ω des sin ϕ Terms und der Koeffizient 1 des ϕ Terms gegenüber den anderen Koeffizienten γ und k klein sind, kann man die DGL (1) zu vereinfachen. Dann folgt ϕ = k γ γ ϕ = k ϕ(t) = k γ t = ωt, insbesondere ist also die Antriebskraft (d.h. die Antriebsspannung) direkt proportional zur Kreisfrequenz ω des Überschlags, U k ω. An den Messungen unten erkennt man gut, dass für großen Antrieb k und große Dämpfung γ die Funktion U(ω) tatsächlich zu einer Geraden wird (siehe Abb. 1 (b) und (c)).

3 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG GP 3 3 Versuchsdurchführung Eine Antriebsscheibe mit Magneten wird durch eine Spannung angetrieben. Durch die Magnete auf der Scheibe wird die Scheibe des Pendels mit einem Drehmoment angetrieben, das durch die angelegte Antriebsspannung bestimmt ist. Die Spannung wird von V bis zu einer Schwellspannung hochgefahren und anschließend wieder auf V zurückgefahren. Dabei wird jeweils die beobachtete Kreisfrequenz des Pendels gemessen. So erhält man eine Abhängigkeit der Kreisfrequenz von der angelegten äußeren Kraft. Um den Fall, in dem keine Schwingung auftritt ( ϕ = ϕ =, Gleichgewicht), genauer zu untersuchen wird die Abhängigkeit der Auslenkungswinkel von der Spannung ebenfalls gemessen. 4 Messergebnisse und Auswertung 4.1 Abhängigkeit der Kreisfrequenz vom Antrieb (Überschlag) Die Abhängigkeit der Kreisfrequenz ω von der angelegten Antriebsspannung U ist in Abb. 1 gezeigt. Man erkennt deutlich eine Hysterese, die umso größer ist, je kleiner die Dämpfung ist. Die Hysterese kann dadurch erklärt werden, dass beim Verringern des Antriebs das Pendel von den vorherigen Überschlägen noch eine genügend große Winkelgeschwindigkeit ϕ für weiter Überschläge haben kann, auch wenn die gleiche Antriebskraft beim Vergrößern der Spannung nicht für einen Überschlag ausreichte, da beim Vergrößern der Spannung die Winkelgeschwindigkeit ϕ = ist. Die Trägheit des Pendels sorgt also für die Hysterese. Bei einer größeren Dämpfung wird die Winkelgeschwindigkeit ϕ beim Spannungsabbau verkleinert, so dass von vorhergenden Überschlägen kaum noch Geschwindigkeit ausgenutzt werden kann und die nötigen Grenzkräfte für Überschläge bei Spannungsaufbau und Spannungsabbau gleich werden. 4. Abhängigkeit des Winkels vom Antrieb (kein Überschlag) In Abb. ist die Abhängigkeit des Winkels ϕ von der Antriebsspannung U gezeigt (bzw. U(ϕ), wobei die Spannung bis kurz vor den Überschlagspunkt erhöht wurde. Man erkennt die gute Übereinstimmung mit der arcsin-funktion (siehe Theorie-Teil), da U(sin ϕ) sich gut durch eine Gerade fitten lässt. Der Unterschied zwischen der kleinen und der großen Dämpfung ist im Experiment gering, theoretisch

4 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG GP 4 sollte er sein, da die Dämpfung nur bei ϕ wirkt. Die kleine Abweichung der Kurven kann dadurch erklärt werden, dass nicht lange genug gewartet wurde, bis ϕ(t) wirklich konstant war.

5 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG GP 5 ohne Dämpfung Spannun in V Kreisfrequenz in Hz (a) schwache Dämpfung Spannung in V 4 Kreifrequenz in Hz (b) 1,4 starke Dämpfung 1, 1, Spannung in V,8,6,4,, -, -,,,,4,6,8 1, 1, 1,4 1,6 Kreisfrequenz in Hz (c) Abbildung 1: Spannung U und zugehörige Kreisfrequenz ω jeweils beim Erhöhen und Verringern der Spannung (Hysterese) für drei unterschiedlich große Dämpfungen.

6 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG GP schwache Dämpfung starke Dämpfung Spannung U (V) Winkel Phi ( ) (a) 5 4 schwache Dämpfung starke Dämpfung Regressionsgerade Spannung U (V) 3 1,,,4,6,8 1, sin(phi) (b) Abbildung : Abhängigkeit des Winkels ϕ von der Antriebsspannung U, wenn das Pendel nicht überschlägt, d.h. wenn Drehmoment-Gleichgewicht herrscht. a) U(ϕ), b) U(sinϕ).